Calculabilité des pavages

Thesis

Reference

Calculabilité des pavages

WEISS, Michael

Abstract

Au début des années 60, Wang a introduit un modèle de pavage du plan à l'aide de tuiles orientées de taille unitaire aux bords colorés pour résoudre des problèmes de logique. Ce modèle a été montré Turing-équivalent par Berger. Nous nous intéressons à la calculabilité de ce modèle en introduisant des outils sur les pavages permettant d'obtenir des résultats plus généraux sur les jeux de tuiles. A l'aide de notions de simulation, nous obtenons une première approche de l'universalité puis nous montrons quelques uns des théorèmes fondamentaux de la calculabilité (Kleene, Rice...), dans le cadre de pavages, toujours relativement à certaines notions de simulation. Ces résultats nous permettront d'obtenir, dans un premier temps, de nouvelles preuves sur des théorèmes classiques des pavages et, dans un deuxième temps, de construire un cadre de constuction de jeux de tuiles apériodiques.

WEISS, Michael. Calculabilité des pavages. Thèse de doctorat : Univ. Genève, 2008, no. Sc.

4021

URN : urn:nbn:ch:unige-13320

DOI : 10.13097/archive-ouverte/unige:1332

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:1332

Disclaimer: layout of this document may differ from the published version.

1 / 1

UNIVERSITÉ DE PROVENCE

Lab. d’informatique fondamentale de Marseille Dr. Grégory Lafitte

Calculabilité des pavages

THÈSE

présentée à la Faculté des sciences de l’Université de Genève pour l’obtention du grade de Docteur ès sciences, mention informatique

par

Michaël Weiss

de

Versonnex (France)

Thèse N^o 4021

GENÈVE

Atelier d’impression ReproMail 2008

laire (Faculté des sciences économiques et sociales - Département des systèmes d’information), J. Mazoyer, professeur (École Normale Supérieure - Laboratoire de l’informatique et du parallélisme - Lyon, France), G. Lafitte, maître de conférence et co-directeur de thèse (Université de Provence - Laboratoire d’informatique fon- damentale de Marseille - Marseille, France), et J. Kari, professeur (Université de Turku - Department of Mathematics - Turku, Finland), autorise l’impression de la présente thèse, sans exprimer d’opinion sur les propositions qui y sont énoncées.

Genève, le 19 septembre 2008

Thèse -4021-

Le Doyen

Remerciements

Une thèse est l’aboutissement d’un travail personnel de plusieurs années, au cours desquelles des personnes ont collaboré directement ou indirectement à sa réussite. L’intégralité de ce travail n’aurait pas pu être, ou n’aurait été que partiel- lement, réussie sans l’aide apportée par ce précieux entourage. Aujourd’hui cette thèse me confirme dans ma position de jeune chercheur, et m’ouvre les portes pour continuer dans cette voie, et c’est envers toutes ces personnes que va ma gratitude.

J’aimerais en tout premier remercier mon directeur de thèse, José Rolim, pro- fesseur à l’Université de Genève. C’est lui qui m’a fait découvrir les bases de l’in- formatique théorique et qui m’a donné envie de poursuivre dans cette voie. Je le remercie de m’avoir offert la possibilité de faire une thèse et d’avoir permis que notre relation professeur/assistant soit la meilleure possible tout au long de ces an- nées. Je le remercie aussi de m’avoir laissé libre d’explorer les différentes branches de l’informatique théorique afin de trouver celle qui m’était la plus adaptée. Je remercie mon co-directeur Grégory Lafitte, maître de conférence à l’Université d’Aix-Marseille. Bien qu’il fût un ami de longue date, c’est notre rencontre au sein de l’Université de Genève qui a permis la naissance de notre collaboration scien- tifique. Je le remercie de m’avoir transmis une partie de ses connaissances et de m’avoir donné sa passion pour la recherche. Je le remercie aussi d’avoir su jouer à merveille son multi-rôle de directeur de thèse, ami, conseiller, compagnon de voyage et d’avoir eu la patience de relire et corriger nos articles durant de longues séances au Starbucks. Je ne doute pas que l’aboutissement de cette thèse marque le début d’une longue, et toujours plus fructueuse, collaboration scientifique.

Je remercie le professeur Jacques Mazoyer de l’école normale supérieure de Lyon d’avoir accepté d’être dans mon jury. Il est le premier à qui j’ai partagé mes idées et ses intuitions dans le domaine ont été une précieuse aide. Je remercie le professeur Jarkko Kari de l’Université de Turku qui est l’un des experts mondiaux des pavages et qui a aussi accepté d’être dans mon jury. Son opinion très positives sur mes recherches et les différentes directions qu’il a proposé ont été un réel encouragement. Je remercie enfin le professeur Gilles Falquet de l’Université de Genève qui, bien que non expert du domaine, a fait une profonde relecture de ma thèse.

J’aimerais remercier les différentes personnes que j’ai rencontrées et avec qui j’ai échangé mes idées au cours de ses années. Je remercie entre autre Enrico Formenti, Guillaume Theyssier, Philippe Moser, Bruno Durand, Nicolas Ollinger,

Alexis Ballier, Gaétan Richard, Alberto Dennunzio et Gianpiero Cattaneo.

Je remercie les collègues de bureau qui ont partagés ma vie professionnelle durant toutes ces années et avec qui je garde d’excellents souvenirs : Olivier, Mat- thieu, Thibaud, Luminita, Andreï, Jacques, Marios, Damien, Taras, Pierre L., Au- bin, Pierre R., Hacob. Je remercie ma famille qui a été un soutien permanent durant toute cette thèse : Papa, Maman, Papy, Nicolas, Véronique, Jérémie, Jonathan, Timothée, Benjamin et la petite dernière, Émilie Rose.

Je remercie enfin tous les amis qui ont été présents durant toutes ces années et qui ont même tenté de temps en temps de comprendre ma recherche : le DS crew, Pierric, Amiral Alain, Binh, Blaise, Alban, Patric, Andréa, Anna, Anja, Jéremy, Pika, Jérome, Juan, Fredo, Yan, Mathias, Peter, Claudia, Silvia, Maria.

Je remercie le Fond National Suisse qui m’a accordé une bourse pour faire un post-doc d’une année à Milan. Je remercie le professeur Cattaneo qui m’accueille à Milan ainsi que Alberto qui a fait beaucoup pour ma venue, et Enrico qui m’a permis de me mettre en relation avec le groupe de Milan. En vrac, je remercie aussi Starbucks de nous avoir proposé un cadre de travail agréable pour prévoir, planifier, écrire et corriger nos articles avec Greg durant de nombreuses heures.

Enfin, mes derniers remerciements reviennent bien sûr à Lara, à qui je dédie cette thèse, et qui m’a accompagné et encouragé durant toutes ces années. Son implication dans mes recherches et sa confiance en moi ont été une motivation indéniable pour l’achèvement de ce travail.

Table des matières

Remerciements 3

1 Premiers pas 15

1.1 Notions de base . . . 16

1.1.1 Tuiles colorées . . . 16

1.1.2 Tuiles fléchées . . . 19

1.1.3 Tuiles étiquetées . . . 20

1.1.4 Formes géométriques à coordonnées rationnelles . . . 21

1.1.5 Pavages par motifs . . . 22

1.1.6 Contraintes locales . . . 23

1.2 Équivalence des modèles . . . 25

1.3 Arbres associés . . . 31

1.4 Principe d’extraction diagonale . . . 33

2 Périodicité et régularité 35 2.1 Pavages périodiques . . . 36

2.2 Fonction de quasipériodicité . . . 40

2.3 Fonction de quasipériodicité d’un pavage périodique . . . 43

2.4 Cardinalité de l’ensemble des pavages générés par un jeu de tuiles 45 3 Construction de Robinson 49 3.1 Jeux de tuiles de Robinson . . . 50

3.1.1 Construction . . . 50

3.1.2 Notations . . . 57

3.2 Le problème du domino . . . 59

3.2.1 Problème avec origine imposée . . . 59

3.2.2 Indécidabilité du problème du domino . . . 63

3.3 Indécidabilité du pavage périodique du plan . . . 66

3.4 Inséparabilité récursive des jeux de tuiles finis et de ceux périodiques 70 3.5 Fonctions de quasipériodicité atteignables . . . 71

