III. Calcul de la constante C

Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

La formule de Stirling

Introduction

L’objectif de ce problème est de démontrer le résultat ci-dessous donnant un équivalent simple de la factorielle d’un entier natureln.

Formule de Stirling (1730) : On a l’équivalentn! ∼

+∞

p2πn³n e

´n

.

I. Un résultat intermédiaire

On définit les suites (u_n)_n∈N^∗, (v_n)_n∈N^∗ et (S_n)_n∈N^∗par

∀n∈N^∗, un= pn

n!

³n e

´n

, vn=ln µu_n+1

u_n

¶

et Sn=

n

X

k=1

v_k.

1. Montrer que pour toutn∈N^∗, on a v_n=

µ n+1

2

¶ ln

µ 1+1

n

¶

−1.

2. Montrer qu’il existe un nombre réela>0 que l’on précisera tel quev_n ∼

+∞

a n². 3. Montrer que la sérieX

vnest convergente.

4. En déduire que la suite ( ln(un))n∈N^∗converge vers un nombre`∈R.

5. Conclure qu’il existe un réelC>0 telle quen! ∼

+∞Cp n³n

e

´n

.

II. Étude des intégrales de Wallis

Pour toutn∈N, on considère les intégrales définies par Wn=

Z _π/2

0

cosⁿ(t) dt.

1. Calcul des intégrales de Wallis.

a) CalculerW₀,W₁etW₂.

b) Montrer que (n+1)Wn+1=nWn−1pour toutn∈N^∗. c) En déduire que pour toutp∈N, on a

W_2p= (2p)!

4^p(p!)² π

2 et W_2p+1= 4^p(p!)² (2p+1)!.

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Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

2. La suite des intégrales de Wallis.

a) Montrer que la suite (nW_nW_n−1)_n∈N^∗ est constante de valeurπ/2.

b) Démontrer que la suite (W_n)_n∈Nest décroissante et positive.

c) Montrer que la suite (W_n)_n∈Nconverge et déterminer sa limite.

d) En utilisant les questionsII.2.aetII.2.b, montrer queW_n ∼

+∞

r π 2n.

III. Calcul de la constante C

On a montré à la questionI.5qu’il existe un réelC>0 tel quen! ∼

+∞Cp n³n

e

´n

. Dans cette partie, nous allons déterminer la valeur deCen utilisant les résultats de la partie précédente.

1. En utilisant les résultats de la partieII.1, montrer queW_2p ∼

+∞

π Cp

2 p1p.

2. En déduire avec les résultats de la partieII.2queC=p 2π.

IV. Deux applications

1. Déterminer la nature de la série X

n>⁰

1 4ⁿ

Ã2n n

! .

2. On considère la suite (p_n)_n∈N^∗définie par

∀n∈N^∗, p_n=

n

Y

k=1

4k² 4k²−1.

a) Montrer que pour toutn∈N^∗, on a

pn= 2⁴ⁿ(n!)⁴ (2n)!(2n+1)!.

b) En utilisant la formule de Stirling, montrer que la suite (p_n)_n∈N^∗ converge vers un nombre réel que l’on précisera.

Fin

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