Solution du TD 1Exercices sur papier

Solution du TD 1

Exercices sur papier

1. On considère la suite définie par la récurrence a) Calculer pour .

In [1]: # Puisqu'on a la machine sous la main, autant l'utiliser pour vérifier nos calculs ! def u(n):

if n<1: return 0

else: return u(n-1)+2*n-1

print ([u(n) for n in range(7)])

b) Deviner une formule pour . Manifestement,

c) Prouver la formule par récurrence.

Elle est vraie pour . Si on la suppose vraie jusqu'au rang , alors, elle est donc encore vraie au rang , CQFD.

d) Exprimer comme une somme (sans récurrence) et imaginer un dessin rendant la solution évidente.

Puisque s'obtient à partir de en lui ajoutant une fonction de seul, , on a

autrement dit,

est la somme des premiers nombres impairs.

Pourquoi cette somme vaut-elle ? C'est l'aire d'un carré de côté , qu'on peut découper ainsi :

2. Mêmes questions pour les sommes alternées

a) Calculer pour n≤6.

In [2]: def S(n):

return sum([((-1)**(n-k))*k**2 for k in range(1,n+1)]) print ([S(n) for n in range(1,7)])

b) Deviner une formule pour .

Il semble bien que .

On teste sur les cas suivants avant de se lancer : ( )un

= + 2n− 1, = 0.

un u_n−1 u₀ un n≤ 6

un

u(n) =n².

n= 0 n− 1

= (n− 1 + 2n− 1 = − 2n+ 1 + 2n− 1 = ,

un )² n² n²

n

un

un u_n−1 n f(n) = 2n− 1

= +f(n) = +f(n− 1) +f(n) = … = +f(1) +f(2) + ⋯ +f(n) = (2i− 1)

un u_n−1 u_n−2 u₀ ∑

i=1 n

= 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n− 1) u_n

n

n² n

∗ + o x

∙

∗ + o x x

∗ + o o o

∗ + + + +

∗

∗

∗

∗

∗

= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 5²

= (−1 .

S_n ∑

k=1 n

)^n−kk²

Sn

Sn

21 = 3 × 7, 15 = 5 × 3, 10 = 2 × 5, 6 = 2 × 3, ⋯

= Sn

n(n+1) 2

[0, 1, 4, 9, 16, 25, 36]

[1, 3, 6, 10, 15, 21]

In [3]: print ([S(n) for n in range(7,11)])

Ça a l'air bon, alors on y va. On a bien . Si on suppose la formule vraie jusqu'au rang , on a (attention aux signes !)

elle est donc encore vraie au rang suivant, est c'est démontré.

d) Exprimer comme une somme (sans récurrence) ? C'est comme ça qu'elle est définie, à la question précédente, on a fait l'inverse : transformer la somme en récurrence.

Imaginer un dessin rendant la solution évidente.

3. Soit la suite définie par la récurrence a) Calculer les 6 premiers termes.

In [4]: def v(n):

if n<1: return 1 return 3*v(n-1)-1

print ([v(n) for n in range(7)])

b) Trouver une expression de la série génératrice

On a

Donc,

et

c) En déduire la valeur de . On décompose en éléments simples :

car le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur, et ce dernier n'a que des racines simples. En multipliant par et en posant , on trouve . En multipliant pas et en posant , on trouve .

On peut vérifier avec sympy :

In [5]: from sympy import * var('x')

= 1 = 1(1 + 1)/2

S1 n− 1

= − + = − + = − + n+ = ,

Sn S_n−1 n² (n− 1)n

2 n² 1

2n² 1

2 n² n(n+ 1) 2

Sn

=

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗ ∗

∗

∗

∗

∗

∗ ∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

− + − + = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =

5² 4² 3² 2² 1² 5(5 + 1)

2

( )vn

= 3 − 1, = 1.

vn vn−1 v0

V(x) =∑ .

n≥0

vnxⁿ

V(x) =v0+∑(3 − 1) = 1 + 3x −

n≥1

vn−1 xⁿ ∑

n≥1

vn−1xⁿ⁻¹ ∑

n≥1

xⁿ

= 1 + 3xV(x) − x . 1 −x (1 − 3x)V(x) = 1 − x =

1 −x

1 − 2x 1 −x V(x) = 1 − 2x .

(1 −x)(1 − 3x)

vn

V(x) = 1 − 2x = +

(1 −x)(1 − 3x) a 1 −x

b 1 − 3x

1 −x x= 1

a=¹₂ 1 − 3x x= ¹₃ b= ¹₂

[28, 36, 45, 55]

[1, 2, 5, 14, 41, 122, 365]

Out[5]: x

On a donc finalement

et ainsi,

Vérifions :

In [8]: print([(3**n+1)//2 for n in range(7)])

Exercices sur machine

4. Soit la suite définie par

a) Trouver une expression de la série génératrice de . Il faut tout de même faire ce calcul sur papier :

donc

La factorisation du membre droit de cette égalité était évidente, mais le polynôme en facteur de à gauche se factorise aussi : In [9]: factor(1-2*x-x**2+2*x**3)

Il nous reste donc, après simplification par , soit

On calcule la décomposition avec sympy : In [10]: U = (1-x)/((1+x)*(1-2*x))

apart(U)

On a donc (attention aux signes en recopiant !)

d'où

soit

. Vérifions :

In [11]: series(U,x,0,10)