4 Simulation entre pavages 75 4.1 Notions de simulation . . . 75

4.2 Définition de l’universalité et de la complétude . . . 83

4.3 Complétude . . . 84

4.4 Universalités . . . 88

4.4.1 Différentes universalités . . . 88

4.4.2 Universalité et complétude . . . 94

4.5 Calculabilité des réductions . . . 97

5 Calculabilité des pavages 103 5.1 Réductions totale et exacte . . . 103

5.2 Simulation totale des périodiques . . . 105

5.3 Théorème du point fixe de Kleene . . . 110

5.4 Théorème du point fixe de Kleene avec paramètres . . . 113

5.5 Réduction de propriétés et théorème à laRice pour les pavages . 116 5.6 Autres problèmes indécidables . . . 120

5.7 Diagonalisation . . . 123

6 Apériodicité 127 6.1 Le jeu apériodique de13 tuiles de Čulik et Kari . . . 128

6.2 Construction de Durandet al. . . 134

6.3 Construction de jeux de tuiles apériodiques . . . 136

6.3.1 Simulation exacte via un découpage du plan . . . 136

6.3.2 Constructions de jeux de tuiles apériodiques . . . 140

Introduction

Le mot pavage, comme de nombreux termes scientifiques ayant une représen- tation concrète dans la vie de tous les jours, regroupe un panel de définitions plus ou moins proche de la notion que nous utilisons dans cette thèse. Il va donc de soit qu’il faut, avant tout, définir le modèle abstrait de pavagepour pouvoir le dis- socier de son référent concret, mais aussi des autres référents abstraits définissant d’autres branches de la recherche.

Si plusieurs définitions peuvent être données au motpavage, toutes s’accordent sur un noyau commun à partir duquel des contraintes supplémentaires peuvent être précisées. Ce noyau peut-être décrit de la manière suivante : un pavage du plan est une partition de ce dernier par un ensemble de tuiles (appelé jeu de tuiles), où la tuile est définie comme un compact d’intérieur non-vide. À cela peuvent s’ajouter de nombreuses conditions supplémentaires, notamment, le jeu de tuiles peut être fini, les tuiles peuvent être à coordonnées rationnelles, les tuiles peuvent être tournées. . .

Le pavage, en tant qu’objet concret, est connu depuis de nombreux siècles et utilisé avant tout comme structure décorative. Les nombreux exemples de pavages pouvant être trouvés à l’Alhambra, et datant du XII^`eme siècle montrent une pre- mière approche de la complexité pouvant être obtenue à partir d’un jeu de tuiles.

Ces types de pavages, où les mêmes éléments se retrouvent translatés par un vec- teur (nous parlons alors de pavages périodiques), ont depuis plus d’un siècle été caractérisés par le russe Fedorov, qui a montré qu’il existait exactement 17classes différentes de pavages. Cette classification repose sur l’énumération des groupes distincts d’isométrie du plan et de l’espace. Ainsi, un pavage est classé selon la combinaison des rotations et des symétries qu’il contient.

Par la suite, les premiers pavages apériodiques, c’est-à-dire des pavages dont les tuiles ne sont pas régulièrement translatées par deux vecteurs indépendants, ont été trouvés. Entre autres, ceux de Penrose [Pen74] ou de Radin [Rad94, Rad99] en sont de très bons exemples. L’étude de ces pavages est d’un intérêt grandissant depuis la découverte de ce même genre de structures dans les quasi-cristaux [Rad95b, Rad96]. Cette recherche est avant tout géométrique, et apporte des solutions pour mieux comprendre les formations quasi-cristallines en physique.

Les pavages sont donc une façon naturelle de représenter des structures auto- assemblantes. Nous pouvons citer aussi le calcul ADN qui s’intéresse à générer un processus calculatoire avec des protéines d’ADN et dont la représentation théorique la plus proche est le pavage.

Pavages et informatique

La problématique est pour l’instant encore assez éloignée de l’idée d’informa- tique puisque l’étude des pavages semble se limiter à une branche de la géométrie.

Le lien avec l’informatique s’est concrétisé lorsque les pavages ont été utilisés pour résoudre une question de logique mathématique.

En 1928, Hilbert avait posé la question de savoir si les mathématiques étaient décidables. La réponse négative fut démontrée presque simultanément par Church [Chu36b, Chu36a], qui construisit un problème indécidable en λ-calcul, et par Tu- ring [Tur37] qui démontra l’indécidabilité du problème de l’arrêt. Les problèmes de décision furent ensuite affinés en sous-classes, et la question de la décidabilité des formules de ces classes réapparut. Au début des années 60, Wang introduisit un modèle de pavages basé sur des tuiles colorées et montra une réduction permettant de passer d’une formule de la classe de Kahr (une des sous-classes du problème de décision) à un jeu de tuiles colorées de manière à ce que le jeu de tuiles pave le plan si la formule est satisfaisable [Wan61, Wan62, KMW62].

Ce modèle est une forme de pavages assez basique. Les tuiles sont des carrés unitaires orientés dont chacun des quatre côtés est marqué par une couleur. Nous pouvons ainsi associer deux tuiles si elles ont la même couleur sur leur bord commun.

La question naturelle est de considérer un jeu de tuiles et de se demander s’il peut paver le plan, c’est-à-dire s’il est possible de répéter les tuiles autant de fois que voulu et les disposer sur le plan de manière à ce que deux tuiles voisines aient la même couleur sur leur bord commun. Nous obtenons ainsi un modèle de pavages beaucoup plus restrictif que les pavages vus plus haut. L’intérêt de ce modèle en informatique s’est développé à partir du moment où Berger, dans la continuité des travaux de Wang, montra à la fin des années 60 que le problème de savoir si un jeu de tuiles pavait le plan était indécidable et qu’en plus, un jeu de tuiles pouvait simulerune machine de Turing, dans le sens que pour toute machine de Turing M et toute entrée w, il existe un jeu de tuiles τ_M,w qui pave le plan si, et seulement si, M ne s’arrête pas sur l’entrée w [Ber64, Ber66].

En plus d’apporter la première brique à la conclusion définitive du problème de décision (il faudra attendre les travaux de Gurevich et Koriakov pour le clore [GK72]), Berger lia les pavages à la calculabilité en montrant qu’un calcul était effectué dans les pavages à tuiles colorées. Un nouveau point de vue sur le calcul s’ouvrait donc à la recherche.

Recherche sur les pavages

Différentes approches sont légitimes sur les pavages, et même en ne se restrei- gnant qu’aux pavages de Wang, les possibilités d’études sont nombreuses. C’est le côté naturel de ce modèle qui permet une telle diversité et offre ainsi une variété d’interprétation du calcul. Les études se sont portées sur la recherche de pavages

apériodiques dans le but de mieux comprendre l’apériodicité ou dans le but de prouver à nouveau le problème du domino¹ en simulant une machine de Turing [AD96, CK97, Oll08, Rob71, DRS08]. Un autre grand axe de recherche concerne les aspects structurels des pavages afin d’obtenir une compréhension plus globale de la complexité des pavages générés par un jeu de tuiles. Cette complexité peut être liée à la calculabilité [Han74, Mye74], à la complexité de Kolmogorov [DLS01]

ou encore à la quantification de la régularité d’un pavage [Dur99]. Une autre ap- proche consiste à obtenir une bonne caractérisation des propriétés indécidables sur les jeux de tuiles. Nous notons dans cette direction l’approche globale de Julien Cervelle [CD04, Cer02] et les études de cas particuliers [KP99, Kar02, Luk07].

Direction choisie

Dans cette thèse, l’approche est nouvelle et se fait du point de vue de la calcu- labilité. Bien que l’objet étudié soit avant tout géométrique, le fait que ce modèle puisse simuler les machines de Turing rend légitime une étude globale des pavages par l’étude des calculs qu’il peut générer. La plupart des aspects décrits ci-dessus s’appuient, d’une manière plus ou moins concise, sur un fond de calcul que nous souhaitons mettre plus en valeur ici. Il nous semble essentiel que le calcul ne soit pas une simple implication de la conception structurelle des pavages mais bien l’outil sur lequel les différents axes de la recherche doivent se reposer.

