SERVICE DE PHYSIQUE THÉORIQUE

%y Commissariat à l'Énergie Atomique

Centre d'Etudes Nucléaires deSACLAY

INSTITUT DE RECHERCHE FONDAMENTALE Département de Physique Générale

SERVICE DE PHYSIQUE THÉORIQUE

Cours sur l e s

SACS, SKYRMIONS E T SOLITONS

par Georges RIPKA

3. J o l i o t - C y r i e school on nuclear physics: mesons, baryons,quarks

Bombannes (France) 16-21 Sep 1984 SPh-T/84/162 CEA-CONF—7608

. »

Cours sur les

SACS, SKYRMIONS E T SOLITONS

G e o r g e s RIPKA

(Service de Physique Théorique, CEN Saclay, 91191 Cif-sur-ïvezte Cedex)

1. Introduction

2. Lagrangien de quarks en interaction avec un champ chiral 3. Quantification du champ des quarks

4. L'invariance chirale 5. Le vide physique 6. Le sac de MIT

7. Le soliton de Friedberg et Lee 8. Le Skyrmion

9. Mouvement collectif de translation d'un système simple 10. Mouvement classique de rotation du Skyrmion

11. Le point de vue des quarks 12. Le soliton chiral

13. Le sac chiral

à paraître dans les comptes rendus de l'école Joliot-Curie (1984) â Bombannes (France).

"Au demeurant, je n'ai cherché de rien prouver, mais de bien peindre et d'éclairer bien ma peinture".

A.Gide, Nourritures Terrestres.

Les cours sur les solitons, les skyrmions et les sacs sus- ceptibles de décrire les hadrons ne sont pas nombreux surtout en

langue française. Ce texte, pour débutants, fait suite à des cours donnés à 1'université de Coimbra, au Centre International de Physique Théorique de Trieste, à la faculté de Sciences d'Or-

say et à l'école Joliot-Curie à Bombannes. J'ai pris du plaisir à l'écrire et je remercie ces institutions de m'en avoir donné 1'occasion.

Le style est relax. J'ai fait suivre chaque section d'exer- cices qui tantôt facilitent les calculs et tantôt poussent le lecteur à des réflexions que je crois utiles. Une version plus sobre et mieux farcie de références est en préparation en lanque anglaise.

On s'étonnera peut-être de ne trouver dans ce cours pratiquement aucune confrontation entre la théorie et l'expérience, si ce n'est pour citer quelques ordres de grandeur des paramètres qui s'introduisent. Les modèles n'ont pas, à l'heure actuelle, été surfisamment travaillés pour qu'une comparaison avec les données permette d'en éliminer certains en faveur d'autres. En outre leurs domaines de validité sont encore mal définis et ne se chevauchent peut-être pas entièrement.

Au lieu d'essayer de justifier les différents modèles, j'ai cru plus utile, dans ce cours, de me borner à les décrire dans le but de faciliter au lecteur l'accès à l'abondante littératu- re. Il semble, en effet que, dans ce domaine, nombreux sont ceux qui, en présentant leurs travaux, prennent un tel soin à justi- fier leur description et à vouloir coûte que coûte l'intégrer dans un cadre théorique contraignant en apparence bien que r a r e - ment immuable, qu'ils en viennent souvent à oublier de préciser

les calculs simples qu'ils ont faits, de peur peut-être de paraître ridicule, et sans doute dans le souci d'épargner ce ridicule à leurs collègues qui, par inadvertance, seraient tentés de les Imiter. J'ai également omis toute discussion de la parenté entre les modèles et la QCD. Ceux-là mêmes qui ont contribué à ce sujet difficile /11/, et ce sont toujours les mêmes qui sont cités, précisent que jusqu'à présent on ne peut qu'avancer des arguments qualitatifs et qu'ils ne proposent, en fin de compte, que des lagranglens effectifs et phénoménologiques à la rigueur raisonnables. Dans ce domaine, comme dans tant d'autres, certains modèles simples peuvent bien marcher sans qu'on en comprenne la raison. En outre une certaine prudence nous "dicte de ne pas se référer sans cesse à une théorie, somme toute encore assez peu vérifiée.

Je dois beaucoup à une collaboration continue et enrichissante avec Si d Kahana. Je dois exprimer aussi ma vive reconnaissance à Mannque Rho qui m'a prodigué de nombreux enseignements et avertissements, ainsi qu'à Jean-Haul Slaizot.

Michel Gaudin et Vincent ^pa s q u i e r qui, au cours d'innombrables discussions, m'ont enorme-nent aidé à comprendre.

ïaclay, 'Septembre 1 9 3^J.

1. INTRODUCTION - Dans ce cours nous décrirons les hadrons et la matière hadronique à l'aide de lagrangiens effectifs qui mettent en jeu des quarks et des champs chirals. Ce sont des lagrangiens phéno- ménologiques dont la parenté avec la QCD n'est encore que spécu-

lative /11/. Disons d'emblée que la spectroscopic des baryons peut être décrite avec une étonnante précision à l'aide de 13 dynamique de quarks non relativistes et que même l'interaction nucléon-nucléon peut, dans une large mesure, être reproduite ainsi /12/. Alors pourquoi ce foisonnement d'autres modèles (sacs chirals, skyrmions, etc.) qui ne rivalisent pas, à l'heure qu'il est, avec la spectroscopic de quarks non relativistes ? Plusieurs raisons nous poussent à introduire de nouveaux degrés de liberté dans la description des hadrons. L'existence du pion, , qui régit la partie à longue porté de l'interaction nucléon-nu-

cléon, est toujours ajoutée ex-temgore dans ie calcul des dépha- sages. Nous verrons que la dynamique des quarks peut être pro- fondément modifiée par l'introduction du champ du pion. D'autre part la brisure de la symét-ie chirale dans le vide physique et le confinement des quarks ne sont probablement que des manifes- tations de la matière hadronique à basse température et (peut- être) à basse pression. Certains calculs en QCD /13/ semblent en effet indiquer qu'à mesure que la température

s'élève, le confinèrent des quarks cesse et .a symmétrie chirale est restaurée. Un des buts des lagrangiens effectifs qui introduisent le degré de liberté pionique est d'explorer ces états excités de la matière fiadronique. En un premier temps on est bien oblige de leur demander une description raisonnable des

ï

hadrons dont on connaît si bi*n les propriétés. Mais on n'exiae pas encore des différents modèles, issus des lagrangiens effec- tifs, de rivaliser dans la précision avec laquelle ils reprodui- sent les données spectroscopiques d'autant moins que leurs do- maines de validité restent encore à définir.

Précisons notre notation. Nous travaillons avec la métri- que et les définitions des matrices de Dirac de Itzykson et Zuber /14/ (les mêmes que celles de Drell et B j o r k e n ) . Nous écrirons :

2 a 2.

