Chaîne-déviation d’un ordre d’intervalles
Calcul d’invariant
TALEM Djamel
* —SADI Bachir
*** Département de Recherche Opérationnelle Université Abderrahmane MIRA de Béjaia ALGERIE
vouleze@yahoo.fr
** Département de Mathématiques
Université Mouloud MAMMERI de Tizi Ouzou ALGERIE
sadibach@yahoo.fr
RÉSUMÉ.Etant donné une suite d’ordresP =D0(P), D(P), D2(P), . . ., avecDi(P)est l’ordre strict défini sur l’ensemble des antichaînes maximales deDi−1(P), oùDi(P) =D(D(...D(P))...) ifois. En1994, T.Y.Kong et P.Ribemboim (voir, [1]), ont montré que pour tout ordre fini, la suite ainsi construite converge vers un ordre total, le nombre d’itérations au bout duquel on aura un ordre total est majoré par deux fois le nombre d’éléments dans la plus longue chaîne dePmoins un.
Dans cet article, nous donnons le nombre exact de ces itérations pour la classe d’ordres d’intervalles.
ABSTRACT.Given a sequence of ordersP=D0(P), D(P), D2(P), . . ., withDi(P)is the order strictly defined on the set of maximal antichains ofDi−1(P), whereDi(P) =D(D(...D(P))...) itimes. In 1994, T.Y.Kong and P.Ribemboim (see, [1]) showed that for every finite order, the sequence of orders converges to a linear order, precisely ifkis the number of elements in the longest chain of partially ordered setP, the number of iterations after which there will be a linear order is bounded by2k−1. In this article we give the exact number of iterations for the interval order class.
MOTS-CLÉS :Ordre d’intervalles, invariant d’ordre, ensemble partiellement ordonné, antichaîne KEYWORDS :Interval order, Partially ordered set, Antichain
1. INTRODUCTION
Etant donné un ordre P, sur l’ensemble des antichaînes maximales deP, on défi- nit un nouvel ordre strict notéD(P)comme suit :A,Bdeux antichaînes maximales de P,A <D(P) B si et seulement si,∀a ∈ A,∃b ∈ B tel quea <P b. De la même fa- çon, on définitD2(P)sur l’ensemble des antichaînes maximales deD(P), et ainsi de suite. A la fin, on aura construit une suite d’ordresP, D(P), D2(P), . . . Di(P). . ., où Di(P) =D(D(...D(P))...),ifois.
En1994, T. Y. Kong et P. Ribemboim (voir, [1]), ont montré que pour un ordre fini, la suite ainsi construite converge vers un ordre total, c’est-à-dire il existe un entier natureli tel queDi(P)est un ordre total. Plus précisément, si on notecdev(P)le plus petit entier naturelipour lequelDi(P)est un ordre total, alorscdev(P)≤2d(P)−1, oùd(P)est le nombre d’éléments dans la plus longue chaîne deP.
Le problème consiste à évaluer la valeur exacte du paramètrecdev(P)ou améliorer sa borne supérieure sans passer par le calcul de la suiteP, D(P), D2(P), . . ..
En2006, B.Sadi (voir, [2]) a calculé la valeur de l’invariant pour quelques classes particulières d’ordres ; il a introduit un paramètre qui lui a permis d’améliorer la borne supérieure de l’invariant dans le cas d’un ordre quelconque.
Dans cet article, sous une certaine condition, nous donnons la valeur exacte du para- mètrecdevpour un ordre d’intervalles.
2. NOTATIONS ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES
Unensemble ordonné (ou un ordre) est un coupleP = (X,≤p)oùX est un en- semble non vide appelé la base deP et” ≤p ”est une relation binaire surX réflexive, antisymétrique et transitive. Unordre strictest un coupleP = (X, <P)où”<P ”est une relation binaire irréflexive et transitive ; ainsi,x≤P yimpliquex=youx <P y.
L’ordreP est fini lorsque la baseX est finie. Nous supposons que les ordres considérés dans cet article sont finis. La relationx≤P y(resp..x <P y) signifie quexestinférieur ou égal(resp. inférieur) àyou bienyestsupérieur ou égal(resp. supérieur) àx.
Deux élémentsx, y ∈ X sont ditscomparablessi,x ≤P y ouy ≤P x; on écrit x∼P y. Sinon, ils sont ditsincomparableset on écritxkPy. Un couple(x, y)∈X×X est unecouvertureet on écritx≺P y six <P y et il n’existe aucun élémentz ∈ X vérifiantx <P z <P y. On dit alors queycouvrexou quexestcouvertpary.
UnechaînedeP est un sous-ensemble d’éléments deX deux à deux comparables ; sa longueur est le nombre de ses éléments moins un ;d(P)est le nombre d’éléments dans la plus longue chaîne deP. Uneantichaîneest un sous-ensemble d’éléments deXdeux à deux incomparables. Une chaîne (resp. antichaîne) dePest ditemaximale, si elle n’est pas strictement incluse dans une autre chaîne (resp. antichaîne).
