Université du Littoral Côte d’Opale
Question de cours Soient V etW deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K. 1. Rappeler la définition d’une application K-linéaire L:V −→W.
L est linéaire si
∀u∈V, ∀v∈V, ∀µ∈K, ∀ν ∈K, L(µu+νv) =µL(u) +νL(v).
2. Rappeler les définitions du noyauker(L) de Let de l’image Im(L) de L.
ker(L) ={u∈V tel que L(u) = 0W}.
Im(L) ={v∈W tel que ∃u∈V où L(u) =v}.
3. Montrerker(L) est un sous-espace vectoriel de V.
ker(L)⊂V (trivial) et ∀u∈ker(L), ∀v∈ker(L), ∀µ∈K, ∀ν ∈K, µu+νv est tel queL(µu+νv) = µ L(u)
| {z }
=0W
+ν L(v)
| {z }
=0W
= 0W et µu+νv est donc dansker(L), ce qui montre que ker(L) est un sous-espace vectoriel de V.
4. Montrer queIm(L) est un sous-espace vectoriel de W.
Im(L) ⊂ W (trivial) et ∀v1 ∈ Im(L), ∀v2 ∈ Im(L), ∀µ ∈ K, ∀ν ∈ K, il existe u1 ∈ V tel que L(u1) =v1 et il existeu2∈V tel queL(u2) =v2, puis, par conséquent, il existe µu1+νu2∈V tel que L(µu1+νu2) =µ L(u1)
| {z }
=v1
+ν L(u2)
| {z }
=v2
=µv1+µv2 et µv1+µv2 est donc dans Im(L), ce qui montre que Im(L) est un sous-espace vectoriel de V.
Exercice 1 Soient E un espace vectoriel, f un endomorphisme de E et {u1, u2, . . . , un} une partie de E. Montrer que si {f(u1), f(u2), . . . , f(un)} est libre, alors {u1, u2, . . . , un} est libre. La réciproque est-elle juste ? Justifier.
Solution 1 ∀a1 ∈ K, ∀a2 ∈ K, . . ., ∀an ∈ K, si a1u1 +a2u2+. . .+anun = 0, alors f(a1u1 +a2u2 + . . .+anun) =f(0) = 0, puis a1f(u1) +a2f(u2) +. . .+anf(un) = 0 (carf est linéaire), et enfina1 =a2 = . . .=an= 0 (car{f(u1), f(u2), . . . , f(un)} est libre). Ainsi, {u1, u2, . . . , un}est libre.
La réciproque est évidemment fausse : il suffit de considérerf ≡0.
Exercice 2 Soit E = M2,2(R) l’espace vectoriel des matrices à coefficients réels à deux lignes et deux colonnes. On considère le sous-ensemble Ade E :
A=
( a −b b+a 0
!
; a∈R, b∈R )
.
1. Montrer queA est un sous-espace vectoriel deE.
2. Quelle est la dimension deA? Justifier. Donner une base B deA.
Solution 2
1. A⊂E (trivial).
∀λ∈R, ∀µ∈R, ∀ a1 −b1 b1+a1 0
!
∈A, ∀ a2 −b2 b2+a2 0
!
∈A,on a
λ a1 −b1 b1+a1 0
!
+µ a2 −b2 b2+a2 0
!
= (λa1+µa2) −(λb1+µb2) (λb1+µb2) + (λa1+µa2) 0
!
= a −b
b+a 0
! ,
avec a=λa1+µa2 etb=λb1+µb2, qui est donc dans A.
Ceci montre queA est un sous-espace vectoriel de E.
2.
A =
( a −b
b+a 0
!
; a∈R, b∈R )
= (
a 1 0 1 0
!
+b 0 −1 1 0
!
; a∈R, b∈R )
=
* 1 0 1 0
!
, 0 −1 1 0
!+
.
Montrons que la famille B=
( 1 0 1 0
!
, 0 −1 1 0
!)
est libre.
∀λ∈R, ∀µ∈R, λ 1 0 1 0
!
+µ 0 −1 1 0
!
| {z }
= 0 B
@
λ −µ
λ+µ 0
1 C A
= 0 0 0 0
!
induit aisément que λ=µ= 0. Ainsi, la famille B est libre et génératrice deA, donc une base de A, de dimension 2 (nombre d’éléments de la base).
Exercice 3 SoitT ∈ M3,3(R)la matrice de Vandermonde définie par trois réels a,b,c :
T =
1 a a2 1 b b2 1 c c2
.
Par des opérations sur les lignes, montrer que det(T) = (b−a)(c−a)(c−b).
Solution 3 Li désigne laième ligne.
det(T) =
1 a a2 1 b b2 1 c c2
=
1 a a2
0 b−a b2−a2 0 c−a c2−a2
en remplaçantL2 parL2−L1 etL3 parL3−L1
= (b−a)(c−a)
1 a a2 0 1 b+a 0 1 c+a
en mettant en facteur(b−a) dansL2 et(c−a) dansL3
= (b−a)(c−a)
1 a a2 0 1 b+a 0 0 c−b
en remplaçant L3 parL3−L2
= (b−a)(c−a)(c−b).
Exercice 4 Soitm un réel etA(m)∈ M3,3(R) la matrice suivante :
A(m) =
1 1 1 1 m 2 1 2 −1
.
1. Déterminer le rang de la matriceA(m) en fonction du paramètrem.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réelmpour que la matrice A(m) soit inversible.