** ' *T *i

-T-< - * < * . , * * , *

)

* % - tfK- 2-7 ^f:.i)

Nous sommons toujours les indices répétés. Les vecteurs d'espa- .ce seront notés r, V , # .... . Les isovecteurs seront notés

-» «* - - -

T , TT..« et les quadrivecteurs chiraux seront notes (p s (<Tj T T ) . Les produits scalaires des isovecteurs et des quadrivecteurs chirals s'écriront :

*•«

Nous adoptons la n o t a t i o n h a b i t u e l l e des s p i n e u r s de Oirac H ' l £ ) P^{o u r} représenter un vecteur ( s p i n e u r ) dont l e s composantes sont T-^j ( £ ) où s = 1,2,3,4 sont les i n d i c e s sur l e s q u e l s a g i s s e n t les m a t r i c e s de Oirac 2L et o ù T sont les i n d i c e s d ' i s o s p i n sur l e s q u e l s a g i s s e n t l e s matrices de Pauli . Nous u t i l i s e r o n s de même des c o n t r a c t i o n s i ncomol ê t e s < r | ^ } pour

désigner un vecteur dont les composantes sont < r<r-r; \ \ N Dans cette notation, on a par exemple:

t*(r)p * (

) = I , Z + i (E) p„. <P

,

(r;

< X i r > a < n x > = 2 ! 2 ^ T " > fi>«* <

=

> fi.3)

»

2. LAGRAN6IEN D'UN SYSTEME DE QUARKS EN INTERACTION AVEC UN CHAMP CHIRAL

Un système de fermions (quarks), représentés par un spineur de Dirac T et en interaction avec un champ chiral réel (<r, TV ) est décrit par le modèle er non-linéaire 111. La densité de lagrangien s'écrit :

Ou

2Kc **>c

la notation est définie dans la section 1. La fonction

•r(c* +. TV } sera précisée ultérieurement et g est une constante de couplage, sans dimension, entre les quarks et ie champ chiral. Les champs(b;TT} ont la dimension d'une énergie et 'fa.

o -3/2

la dimension + m . Au lieu de poser 11 = c = 1 nous travaillerons avec des champs et des coordonnées sans dimension et définies ainsi :

r' , JS r

* ' =

£' = 9 ,7T,*

t' = îl'± a;^'= af,- v*

• * »

(T

. 21 *'* ^L

°;

(2. a)

Dans ces définitions, c~⁰ est une constante que nous interpréterons (section 5) comme la valeur classique du champ <r dans le vide physique et qui a donc la dimension d'une e n e n ; e .

A l ' a i d e des quantités sans dimension ( 2 . 2 ) , l ' a c t i o n peut s ' é c r i r e ainsi :

où «6 e s t un lagrangien sans dimension égal à

X'= $ [itfhf- ter*- C ^ T . î ) ] ^

5

L i

* - .'2-*)

Dans l'équation ( 2 . 3 ) , ainsi que dans celles qui suivent, nous omettons_dJ.éçri^>re_ies_grime5 étant bien entendu que les coordon- nées r et t ainsi que les champs ^ c , TT qui apparaissent dans nos expressions sont les quantités primées, définis dans les é q u a t i o n s ( 2 . 2 ) . Les é n e r g i e : ainsi obtenues seront e x p r i m é e s en unités de a o ; et les distances en unités de tic/as^ qui sera identifié à la longueur de compton du quark dans

le vide physique. On remarquera l'absence de cr⁰ dans la densité de lagrangien ( 2 . 4 ) . Le choix de cr⁰ pourra ainsi être déterminé soit en ajustant une énergie (qui est proportionnelle à c^ ), soit en ajustant une longueur (qui est inversement proportionnel le è (T, ) . O n remarquera également que la constante de couplage g n'apparaît pas dans le terme fermionique (le premier terme) du lagrangien ( 2 . 4 ) . La dynamique des quarks est donc entièrement déterminée par la forme (dans l'espace et le t e m p s ) du champ chiral ( c , TT ) . L'n augmentant (ou en diminuant) la constante de couplage g on peut diminuer (ou augmenter) la contribution à l'énergie du champ chiral.

t I

EXERCISE

E2.1 : Montrer qu'il existe une loi d'échelle qui permet d'augmenter l'énergie du système (en variant c⁰ ) et de dimi- nuer, en même temps et en proportion, sa taille.

' 3. Q U A N T I F I C A T I O N DU CHAMP DES QUARKS

Il y a une disymmétrie entre la dynamique des fermions et celle des bosons. En effet, 11 existe une approximation classique non t r i vi a le des champs bosoniques (ici, le champ c h i r a l ) alors que l'approximation classique du champ de fermions dcnne, en général ^/~ O et élimine les fermions du problème. A l'ordre le plus bas les fermions apparaissent donc comme une fluctuation quantique, c'est-à-dire qu'il faut quantifier les champs des fermions. Dans cette section nous étudierons le système dans l'approximation (dite d'une boucle fermion) où ie champ des quarks est quantifié tandis que le chamo chiral est classique. Nous ne savons pas si cette approximation H a première qui soit non triviale) est justifiée ou si, par exemple, il ne serait pas préférable de quantifier à la fois les bosons et les fermions et de travailler à l'approximation d'une boucle fermion et boson.

Soit Tt„ ( r > t ) 'e cha.np du quark à un instant t. Le champ peut-être considéré comme une variable dynamique dont le moment conjugué est

La règle canonique de quantification exige qu'à temps égaux, Y et Y obéissent aux règles d'anticommutatlon (propres aux fermions) :

La densité d'hami1tonien s ' é c r i t a l o r s :

ce qui donne, explicitement :

« . **[ Ï£J

fia-^^ï.njt

L'expression (3.4) représente l'hami1tonien du système dans l'approximation où seul le champ des qu3rks est quantifie. Il peut-être diagonalisé en résolvant le problème aux valeurs propres : T * _ J ^

V

TT .X î 1 < r i

> = e

< r i X >

y « ! » ». _ -! ,• _ _ \

qui est l'équation de Dirac d'une particule couplée à un cr.-mo chiral (c,TV ) e x t é r i e u r . L e s états propres I À > seront appelés les o r b î t e s _ d e s _ g u a r k 5ⁱ Soit ! 1D)> le déterminant de Slater c o n s t r u i t à partir des o r b i t e s d'énergie negative.

N o u s 1'écrivons :

ID> » ïï a . io> , a

i o > - o , < o i a ' = Ù , «rcto> = .

où a'. est l'opérateur qui crée un quark dans l'orbite IX>:

i' 2

s

s

Noter la différence entre < r s t I \ > dans (3.7) qui e s t un nombre et <£lX>dans (3.5) qui est un vecteur (un spineur) dont les composantes sont •c'fsr 1 X> .

L'énergie de l ' é t a t fondamental de rhamil tonien (3.4) e s t

é g a l e à :

3

+ ^ ; »

Si le système se composait de plusieurs quarks(de valence) occupant des orbitres d'énergie positive, comme cela se produit dans les modèles de sac, 11 faudrait ajouter à l'expression (3.8) la somme des énergies de ces orbites de valence.

L'expression (3.8) représente l'énergie du système calculé a l'approximation d'une boucle fermion.

A l'équilibre, le champ chiral est indépendant du temps et l'énergie est stationnaire par rapport aux variations du champ chiral (<r, TT ) . On a donc :

O tf . Z . -•

où les termes de source <<?> sont déterminés par les orbites des quarks :

< çcr>> = — Z. e S -

= L ^~

r > p < r * " >

ScT(r) X<o *<o ^l

<<**cr;>> * - — I

>

I . < M C > t p ^ - c * < r i x >

L'ensemble des équations ( 3 . 5 ) , (3.9) et (3.10) nous permet de calculer, pour une constante de couplaqe donnée, les orbites des quarks et le champ chiral du système en équilibre, c'est-à-dire dans un état stationnaire. On distingue deux types de solution .

i

— • *

L'une, dans laquelle les champs G" et TT ne dépendent pas de jr et dans laquelle les orbites IX> des quarks sont des ondes planes, est invariante par translation et décrit le vide physique (section 5 ) . Mais d'autres solutions existent, auxquelles on attache souvent le nom de sçXiton dans lesquelles les champs CT et ïï ne sont pas invariants par translation et où certaines orbites des quarks, près de la surTace de Fermi, peuvent être des o r b i t e s liées. Le nucléon en est un exemple.