Pourx,y ∈ X, la relation x <P y signifie aussi quey est unsuccesseur dex, donc xest unprédécesseurdey;Succ(x) ={y ∈X, x <P y}désigne l’ensemble de tous
les successeurs dex; Pred(x) = {y ∈ X, y <P x} désigne l’ensemble de tous les prédécesseurs dex.
Un élémentxestmaximaldansP siSucc(x) =∅; un élémentxestminimaldans P siP red(x) =∅. On noteM ax(P)(resp.M in(P)) l’ensemble des maximaux (resp.
des minimaux) deP.
L’ordreP est dittotal(ou une chaîne) lorsque ses éléments sont deux à deux compa- rables. Un ordreQ= (X,≤Q)est uneextensiondeP = (X,≤P)si∀x, y∈X,x≤P y impliquex≤Qy. De plus, siQest un ordre total, on dit queQest une extension linéaire deP. Pour toutY ⊆ X, le couple(Y,≤Y)où” ≤Y ”est la restriction de la relation
”≤P ”surY est un sous-ordre induit parY.
Pour tout ordre finiP = (X,≤P),rangest l’application deX dans l’ensemble des entiers naturelsNdéfinie par :
∀x∈X,
rang(x)=
0 six∈M in(P),
1 +max{y∈P red(x)}rang(y) sinon [1]
Lei−imeniveaudeP est le sous-ensembleNi−1 ={x∈ X/rang(x) =i−1}.
Les éléments d’un même niveau sont deux à deux incomparables. De plus,∀x∈Ni,∃x0, x1. . . , xi=xtels quex0≺px1≺p. . .≺pxi=x[1].
3. L’ORDRE D(P )
SoitP = (X,≤P)un ensemble partiellement ordonné quelconque. La notationD(P) désigne l’ensemble de toutes les antichaînes maximales (par inclusion) deP muni de l’ordre strict comme défini ci-dessous. SiD(P)n’est pas une chaîne, nous définissons de la même manière l’ordre strictD2(P)sur les antichaînes maximales deD(P). D’une ma- nière générale,Di(P)est l’ordre strict défini sur l’ensemble des antichaînes maximales deDi−1(P). Il a été démontré dans[1] que, dans le cas d’un ordreP fini, cette suite d’ordres ainsi construite converge vers un ordre total au bout d’un nombre fini d’étapes ne dépassant pas le nombre2d(P)−1.
Définition 3.1 SoientA, B deux antichaînes maximales deP,A <D(P) B si et seule- ment si∀a∈A,∃b∈Btel quea <P b.
Cette définition précise queA <D(P) Bsi et seulement si tout élément deAest stricte- ment inférieur à, au moins, un élément deB. Il a été démontré dans [1] que cela est aussi équivalent à dire :∀b ∈ B,∃a∈ Atel que,a <P b, c’est-à-dire tout élément deB est strictement supérieur, à au moins, un élément deA.
Remarque 3.1 Pour toute antichaîne maximaleAet tout élémentxn’appartenant pas àA,xest comparable à au moins un élément deA; sinon, on auraitAqui n’est pas maximale. De plus, si un élémentxest inférieur (resp. supérieur) à un élément quelconque ade A, alorsxest inférieur (res. supérieur) à tous les éléments de Aauxquels il est comparable. En effet, dans le cas contraire, si par exemple∃a1, a2∈Atels quea1<P x etx <P a2, on auraita1 <P a2, ce qui est en contradiction avec le fait queAest une antichaîne.
Le nombre d’étapes nécessaires pour transformer un ordre quelconque P en une chaîne est un invariant, notécdev(P), qui mesure de combienP manque pour être une chaîne. La figure 1 montre comment se forme la suite d’ordres P, D(P), D2(P),...
Di(P).
Figure 1.D4(P)est un ordre total, donccdev(P) = 4.
3.1. L’ordreD(P)dans un ordre d’intervalles
Dans cette section, après avoir rappelé quelques propriétés connues sur les ordres d’intervalles, nous introduisons de nouvelles propriétés qui sont induites par la notion de l’ordreD(P). En particulier, nous allons voir que siP est un ordre d’intervalles, alors tous les termes de la suite d’ordres(Di(P))isont des ordres d’intervalles.
Définition 3.2 On dit queP = (X, <P) est un ordre d’intervalles si, à tout élément x∈X, on peut associer un intervalleIx= [ix, tx]de la droite réelleRtel que :∀x, y∈ X, x <P ysi et seulement sitx<Riy.
Définition 3.3 Un2 + 2dans un ordre est une réunion disjointe de deux chaînes à deux éléments.