Une étude du calcul des pavages ne peut pas s’arrêter à une simple équiva- lence entre modèle de calcul. Cette équivalence doit au contraire susciter le désir de comprendre comment le calcul est généré dans ce modèle et obtenir ainsi un nouveau point de vue sur le calcul, un point du vue qui sera géométrique. Les pavages proposent une manière de calculer plus étonnante, ne reposant pas sur un procédé mécanique comme c’est le cas pour les machines de Turing. Car si ce dernier modèle présente une façon de calculer très mécanique, l’auto-assemblage des tuiles d’un jeu de tuiles afin de générer un pavage du plan en propose une bien plus naturelle. Un de nos objectifs est donc de montrer que les atouts principaux des modèles de calculs se trouvent aussi dans les pavages, entre autres la notion d’universalité et les théorèmes du point fixe de Kleene.

Pour comprendre le calcul des pavages, il est important d’introduire des ou- tils sur les pavages qui soient les plus indépendants possibles des deux principaux modèles étudiés en théorie de la calculabilité : les fonctions récursives à laChurch- Rosser et les machines de Turing. Cette idée est encore utopique et sa mise en pratique n’est pas totalement avérée. Il est nécessaire de temps en temps de pou- voir s’appuyer sur un jeu de tuiles générant des motifs qui, bien qu’éloignés de diagrammes espace-temps de machines de Turing, n’en constitue pas moins une extension, marqués en filigramme par des transitions de ces dernières. Il est forte-

1Nom traditionnel donné au problème de savoir si un jeu de tuiles donné pave le plan.

ment probable que de tels calculs puissent être faits complètement indépendam- ment des machines de Turing, mais cette thèse a pour but d’apporter une première approche sur les résultats pouvant être obtenus et sur la force de leurs applica- tions. Les résultats ainsi obtenus nous permettent de nous détacher petit à petit du niveau unitaire des tuiles pour obtenir des preuves générales qui s’éloignent des traditionnelles preuves par construction.

Simulation

La première approche consiste à montrer que le modèle de calcul des pavages est un modèle sur lequel une notion d’universalité peut être définie. L’universalité implique en premier lieu d’avoir un principe de simulation entre les jeux de tuiles et les pavages. Il est donc essentiel d’essayer d’obtenir des outils afin de comparer les pavages entre eux, ainsi que les jeux de tuiles. Obtenir de tels outils sur les machines de Turing n’est pas difficile, car il est en effet aisé de comparer des machines de Turing par le biais des fonctions qu’elles calculent. Différentes approches ont déjà permis d’obtenir des pré-ordres sur les pavages générés par un jeu de tuiles (voir par exemple [Dur99, Dur02]), basés sur les motifs composant ces pavages. Mais cette technique ne permet pas de comparer directement des jeux de tuiles. Pour approcher cette question, nous nous tournons donc vers un autre modèle de calcul géométrique : les automates cellulaires.

Les travaux de Nicolas Ollinger [Oll02] et de Guillaume Theyssier [The05a]

sur les automates cellulaires et le groupage, ont permis d’obtenir des notions de simulation sur les automates et ainsi d’avoir un pré-ordre sur ce modèle de calcul.

La proximité des automates cellulaires et des pavages²laisse penser que ces derniers se prêteraient bien au même type de simulation. De là est née une première notion de simulation entre pavages.

Nous attendons d’un pavage P simulant un pavage Q qu’il puisse nous per- mettre de retrouver le pavage Q à partir de P d’une manière récursive. Cela re- vient à dire que l’information deQdoit êtreformulée oucodéedansP. Pour cette simulation, nous choisissons que ce codage de l’information se fasse via des mo- tifs rectangulaires. Il est ainsi possible de découper P en rectangles réguliers qui peuvent ensuite être associés à des tuiles deQ, à l’aide d’une fonction de réduction, afin de reconstruire ce dernier. Nous dirons alors que P simule fortement Q.

S’il n’est pas possible de simuler de cette manière tous les pavages existant à partir d’un unique pavage, à cause d’un argument de cardinalité, il est par contre possible de construire un pavage qui simule une infinité dénombrable de pavages pour tout jeu de tuiles. C’est là la notion d’universalité la plus forte que nous obtenons à partir de cette simulation.

Il est à noter que cette simulation est assez large et permet essentiellement de

2Tous les deux sont des modèles géométriques ; l’un est dynamique et l’autre statique.

comparer les pavages entre eux. Si cette simulation se justifie pour une première compréhension de l’universalité, elle est cependant moins adaptée pour l’obtention de résultats de calculabilité sur les pavages, où nous nous attendons plutôt à une simulation permettant de comparer les jeux de tuiles, et non seulement les pavages, et d’une manière suffisamment restrictive afin de prouver des théorèmes plus forts.

Calculabilité

Dans la continuité des notions de simulation, la simulation exacte permet de comparer les jeux de tuiles. Cette simulation est beaucoup plus restrictive, car elle exige qu’il existe une fonction de réduction telle que tout pavage généré par le jeu de tuiles simulé soit simulé fortement, via une fonction de réduction bijective R, par un pavage du jeu de tuiles simulant, et que tout pavage généré par le jeu de tuiles simulant simule fortement via R un pavage généré par le jeu de tuiles simulé. Si la première condition garantit que tous les pavages générés par le simulé soient simulés, la deuxième, en revanche, garantit que le simulant ne génère pas plus d’information que le simulé. Il existe ainsi un isomorphisme entre les motifs du simulant et les tuiles du simulé.

Cette notion est assez forte et donne naissance à un pré-ordre sur l’ensemble des jeux de tuiles. Cette simulation est prise comme base de la comparaison des jeux de tuiles. Le premier résultat de calculabilité qui est adapté aux jeux de tuiles est le théorème du point fixe de Kleene (voir entre autres [Odi89]) qui est un des résultats fondamentaux de la calculabilité. Ce théorème est un des théorèmes fondamentaux de la théorie de la calculabilité et son adaptation aux pavages nous semble un outil prometteur. Nous remarquons que le théorème du point fixe de Kleene a récemment été utilisé dans un article de Durand et al. [DRS08] dans le but de générer de manière élémentaire un jeu de tuiles apériodique. Notre but dans cette thèse est d’obtenir un théorème du point fixe pour les pavages afin de pouvoir l’appliquer directement et nous montrons que cette généralisation nous permet, entre autres, d’établir un cadre de construction de jeux de tuiles apériodiques.

En utilisant la construction de Robinson, et en la modifiant suffisamment, nous montrons que pour toute modification récursive de jeux de tuilesM, c’est-à-dire un programme qui prend en entrée un jeu de tuiles et qui renvoie en sortie un autre jeu de tuiles, il existe un jeu de tuilesτ qui est un point fixe pour cette modification, ce qui signifie queτ simule exactementM(τ). De la même manière, il est possible de prouver un théorème du point fixe avec paramètres de Kleene. Ces deux théorèmes sont les points centraux de cette thèse car c’est vers eux que convergent toutes les constructions et notions introduites précédemment et ils sont les noyaux des applications et des techniques de preuves qui suivront.

Une question récurrente sur les pavages est d’essayer d’obtenir une bonne caractérisation des propriétés générant des ensembles non-récursifs d’indices de jeux de tuiles, ou en d’autres termes, d’essayer d’obtenir un théorème à la Rice

pour les pavages. Une approche dans cette direction a été faite par Julien Cervelle [Cer02, CD04], mais pour un modèle sensiblement différent. La simulation exacte permet d’obtenir une autre approche de ce problème sans pour autant donner une réponse définitive. En construisant des jeux de tuiles ayant une certaine propriété si un autre jeu de tuiles a une autre propriété, nous obtenons des réductions de propriétés, qui permettent d’obtenir un résultatà laRice en corollaire. Ce théorème est fortement lié à la réduction exacte et n’est donc pas complet, car certaines pro- priétés ne satisfont pas ces conditions. Mais l’intérêt de cette construction réside plus dans la notion de réduction de propriétés que dans son corollaire à la Rice qui n’est qu’une première tentative de caractérisation des ensembles non-récursifs de jeux de tuiles. Nous montrons par contre que le principe de réduction est assez souple pour pouvoir montrer l’indécidabilité de nombreux problèmes sur les pavages laissant penser qu’un thèorème à la Rice plus général peut être trouvé dans cette direction.