Dans ce cours nous n'étudions que les cas où les champs ne diffèrent de leur valeur constante du vide physique que

localement, c'est-à-dire dans un v o j y m e _ £ i n | de l'espace.

Ce sont évidemment les conditions aux limites (que nous n'avons pas encore précisées) qui déterminent le système qu'on veut étudier. Le comportement des champs à l'infini sera p r ê c h e dans la section 5 où nous construirons ie vide physique. Leur comportement à l'origine sera déterminé par les équations de mouvement et par l'exigence que l'énergie soit une quantité fi nie.

On peut définir un lagrangien effectif u ^{l f} à l'approximation d'une boucle fermions (d'où l'indice IF) à partir duquel on peut, at besoin, quantifier à son tour le champ chiral afin de travailler à l'approximation d'une boucle fermion et boson. Pour cela nous c o n s t r u i s o n s l'action effective :

1„ - t, Jjt L'„ (t) <

»>

où le lagrangien effectif L ^ p ( t ) est défini par 1'expression

s 7 c\\i\ - V-- - ,a c<r + c avTT.?) ix>

0" J - . - / 2. '

<S

f T

*'

Dans l'expression (3.12) les orbites (X> et les champs C et Tt dépendent du temps. Le prime sur L' indique que nous travaillons avec les quantités sans dimension (2.2).

Dans la mesure où les orbites des quarks sont considérées comme des fonctionnelles du champ chiral (c^ TY ) ^f le lagrangien effectif (3.12) peut-être considéré comme une fonctionnelle du seul champ chiral. Ce même lagrangien peut-être obtenu en écrivant l'intégrale de Feynman et en intégrant les champs de fermion. La possibilité de décrire un système de quarks (qu'ils soient en ncubre pair ou impair), à l'aide d'une fonctionnelle du seul champ chiral, est exploitée par la théorie de Skyrme (section % ) . Mais dans cette théorie, le lagrangien effectif, quoique apparenté au lagrangien (3.12), ne s'identifie pas à lui.

- E X E R C E E S

E3.1 : Quantifier le champ des quarks à partir du lagrangien (2.1) et montrer que le champ conjugué a V est itî^xl^/! Vérifier que fi s'élimine de la règle de quantification du champ de fermions :

E3.2 : On considère le lagrangien

Etudier les solutions classiques des équations de mouvement Ju champ (de fermions). Montrer qu'une solution stationnairs classique non triviale ( '•<' 7* 0 ) n'existe que si 1 ' hami 1 toni en à

un corps :

4»

admet une valeur propre nulle et que dans ce cas le nombre de particules \^i^ *f est indéterminé.

» -

E3.3 : On considère 1'hami 1 tonien K - •- *• - J- U, O Ù z * «

L p ' / ' O - - 1 e t où y commute avec x et ]=, . Montrer que l e s v e c t e u r j propres de h sont l n./-i > avec n = 0 , 1 , 2 , . . . et

<nvj i ⁿ' ^ ' > * à^w„ ' o f w - y O e t que l e s v a l e u r s propres sont n + l+•+.

On d i t que y e s t une v a r i a b l e c l a s s i q u e du système.

E3.4 : On considère 1'hami1tonien quadratique de fermions r r * « - » * - *- -<:

Soient ï X ^ les états propres normalisés de h. Montrer que H = Z €^A a ^A £*^A où g est une valeur propre de h et

Montrer que lletat_fondamertai de H est le déterminant de Slâter composé des seules orbites d'énergie négative ( s^x< o J . Montrer qu'on peut contrôler le nombre d'orbites dans l'état fondamental en travaillant avec 1'hami I tonien K-/itf et en ajustant ;«c (N est l'opérateur nombre de particules W ^ Z ^ - ' s , ; ) • Montrer

»

que l ' i n v a r i a n c e r e l a t i v i s t e exige que u-Q pour des p a r t i c u l e s de D1rac.

E3.5 : E c r i r e l e s équations de mouvement pour les champs cr et "T et pour les o r b i t e s IX> , qui viennent de la v a r i a t i o n de l ' a c t i o n d é f i n i e par les équations (3.11) et ( 3 . 1 2 ) .

E3.6 : Etudier les raisons pour lesquelles la partie

*» bosonlque de 1 'hamil tonien (3.4) contient des dérivées par rapport au temps tandis que la partie fermionique n'en contient pas. Pourquoi est-ce que le lagrangien de bosons est quadratique dans les dérivées par rapport au temps tandis que celui des fermions est linéaire ? Le champ de fermions peut-il être réel ? Peut-on définir un champ chiral complexe pour lequel le lagrangien serait linéaire dans les dérivées par rapport au temps ? (voir B.iorken and Drel 1, Relativistic Quantum Mechanics, page 1 9 9 ) .

4. L'INVARIANCE CHIRALE

Pour d i s c u t e r l e s i n v a r i a n c e s du lagrangien (2.1) il e s t commode d ' u t i l i s e r une notation qui se révélera commode dans l ' é t u d e du skyrraion ( s e c t i o n 8 ) . A partir du champ c h i r a l on peut c o n s t r u i r e la matrice (ou l ' o p é r a t e u r ) :

VV

* U* U = <r% ^

.

Il e s t f a c i l e de v é r i f i e r que :

Le lagrangien (2.4) peut donc s ' é c r i r e :

Le second terme du lagrangien (4.3) e s t , à proprement p a r i e r , une m a t r i c e . Cependant les equations (4.1) et ( 4 . 2 ; montr?n- eue ce terme e s t un m u l t i p l e Je la matrice unite et i l en sera de même dans les r é s u l t a t s qui suivent. Il e s t h a b i t u e ! de transformer les m a t r i c e s , t e l l e s que le second terme de ( 4 . 3 ) , en nombres, en prenant la t r a c e sur les matrices # e t sur les matrices T . Mais pour des termes, qui ne sont que des m u l t i p l e s de la matrice u n i t é , c e l a r e v i e n t à m u l t i p l i e r par la t r a c e de l ' u n i t é , qui vaut 4 x 2 = 8 dans notre cas. Nous omettons dans la s u i t e d ' é c r i r e la t r a c e . On remarquera enfin que la matrice ^%<f^r s ' é l i m i n e entièrement du second terme du lagrangien ( 4 . 3 ) .

On d i s t i n g u e deux t r a n s f o r m a t i o n s globales qui l a i s s e n t i n v a r i a n t l e lagrangien ( 4 , 3 ) , Elles peuvent-être r e p r é s e n t é e s par l e s o p é r a t e u r s u n i t a i r e s

i S i*

S

où S est un o p e r a t e u r h e r m é t i q u e , qui ne depend ni de la

«» position ni du temps et qui commute avec les matrices de Oirac Jf.*

Pour les transformations transforment ainsi :

de type A, les champs se

( 4/ -. y

)

U - A U A

Il e s t t r i v i a l de v é r i f i e r que la transformation des charcos ( 4 . 5 ) l a i s s e le laarancien ( 4 . 3 ) i n v a r i a n t . Un exemple d'une t e l l e transformation est fournie par la rotation d ' i s o s p i n zu\

e s t générée par l'opérateur :

£ et. Z / 2

A

où l ' i s o v e c t e u r c( d é f i n i t la r o t a t i o n . En e f f e t T / 2 est te générateur des r o t a t i o n s d ' i s o s p i n des quarks, de s o r t ? que

4* -*• A ^ est une rotation d isospin. Pour v e r i f i e r que

U-*AUA"' est bien une rotation de l ' i s o v e c t e u r TT

*/

calculons, pour/très p e t i t :

u 2T^r TV.-C - fx [ * .T., T7.T J + •••

* cr +•

* ( T i - L 2f, TT. «? - i X j ' f . ( * x T T ) 4- ..