Proposition 3.1 [3]SoitPun ordre. Les propriétés suivantes sont équivalentes 1)Pest un ordre d’intervalles ;
2)Pne contient pas un2 + 2comme sous ordre ;
3)∀x, y∈X,Succ(x)⊆Succ(y)ouSucc(y)⊆Succ(x); 4)∀x, y∈X,P red(x)⊆P red(y)ouP red(y)⊆P red(x).
Remarque 3.2 [3]
1) Dans un ordre d’intervalles∀x, y, a, b∈X, six≤P yeta≤P b, alorsx≤P b oua≤P y.
2) La famille d’ensembles{Succ(x), x∈X}(resp.{P red(x), x∈ X}) muni de l’inclusion est un ordre total.
Figure 2.Les deux couvertures(c, e)et(b, d)induisent un 2+2, doncP n’est pas d’inter- valles.
Remarquons que, dans la figure 2, les deux antichaînes maximalesA={c, d}et{b, e}
sont en même temps disjointes et incomparables dansD(P). La proposition ci-dessous montre qu’une telle situation n’est pas tolérée dans un ordre d’intervalles.
Proposition 3.2 SoientA,Bdeux antichaînes maximales dans un ordre d’intervallesP.
AetBsont incomparables dansD(P)si et seulement siA∩B6=∅.
Preuve 3.1 On suppose AkD(P)B, mais A∩B = ∅. Alors∃a ∈ A tel que a n’est inférieur à aucun élément deB. CommeB est maximale eta /∈ B, alors∃b1 ∈ B tel queb1<P a. Par symétrie,∃b∈Bet∃a1∈Atels quea1<P b. Ainsi les deux couples (a1, b) et(b1, a)forment un 2 + 2. Absurde, car P est d’intervalles. Par conséquent, A∩B6=∅.
Réciproquement, Soitx∈A∩B, alorsx∈Aetxn’est inférieur à aucun élément deB, ceci implique queAn’est pas inférieure àB. Par symétrie, on trouve aussi queBn’est pas inférieure àA. Par conséquent, les deux antichaînes sont incomparables.cqf d
Lemme 3.3 SoientA,Bdeux antichaînes maximales incomparables dans un ordre d’in- tervallesPeta∈A\B,b∈B\A. Sia <P b, alors :
1)∀x∈A\B,∃y∈B\Atel quex <P y 2)∀y∈B\A,∃x∈A\Btel quex <P y
Preuve 3.2 1) Soitx∈A\B tel quex6=a. Six <P balors rien à démontrer.
Notons aussi qu’on ne peut avoirb <P x; sinon, on auraita <P x, ce qui serait en contradiction avec le fait queaetxsoient dans la même antichaîne maximaleA. Ainsi, on suppose quexkPb.
B étant maximale, doncx est comparable à au moins un élément de B, c’est-à-dire
∃y∈B\A,y6=atel quex <P youy <P x.
Supposons quey <P xcomme le montre la figure 3 ci-dessous. Ainsi, les deux couver- tures(a, b)et(y, x)ne devraient pas former un2 + 2, carP est un ordre d’intervalles.
Donc on devrait avoira <P youy <P a, ce qui impliquerait, respectivement,a <P x ouy <P b; ce qui est absurde, caraetx(resp. b et y) sont dans la même antichaîne maximaleA(resp. B). Par conséquentx <P y.
Figure 3.Les arcsabetyxsignifient quea <P bety <P x.
2) Un raisonnement identique au premier.cqf d
Théorème 3.4 SiP est un ordre d’intervalles, alors D(P)est aussi un ordre d’inter- valles.
Preuve 3.3 Soient(A, B),(X, Y)deux couvertures dansD(P). Il s’agit de montrer que ces deux couvertures ne peuvent pas former un2 + 2. Pour cela, supposons queAkD(P)Y et montrons qu’on a forcémentX <D(P)B.
Soitx∈X, alors soitx∈A∩X, ou bienx∈X\A.
–Cas1:x∈A∩X. CommeA <D(P)B, alors∃b∈Btel quex <P b.. . .(1)
–Cas2:x ∈ X\A. On aAkD(P)Y est équivalent àA∩Y 6= ∅(carP est d’in- tervalles), donc∃y ∈ A∩Y. CommeX <D(P) Y alors∃bx ∈ X (voir plus haut la définition équivalente) tel quebx <P y. Notons quey /∈X carxb∈X, doncy ∈A\X.
De mêmex /b ∈ A car y ∈ A, donc bx ∈ X\A. Et d’après le lemme précédent, pour x ∈ X\A,∃a ∈ A\X tel quex <P a. CommeA <D(P) B, alors∃b ∈ B tel que x <P a <P b.. . .(2).