Premières applications

Nous avons montré que les pavages sont un modèle de calcul possédant une notion d’universalité et des équivalents aux théorèmes du point fixe de Kleene. À l’aide de ces derniers, il devient très aisé de construire des jeux de tuiles avec des propriétés spécifiques. La première idée est d’utiliser un argument de diagonalisa- tion. Cette technique introduite par Georg Cantor pour montrer que la cardinalité de R est strictement supérieure à la cardinalité de N a été reprise et modifiée de nombreuses fois pour montrer des résultats d’indécidabilité, le problème de l’arrêt en étant un exemple. Le théorème du point fixeà laKleene permet d’obtenir de tels résultats sur les pavages et de montrer les théorèmes fondamentaux des pavages avec des preuves tout à fait nouvelles. Si la plupart des preuves de l’indécidabilité du problème du domino ou de l’indécidabilité du pavage périodique du plan reprennent le schéma initial de Berger [Ber66] et donc construisent des pavages particuliers où une machine de Turing est simulée, la diagonalisation sur les pavages permet d’obtenir une preuve plus directe par l’absurde et sans construction.

La décidabilité du problème du domino impliquerait ainsi l’existence d’un jeu de tuiles pavant le plan si et seulement s’il ne le pave pas. Ce type de diagonalisation peut ensuite être utilisée de la même manière pour prouver par contradiction deux autres résultats fondamentaux de Gurevich et Koriakov, [GK72] : l’indécidabilité du pavage périodique du plan et la non-séparabalité récursive de l’ensemble des jeux de tuiles périodiques et de l’ensemble des jeux de tuiles finis.

Une autre grande application est la possibilité de construire moult jeux de tuiles strictement apériodiques. Car s’il est facile de construire un jeu de tuiles générant l’apériodicité, il est beaucoup moins évident de prouver qu’il ne peut pas générer la périodicité, et donc, qu’il est strictement apériodique. L’apériodicité est l’essence des pavages, car sans eux, la plupart des questions sur les pavages seraient triviales.

Ceci explique la recherche intense de nouveaux apériodiques et cette thèse va dans cette direction. Avec le théorème du point fixe à laKleene pour les pavages, nous sommes plus à même de pouvoir fournir un cadre de construction permettant de construire des jeux de tuiles apériodiques. Ce moyen de construction est totalement nouveau, et il n’existe pas, à ce jour, d’autres techniques générales, comme celle présentée dans cette thèse, permettant de générer toutes sortes de pavages auto- similaires, c’est-à-dire des pavages qui se simulent eux-mêmes selon une certaine notion de simulation que nous définiront pour ce cas précis. L’apériodicité de ces jeux de tuiles provient justement de leur auto-similarité. Car cette dernière implique qu’un certain motif se retrouve toujours à échelle plus grande et donc, si une période existe, elle doit être infinie. Ainsi, à partir de tout motif A qui peut paver le plan et qui peut être obtenu par une transformation du plan qui conserve le voisinage, il est possible de construire un jeu de tuiles qui a une structure auto-similaire qui suit A.

Plan

Dans le chapitre 1, nous rappelons les notions fondamentales des pavages en étudiant les différents modèles équivalents et les outils principaux qui seront utilisés tout au long de la thèse. Le chapitre 2 est une étude des pavages considérés comme les plus simples, à savoir les pavages périodiques. Cette idée intuitive de simplicité sera justifiée par les fonctions de quasipériodicité, outil essentiel à la quantification de la régularité, et donc à la compléxité structurelle, d’un pavage. Le chapitre 3 est une étude poussée du pavage de Robinson et de ses variantes. Les preuves traditionnelles des différents résultats sur les pavages nous permettent de jeter les bases et le formalisme de cette construction qui sera de nombreuses fois utilisée dans les chapitres qui suivront. Le chapitre 4 est consacré à une première approche de la notion de simulation, et de ce fait, à la notion d’universalité. Le chapitre 5, à l’aide d’une notion de simulation plus restrictive, nous permet d’obtenir les premiers résultats de calculabilité sur les jeux de tuiles : théorème du point fixe à la Kleene, réduction de propriétés, théorème à la Rice. . . Ces résultats nous permettent d’obtenir des preuves par diagonalisation sur les pavages. Enfin, le dernier chapitre apporte une idée des applications qui peuvent être obtenues grâce aux théorèmes du point fixeà laKleene en proposant une méthode de construction de jeux de tuiles apériodiques.

Chapitre 1 Premiers pas

Au début des années 60, H. Wang a introduit un modèle pour paver le plan à base de tuiles carrées de côté unitaire, [Wan61, Wan62]. L’introduction de ce modèle avait pour but la résolution d’un des problèmes d’Hilbert : das Entschei- dungsproblem. Ce problème traite de la décidabilité de la satisfaisabilité de formules écrites en logique du premier ordre. De manière générale, le problème a été résolu par Church et Turing [Chu36b, Chu36a, Tur37]. Par la suite, le problème a été décomposé en différentes classes sur lesquelles les questions de décidabilité ont de nouveau été posées. Wang construisit une réduction permettant de passer d’un jeu de tuiles à une formule d’une de ces classes, la classe de KahrK = [∀∃∀,(0, ω)], de manière à ce que cette formule soit satisfaisable si, et seulement si, le jeu de tuiles pave le plan [KMW62]. De plus, cette réduction permet de montrer qu’une formule accepte un modèle fini si, et seulement si, le jeu de tuiles qui lui est associé pave le plan périodiquement. Wang prouva dans un premier temps que toute machine de Turing pouvait être simulée par un jeu de tuiles si une origine est imposée. Il pensait néanmoins que, dans le cas général, si un jeu de tuiles pavait le plan, alors il le pavait périodiquement. Cette conjecture impliquait la décidabilité du problème de savoir si un jeu de tuiles pave le plan ou non. En effet, nous pouvons énumérer les motifs finis générés par un jeu de tuiles. Soit le jeu de tuiles ne pave pas le plan, et alors il existe un carré qui sera trop grand pour être pavé par ce jeu de tuiles, soit le jeu de tuiles pave le plan périodiquement, et alors il existe un motif périodique. Comme nous arrivons forcément à l’un des deux cas, le problème est alors décidable.

Mais quelques années plus tard, Berger, qui était l’étudiant de Wang, montra dans sa thèse que cette conjecture était fausse en construisant un ensemble de tuiles qui ne génère que des pavages apériodiques du plan. Sa construction impli- quait plus, puisqu’il construisit un jeu de tuiles qui génère un pavage du plan si, et seulement si, une machine de Turing donnée ne s’arrête pas sur une entréeω. Cette construction montre comment un pavage peut simuler le calcul d’une machine de Turing et laisse entrevoir de nombreuses questions sur le type et la structure des calculs qui peuvent être générés par des jeux de tuiles.

La preuve de Berger [Ber66], puis celles de Koriakov et Gurevich [GK72], sur l’indécidabilité du pavage périodique du plan par un jeu de tuiles et sur la non-

séparabilité des jeux de tuiles ne pavant pas le plan de ceux le pavant uniquement de manière périodique, montrèrent l’indécidabilité de la classe de Kahr. Par réduction depuis cette classe, les huit dernières classes furent résolues, fermant définitivement le problème de Hilbert. Il est intéressant de noter que, jusqu’à aujourd’hui, aucune autre démonstration de l’indécidabilité de la classe de Kahr, n’impliquant pas les pavages, n’existe.

Dans ce chapitre, nous définissons les différents types de pavages du plan qui seront utilisés dans cette thèse et nous montrons qu’ils sont équivalents. Nous introduisons ensuite deux outils de base permettant d’obtenir des premiers résultats sur les pavages.

1.1 Notions de base

Il existe différents modèles permettant d’approcher l’idée de pavage du plan.