( * * . ? )

La transformation (4.7) laisse donc le champ scalaire invariant et transforme TC -*• "TC - * x TC , \\ s'aqit bien d'une rotation d'1sospin.

Pour les transformations de type 3, les champs .'<?

transforment ainsi :

U -+ 3"'

J

-1

•:^.-3)

On vérifie que cette t r a n s f o r m a t i o n laisse le lagrangien ( 4 . 3 ) i n v a r i a n t . Noter bien la différence entre les t r a n s f o r m a t i o n s ( 4 . 5 ) et ( 4 . 8 ) . Elle est due à la présence de " £^r dans l'opérateur B. Les t r a n s f o r m a t i o n s de type B sont appelés des

£ransformations_çhi_ra!es. Un exemple d'une telle t r a n s f o r m a t i o n est la rotation c h i r a l e définie par l'operateur

û tf j S • 1 / 2

B = e (^.i)

l ' a n a l o g u e c h i r a l de ( 4 . 6 ) . Si on décompose le spineur ' / en ses composantes droite-aaucfte :

f _ V

» ta» f »

4\

on vérifie que, dans la transformation chirale ^ - » 5 v ^ les c o m p o s a n t e s droite et gauch» de V subissent des rotation? imposantes droite et g d'i sospi n o p p o s é e s :

^

>k

a l o r s que dans la rotation d'isospin (4.6) elles subissent la même rotation.

Pour déterminer la rotation chirale du chamo U c a l c u l o n s . pour M très petit :

- i - - »

B u B s (\- i*s%\~)(r4.ùX

Tr.z)(\-LX!%~ +•••)

(*.:-2.)

o de sorte que les champs C5" et "Tv se transforment ainsi :

la rotation chirale mélange donc le champ 0* et le champ "HT.

L ' i n v a r i a n c e c h i r a l e e s t i m p o r t a n t e car e l l e e s t spontanément b r i s é e dans l e v i d e p h y s i q u e , comme en témoiane ia masse q u a s i - n u l l e du p i o n .

EXERCICES

E 4 . 1 : Les i d e n t i t é s s u i v a n t e s sont u t i l e s :

CL. C V> * C } = ' o . C » X ) » C ( « « » J

_y —» - * - » - » ~ * - * - » - >

a * ( a x c ) = C a . c ) 'c - Ca.'a j Z

—>

d * ( b x C ) + ° * ( C x a ) + C x ( 3 . * o ,. s J

( a * b ) . { a « b ) = a? t, - ( a - c ;

C i V c ) .

» i * . [ b x - c ? x d ) j

= ^ - c ) ( b . d ) - (a.A)(h.c)

( a . - c ) ( h.z ) - a' • b +• iv.Ca.Kh)

E4.2 : Vérifier que, dans les transformations (4.5) et (4.8),le second terme du lagrangien (4.3) reste un multiple de la matrice unité.

E4.3 : Vérifier que les générateurs des rotations chirales ont les mêmes nombres quantiques que les pions.

I)

5. LE VIDE PHYSIQUE

Quelque s o i e n t l e s g o û t s que Pascal a i t c r u bon l u i a t t r i b u e r , l ' u n i v e r s se compose e s s e n t i e l l e m e n t du v i d e , que nous a p p e l l e r o n s l e v i d e p h y s i q u e , pour l e d i s t i n g u e r des v i d e s de d i v e r s o p é r a t e u r s de d e s t r u c t i o n q u ' o n p o u r r a i t - ê t r e amené à d é f i n i r . Les p a r t i c u l e s , noyaux e t atomes sont des systèmes q u i ne p e r t u r b e n t que l o c a l e m e n t l e v i d e p h y s i q u e et on ne mesure j a m a i s que des é c a r t s du v i d e p h y s i q u e . Ce n ' e s t q u ' a u c e n t r e des é t o i l e s (à n e u t r o n s par exemple) q u ' o n pense t r o u v e r l e vi-ie p h y s i q u e p e r t u r b é sur une é c h e l l e macroscopique. C ' e s t p a r c e q u ' u n e s y m m e t r i c du l a g r a n q i e n ( l a s y m é t r i e c h i r a î e ) ?sb b r i s é e dans l e v i d e p h y s i q u e , que nous devons l e c o n s t r u i r e e x p l i c i t e m e n t . Ceci e s t v r a i t a n t pour l e s l a q r a n q i e n s e f f e c t i f s t e l s que ( 2 . 1 ) que pour l e l s g r a n g i e n de la QCD. Mais te t r a v a i l e s t i n f i n i m é m e n t p l u s s i m p l e avec l e l a g r a n a i e n e f f e c t i f ( 2 . 1 ) parceque l a b r i s u r e spontanée de l a s y m é t r i e c h i r a l e e s t obtenue par un c h o i x a p p r o p r i é de ' a f o n c t i o n T ( C T + TC~) q u i t r o u v e l à sa r a i s o n d ' ê t r e . On p e n s e , par a i l l e u r s , q u ' à haute t e m p e r a t u r e e t ( o u ?) hau~e p r e s s i o n , c ' e s t - a - d i r e dans l e s c o n d i t i o n s où se s e r a i t t r o u v é l ' u n i v e r s aux temps r e c u l e s , !e v i d e p h y s i q u e a u r a i t eu l e s mômes s y m m e t r i e s que son l a q r a n o i e n e t que c e r t a i n e s des symmetries se s e r a i e n t spontanément b r i s é e s au c o u r s de son r e f r o i d i s s e m e n t e t de son e x p a n s i o n .

A l ' a p p r o x i m a t i o n d ' u n e b o u c l e f e r m i o n s ( s e c t i o n 3 ) , le v i d e p h y s i q u e p e u t - ê t r e c o n s t r u i t à p a r t i r de la s o l u t i o n s t a t i o n n a i r e et i n ï i . C i ê . O t § _ . . B i C _ t r a n s l _ a t i o n des é q u a t i o n s ( 3 . 5 ) e t ( 3 . 9 ) . Dans une t e l l e s o l u t i o n :

r>{r) = CT ( i n d é p e n d a n t de r )^;( à„ r ) ^s 0

7f ( r ) = T, ( i n d é p e n d a n t de r): { à^u '•'.' ) ~ '4 '•-• '•) Les o r b i t e s des quarks sont d é t e r m i n é e s par l ' é q u a t i o n d*» D i ' v :

(3.5) que nous é c r i r o n s à l ' a i d e de 1 a matrice U. d é f i n i e *n ( 4 . 1 ) :

Nous é c r i r o n s la matrice U dans la forme

ou

tf

= cr% £

cr - £? us S

On a p p e l l e t> l ' a n g l e c h i r a l (du champ c h i r a l ) . Considérons !a r o t a t i o n c h i r a l e , de type ( 4 . 9 ) , d é f i n i e par l ' o p e r a t e u r u n i t a i - re __ _

,• Y fi f / O L. u*- \j • -* 4 J*

B = s

Cette rotation chiraie transforme 1'hami1tonien (5.2) des auarks en :

si. *7

B U * ' = M v - " + s o ) a

^{+- «3}

^?

Nous voyons qu'une r o t a t i o n c h i r a l e transforme 1'hamiIfconien des quarks en un hamiltonien de p a r t i c u l e s l i b r e s de masse égale a '-?