De(1)et(2), on déduit queX <D(P)B. cqfd
Corollaire 3.5 SiP est un ordre d’intervalles, alors∀i = 1. . . cdev(P),Di(P)est un ordre d’intervalles.
Preuve 3.4 Il suffit d’appliquer le théorème 3.4 successivement àD(P), D2(P), . . . , Di−1(P).
cqfd
3.2. Extension linéaire d’un ordre d’intervalles
Pour pouvoir définir un certain paramètre caractérisant un ordre d’intervalles et dont la valeur de l’invariantcdev va dépendre, nous aurons besoin de la notion d’extension linéaire bien précise.
Définition 3.4 On noteLune extension linéaire dePvérifiant :
∀x, y∈X, x≤Ly⇒
P redP(x)⊆P redP(y) six, y∈M ax(P)
SuccP(y)⊆SuccP(x) sinon
[2]
L’existence d’une telle extension linéaire associée à un ordre d’intervalles est justifiée par laremarque3.2; l’exemple ci-dessous montre qu’elle n’est pas unique dans le cas où plusieurs éléments partagent les mêmes successeurs. D’une manière générale, on note Di(L)une extension linéaire de l’ordreDi(P)selon la définition3.4.
Exemple 3.1 .
Figure 4.L’ordreP admet deux extensions linéairesL1etL2, car les deux élémentsdet eont les mêmes successeurs,SuccP(d) =SuccP(e) ={g, h}
Remarque 3.3 Soientx, y, z∈P tels quex≤Ly.
Siy <P z, alorsx <P z. En effet, siy <P zalorsz∈SuccP(y)et doncy /∈M ax(P).
D’autre partx ≤L y ⇒ SuccP(y) ⊆ SuccP(x), ce qui donnez ∈ SuccP(x). D’où x <P z.
L étant un ordre total fini, donc pour toute partie de X, le plus grand et le plus pe- tit élément dansL existent et ils sont uniques. Pour toute partie de X, en particulier, pour toute antichaîne maximale A, posons M axL(A) (resp. M inL(A)) le maximum (resp. minimum) deAdans L. Dansl’exemple 3.1ci-dessus, pourA = {c, e, f}, on a M axL1(A) =M axL2(A) =c, de mêmeM inL1(A) =M inL2(A) =f. Posons aussi M in(L)(resp.M ax(L)) le plus petit (resp. le plus grand) élément dansL. Désormais, nous supposons que tous les ordres d’intervalles qui seront considérés sont munis d’une extension linéaireLdonnée par la définition3.4.
Proposition 3.6 SoientA,Bdeux antichaînes maximales dans un ordre d’intervallesP.
Les assertions suivantes sont équivalentes : 1)A=B;
2)M inL(A) =M inL(B).
Preuve 3.5 1)⇒2)
SiA = B, alors tout élément de Aest un élément de B, en particulierM inL(A) = M inL(B).
2)⇒1)
Supposons queM inL(A) = M inL(B), mais A 6= B.A etB sont maximales, donc
∃a ∈ A\B et∃b ∈ B\A, aveca 6= M inL(A)etb 6= M inL(B)tels quea <P bou
b <P a.
Supposons quea <P b. Par définition, on aM inL(A) ≤L a, doncM inL(A) <P b (remarque3.3) ; orM inL(A) =M inL(B), ce qui impliqueM inL(B)<P b. Absurde, carM inL(B)etbsont dans la même antichaîneB.
Un raisonnement identique si on suppose queb <P a.cqf d
La proposition 3.6 ci-dessus montre que dansL, un même élément ne peut pas être le minimum de plusieurs antichaînes maximales ; par contre, un même élément peut être le maximum de plusieurs antichaînes maximales dansL. En effet, dans l’exemple 3.1 ci-dessus, pour les antichaînes maximalesA = {b, c, f} et B = {c, e, f}, on a M axL1(A) =M axL1(B) =f, c’est-à-dire les deux antichaînes ont le même maximum dansL1.
4. CALCUL DE cdev POUR UN ORDRE D’INTERVALLES
Maintenant, nous considérons un ordre d’intervallesPpour lequel, il est possible de définir une suite finie(xn)n=1...mdansXde sorte que, le premier termex1=M in(L), le dernier termexm =M ax(L)et deux termes consécutifs quelconques sont incompa- rables. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une telle suite, nous dirons aussi quand elle est minimale. Enfin, nous donnons la relation entre cette suite et la valeur de l’invariant «cdev»
Définition 4.1 On définit la suite(xn)n=1,...,mdansXcomme suit : 1) Les éléments de la suite(xn)nsont deux à deux distincts.
2)x1=M in(L),xm=M ax(L)et pourn= 1,2, . . . , m−1, xnkpxn+1. NotonsH, les deux propriétés1)et2).
Une suite ainsi définie n’existe pas toujours, mais comme ses éléments sont deux à deux distincts etX est fini, on voit facilement qu’elle est finie dans le cas de son existence.