La plupart consistent en des tuiles carrées de côté unitaire sur les bords desquelles différents types de marqueurs sont placés. Deux tuiles s’assemblent si leur côté commun partage le même marqueur. D’autres modèles sont plus abstraits et font appel à un peu plus d’imagination pour y voir encore la notion de pavage du plan.

Mais, dans tous les cas, la notion essentielle est celle de pavabilité du plan : étant donné un jeu de tuiles est-il possible de générer un pavage du plan ? Cette question, connue comme le problème du domino, a été l’une des questions centrales liées aux pavages. Nous savons aujourd’hui que le problème du domino est indécidable pour tous ces modèles et nous montrerons ce résultat par la suite.

Bien que nous aurons tendance à sauter d’un modèle à un autre au fil de cette thèse, nous privilégierons le modèle traditionnel des tuiles colorées pour la plupart des exemples, et le modèle des tuiles fléchées lorsque la structure du pavage devra être mise en avant. Pour être complet avec la littérature actuelle, nous définissons dans les sections suivantes ces différents modèles.

1.1.1 Tuiles colorées

Une tuile de Wang, ou simplement : unetuile, est un carré unitaire orienté aux bords colorés. Elle sera notée par la lettreten minuscule. C’est l’élément de base du modèle qui peut être assimilé aux états, alphabets et transitions d’une machine de Turing. Nous la représentons par un carré avec ses diagonales. Les quatre triangles ainsi formés auront la couleur des côtés qu’ils représentent (figure 1.1). Pour une tuilet, nous introduisons les notations suivantes pour différencier les côtés :

i) s(t) correspond à la couleur du côté sud det, ii) n(t) correspond à la couleur du côté nord det, iii) e(t)correspond à la couleur du côté est de t, iv) o(t) correspond à la couleur du côté ouest de t.

Il est possible de décrire ainsi une tuile sous la forme d’un quadruplet : t ={s(t), o(t), e(t), n(t)} ∈C⁴,

où C est un ensemble fini de couleurs.

Fig. 1.1 – Une tuile de Wang

Unjeu de tuiles de Wang, ou simplement :un jeu de tuiles, est un ensemble fini de tuiles différentes, colorées sur un ensemble fini de couleursC (figure 1.2). Il peut être assimilé à un programme de ce modèle et sera noté, la plupart du temps, par une lettre grecque : τ, ρ, . . . Un jeu de tuiles τ est représenté par les tuiles le com- posant : τ = {t₁ = {s(t₁), o(t₁), e(t₁), n(t₁)}, . . . , t_n = {s(t_n), o(t_n), e(t_n), n(t_n)}}.

Ainsi, il est possible de définir un jeu de tuiles par une suite finie d’entiers. Nous pouvons donc énumérer les jeux de tuiles et, par analogie avec les machines de Turing, τ_i indiquera le i^eme jeu de tuiles, où i est le code à partir duquel peuvent être retrouvées de manière récursive les tuiles qui composent τ_i (ce code pourra par exemple être celui de Gödel).

Fig. 1.2 – Un jeu de tuiles de Wang

Paver avec un jeu de tuiles consiste à disposer des copies des tuiles d’un jeu τ sur la grille Z² de manière à ce que deux tuiles voisines aient la même couleur sur leur côté commun. Paverest le procédé de calcul des pavages. Nous appellons contrainte locale l’ensemble des contraintes consistant à avoir les mêmes couleurs sur les bords communs des tuiles voisines lors du processus de pavage. La figure 1.3 représente la grille Z² et le processus de pavage à l’aide de tuiles du jeu de tuiles de la figure 1.2 en respectant les contraintes locales.

Puisque les tuiles sont orientées, il n’est pas possible de les tourner. Dans le cas contraire, tout jeu de tuiles composé d’une unique tuile paverait le plan (1.4).

Le résultat final du calcul effectué par un jeu de tuiles τ peut donner un pavage du plan P, qui est défini formellement dans la définition suivante :

1.

2.

Fig. 1.3 – 1. La grille Z² et 2. un début de pavage de cette grille avec le jeu de tuiles de la figure 1.2

Définition 1 Soitτ un jeu de tuiles. Un pavage du planP parτ est une application f_P de Z² dans τ donnant la tuile f_P(x, y) se trouvant à la position (x, y) dans P et satisfaisant les contraintes locales, c’est-à-dire telle que :

∀(x, y)∈Z²

n(f_P(x, y)) =s(f_P(x, y+ 1)) e(f_P(x, y)) =o(f_P(x+ 1, y))

Un pavage du plan P généré par un jeu de tuiles τ est appelé un τ-pavage.

Les pavages du plan seront notés la plupart du temps par les lettres suivantes : P et Q. Pour un jeu de tuiles τ, P_τ désigne l’ensemble des τ-pavages. Puisque certains jeux de tuiles ne pavent pas le plan, il est nécessaire d’introduire la notion de motif qui correspond à un pavage partiel du plan :

Définition 2 Soit τ un jeu de tuiles. Un motif M généré par τ est une application f_M d’un sous-ensemble fini et connexeD ⊂Z² dansτ donnant la tuilef_M(x, y)se trouvant à la position (x, y) dans M et satisfaisant les contraintes locales. D est appelé le domaine de M.

Un motif M généré par un jeu de tuiles τ est appelé un τ-motif.

Nous dirons que deuxτ-motifsM etM⁰sont égaux s’il existe un vecteur(u, v)∈Z² tel que le domaine deM soit égal au domaine deM⁰ translaté par le vecteur(u, v) et tel que fM(x, y) =fM⁰(x+u, y+v)pour tout (x, y)du domaine de M.

Fig. 1.4 – Paver le plan avec une tuile si les rotations sont autorisées

De manière plus intuitive et géométrique, deux motifs sont égaux si l’un peut être obtenu à partir de l’autre en le translatant. Cette équivalence permet de ne considérer que le motif indépendamment de sa position sur le plan, ou de manière équivalente, de considérer l’ensemble des motifs quotienté par la relation d’égalité définie ci-dessus.

Le dernier outil à introduire sur les tuiles est celui de superposition. Nous di- rons qu’un jeu de tuiles τ se superpose à un autre jeu de tuiles τ⁰ lorsque nous construisons le jeu de tuiles τ×τ⁰ ={t×t⁰ | t∈ τ, t⁰ ∈τ⁰}, où t×t⁰ est la tuile dont les côtés ont pour couleurs les produits cartésiens des couleurs des côtés de t et t⁰. La superposition nous permettra la plupart du temps de pouvoir ajouter de l’information à un jeu de tuiles en lui superposant un autre calcul.

1.1.2 Tuiles fléchées

Nous définissons maintenant un autre modèle où les tuiles n’ont plus les bords colorés mais fléchés. L’avantage principal de ce modèle est de pouvoir mieux re- présenter la propagation de l’information dans le pavage. Cela nécessite bien évi- demment de savoir comment elle se propage dans le pavage avant de flécher les tuiles. Nous verrons que pour certains jeux de tuiles, par exemple celui de Robinson, mettre les bonnes flèches sur les tuiles permet d’obtenir une représentation géo- métrique naturelle mettant en valeur la structure du pavage et donc l’information qu’il contient.

Définition 3 Unetuile fléchéeest un carré de taille unitaire dans lequel des flèches verticales ou horizontales partent du centre du carré vers un de ses bords ou d’un des bords vers son centre (figure 1.5).

Un jeu de tuiles fléchées est un ensemble fini de tuiles fléchées.

Fig. 1.5 – Une tuile fléchée

Deux tuiles fléchées peuvent être assemblées si, sur leur côté commun, toutes les flèches de l’une sont le prolongement des flèches de l’autre. Le prolongement signifie que les flèches de l’une et de l’autre sont alignées et que les directions des flèches sont conservées. La figure 1.6 représente les cas possibles et ceux qui ne le sont pas.

Fig. 1.6 – Contraintes locales des tuiles fléchées

Une bijection, presque une identité en fait, peut être construite entre l’ensemble des jeux de tuiles colorées et l’ensemble des jeux de tuiles fléchées. Les définitions sont ensuite les mêmes que pour les jeux de tuiles colorées : un pavage du plan P par un jeu de tuiles fléchées τ est une application de Z² dans τ satisfaisant les contraintes locales données par les flèches et donnant la tuile fP(x, y) se trouvant à la position (x, y) dans P. Un motif est un pavage partiel défini sur un domaine fini et connexe de Z².