In [11]: print [(2**n+2*(-1)**n)/3 for n in range(10)]

V(x) = 1 + (3x =

2∑

n≥0

xⁿ 1 2∑

n≥0

)ⁿ ∑

n≥0

+ 1 3ⁿ

2 xⁿ

= .

vn 3ⁿ+ 1 2

( )un

= 2 + − 2 , = 1, = 0, = 2.

u_n u_n−1 u_n−2 u_n−3 u₀ u₁ u₂ U(x) ( )un

U(x) =u₀+u₁x+u₂x²+∑(2 + − 2 ) = 1 + 2 + 2x(U(x) − 1 − 0x) + (U(x) − 1) − 2 U(x)

n≥3

u_n−1 u_n−2 u_n−3 xⁿ x² x² x³

= 1 − 2x+x²+ (2x+x²− 2 )U(x)x³ (1 − 2x−x²+ 2 )Ux³ (x) = (1 −x)²

U(x)

1 −x

(1 +x)(1 − 2x)U(x) = (1 −x) U(x) = 1 −x

(1 +x)(1 − 2x)

U(x) = 1 + = (2x + (−x

3 1 1 − 2x

2 3

1 1 +x

1 3∑

n≥0

)ⁿ 2 3∑

n≥0

)ⁿ

U(x) =∑

n≥0

+ (−1 2 2ⁿ )ⁿ

3

= ( + (−1 )

u_n 2

3 2ⁿ⁻¹ )ⁿ [1, 2, 5, 14, 41, 122, 365]

Out[9]: (x− 1) (x+ 1) (2x− 1)

Out[10]:

− 1 +

3 (2x− 1) 2 3 (x+ 1)

Out[11]: 1 + 2x²+ 2x³+ 6x⁴+ 10x⁵+ 22x⁶+ 42x⁷+ 86x⁸+ 170x⁹+O(x¹⁰)

[1, 0, 2, 2, 6, 10, 22, 42, 86, 170]

In [12]: def u(n):

if n==0: return 1 elif n==1: return 0 elif n==2: return 2

else: return 2*u(n-1)+u(n-2)-2*u(n-3)

print ([u(n) for n in range(10)])

5. On considère la suite définie par

Il n'existe pas de méthode générale pour résoudre ce genre de récurrence.

a) Programmer la suite avec . In [13]: var('a b')

def q(n):

if n==0: return a if n==1: return b

return simplify((1+q(n-1))/q(n-2)) print ([q(n) for n in range(8)])

On voit que la suite est périodique : . Donc . Il n'y a rien de plus à dire ...

6. Soit la somme alternéee

a) Programmer la fonction avec (utiliser ).

In [14]: def A(n):

return sum([(-1)**k*Rational((2*k+1)**3,(2*k+1)**4+4) for k in range(n+1)]) print ([A(n) for n in range(12)])

On voit que le numérateur doit être . Pour le dénominateur, si on retranche 1, on voit apparaître c'est

de sorte que

et il semble bien que

On teste :

In [15]: def B(n):

return (-1)**n*Rational(n+1, (2*n+2)**2+1) print ([B(n) for n in range(12)])

Pour prouver la formule, il suffit de vérifier que le terme général de la somme

est bien la différence de deux valeurs consécutives de notre expression conjecturale.

( )qn

= , =a, =b.

qn 1 +qn−1

q_n−2 q₀ q₁

sympy

= , =

u₆ u₀ u₇ u₁ u_n=u_{n mod 6}

An

= (−1 .

An ∑

k=0 n

)^k (2k+ 1)³ (2k+ 1 + 4)⁴ A(n) sympy Rational

(−1 (n)ⁿ + 1)

4, 16, 36, 64, 100, 144, … , , , , , … 2² 4² 6² 10² 12²

= (−1 , = (−1 , …

A0 )⁰ 0 + 1

(2(0 + 1) + 1)² A1 )¹ 1 + 1 (2(1 + 1) + 1)²

= (−1 .

An )ⁿ n+ 1 (2n+ 2 + 1)²

An

= (−1

an )ⁿ (2n+ 1)³ (2n+ 1 + 4)⁴

− Bn B_n−1

[1, 0, 2, 2, 6, 10, 22, 42, 86, 170]

[a, b, (b + 1)/a, (a + b + 1)/(a*b), (a + 1)/b, a, b, (b + 1)/a]

[1/5, -2/17, 3/37, -4/65, 5/101, -6/145, 7/197, -8/257, 9/325, -10/401, 11/485, -12/577]

[1/5, -2/17, 3/37, -4/65, 5/101, -6/145, 7/197, -8/257, 9/325, -10/401, 11/485, -12/577]

In [18]: cc = bb.subs(x,x-1); cc

In [20]: dd = cc+bb

In [24]: # Il y a un bug dans simplify, on décompose le calcul dd.as_numer_denom()

In [25]: list(map(expand,_))

In [26]: [factor(_[0]),factor(_[1]-4)]

Out[18]: x 4x²+ 1

Out[24]: (x*((2*x + 2)**2 + 1) + (x + 1)*(4*x**2 + 1), (4*x**2 + 1)*((2*x + 2)**2 + 1))

Out[25]: [8*x**3 + 12*x**2 + 6*x + 1, 16*x**4 + 32*x**3 + 24*x**2 + 8*x + 5]

Out[26]: [(2*x + 1)**3, (2*x + 1)**4]