Ci-dessous, nous introduisons la notion de niveau dominant, juste après, nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une suite vérifiant la propriété H.
Définition 4.2 Un niveauNideP est ditdominantsi∀j < i,∀x∈Nj,∀y ∈Ni, on a x <P y, c’est-à-dire tout élémenty ∈Niest supérieur à tous les éléments dont lerang est inférieur à celui dey.
Dans la figure 5 ci-dessous,N2={6,7}est un niveau dominant deP, car chacun de ses éléments est supérieur à tous les éléments dont lerangest inférieur à 2. Par contre, le niveauN1={4,5}n’est pas dominant, car l’élément 2 par exemple, n’est pas inférieur à l’élément 4 même sirang(2) = 0< rang(4) = 1.
Figure 5.Niveau dominant
Remarque 4.1 Par convention :
1) SiPest réduit à un seul élément, c’est-à-direX ={x}, la suite(xn)nvérifiant Hexiste et elle est réduite à un seul élémentx1=M inL=M axL=x.
2) Le niveauN0n’est pas considéré comme dominant.
Lemme 4.1 SoientNiun niveau dominant etx, y∈ X tels quexkPy etrang(x)< i.
Alorsrang(y)< i.
Preuve 4.1 Raisonnons par l’absurde : on suppose querang(y)≥i, doncrang(y) =i ourang(y)> i, c’est-à-direy∈Niou∃a∈Nitel quea <P y(d’après la définition de l’applicationrang). Dans les deux casx <P y, ce qui est absurde.cqf d
Théorème 4.2 Une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une suite véri- fiant la propriétéHest quePne doit pas contenir de niveau dominant".
Preuve 4.2 Nous avons deux cas :
SiP contient un seul niveau, alors une suite vérifiantH existe sans condition. En effet, cet unique niveau n’ est, sans doute, pas dominant d’après la convention précédente.
Ainsi,P est un ordre total réduit à un seul élément ou bien une antichaîne. SiP est un ordre total réduit à un seul élément, alors(xn)nexiste (d’après la convention précédente).
SiP est une antichaîne, alors ses éléments sont deux à deux incomparables. Là aussi, la suite vérifiantHexiste, il suffit de poserx1=M inLetx2=M axLet on aura une suite finie avec deux termes.
1) 2) Supposons maintenant queP contient au moins deux niveaux.
La condition est nécessaire.
SoientNi, i > 1,un niveau dominant,a∈Niet(xn)nune suite telle quex1 =M inL et∀n≤1, xnkPxn+1. La suite ainsi définie ne converge jamais versM axL, c’est-à-dire elle ne vérifie jamais H. En effet, rang(x1) = 0 < i et x1kPx2, donc d’après le lemme précédent,rang(x2) < i; pour la même raison, on aura aussirang(x3) < i, rang(x4) < i, . . ., c’est-à-dire∀n, rang(xn) < i. CommeNi est un niveau dominant, alors∀n, xn <P a, donc∀n, xn <L a ≤L M axL. Par conséquent,∀n,(xn)n ne peut être égal àM axL. D’où la condition est nécessaire
La condition est suffisante.
Ici, nous supposons qu’aucun niveau n’est dominant. Posonsx1 = M inL ∈ N0.N1
n’est pas dominant, donc ∃x ∈ N0,∃y ∈ N1 tels que xkPy. Notons que d’après la remarque3.3 et la définition3.4,x1 <P y. Ainsi, on posex2 =x∈N0,x3 =y ∈ N1. De mêmeN2n’est pas dominant, donc∃x ∈ N1,∃y ∈ N2tels quexkPy. Six3 = x, on posex4 = y ∈ N2; sinon, on posex4 = x∈ N1,x5 = y ∈ N2. On continue de la même manière. CommePest fini, alors le nombre de niveaux est fini. SoientNd(P)−2 l’avant dernier niveau dePetxn∈Nd(P)−2le dernier terme de la suite ainsi construite.
Nd(P)−1 n’est pas dominant donc ∃x ∈ Nd(P)−2,∃y ∈ Nd(P)−1 tels que xkPy. Si xn = x, on pose xn+1 = y; sinon, on posexn+1 = x, xn+2 = y ∈ Nd(P)−1. Si y = M axL, on s’arrête ; sinon, on aykPM axL, cary etM axLsont dansNd(P)−1 qui est une antichaîne, et on posexn+3 =M axL. Cette suite ainsi construite vérifie la propriétéH. D’où la condition est suffisante.cqf d
4.1. L’ordre d’intervalles sans niveau dominant
Dans cette section, nous supposons que l’ordrePne présente aucun niveau dominant.