(en u n i t é s de g < r⁰/ c^a selon nos d é f i n i t i o n s 2 . 4 ) . La r o t a t i o n c h i r a l e , générée par l ' o p é r a t e u r ( 5 . 5 ) , l a i s s e i n v a r i a n t le lagrangien e t 1'hamiltonien ( e t donc l ' é n e r g i e ) du système. Il e s t Important de noter que c e l a n ' e s t vrai que pour une s o l u t i o n s t a t i o n n a i r e et i n v a r i a n t e par t r a n s l a t i o n , t e l l e que B commute avec l e s g r a d i e n t s qui a p p a r a i s s e n t dans 1'hami1tonien.

Les é t a t s propres de 1'hami1tonien (5.6) sont les ondes planes bien connues de Dirac, que nous écrivons l \< c u -z > ^:

i< ,< * 0 »

où k et C = ± 1 / 2 dénotent l ' I m p u l s i o n et la p r o j e c t i o n du spin du quark, où et = ± 1/2 d i s t i n g u e l e s o r b i t e s d ' é n e r g i e p o s i t i v e et négative et où r désigne l e s a u t r e s nombres quantiques

( i s o s p l n , couleur, é t r a n g e t é , . . . ) . L ' é n e r g i e e^k de l ' o r b i t e e s t égale à :

L ' é n e r g i e (3.8) de l ' é t a t fondamental s ' é c r i t , peur la s o l u t i o n i n v a r i a n t e par t r a n s l a t i o n :

•- T in—T* -fi- p * ">z \ 6

où V est la dégénérescence ces orbites :

V = 2 (spin) * 2 (isospin) « 3 (couleur) K

Cr- :oï

et où -ii- e s t le (grand) volume d ' i n t é g r a t i o n . On voit que l ' e - n e r g i e n ' e s t qu'une fonction de •-?*" et q u ' e l l e e s t donc indépendante des angles chiraux 3 . Nous reviendrons sur c e t t e dégénérescence.

Dans le vide physique, •? prendra la valeur qui ml n i ni se l ' é n e r g i e (5.9) et c e t t e va" eur dépend de la fonction —C¹?') que nous c h o i s i r o n s plus bas de manière à b r i s e r la symmetric c h i r a l e . Mais auparavant nous devons nous soucier de ce que l ' é n e r g i e des quarks (premier terme de 5.9) s o i t i n f i n i e . Que l ' é n e r g i e du vide physique par unité de volume s o i t i n f i n i e n ' e s t pas gênant en soi pareeque nous ne mesurons que des v a r i a t i o n s de l ' é n e r g i e du v i d e . Ce qui, par c o n t r e , est gênant dans l ' e x p r e s s i o n ( 5 . 9 ) , c ' e s t que même la d i f f é r e n c e e n t r e les é n e r g i e s (par u n i t é de volume), c a l c u l é e s pour deux v a l e u r s d i f f é r e n t e s de ty , s o i t i n f i n i e . On se heurte là à une d i f f i c u l t é typique de la t h é o r i e des champs et gui a p p a r a î t des l'approximation d'une boucle. Un la resoud (disons TU'on

l ' é v i t e ) par un processus renormal^sation q u i , dans ce c»s p a r t i c u l i è r e m e n t simple, p e u t - ê t r e r é s o l u analytiquement.

Pour c e l a prenons comme é n e r g i e de r é f é r e n c e l ' é n e r g i e E⁰ obtenue pour l a valeur ^ = 1 :

Considérons l e développement de JkTTip autour de la valeur

+ . +

X. c \'o a.;

où nous avons pose

V «à • •-* J

qu'on prendra soin de ne pas confondre avec 2.t défini en ( 5 . 8 ) . En substituant ce développement dans (5.9) l'énergie <:u vide physique s'écrit :

t ( ' ?

î » H

- v * - » r -i- 4. v

2

£ [#«?'-,- *<<e'>d>]

9

Lorsqu'on remplace les sonmes sur les impulsions par des intégrales :

on trouve que les deux premiers termes de (5.14) donnent des intégrales divergentes alors qu'à partir du troisième terme les intégrales convergent. Supposons maintenant que la fonction

f( '-? ) ait une forme polynomiale que nous écrirons •.

• — • • • , » •

On voit que les deux sommes i n f i n i e s de l ' é n e r g i e ( 5 . i 4 ) peuvent ê t r e i n c l u s e s dans l e s c o e f f i c i e n t s a⁴ et a^ du développement ( 5 . 1 6 ) . Modifions donc l e s c o e f f i c i e n t s de la manière suivante :

a* - «U • ? I * 7 a%o

a* -* a, - ? ? <ïïn>

• s - «-r

On v o i t q u ' i l s sont renorma1_|sés par une q u a n t i t é , i n f i n i e c e r - t e s , mais indépendante de '-?" . Il e s t important que s e u l s îes c o e f f i c i e n t s CU e t Au, s o i e n t renormal i ses parce-oue. si le polynôme T(¹3^Z) c o n t e n a i t des puissances plus élevées que •?

l e lagrangien (3.12) c e s s e r a i t d ' ê t r e renormalisable :ês l ' a p p r o x i m a t i o n d'une boucle boson.

Là modification (5.17) des c o e f f i c i e n t s a² et 31⁽

élimine l e s divergences qui a p p a r a i s s e n t dans l ' e x p r e s s i o n (5.14) de l ' é n e r g i e . On o b t i e n t a i n s i l ' é n e r g i e renormalisée :

E (^ ) - £ i V\ i ) r - y 7 v W + V Z W * i

* W

(»tl

v U 7 - ! —

2 t Ck**0 - v

r<e*-i>

f CkV.)

i l

3

Les t e r m e s de la d e u x i è m e ligne de ( 5 . 1 b ) sont s o u v e n t a p p e l é s des c o n t r e t e r m e s qui a s s u r e n t la c o n v e r a e n c e de l ' e n e r a i e :. ans t o u t e f o i s m o d i f i e r la forme de sa d é p e n d a n c e en '•? ~ . L e s sommes ( 5 . 1 8 ) p e u v e n t - e t r e c a l c u l e ? ? analyfc!quemenh. I n a a i n o n s que ^ : i s

limitions les sommes sur les impulsions à un cut-off l< s'A Cela revient à remplacer dans (5.18) :

.A

" o

Les i n t é g r a l e s du type J l «^aô î < ( k + i ) sont c i t é e s dans les t a b l e s . On peut a i n s i c a l c u l e r l ' é n e r g i e (5.18) pour un cut-off donné A et prendre la l i m i t e A -» °° de la somme des termes (nous recommandons fortement ce c a l c u l ) . Le calcul est élémentaire e t i l donne l ' e x p r e s s i o n :

~nr) - sc<?**o = - v i l r <?* V*

,

'2ii!lLi-f''

' Choisissons la fonction r^r.^'^ **•

manière à ce q u ' e l l e a i t un ninimum au point ^ = 1

U^) -- £ o»*-0" <--•

ce qui est bien un polynôme de degré 4. Dans ce cas le membre droit de l'équation (5.20) présente un minimum au point ^(J?"= 1 et il peut donc représenter l'énergie du vide physique en fonc- tion de <•? s C •*• "H" . Nous écrirons ;

Cette écriture revient à annuler l'énerqie de référence (5.11)

e t à l ' i d e n t i f i e r à l ' é n e r g i e du vide p h y s i q u e .

L'é.nergie ( 5 . 2 3 ) p r é s e n t e un minimum au p o i n t ^ = 1

E «*\ l) * ô , I f

eW* I (f\ ^{= O ,} _èV ^{i *}

<?^l»l

Le p r e m i e r terme de ( 5 . 2 3 ) p e u t - ê t r e c o n s i d è r e comme la c o n t r i - bution des q u a r k s dans la mer de fermi à l'énergie du vide :

2 T T -

[ i ^ t r t(?

