Automatic Verification and Conformance Testing for Validating Safety Properties of Reactive Systems

HAL Id: inria-00483945

https://hal.inria.fr/inria-00483945

Submitted on 17 May 2010

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Automatic Verification and Conformance Testing for Validating Safety Properties of Reactive Systems

Vlad Rusu, Hervé Marchand, Thierry Jéron

To cite this version:

Vlad Rusu, Hervé Marchand, Thierry Jéron. Automatic Verification and Conformance Testing for

Validating Safety Properties of Reactive Systems. Formal Methods 2005 (FM05), Jul 2005, Newcastle,

United Kingdom. pp.189-204, �10.1007/11526841_14�. �inria-00483945�

12 &$/435 '#%(7698:;<-,=#?>@- ABC3D6E,.F,

?

GIHKJMLN-OQPRO.SUTFVXWRYMZ[\J]W_^_`QJ]aQL.SbJcaQLd`UeKV2WfWRghMZ2Wfica

jlknm7o%p(qsrutUo%pUv7knmwkxoctAqzyMm

{}|{~M€(2{ƒ‚|{ƒ€…„%†‡Xˆ&‰xŠM‹AŒMFŽ_‡XŠx‘‘_ŠQ„b|’_“x“M_‹_„M”M•–‡X“M—_

˜'™lš_›_œbžX› Ÿ¡

¢‹‰b‡2‰uf•‰c•s_‹z_“%£s‹‡—f¤¥ˆ§¦M‘“b‡2£s‘¤X“&¤X¨Q©nf•s«ªb—_‡2£s‘¤¥“'‡X“xŒ—_¤¥“c¨¬¤2•z­

ˆ‡2“x—_£s_‹£s‘“M®£s_— ¡ “x¢¯%Šx_‹°¨K¤X•±£ ¡ ¨¬¤2•sˆ‡XM©¥‡2¢¢ŒM‡2£s‘¤¥“&¤2¨u•s‡X—f£s‘©nA‹²c‹£s_ˆ&‹_³¥€

¨K¤X•sˆ‡XM‹z‰u_—_«ªb—_‡2£s‘¤¥“&¤2¨w‡‹²M‹£sfˆ5„X´

¡

¢—

¡

ˆ‡_²…¦uµ‘“Mªb“M«£sf­¶‹£–‡2£s¥„n‡X“bŒ§‡(‹zf£¤X¨

‹s‡¨¬f£}²‰M•s¤¥‰uR•z£s¢f‹µ‡2•s‡X‹z‹zŠMˆ&ŒQ³]·±‡X— ¡ ‰M•s¤¥‰uR•z£ƒ²‘‹©¥f•s«ªbŒ¤X“£ ¡ ‹z‰uf—_«ªb—‡­

£s‘¤¥“Šx‹z‘“x®I‡XŠc£s¤¥ˆ‡£s¢—’£s_—¡ “x¢¯%Šxf‹¦b‡2‹zŒ'¤X“D‡2¦x‹£z•–‡2—f£A‘“]£sR•s‰M•sf£–‡£s¢¤X“7„]´ ¡ ‘—¡

‡•sE‹z¤¥Šx“xŒQ„¦xŠc£„‡2‹'‡‰M•s‘—_D£s¤‰x‡_²\¨K¤X•D‡XŠc£s¤¥ˆ‡2£s‘¤X“7„‡2•sE“x¤2£“x_—f_‹z‹s‡2•s‘«²

—_¤Xˆ&‰x‘f£s¥³n‚(f¸]£„n¨K¤X•_‡X— ¡ ‰c•s¤¥‰uf•z£}²%„%‡£s_‹£—_‡X‹z(‘‹µ‡2ŠM£s¤Xˆ‡2£s‘—‡X‘«²&®X_“xf•–‡£sŒ

¨¹•s¤¥ˆº£¡ -‹z‰u_—_«ªx—‡2£s‘¤¥“»‡2“bŒ£¡ -‰M•s¤¥‰uR•z£ƒ²%„x‡X“bŒ¢‹’f¸c_—_Šc£sŒD¤X“‡¦x¢‡X—–¼%­}¦u¤¸

‘ˆ&‰x‘_ˆ&f“]£–‡£s‘¤¥“\¤X¨-£¡ D‹²M‹£sfˆ£s¤½ŒMf£sf—f£©]¢¤X¢‡2£s‘¤¥“M‹¤2¨-£ ¡ 5‰c•s¤¥‰uf•z£}²<¦%²

£¡ ‘ˆ&‰x‘_ˆ&f“]£–‡£s‘¤¥“‡X“xŒ&“x¤¥“c­¶—_¤¥“c¨¬¤X•sˆ‡2“x—_f‹¦uf£}´__“‘ˆ&‰x‘_ˆ&f“]£–‡£s‘¤¥“‡X“xŒ

‹z‰u_—f‘ªx—‡2£s‘¤X“7³c{}¨U£ ¡ ’©nf•s«ªx—‡2£s‘¤¥“'‹£s_‰'ŒM¢Œ&“x¤2£—_¤X“x—_‘ŠxŒM¥„%£¡ A£sf‹£µf¸c_—_Šc£s¢¤X“