Ici, nous nous intéressons aux suites minimales pourH, c’est-à-dire celles vérifiant la propriétéH et ayant une cardinalité minimale. Là aussi, nous allons voir qu’une suite minimale pourH peut ne pas être unique. Plus encore, nous allons voir à la fin que le cardinal d’une suite minimale pourH est un invariant qui ne dépend que de l’ordreP, c’est-à-dire qu’il est indépendant du choix d’une extension linéaire associée àP selon la définition3.4.
Définition 4.3 NotonsI(P)le cardinal d’une suite minimale pour la propriétéH.
Lemme 4.3 Soient(xn)n=1,...,m,(yn)n=1deux suites dansXvérifiantH. Si(yn)n=1,...,l
est une suite minimale pourHtelle que :yk≤Lxkpourk= 1,2, . . . l, alors(xn)n=1,...,m est aussi minimale pourH.
Preuve 4.3 On a y1 ≤L x1,y2 ≤L x2,· · ·yl = M axL ≤L xl. CommeM axL est l’élément le plus grand dansL, alorsyl =xl =M axL. Par ailleurs, on a aussixm = M axL, doncxm=xl. Puisque les éléments de la suite vérifiantHsont, par définition, deux à deux distincts, alorsm=l. Par conséquent,(xn)n=1,...,mest minimale pourH.
cqfd
La proposition ci-après montre comment construire une suite minimale pour la propriété H.
Proposition 4.4 SoientP un ordre d’intervalles sans niveau dominant et(xn)n=1,...,m une suite vérifiant :
1)x1=M in(L)
2) Pourn= 1, . . . , m−1,xn+1=M axL{x∈X/xnkpx, xn<Lx}.
Alors la suite(xn)n=1,...,mest minimale pourH.
Preuve 4.4 Montrons tout d’abord que la suite ainsi construite converge vers M axL.
Nous raisonnons par l’absurde en supposant le contraire, c’est-à-direlimn−→mxn = xm 6=M axL. D’après la définition de(xn)n, cela impliquerait quexm <P ydès que xm <L y, ce qui implique, d’après la remarque3.3, quex <P y pour tousx, ytels que x <Lxm<Ly.
Par ailleurs, puisque P est sans niveau dominant, il existe une suite (yn)n=1...l véri- fiant la propriété H, donc limn−→lyn = M axL. Ainsi, ∃i ∈ {1,2, . . . , l} tel que yi ≤L xm <L yi+1, avec, bien sûr,yikPyi+1. Or, d’après notre hypothèse, on devrait avoiryi <P yi+1, ce qui est absurde. Par conséquent, la suite (xn)n converge vers M axL.
Montrons maintenant que la suite(xn)nvérifieH. Il est clair que pourn= 1,2, . . . , m, xnkPxn+1, et quexn <L xn+1 tant que xn 6= M axL, ce qui veut dire que cette suite est strictement croissante, donc ses termes sont deux à deux distincts. D’où la suite (xn)n=1,...,mvérifieH.
Il reste maintenant à démontrer qu’elle est minimale pour cette propriété. Pour cela consi- dérons une autre suite(yn)n=1,...,kdansXque l’on suppose minimale pourH. D’après le lemme 4.3, il suffit de montrer, par récurrence, que pour toutn= 1, . . . , k,yn≤Lxn. Pourn= 1,y1=x1=M in(L)doncy1≤Lx1. Supposons que pourn < m,yn≤L xn
et montrons que la propriété demeure vraie pourn+ 1, c’est-à-direyn+1 ≤L xn+1. Si l’on suppose le contraire, c’est-à-direxn+1 <Lyn+1, d’après la définition dexn+1, on auraitxn<P yn+1. Or, d’après l’hypothèse de récurrence et la remarque 3.3, on aurait aussiyn <P yn+1, ce qui est absurde carynkPyn+1. cqfd
Exemple 4.1 Dans l’exemple 3.1, les termes d’une suite minimale pourHpar rapport à L1sont :x1 =M inL1=a;x2=M axL1{x∈X/akpx, a <L x} =M axL1{b, c} = c;x3 = M axL1{x ∈ X/ckpx, c <L x} = M axL1{e, f} = f;x4 = M axL1{x ∈ X/fkpx, f <L x} = M axL1{g} = g; x5 = M axL1{x ∈ X/gkpx, g <L x} = M axL1{h}=h=M ax(L1).
On retrouve la même suite par rapport àL2.
Remarque 4.2 Soit(xn)n=1,...,mune suite dansX donnée par la proposition 4.4. Pour n = 1, . . . , m−1, si A ∈ D(P)tel que{xn,xn+1} ⊆ A, alorsM axL(A) = xn+1. En effet, dans le cas contraire, c’est-à-direxn+1 <L M axL(A)on aurait, d’après la définition dexn+1,xn<P M axL(A)et cela serait en contradiction avec le fait quexn
etM axL(A)soient dans la même antichaîne maximaleA.