-iKi-3<*

; 1

l à ^VO _{3 Z}

Les q u a r k s ne c o n t r i b u e n t a i n s i en r i e n à l ' é n e r g i e du vide phy- s i q u e au v o i s i n a g e du p o i n t Q~= 1. On v é r i f i e en e f f e t

que :

,„t_,\ . * °~' ! - J'S*. 1

r « i i ç - if/,-. ^{~ O ,}

9 = 1 ^{^ * j ^ v}

=• 3

M a i s 1e lecteur attentif a u - a sans doute r e m a r q u é la part d'ar- b i t r a i r e qu'il y a à séparer les c o n t r i b u t i o n s r e s p e c t i v e s ues quarks et du champ chiral à l'énergie du v i d e . En effet, nous avons éliminé les deux termes d i v e r g e n t s du d é v e l o p p e m e n t (5.14) de la c o n t r i b u t i o n des q u a r k s afin de les i n c l u r e c o m p l è t e m e n t dans les c o e f f i c i e n t s <X^ et 3 * du d é v e l o p p e m e n t de la fonction ? . M a i s nous aurions aussi bien pu r e m p l a c e r chacune de ces sommes i n f i n i e s par ur nombre fini et a r b i t r a i r e , et releauer les d i f f e r e n c e s I n f i n i e s c o r r e s p o n d a n t e s dans les termes < x^x et Q i , . En d ' a u t r e s m o t s , les c o n t r i b u t i o n s r e s p e c t i v e s d e s q u a r k s et du champ chiral aux c o e f f i c i e n t ; a, et a „ restent i ndéteriri nées et a r b i t r a i r e s dans cette théorie. Le choix p a r t i c u l i e r que nous avons fait pour les séparer est e x p r i m e par ce qu'on appelle des conditions, de

renormal_isation_et qui trouvent leur expression dans lès équations ( 5 . 2 6 ) . Dans notre cas, le fait d'avoir inclus, dans la fonction -£(1?*) , les deux premiers termes du développement de l'énergie des quarks en puissances de ( t $^l- i ) fait que le comportement de l'énergie du vide au voisinage du point & - 1

est entièrement régi par la fonction • £ f^t?ⁱ} . C'est commode, cependant nous aurions pu décider que les quarks

ne contribuent pas à l'énergie au voisinage du p o i n t â t ) . Dans ce cas le premier terme de (5.23) aurait été modifié par un polynôme de degré 4 e n ^ ~ Pour comparer les résultats de deux calculs il est important d'en préciser les conditions de renormalisati on.

Avec le choix (5.21) de la fonction 2-''2'*^s,

l'énergie peut-être représentée en fonction de '-* et ae •. ! i valeur absolue de) l'angle chiral 9 par une surface en forme de chapeau mexicain (ou de fond de bouteille, d'autres y voient un kuglupf a l s a c i e n )

( S . I T )

L'énergie ne dépend pas de l'angle ch1ral9et le vide est donc dégénéré le long du cercle chiral défini par l'équation

7. ! "^ ~ M

On passe d'un point de ce cercle * un autre par une rotation chirale. Bien qu'on puisse représenter le vide par un quelconque des points sur le cercle <; h i r a 1 f il est évidemment plus simple

* de choisir le point 9 = 0 -

CT-a. i "TC - O (vide physique, champs sans dimension) (s-iq) En unités dimensionnées (voir 2.2) le vide physique est carac-

térisé par les valeurs classiques suivantes du champ chiral :

c = cr⁰ T T = O » - • c o ; Il est difficile de déterminer la courbe (5.27) expérimentaie- ment et les calculs en QCD n'en sont pas encore là. Donc on ne peut que identifier le paramètre C ^ du laqrangien (2.i) a la valeur classique du champ scalaire dans le vide. Cependant on peut 3ussi calculer le tenps de vie du pion (TT*-* 2. ~* ; à partir du laqrangien (2.1). Cela permet de determiner une valeur cr =.

93 MeV, indépendamment des autres paramètres du laqrangien.

Le fait que le vide physique se realise sur !e cerc;e chiral ^=-1 et non au point ''-? - Q est l'expression de ia brisure spontanée de la symétrie chirale dans le vide. Il est bien entendu que nous n'avons pas explique cette brisure de symmétrie puisque nous avons choisi la fonction 2.riç>-^ de manière à ce qu'elle ait lieu.

Lorsqu'on calcule les vibrations du vide physique autour de son état d'équilibre, on trouve un mode de vibration sans force de rappel et dont la trajectoire est le long du cercle chiral. Un tel mode, dû à la brisure de symmétrie, porte le nom de boson de Qoldstone et il représerte une particule de masse nulle. Il a les mêmes nombres quantiques que les générateurs de la symmétrie brisée. Dans notre cas où la symmetric brisée est une rotation chirale représentée par l'opérateur (4.9) il a ies mêmes nombres quantiques que !e pion : isovecteur et pseudosca- laire. Le laqrangien (2.1) prévoit un pion de masse nulle. ;a faible masse de 15H MeV p e u t - ^ t r * obtenue en ajoutant une

f a i b l e perturbation de la forme c cT qui brise légèrement l ' i n v a r i a n c e c h i r a l e du lagrangien (voir l a discussion pages 54»)- 555 dans Itzykson et Zuber).

EXERCICES

E5.1 : Montrer que l e s équations (3.5) et (3.9) admettent une solution invariante par translation de la forme (5.1) et ( 5 . 7 ) .

E5.2 : Tracer la courbe de l ' é n e r g i e (5.23) en fonction de H pour d i f f é r e n t e s valeurs de KJ o~ . Montrer a u ' e l l e n'a

o

qu'un minimum local, au peint <-? " = 1 (la contribution aes f l u c t u a t i o n s quantiques du champ c h i r a l , d i t s e f f e t s à fir.»

boucle boson, peut s t a b i l i s e r le vide pour if'-*- <*» ) . E5.3 : On d é f i n i t I^pC X i « \ T.^K Ci-r*."* ' Montre que (v&ir 6\*ds*^c;*\ T>. SG }

i - s - C ^ ) * I ^ ^ * ~ 7

*5 i T 2 I . , ( > ) s r +<*"^ X - - K n t i ce ^ jT

* 3 S >»«o '^

civ er >. - S c n n v. * = -2a L * - ^ ^ ^

U t i l i s e r l e s i n t é g r a l e s c i - d e s s u s pour é t u d i e r la manière dont l ' é n e r g i e (5.18) dépend du c u t - o f f fi < A • Tracer la courbe de l ' é n e r g i e (5.18) en fonction du c u t - o f f pour V = 8.5 et

M = 1.5 ( b e l l e occasion pour programaer votre HP 11C).

6. LE SAC DE MIT

Deux M o d è l e s du nucléon rivalisent par leur s i m p l i c i t é et ont é t é par conséquent très d é v e l o p p é s . Ils donnent des d e s c r i - p t i o n s d i f f é r e n t e s du h a d r o n . Il s'agit du modèle du sac de HIT '**/ et du skyrmion / 3 / . Nous les décrivons dans cette cette s e c t i o n et dans la section 8. Dans le modèle du sac de MIT, les trois quarks qui composent le nucléon creusent dans ie vide p h y s i q u e une petite c a v i t é (le s a c ) où ils se propagent l i b r e m e n t avec une m a s s e nulle. Dans cette càvite la symmétr^'e c h i r a l e est r e s t a u r é e . Les quarks ne peuvent q u i t t e r la cavité car, d a n s le vide p h y s i q u e , ils a c q u i è r e n t une m a s s e infinie.