1.1.3 Tuiles étiquetées

Un autre modèle très proche des deux précédents est celui des tuiles étiquetées.

Ici, les tuiles ne sont ni colorées, ni fléchées mais étiquetées. Ces étiquettes nous seront surtout utiles pour mettre en valeur les jeux de tuiles simulant des machines de Turing, et ainsi conservé les notions d’états et d’alphabet.

Un ensemble d’étiquettes L est un ensemble fini de mots sur un alphabet fini Σ. Une tuile étiquetée est un carré de taille unitaire sur les bords duquel sont fixés des mots de L (figure 1.1.3). Une tuile t est représentée par un quadruplet t={m₁, m2, m3, m4} ∈L⁴.

a

c b

a

Fig. 1.7 – Une tuile étiquetée

Paver avec des tuiles étiquetées consiste à placer ces tuiles sur la grille Z² de manière à ce que le côté commun à deux tuiles voisines aient la même étiquette. Là aussi, nous remarquons qu’il existe une équivalence directe avec les tuiles colorées.

1.1.4 Formes géométriques à coordonnées rationnelles

Nous nous détachons un peu maintenant des tuiles de taille unitaire pour consi- dérer n’importe quelle forme géométrique à coordonnées rationnelles. Nous com- mençons par définir une forme géométrique à coordonnées rationnelles :

Définition 4 Une forme géométrique à coordonnées rationnelles, ou plus simple- ment forme rationnelle, est un polygone non-croisé de R² dont les sommets sont dans Q².

Un jeu de formes rationnelles est un ensemble fini de formes rationnelles (figure 1.8).

Intuitivement, paver avec un jeu de formes rationnelles consiste à placer des copies non tournées de ces formes sur le planR² tel que deux formes voisines aient au moins un sommet en commun et qu’aucun trou ne soit laissé et que jamais deux formes ne se recouvrent. Nous décrivons ces conditions topologiquement dans la définition suivante :

Fig. 1.8 – Un jeu de formes rationnelles

Définition 5 Soitτ un jeu de formes rationnelles. Sitest une forme deτ,tdésigne l’adhérence de t et˚

bt l’intérieur de t. Si t est une forme rationnelle de τ et v un vecteur deQ², alorst_v correspond au translaté de la forme rationnelletd’un vecteur v.

Un pavage du plan P avec τ est un ensemble de translatés de formes rationnelles t_v, où t∈τ et v ∈Q² tel que :

i) S

tv∈P t_v =R², ii) ∀t_v, t⁰_v0 ∈P, ˚

t\_v∩t⁰_v0 =∅.

De plus, si deux formes ont un bord en commun, alors elles ont aussi un sommet en commun.

Fig. 1.9 – Un pavage à partir du jeu de formes de la figure 1.8

La première condition vérifie que tout le plan soit bien recouvert avec nos formes, la deuxième vérifie que deux formes ne se recouvrent pas. La dernière condition empêche qu’il soit possible de disposer deux tuiles voisines d’une infinité de façons différentes. La figure 1.9 représente un pavage du plan avec le jeu de formes de la figure 1.8.

1.1.5 Pavages par motifs

Une autre manière de représenter les pavages est de considérer les tuiles comme des états et d’expliciter formellement l’ensemble des motifs qui peuvent être utilisés.

Nous obtenons la définition suivante :

Définition 6 SoitQun ensemble fini d’états. Un motifM deQest une application f_M définie d’un sous-ensemble fini et connexe D ⊂ Z² dans Q. Un jeu de tuiles τ est une paire τ = (Q, P_τ) où P_τ est un ensemble fini de motifs de Q de même domaine V.

Un pavage généré par τ est une configuration c∈Q^Z2 telle que :

∀x∈Z², c|_V+x ∈P_τ.

Fig. 1.10 – Les motifs autorisés d’un jeu de tuiles τ défini sur quatre états Ce modèle ne s’éloigne pas de la notion de tuiles. Bien que ce soient des états qui sont assignés aux cases deZ², le fait d’avoir un ensembleP_τ de motifs autorisés rejoint l’idée de contraintes locales des modèles précédents. Paver avec un jeu de tuiles τ = (Q, P_τ) va consister à placer les états sur la grille Z² de manière à ce que tout motif de domaine V apparaissant dans la configuration soit un motif de P_τ.

Fig. 1.11 – Un pavage généré par le jeu de tuiles de la figure 1.10

Dans la figure 1.10, nous avons un jeu de tuilesτ défini par l’ensemble des motifs autorisés sur un ensemble de quatre états représenté chacun par une couleur. La figure 1.11 représente une configuration générée par τ.

1.1.6 Contraintes locales

Le dernier modèle que nous considérons est celui des contraintes locales. Bien qu’il ressemble peu à la notion intuitive de pavages géométriques, il peut être

considéré comme une généralisation de ces derniers avec le grand avantage de se démarquer des jeux de tuiles et ainsi, de pouvoir comparer des pavages obtenus par des contraintes locales différentes.

Les pavages à contraintes locales consistent en un remplissage des cases de Z² par des lettres d’un alphabet fini de manière à ce que chacune des cases de Z² satisfasse à une contrainte locale. Il est souvent plus pratique de réduire l’alphabet au cas binaire {0,1}.

Définition 7 Un voisinageV est un ensemble fini de vecteurs {v₁, . . . , v_n} de Z². Une contrainteV-localeest une application de{0,1}ⁿ dans{0,1}. Une contrainte locale est un couple (V, f) où f est une contrainte V-locale. La fonction f est appelée la fonction de contrainte de la contrainte locale.

Nous définissons le terme “paver" pour une contrainte locale :

Définition 8 Une configuration binaire est une fonction de Z² dans {0,1}. Soit (V ={v₁, . . . , v_n}, f)une contrainte locale. Une configuration binaireP est générée par (V, f) si pour tout x∈Z² nous avons :

f(P(x+v₁), P(x+v₂), . . . , P(x+v_n)) = 0

Comme les contraintes locales génèrent des configurations binaires, il est plus aisé de comparer l’ensemble des pavages générés par chacune des contraintes que de comparer les pavages générés par des jeux de tuiles différents ces derniers ne pouvant être comparés directement. Par la suite, nous introduirons des notions de simulations permettant de comparer des jeux de tuiles.

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Fig. 1.12 – Une configuration binaire générée par une contrainte locale Dans la figure 1.12, nous montrons une configuration binaire satisfaisant la contrainte locale (V = {(0,1),(1,−1),(−1,−1)}, f) où f est la fonction de Z³ dans {0,1} qui renvoie 0 si une, et uniquement une, des entrées est 1.

1.2 Équivalence des modèles

Les différents modèles introduits présentent différents points de vue de l’idée de pavage du plan. Il est intéressant de montrer maintenant que tous ces modèles sont équivalents afin de pouvoir obtenir des résultats généraux sur les pavages.

Pour cela, nous allons montrer qu’il est possible de passer d’un jeu de tuiles d’un certain modèle à un jeu de tuiles d’un autre modèle en conservant de manière récursive la notion de pavabilité.

Théorème 1 Les modèles de la section précédente sont équivalents, c’est-à-dire que pour toute paire ordonnée de modèles de pavage(T,T⁰)il existe une fonction f deT à T⁰ telle que si τ est un jeu de tuiles de T alors f(τ)est un jeu de tuiles de T⁰ qui pavera le plan si, et seulement si, τ pave le plan aussi.