Lemme 4.5 SoientPun ordre d’intervalles etA∈D(P). Alors : 1) SiM in(L)∈A, alorsA=M in(D(L));
2) SiM ax(L)∈A, alorsA=M ax(D(L)).
Preuve 4.5 1) Il s’agit de montrer que, pour toutB ∈D(P),A≤D(L)B, c’est- à-direSuccD(P)(B)⊆SuccD(P)(A), ou encore tout élément supérieur àBdansD(P) est aussi supérieur àA.
SoitC ∈ D(P)tel queB <D(P) C, alors∀c ∈ C,∃b ∈ B tel queb <P c. Ainsi,c est un successeur deb. D’après la définition deL,cest aussi un successeur deM in(L), c’est-à-direM in(L) <P c, ce qui veut dire que∀c ∈ C,∃a = M in(L) ∈ Atel que a <P c. DoncSuccD(P)(B) ⊆ SuccD(P)(A); ceci veut dire queA ≤D(L) B et cela
∀B∈D(P). Par conséquent,A=M in(D(L)).
2) Par symétrie, on retrouve un même raisonnement que pour1). cqfd
Nous allons voir maintenant que dans un ordre d’intervalles, la propriété de ne pas avoir de niveau dominant est conservée par tous les termes de la suite d’ordresD(P), D2(P), . . . , Dcdev(P)(P). Nous allons voir aussi que, pouri= 1, . . . , cdev(P), le car- dinal de la suite minimale dansDi(P)est égal au cardinal de la suite minimale dans Di−1(P)moins une unité.
Proposition 4.6 Soient P un ordre d’intervalles non réduit à un seul élément et sans niveau dominant et(xn)n=1,...,mune suite dansPvérifiant les hypothèses de la proposi- tion 4.3. Si(An)n=1,...,m−1est une suite dansD(P)telle que, pourn= 1, . . . , m−1, {xn, xn+1} ⊆An, alors la suite(An)n=1,...,m−1est minimale pourH dansD(P).
Preuve 4.6 D’après le lemme 4.5 précédent, comme x1 = M in(L) ∈ A1 et xm = M ax(L)∈Am−1, alors on a, respectivement,A1=M in(D(L))etAm−1=M ax(D(L)).
D’autre part, les éléments de la suite(An)nsont deux à deux distincts, car ceux de(xn)n
le sont. Enfin, pourn= 1, m−2,xn∈An∩An+1, ce qui veut dire queAnkD(P)An+1. D’où(An)n=1,...,m−1est une suite dansD(P)vérifiant la propriétéH.
Montrons maintenant que(An)n=1,...,m−1est minimale pourH.
Soit(Bn)n=1,...,kune suite minimale pourHdansD(P), montrons alors quek≤m−1.
Notons que, d’après la remarque 4.2 ci-dessus, pour la suite(An)n=1,...,m−1, il corres- pond la suite(M axL(An))n=1,...,m−1telle que pourn= 1, . . . , m−1,M axL(An) = xn+1 . Soit (M axL(Bn))n=1,...,k la suite associée à (Bn)n=1,...,k. Ainsi, d’après le lemme 4.3, si pour toutn= 1, . . . , m−1, on aM axL(Bn) ≤L M axL(An) = xn+1, alors la suite(An)n=1,...,m−1est minimale pourH.
Pourn = 1 et par définition, on a A1 = B1 = M in(D(L)), doncM axL(A1) = M axL(B1). Supposons que M axL(Bn) ≤L M axL(An)pour un certain n, et mon- trons queM axL(Bn+1) ≤L M axL(An+1). Si l’on suppose le contraire, c’est-à-dire M axL(Bn)≤L M axL(An) =xn+1etM axL(An+1) =xn+2 <L M axL(Bn+1), on auraitM axL(Bn) <P M axL(Bn+1), car la suite(xn)n vérifie l’hypothèse de la pro- position 4.3, donc, d’après la remarque 3.3,∀b∈Bn,b <P M axL(Bn+1), c’est-à-dire
∀b ∈ Bn,∃M axL(Bn+1) ∈ Bn+1 tel queb <P M axL(Bn+1), ce qui impliquerait, d’après la définition de l’ordreD(P), queBn <D(P) Bn+1. Absurde, car nous avons déjàBnkD(P)Bn+1,. D’où la suite(An)n=1,...,m−1est minimale pourH.cqfd
Corollaire 4.7 SiPest un ordre d’intervalles non réduit à un seul élément et sans niveau dominant, alors
1)D(P)est sans niveau dominant ; 2)I(D(P)) =I(P)−1.
Preuve 4.7 1)(An)nétant une suite vérifiantH, doncPest sans niveau dominant (théorème 4.2).