Nous v e r r o n s que dans le mocèle de Skyrsie, la symmetri? chirsie est partout b r i s é e et, ce qui distinouera tes renions

i n t é r i e u r e s et e x t é r i e u r e s du nucléon, ce sera \±?.';\<i cuirai qui p a s s e r a continuement de * à T7 à mesure çu'on penetr? ie nucléon en partant du vide physique. Dans ce rnodeie, 'e c o n f i n e m e n t , voire la p r e s e n c e des q u a r k s , ne seront pas e x p l i c i t é s . A n n o n ç o n s d ' a v a n c e qu'un troisième m o d è l e , dit 'lu sac chir3l / 4 / et décrit dans la section lô, a été conçu pour c o n c i l i e r le sac de MIT e- le skyrmion. Dans le modèle du sac c b i r a l , le nucléon se compose d'une cavité intérieure semblable ( q u o i q u e plus p e t i t e ) que celle du sac de MIT et e n t o u r é e d'une r é g i o n e x t é r i e u r e d é c r i t e par le lagrangien de Skyrme.

Il existe un lagrangien effectif pour le m o d è l e du sac de MIT (voir le soliton de T.D. Lee décrit dans la section /) et il e x i s t e un a u t r e l a g r a n g i e n pour d é c r i r e le skyrmion.

M a l h e u r e u s e m e n t il n'exi?te pas actuellement de laorancion e f f e c t i f qui soit à la fois invariant chiral et qui p r é v o i e une région intérieure du nucléon ou la symmetric chirale serait restaurée, bien que le mode!'? du sac c h i rai puisse -itr?

considéré comme un premier pas dans cette direction.

Le modèle du sac de HIT est mieux discuté avec les champs et les distances dlmensionnées du laqrangien (2.1) qu'avec les variables sans dimensions définies en (2.4) qui, elles sont plus utiles pour la description des solitons. La réécriture des équations avec les quantités dlmensionnées est triviale et, dans

cette section, nous la f rons sans autre commentaire.

Le modèle du sac de HIT suppose que la valeur classique du champ du pion est partout nulle :

îf = O

Les quarks n'interaqissent effectivement qu'avec un champ scalaire G*(ï"> et q c * ( n ioue le rôle de masse locale des

v»

quarks. Les orbites des q,arks sont solution de l'équation Je Oirac (3.5) :

L ^L C\

(o.l)

< ^ « X > = d

e t l a masse e f f e c t i v e ^ < T C ; f ) est (dans le cas i n v a r i a n t oar r o t a t i o n ) supposée ê t r e n u l l e à l ' i n t é r i e u r e d'une sphère de rayon R (qui d é f i n i t l e sac) e t i n f i n i e à l ' e x t é r i e u r :

On v o i t que si G~⁹ est la v a l e u r c l a s s i q u e du champ s c a l a i r e dans l e v ' d e p h y s i q u e ( ^ ~ 95 MeV v o i r s e c t i o n 5) le modèle du du sac de M i F suppose une c o n s t a n t e de couplaqe i n f i n i e

entre les quarks et le champ scalaire. (C'est pour cela que les variables (2.4) sans dimension ne sont pas adaptées à ce modè- le). La paroi infinie (6.3) de la masse du quark impose aux or- bites la condition

A l'intérieur ou sac où la masse Q < T = O '-s orbites obéissent à l'équation :

^^r- V - ~ < I I A > "- 2⁴ ^ r i X l , T- v S»

V \3 • & y

J < M r > < r i ) v > d r - ±

et elles s'annulent à l'ex-érieur du sac ( r > W ) . Les 'ouations (6.5) et (6.6) permettent de calculer les oroites des quarts.

L'orbite la plus basse, d'énergie positive est I'orbit? s (/. (-2=8) dont la fonction d'onde ( non-norma I i see) s'écr'î -.

O V -V **

< r ! k c > = | ^ } / ,

v

où <J e s t la p r o j e c t i o n dj spin ( é g a l , pour -! = <), au .-nomept c i n é t i q u e t o t a l ) e t l ' é n e r g i e de l ' o r b i t e e s t

S - n C k ^v •* ' ^{6 i}

La c o n d i t i o n aux l i m i t e s ( 6 . 5 ) e s t s a t i s f a i t e lorsque

L ' o r b i t e du quark a donc une é n e r g i e é g a i e à

R

L'énergie du système (voir 3.3) compose <ju "•' ^yarks as va terre

dins l'orbite d'éneroie (6.10) est égale a

E = U •

+ ft T T R

& a . il)

où on néglige la contribution d e s orbites de la mer de Ferrai dont on ne sait, au juste, dans quelle mesure elle est comprise dans la fonction f, c'est-à-dire, ici, dans la constante du sac B.

Le rayon d'équilibre est celui qui minimise l'énergie ( 6 . 1 1 ) . Pour un nucléon composé de W = 3 quarks et d'éneraie égale à 1 GeV on trouve un rayon d'équilibre égal à l.ôlFm et une constante du sac B = 14,3 MeV/fm . Cependant, cans la -^esu-re où on peut comparer le mouvement des quarks dans le sac à celui de particules dans un oscillateur harmonique, on doit calculer

l'énerqie du système de N qu3rks en remplaçant fi par :-.*-i pour extraire l'énergie spurieuse du mouvement de leur centre :e masse. L'énergie d'un nucléon dont l'énerqie d'équilibre est

1 tieV, calcule en posant N - 2 dans la formule de masse (b.II) donne alors un rayon d'équilibre égal à 1.07fm et une constante du sac B = 4 8 MeV/f'ra , valeurs proches de celles couramment utilisés pour la spectroscopie des hadrons.

Relevons l'Image physique sousjacente au modèle du sac de MIT. Les quarks se propagent à l'intérieur du sac, librement et avec une masse nulle. Le sac délimite deux réoions de l'espace.

L'intérieur où la symmetrie chirale est restaurée Ctf~* TT ^a o ) et l'extérieur, le vide physique, où elle est brisée C " ^ -a, T = c )

et où les quarks ont une masse infinie . On peut donc considérer le sac comme une surface qui sépare deux phases du vide et la constante B Ju sac mesure la différence en l'énergie, par unite ae volume, >r;tre

ces deux phases. D'après ce modèle, il en coûterait au vioe environ 58 BeV/fa pour restaurer la symnétrie chirale.

EXERCICES

E6.1 : La condition aux limites (6.5) est également satis- faite par les deux équations j0( k K ) =* l,(kR). Montrer que c?s équations donnent les énergies des orbites S^v, et p .^A

respectivement et que le prolongement analytique des fonctions de Bessel aux arguments négatifs donne également les éneraies négatives des orbites dans la mer de Oirac.

E6.2 : Soient E„ et R, l'énergie et ie ravon d'équilibre prévus par la formule de masse ( b . i l ) . Montrer que

R⁰ = 2.«4 -fie *-ï? B = l 2 t > (tic = 197,3 ileV fa).

3 E^e Mr..-:;

E6.3 : Montrer que, pour une constante B donne, le r^von d'équilibre varie comme N *" et que l'énergie va-y- rie comme M . Montrer jue ces lois cessent d'être valables lorsque W » ' o ù V e s t la dégénérescence (5.10) des orbites, Centrer qu'un seul quark forme un sac de rayon a,39fm et d'énergie i),ô GeV (on prendra B - 50 MeV/fm"* ) . Montrer que le nucléon est lié par une énergie de 6.8 GeV par rapport à la fission en J quarks et de 0,2 GeV par rapport à la fission en un sac de 2 quarks et un sac de 1 quark. Est-ce raisonnable ?