Preuve.

i) Tuiles étiquetées vers tuiles colorées et vice versa

Cette réduction est la plus évidente et nécessite peu d’explications. Pour un jeu de tuiles étiquetées τ, nous construisons un ensemble de couleurs C de même cardinalité que l’ensemble des étiquettesLdeτ puis nous construisons une bijection h entre L et C. Chaque tuile t = {m₁, m₂, m₃, m₄} ∈ L⁴ de τ est transformée en une tuile t⁰ = {h(m₁), h(m₂), h(m₃), h(m₄)} ∈ C⁴. Nous remarquons que deux tuiles t₁ et t₂ de τ s’unissent sur un côté si, et seulement si, leur correspondante colorée t⁰₁ et t⁰₂ s’unissent sur le même côté. Nous obtenons donc un jeu de tuiles colorées τ⁰ = {t⁰₁, . . . , t⁰_n} qui pave le plan si, et seulement si, τ = {t₁, . . . , t_n} pave le plan. Ce procédé étant réversible, la même argumentation peut être utilisée pour passer d’un jeu de tuiles étiquetées à un jeu de tuiles colorées.

ii) Tuiles colorées vers tuiles fléchées et vice versa

Dans ce cas-là, nous pouvons voir que la transformation est quasiment di- recte et presque une identité. Deux tuiles colorées peuvent être associées si elles ont la même couleur sur leur bord commun. Par contre, deux tuiles fléchées peuvent être associées si elles possèdent le même type de flèches sur leur bord commun pointant vers le centre pour une des tuiles, et poin- tant vers l’extérieur pour l’autre. Si τ est un jeu de tuiles colorées, nous construisons une fonctionhqui associe à chaque couleurcde l’ensemble de couleurs de τ un type de flèches h(c). Ce type de flèches pourra soit poin- ter vers le centre, soit pointer vers l’extérieur. Si t est une tuile de τ, nous construisons la tuilest⁰ qui aura sur ses côtéssudetouestles flèchesh(s(t)) et h(o(t)) pointant vers l’extérieur, et sur ses côtés nord et est les flèches h(n(t))eth(e(t))pointant vers l’intérieur. En faisant cela pour chaque tuile ti de τ, nous obtenons un jeu de tuiles fléchées τ⁰ ={t⁰₁, . . . , t⁰_n}. La figure

1.13 montre cette réduction. Ce procédé étant réversible, la même argu- mentation peut être utilisée pour passer d’un jeu de tuiles fléchées à un jeu de tuiles colorées.

Fig. 1.13 – Transformation d’un jeu de tuiles colorées vers un jeu de tuiles fléchées iii) Tuiles fléchées vers formes rationnelles

Le but de cette transformation est de transformer des tuiles fléchées en formes rationnelles. Ces formes seront des carrés de taille unitaire dont nous allons légèrement modifier les côtés. Soitτ un jeu de tuiles fléchées et tune des tuiles de τ. La tuile t possède différents types de flèches sur ses bords.

Pour chaque flèche pointant vers le centre de t, une petite indentation est rajoutée sur un carré de taille unitaire au niveau de la connexion entre le bord de la tuilet et cette flèche. Pour chaque flèche pointant vers l’extérieur det, nous rajoutons à notre carré un petit ergot au niveau de la connexion entre la pointe de la flèche et le côté de la tuile. Il est possible de s’arranger pour que toutes les indentations et tous les ergots soient de la même taille et ne se recouvrent pas. Nous obtenons ainsi une tuile t⁰ formée d’indentations et d’ergots sur ses côtés. Nous remarquons que deux tuiles fléchées t₁ et t₂ s’unissent si, et seulement si, leur correspondant en forme géométrique t⁰₁ ett⁰₂ s’unissent comme le montre la figure 1.14. Nous obtenons donc un jeu de formes rationnelles τ⁰ ={t⁰₁, . . . , t⁰_n} qui pave le plan si, et seulement si, τ pave le plan.

iv) Formes rationnelles vers tuiles colorées

La démonstration de cette réduction est un peu plus technique. Soit τ un jeu de formes rationnelles. Puisque toutes les coordonnées des formes de τ sont des rationnelles, nous pouvons supposer que les formes de τ sont à coordonnées entières. En effet, il suffit d’effectuer une homothétie sur ces formes, le rapport correspondant au plus petit multiple commun des

Fig. 1.14 – Transformation d’un jeu de tuiles fléchées vers un jeu de formes ration- nelles

dénominateurs des coordonnées des sommets de ces formes. Chaque forme est composée de carrés de taille unitaire et de carrés pouvant être sectionnés par une droite. Soitt une de ces formes. Les carrés entiers sont transformés en tuiles dont les côtés sont colorés d’une couleur unique qui ne peut être assemblée qu’avec ses quatre voisins directs.

Fig. 1.15 – Nous divisons les formes en carrés et nous assignons les couleurs aux tuiles

Nous considérons maintenant toutes les extensions det, c’est-à-dire tous les motifs finis contenantt en leur milieu. La forme t peut avoir un nombre fini d’autres formes sur ses côtés car les formes voisines doivent avoir au moins un sommet commun. Il y aura donc autant de motifs représentant t, qu’il peut y avoir de voisinages de t. Ce nombre de voisinages est fini, car deux tuiles voisines doivent avoir au moins un sommet en commun. Il suffit de construire des tuiles qui s’assemblent d’une manière unique et qui peuvent représenter chacun des différents cas. Dans la figure 1.15, nous montrons les différentes étapes de la réduction : les formes d’un jeu de formes sont divisées en carrés de taille unitaire, puis les différents voisinages que peut avoir une forme sont énumérés (ici, chaque forme ne peut avoir qu’un seul type de voisinage). A la fin du procédé, nous obtenons des motifs générés par un jeu de tuiles colorées τ⁰ représentant chacune des formes de τ, etτ pave le plan si, et seulement si,τ⁰ pave le plan aussi. La figure 1.16 montre comment les tuiles de τ⁰ peuvent se superposer aux pavages générés par τ.

Fig. 1.16 – Les tuiles colorées représentent le pavage avec les formes rationnelles v) Tuiles colorées vers pavages par motifs

Le pavage par motifs nous indique quels sont les motifs pouvant être utiliser tout au long du processus de pavage. La transformation va donc consister à regrouper les tuiles d’un jeu de tuiles colorées en motifs carrés de côté deux représentant toutes les combinaisons possibles.

Soit τ un jeu de tuiles colorées et soit M l’ensemble de tous les motifs carrés de côté deux qui peuvent être générés par τ. Nous remarquons que l’ensemble des τ-pavages P tel que tout motif carré de côté deux de P soit dans M, est exactement égal à l’ensemble des τ-pavages. Donc, le jeu de tuiles τ⁰ = (Q, P_τ⁰), où Q = τ(= {t₁, . . . , t_n}) et P_τ⁰ = M, génère exactement les mêmes pavages que τ. Ainsi,τ pave le plan si, et seulement si, τ⁰ pave le plan.

vi) Pavages par motifs vers contraintes locales

Pour cette réduction, nous allons considérer que les contraintes locales peuvent être faites sur n’importe quel ensemble fini S (et pas seulement sur{0,1}comme défini précédemment). Soit τ = (Q, P_τ)un jeu de tuiles. Il existe un domaine fini V ⊂Z² sur lequel sont définis tous les motifs de P_τ. Ce domaine peut être défini comme une suite de vecteurs {v₁, . . . , v_n}telle que, si nous considérons le domaine formé de tous les translatés de l’origine par les vecteurs v_i, nous obtenons V.

La contrainte locale est définie sur un ensemble S = {1, . . . , m} où m est le nombre d’états de Q. Son voisinage sera l’ensemble de vecteurs V⁰ = {v₁, . . . , v_n}. Nous remarquons que pour n’importe quelle position x ∈ Z², (x+v₁, . . . , x+v_n) est un motif défini sur le domaineV et donc, soit il est autorisé car il est dans P_τ soit il est interdit. Nous définissons la fonctionf de la contrainte locale par la fonction qui renvoie 0si ce motif est dans P_τ.

0 1 0 1 0 1

0

0 0

0

0 0

0 0

0 0 1 0 1

0

0 1 0 1

0 0 0

0 0

0 1 0 1 0 1

V’

Fig. 1.17 – Passage de l’ensemble des motifs autorisés à une contrainte locale Nous obtenons une contrainte locale qui génère un pavage P ∈S^Z2 et telle que tout motif de P de domaine V est élément de P_τ. Donc τ pave le plan si, et seulement si, (V⁰, f) pave le plan. La figure 1.17 montre le passage d’un jeu de tuiles à une contrainte locale. Dans cet exemple, la fonction f de la contrainte locale est définie de la manière suivante : f(1,0,0,0,1) = f(0,0,1,0,0) =f(0,0,0,1,0) =f(0,1,0,0,0) = 0 et f(x) = 1 sinon.

vii) Contraintes locales vers tuiles colorées

Soitτ = (V, f)une contrainte locale. Sans perte de généralité, nous pouvons supposer que le voisinageV forme un carré de côté nauquel nous rajoutons n carrés sur chacun des côtés ou, autrement dit, le voisinage forme un carré de côté n + 2 dont les quatre coins sont ôtés. Dans le cas contraire, il suffit d’étendre le voisinage de V et la fonction f à ce nouveau voisinage.