2)(An)n=1,...,m−1étant minimale pourH, doncI(D(P)) =m−1 =I(P)−1.
cqfd
Corollaire 4.8 SiP est un ordre d’intervalles non réduit à un seul élément et sans ni- veau dominant, alors pour touti= 1, . . . , cdev(P),Di(P)est sans niveau dominant et I(Di(P)) =I(Di−1(P))−1.
Preuve 4.8 D’après le corollaire 3.5,∀i= 1, . . . , cdev(P), Di(P)est un ordre d’inter- valles, donc il suffit de répéter l’application du corollaire 4.6 jusqu’à ce que l’on trouve un ordre total. cqfd
Exemple 4.2 .
Figure 6.Les suites minimales pour la propriétéHdePetD(P).
Lemme 4.9 Dans un ordre d’intervalles sans niveau dominant, on a : 1) SiI(P) = 1alorsP est un ordre total réduit à un seul élément.
2) SiI(P) = 2alorsP est une antichaîne.
Preuve 4.9 1) Si I(P) = 1alors toute suite vérifiant H est réduite à un seul élémentx=M in(L) =M ax(L), doncLest réduit à un seul élément, ce qui veut dire quePest un ordre total réduit à un seul élément.
2) SiI(P) = 2, alors∃x1 =M in(L), x2 =M ax(L)tels quex1kPx2. Suppo- sons queP n’est pas une antichaîne, alors∃x, y ∈ P tels quex1 ≤L x <P y ≤L x2, ce qui implique, d’après la remarque 3.3, quex1 <P y ≤L x2. D’autre part, comme x2 =maxL, alors (Par définition de L)P redP(y)⊆ P redP(x2). Or,x1 ∈P red(y), donc x1 ∈ P redP(x2), c’est-à-direx1 <P x2. Absurde, par conséquent, P est une antichaîne. cqfd
Théorème 4.10 SoitP un ordre d’intervalles sans niveau dominant. Alors,cdev(P) = I(P)−1.
Preuve 4.10 On utilise la démontration par récurrence surI(P):
SiI(P) = 1,Pest un ordre total réduit à un seul élément, donccdev(P) = 0 =I(P)−1.
SiI(P) = 2,Pest une antichaîne, donccdev(P) = 1 =I(P)−1.
Maintenant, on suppose que pour tout ordrePtel queI(P) =m, on acdev(P) =I(P)−
1. Montrons que pour un ordreQtel queI(Q) =m+ 1, on a aussicdev(Q) =I(Q)−1.
SoitQun ordre d’intervalles sans niveau dominant tel queI(Q) =m+ 1. On sait que cdev(Q) = cdev(D(Q)) + 1et d’après le corollaire 4.6,D(Q)est un ordre d’inter- valles sans niveau dominant etI(D(Q)) = I(Q)−1 = m. Et d’après l’hypothèse de récurrence,cdev(D(Q)) =m−1. D’oùcdev(Q) = 1 +m−1 =I(Q)−1. cqfd Remarque 4.3 Nous avons dit plus haut que le choix de l’extension linéaire associée àP n’importe pas. En effet, soientL, L0 deux extensions linéaires deP. NotonsI(P),I0(P) les cardinaux des suites minimales pourH associées àP, calculés, respectivement, dans L, L0. Alors, d’après le théorème ci-dessus,cdev(P) =I(P)−1 = I0(P)−1; ce qui impliqueI(P) =I0(P).
5. Bibliographie
[1] T.Y.KONG, P.RIBEMBOIM, « Channing of Partially Ordered Sets », C.R.Acad.Sci. Paris, t.
319, Série I,p.533-537,1994.
[2] B. SADI, « Suite d’Ensembles Partiellement Ordonnés »,ARIMA, vol. 4, 2006.
[3] P.C.FISHBURN « Interval Orders and Interval Graphs : a Study of Partially Ordered Sets 1985. »Wiley, New York.
[4] W.T.TROTTER« New Perspectives on Interval Orders and Interval Graphs. » Department of Mathematics, Arizona State University, Tempe, Arizona 85287 U.S.A.
[5] M HABIB, L NOURINE« Bit-Vector Encoding for Partially Ordered Sets. » - Orders, Algo- rithms, and Applications, 1994 - Springer
[6] R. P. DILWORTH« Some Combinatorial Problems on Partially Ordered Sets. »Proc. Sympos.
Appl. Math., Vol. 10, 1960, pp. 85-90.
[7] W.T.TROTTER« Combinatories and Partially Ordered Sets : Dimension theory. » John Hop- kings.Press.1991
[8] F. DISANTO, E.PERGOLA, R. PINZANI,S. RINALDI« Generation and Enumeration of Some Classes of Interval Orders. »Springer Science+Business Media B.V. 2012.
[9] NATHALIE CASPARD, BRUNO LECLERC, BERNARD MONJARDET« Ensembles ordonnés finis : concepts, résultats et usages. »Springer 2007.