3. Quand cette condition est vérifiée, trouver l’unique solution(x1, x2, x3)∈R3 du système suivant :
1 1 1 1 m 2 1 2 −1
x1 x2 x3
=
a b c
,
où a,b,csont trois réels fixés.
Solution 4 Li désigne laième ligne.
1. Calcul du déterminant deA(m) :
det(A(m)) =
1 1 1 1 m 2 1 2 −1
=
1 1 1
0 m−1 1
0 1 −2
en remplaçant L2 parL2−L1 etL3 parL3−L1
=
1 1 1
0 0 2m−1 0 1 −2
en remplaçantL2 parL2−(m−1)L3
= 1−2m.
– Premier cas : m6= 12. La matriceA(m) est inversible et son rang est 3.
– Deuxième cas : m= 12.
Im(A(1 2)) =
(a, b, c)∈R3 tels que∃(x, y, z)∈R3 avec
1 1 1 1 12 2 1 2 −1
x y z
=
a b c
.
1 1 1 1 12 2 1 2 −1
x y z
=
a b c
⇐⇒
x+y+z=a x+y2 + 2z=b x+ 2y−z=c
⇐⇒
x+y+z=a
−y2 +z=b−aen remplaçantL2 parL2−L1 y−2z=c−aen remplaçantL3 parL3−L1
⇐⇒
x+y+z=a
−y2 +z=b−a
0 =−3a+ 2b+c en remplaçantL3 parL3+ 2L2
Ainsi, Im(A(12)) ={(a, b,3a−2b)∈R3}=h(1,0,3),(0,1,−2)i.
La matriceA(m) est donc de rang2.
2. Question déjà traitée : il s’agit du cas oùm6= 12.
3. Lorsquem6= 12,
1 1 1 1 m 2 1 2 −1
x1 x2 x3
=
a b c
⇐⇒
x1+x2+x3 =a x1+mx2+ 2x3 =b x1+ 2x2−x3=c
⇐⇒
x1+x2+x3 =a
(m−1)x2+x3 =b−aen remplaçantL2 parL2−L1 x2−2x3 =c−aen remplaçantL3 parL3−L1
⇐⇒
x1+x2+x3 =a
(2m−1)x3 = (m−2)a+b−(m−1)c= en remplaçant L2 parL2−(m−1)L3 x2−2x3 =c−a
⇐⇒
x3= (m−2)a+b−(m−1)c 2m−1
x2= −3a+2b+c2m−1
x1= (m+4)a−3b+(m−2)c 2m−1
.
Exercice 5 Soitf une application de R2 dansR2 définie par f(x, y) = (7x+ 2y,−4x+y).
1. Montrer quef est une application linéaire.
2. Donner la matriceA def relativement à la base canonique B={e~1, ~e2}.
3. Soient deux vecteurs v~1 = (1,−2) et v~2 = (1,−1). Montrer que B′ = {v~1, ~v2} est une base de R2. Exprimer les vecteursf(v~1)etf(v~2)dans la base B′.
4. Donner la matriceB def relativement à la base B′. 5. Donner la matriceP de passage de la base Bà la base B′.
Calculer l’inverseP−1 de la matriceP.
6. Soitnun entier naturel non nul. Rappeler la formule qui lie les matricesA,B etP. CalculerAn.
Solution 5
1. ∀λ∈R, ∀µ∈R, ∀(x, y)∈R2, ∀(x′, y′)∈R2, f(λ(x, y) +µ(x′, y′)
| {z }
=(λx+µx′,λy+µy′)
) = (7(λx+µx′) + 2(λy+µy′),−4(λx+µx′) + (λy+µy′))
= λ(7x+ 2y,−4x+y) +µ(7x′+ 2y′,−4x′+y′)
= λf(x, y) +µf(x′, y′), ce qui démontre qur f est linéaire.
2. Il est immédiat (les colonnes contiennent les vecteurs de l’image des vecteurs deBparf exprimés dans B) que :
A= 7 2
−4 1
! .
Remarque : on a f(e~1) = (7,−4)etf(e~1) = (2,1).
3. Les vecteursv~1 etv~2 forment une base si et seulement s’ils sont libres (théorème de la dimension).
∀λ∈R, ∀µ∈R, λ ~v1+µ ~v2=~0induit (1) : λ+µ= 0 et(2) : −2λ−µ= 0, puis−(2)−(1) : λ= 0 et2(1) + (2) : µ= 0, ce qui induit que les vecteursv~1 etv~2 sont libres.
f(v~1) =f(e~1−2e~2) =f(e~1)−2f(e~2) = (7,−4)−2(2,1) = (3,−6) = 3v~1. f(v~2) =f(e~1−e~2) =f(e~1)−f(e~2) = (7,−4)−(2,1) = (5,−5) = 5~v2.
4. Il est immédiat (les colonnes contiennent les vecteurs de l’image des vecteurs deB′ parf exprimés dans B′) que :
B = 3 0 0 5
! .
5. Il est immédiat (les colonnes contiennent les vecteurs deB′ exprimés dans B) que :
P = 1 1
−2 −1
! .
Par exemple par la méthode du pivot de Gauss, on trouve : P−1 = −1 −1
2 1
! .
6. On rappelle :B =P−1AP ouA=P BP−1. Puis,An= (P BP−1)(P BP−1). . .(P BP−1)
| {z }
nfois
=P BnP−1.
An = 1 1
−2 −1
! 3n 0 0 5n
! −1 −1
2 1
!
= −3n+ 2·5n −3n+ 5n 2·3n−2·5n 2·3n−5n
!