Nous considérons l’ensemble de motifs m_i définis sur V et satisfaisant la contrainte locale donnée par f. Pour chacun de ces m_i nous construisons une tuile colorée t_i qui va le représenter. Il est possible de diviser ces motifs m_i en quatre rectangles de tailles n ×(n + 1) et (n + 1)× n que nous nommonsn(m_i), s(m_i), e(m_i) eto(m_i) suivant qu’ils contiennent les n bits du côté nord, sud, est ou ouest. Chacun de ces sous-motifs va représenter une des couleurs d’un des côtés de notre tuile colorée : n(t_i), s(t_i), e(t_i) et o(t_i)représenteront les motifs n(m_i), s(m_i), e(m_i)et o(m_i). La figure 1.18 montre le passage des motifs m_i vers les tuiles t_i.

0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0

m1 t₁

1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1

0 0 1

m2 t₂

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0

m₃ t₃

0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

0 0 1

m₄ t₄

0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 1

Fig. 1.18 – La transformation des motifs m_i en tuiles colorées t_i

Un motif rectangulaire de taille(n+2)×(n+3)généré par la contrainte locale peut être vu comme l’union de deux motifsm_ietm_j. Le sous-motife(m_i)est égal au sous-motif o(m_j) ce qui revient à dire, selon notre transformation, que la couleur du côté est de ti est la même que la couleur du côté ouest

de t_j et que la notion de pavabilité a donc bien été conservée par notre transformation : la contrainte locale (V, f) génère un pavage du plan si, et seulement si, le jeu de tuiles colorées τ ={t₁, . . . , t_n} pave le plan.

2

1.3 Arbres associés

Les pavages et les jeux de tuiles pouvant être définis par les motifs qu’ils contiennent ou qu’ils génèrent, il est souvent plus pratique de représenter un pa- vage ou l’ensemble des pavages générés par un ensemble de tuiles à l’aide d’un arbre.

Pour bien définir ces arbres, nous introduisons d’abord une fonction s qui ef- fectue une spirale sur Z² et les extensions de motifs selon s :

Définition 9 La fonction s:N→Z² est la fonction qui a pour premières valeurs : s(0) = (0,0), s(1) = (0,1), s(2) = (1,1), s(3) = (1,0). . . et qui décrit ensuite une spirale comme dans la figure 1.19.

Soitmun motif ayant pour domaine{s(0), s(1), . . . , s(n)}. Un motifm⁰de domaine {s(0), s(1), . . . , s(n), s(n+ 1)} est une extension de m selon s si la restriction de m⁰ au domaine{s(0), s(1), . . . , s(n)} est m.

s(0) = (0,0)

s(1) = (0,1) s(2) = (1,1)

s(3) = (1,0)

s(4) = (1,−1) s(5) = (0,−1)

Fig. 1.19 – La fonction s

Nous pouvons maintenant définir l’arbre associé à un pavage :

Définition 10 Soit P un pavage du plan. L’arbre AP associé à P est défini de la manière suivante : la racine correspond aux motifs de taille 0contenus dans le pa- vageP, c’est-à-dire qu’il contient un unique sommet correspondant au motif vide.

Le niveau i est composé de tous les motifs de domaine {s(0), . . . , s(i)} contenu dansP. Une arête relie un motifm du niveaui à un motifm⁰ du niveau i+ 1 sim⁰ est une extension de m selon s.

Les sommets l’arbre associé à un pavage P contient tous les motifs de P. Les branches infinies deA_P, quant à elles, correspondent à tous les pavages qui peuvent être extraits de P par le principe d’extraction diagonale (voir section suivante).

Nous remarquons que deux pavages correspondant à l’extraction faite à partir de deux branches infinies différentes donnent deux pavages différents.

De même, un ensemble de tuiles peut être associé à un arbre :

Définition 11 Soitτ un jeu de tuiles. L’arbreAτ est défini de la manière suivante : la racine correspond aux motifs de taille 0 c’est-à-dire le motif vide et le niveau 1 contient les différentes tuiles de τ. Le niveau i est composé de tous les motifs de domaine {s(0), . . . , s(i)} pouvant être générés par τ. Une arête relie un motif m du niveau i à un motif m⁰ du niveau i+ 1 si m⁰ est une extension de m selon s.

L’arbreA_τ associé à un jeu de tuilesτ a pour sommet tous les motifs générables par τ. Une branche infinie correspond à un pavage pouvant être généré par τ et l’ensemble des branches infinies correspond à l’ensemble des pavages générés par τ. La figure 1.20 représente un jeu de tuiles basique composé de trois tuiles et son arbre associé.

1 .

2 .

Fig. 1.20 – 1. Un jeu de tuiles τ et 2. son arbre A_τ

Nous remarquons que si τ est un jeu de tuiles et que P est un τ-pavage alors nous avons que A_P ⊆ A_τ. De plus, si Q est un τ-pavage tel que P ≺ Q, alors A_P ⊆ A_Q.

1.4 Principe d’extraction diagonale

Le principe d’extraction diagonale est un des outils les plus forts pour com- prendre la structure des pavages générés par un ensemble de tuiles. Ce principe donne une condition minimale pour qu’un jeu de tuiles pave le plan. En effet, il suffit qu’un jeu de tuiles puisse générer des motifs carrés arbitrairement grand pour qu’il puisse paver le plan. D’apparence anodine, ce résultat est à la base de nombreuses preuves sur les structures générées par un jeu de tuiles.

Ce principe est souvent référé en tant que lemme de König dans la littérature.

En effet, il est une application d’un célèbre résultat de Dénes König sur les graphes qui donna, en 1936, une condition suffisante pour qu’un graphe infini possède un chemin de longueur infinie :

Lemme 1.1 (Lemme de König) Soit G un graphe connexe avec une infinité de sommets de degré fini, alors chaque sommet de G fait partie d’un chemin simple de longueur infinie.

Preuve. Soit v₁ un sommet de G. CommeGest connecté, alors chaque sommet v_j deGest relié à v_i par un chemin simple. Donc une infinité de chemins part de v1 et chacun de ces chemins passe par un des sommets adjacents à v1. Comme ces derniers sont en nombre fini, il en existe au moins un par lequel passe une infinité de chemins. Nous choisissons un de ces sommets et nous l’appellons v₂. Maintenant, il existe une infinité de chemins simples qui commencent par v₁ puis v₂ et chacun de ces chemins passe par un des sommets voisins de v₂. Avec le même raisonnement que précédemment, nous choisissons un sommet v₃ par lequel passe une infinité de chemins.

Par induction, il est possible de choisir une suite infinie de sommets qui forment un chemin simple de longueur infinie, ce qui prouve le résultat. 2 Nous avons vu que l’ensemble des motifs générés par un jeu de tuiles peut être représenté sous la forme d’un arbre canonique. Cet arbre est forcément de degré fini, car un jeu de tuiles est toujours fini, et il contient une infinité de sommets si, et seulement si, ce jeu de tuiles peut générer une infinité de motifs carrés. Nous en déduisons donc par le lemme de König que cet arbre contient une branche infinie correspondant à un pavage du plan. Plus formellement nous avons :

Proposition 1.1 (Principe d’extraction diagonale) Soitτ un jeu de tuiles géné- rant une infinité de motifs carrés, alors τ pave le plan.

Preuve. Sans perte de généralité, et quitte à enlever une ligne et une colonne au motif carré, nous pouvons supposer que tous ces motifs ont des côtés de longueur impaire. Ces motifs possèdent ainsi une tuile centrale.

La preuve se fait par induction. Nous considérons la tuile que chacun des motifs possède en son centre. Comme il existe une infinité de motifs, mais seulement un