7. LE SOLITOM DE FRIE3ERG ET LEE

Friedberg et Lee se sont proposés de dériver le modèle du sac de HIT à partir d'un lagranglen effectif /5/ qui n'est autre que le lagrangien (2.1) ou (2.4) dans lequel on pose "H" = <d, c'est-à-dire qu'on néglige le degré de H b e r t é du ?ion, du moins à l'approximation classique. Le lagrangien effectif (2.4) se réduit alors à l'expression

- 2 W

Le champ scalaire est traité classiquement. En ouure on H n i t e l'espace des configurations des quarks aux orbites d'enerai?

positive (donc aux seuis quarks de valence) de sorte qu'on né- glige les effets dûs aux quarks dans la ser de Uirac. Dans cet:?

approximation l'énergie d'un état stationnaire ayant H quarts dans une orbite I A > d'enerqie S. est eqale à (voir section 3)

'. -r • — ;

£ = N

• i Y *

- . i ^ * i.ri:

Le vide physique étant défini, dans ce modèle, par l'absence de quarks de valence (N. = 8) et par l'invariance par translation du champ (Vs) = 0) la fonction -FÉS-J/S»¹ représente l'énergie, par unité de volume, du vide physique. T,D. Lee considère des fonctions f(S") telles que

o\

e vide physique étant realise au point C = 1.

L'orbite des quarks est déterminée par l'équation de

Oirac

< XIX > - 1 ( * • * )

Le champ s c a l a i r e e s t déterminé par l ' é q u a t i o n

où le terme de source e s t détermine par l ' o r b i t e des quarks :

( r ) ^ 4 ^ { r ) V C r ; > = M < T - i r > j 3 < r : > 0 _^

A l ' i n f i n i le champ s c a l a i r e r e t r o u v e sa valeur c l a s s i q u e dan:

l e vide physique, e t on impose donc la condition aux i i m i t a s :

fl-Cr) ^A

r -»eo ' ? . ? )

M o n t r o n s que les é q u a t i o n s (7.4) et (7.5) admettent une solution localisée dans l'espace à condition que la constante de couplage soit assez forte. Pour cela nous r e m a r q u e r o n s qu'on peut t o u j o u r s choisir une fo-ction d'essai 0*(r) telle que l'or- bite du quark soit une o r b i t e liée, c'est-à-dire telle que :

2 s A x < i Cor'oiU &.V*.}

Il suffit pour cela de c h o i s i r , par exemple, CCr) invariant par rotation et de la forme :

Ç ~ ' ,S

c. - ^ ('r.*",

-»r

En effet, en élevant au carré 1*ha*i1tonicn de Dirac on s'aper- çoit, qu'à des effets de gradient près, l'énergie e^A est la

«eue que celle d'une particule de Schrôdinger, de nasse égale à 1/2 dans un potentiel égal à c (ri . t a profondeur de ce potentiel étant fixée à 1 par la condition aux limites (7.7) il suffit d'augmenter suffisamment son rayon pour qu'apparaissent des orbites liées, e r < 1 . On peut al or?

toujours trouver une constante de couplage q assez fort* pour

que l'énergie (7.2) soit telle que -.

Cette énergie est inférieure à l'énergie de M quarfcs se propa- geant librement dans le vide physique où leur nasse est ecal* .?.

1. Les équations (7.4) et (7.5) expriment la stationnar:te -Je l'énergie par rapport aux variations, tant des orbites des quar- ks, que du champ G~ . Par consequent, pour la constant* de couplage choisie de manière à satisfaire (7.1»), un meilleur choix de la fonction <T(jf) ne pourra qu'abaisser l'énergie et renforcer l'inégalité (7.18). Une orbite liée a une fonction d'onde qui décroît exponentlellement avec la distance. Il en sera de même du terme de source (7.6). Par conséquent <T( ri ne diffère de sa valeur asymptotique ff~ = l que dans la region admise classiquement pour le quark, c'est-à-dire dans la region où e*> C ^ r ) .

Une solution des équations (7.4) et ( 7 . 5 ) , qui est localisée dans l'espace, porte le nom de soiiton. Nous n'avons pas analysé si cette dénomination (qui s'applique au mascaret qui atteignait Rouen) est correcte ou pas et nous suivons f.'j.

Lee dans son emploi. Notre solitcn n'est ni plus :if moins un état lié de quarks et il n'est pas localise pour d ' a u t r e rai sons.

Précisons le r ô l e de la fonction f(<r). L'équation (7.'VÔ)

s ' é c r i t de manière plus s u c c i n t e a i n s i ^:

Si nous négligeons les e f f e t s dûs aux v a r i a t i o n s des o r b i t e s des quarks ( e t donc de <$*> ) on peut d i r e que l ' e f f e t des quarks sur le champ o* r e v i e n t à a j o u t e r à l a fonction f un terme

<J <VV> <r ^t i i ^{n é a i r e e n ( r L e s q u a r k s p r o v o q u ç n t d o n c} la modification ^:

P T

L'effet est représenté ci-dessous :

(r-\2)

\ \

T *%*<$+> T

# \ C

• x^ »

• »* < S C J • * • • > '

^^v* ^ * » . s

>X

y 0

y

/

y-*

On v o i t qu'une augmentation de la constante de couplage g accentue l a pente de l a d r o i t e ^ < * v > <r ^et f i n i t par f a i r e passer le minimum du point cr = i au point <r = 8. Le champ C concentre sa valeur dans la région où f e s t ni ni^um ( l ' é t a l e m e n t é t a n t dû au terne 7 V ,, ^{d e} s o r t e que <r a c q u i e r t l a forme ( 7 . 9 ) pour l a q u e l l e l e s quarks ont une masse n u l l e (9 S" = 8) dans la région c e n t r a l e du solfton, conrne dans le ^{î a c} de MÎT. Mais, contrairement au sac de MIT, 1³ region I n t é r i e u r e du s o l i t o n de T.D. Lee est séparée de la region e x t é r i e u r e par une surface d i f f u s e , tn o u t r e , t a n t que la constante de couplaae

g r e s t e f i n i e , l e s quarks peuvent se propager librement dans le vide physique, avec une masse égale à z é r o . A mesure que l ' o n augmente l a masse du quark dans le vide (en augmentant l a c o n s t a n t e de couplage) l ' é p a i s s e u r de la surface se r é t r é c i t e t , à la l i m i t e g-* <*> on retrouve le sac de MIT. La c o n s t a n t e 8 du sac e s t a l o r s égale à f( 6" = 8 ) , où f est la fonction dïmensionnée du lagrangien ( 2 . 1 ) .

On notera enfin que nous avons u t i l i s é e une fonction ^ç'.C't qui n ' e s t pas symmétrique autour du point 0*= d. cosme l ' é t a i e n t les fonctions f des l a g r a n g i e n s i n v a r i a n t s c h i r s l s

( v o i r 5.27 par exemple). Si nous avions u t i l i s e une fonction f( CT ) , symmétrique par rapport à l ' o r i g i n e , et }ui présent*

donc deux minima, l ' u n à S" = 1 et l ' a u t r e à <T = - I , les auir^[:i de valence f e r a i e n t simplement basculer le minimum ae f uu point <5" = 1 au point <T = -1 comme le montre la figure c i - dessous :

• > < r

Le champ T prendrait alors la forme

<>.itO

o.ts*.