ˆ‡_²‡X‘‹z¤ŒMR£s_—f£A©]‘¤¥¢‡2£s‘¤¥“M‹¤2¨l£

¡

-‰c•s¤¥‰uf•z£}²'¦]²&£

¡

‹z‰u_—_«ªx—‡2£s‘¤¥“Q³

¾D¿]À7Á… œ2Ãlš¥Ä ©nf•s«ªb—_‡2£s‘¤¥“Q„x—_¤X“M¨K¤X•sˆ‡X“M—_£s_‹£s‘“x®c„x‹²cˆI¦u¤¥‘‘—£s_‹£A®¥_“Mf•–‡2£s‘¤X“

Å ÆxǒÈuÉUÊ-ËI̅ÍwÈUÎsʒÇ

ÏUicWfÐEJ]HuYMV2Wfe¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMaDJcaQL5^icaUÓÔicWfÐ5JcaQ^V(ÒfVXP–ÒReKaUÕJ]WfVÒsÖiÖ(V2HKH¢×VXP–ÒfJcØUHKeKPR`UVXLDJ]ÙQÙUWRixJc^_`UV¥P

ÓÔicWFY%J]HKe¬LUJ%Òfe¹aUÕEWfVXJM^Òfe¹YMVPRguPsÒfV2ÐEPXÚQÛ(i]ÒR`½JcÙUÙUWfiMJc^_`QVXP^iMaQP–e¬P–ÒFe¹a½^_`UV¥^_ÜxeKaUÕDÒR`QV'^iMaQP–e¬P–×

ÒRV2a7^g»ØwVÒsÖ(V2VXa»ÒsÖ(i5WRVXÙUWfVXPRV2axÒfJ]ÒReKicaQPi]ÓµJ5P–guP–ÒRV2ÐÝ

Þ

ÓÔicWfÐEJ]H(YcV2Wfe¹Ñ7^2J]ÒReKica ÒsgbÙUeK^XJ]HKH¹gß^2icÐ5ÙQJ]WfVXPJ½ÓÔiMWRÐEJ]H…àƒáUâ_ã2äåã_æ%çƒä¶è%é i]ÓFÒf`UVPRguPsÒfV2Ð

Ö-e¢Òf`WRV¥P–ÙwVX^Ò-ÒRiEP–iMÐ5V§`Qe¹ÕM`UV2WR׃HKV2YMV2HlWfVXêxOUeKWRV¥L5áwëfèfáQâëçƒä¶âàì

Þ

^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V…ÒfVXP–ÒReKaUÕí¹îMSï¥ð^icÐ5ÙQJcWRV¥PAÒf`UV&icØ7P–VXWRY%J]ØQH¹V§Ø7VX`QJnYbe¹iMOUWi]ÓJØQHKJM^_ÜM×Øwinñ

äóòFálô¹â2ò5â2éQçzæ%çƒä¶è%éicÓ±Òf`UVP–guP–ÒRVXÐõÖ-e¹ÒR`$ÒR`QJ]ÒFLuVXPf^Wfe¹ØwVXL$ØbgEÒf`UVP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa.Ú

ö ÓÔicWfÐEJ]H.Y%JcH¹e¬LUJ%Òfe¹iMa÷^_`QJ]eKaÓÔicWIWRV¥Jc^ÒReKYcVPRgbP–ÒRVXÐEP2Sw^icÐØUeKaUe¹aQÕYcVXWRe¹Ñ7^2J]ÒReKica½J]a7L½^icaU×

ÓÔicWfÐ5JcaQ^V§ÒfVXP–ÒReKaUÕQSuÐEJngaQJ]ÒROUW_J]HKHKg»^iMaQP–e¬P–ÒicÓ±Òf`UVÓÔicHKH¹i%Ö-eKaUÕEP–ÒRV2Ù7P2Ý

îcÚ(ÒR`UV&ÙQWRiMÙ7VXW–Òfe¹V¥P-J]WfV§JcOuÒRiMÐ5J]ÒRe¬^2JcH¹HKgYcVXWRe¹ÑQV¥Lica$Òf`UVP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa.ì

ø Ú(ÒRV¥PsÒ^2JcPRVXP±J]WfVAJ]OuÒficÐEJ%ÒfeK^XJ]HKH¹g…LUV2Wfe¹YMVXL§ÓÔWficÐùÒf`UVPRÙwVX^e¹Ñ7^XJ%ÒReKicaJcaQLIÒR`UVÙUWficÙwV2WRÒReKVXPXì

ú Ú(ÒR`UVÒRVXP–ÒI^XJcPRVXP-J]WfV&VñuV¥^OuÒfVXL$icaÒf`UVØUH¬Jc^_Üx×Ø7inñeKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKica½i]ÓÒR`QV'P–guP–ÒRVXÐ$S

ÒRi ^_`UVX^_Ü<ÒR`UV$PRJ]ÒRe¬PsÓ¶JM^Òfe¹iMaßi]Ó-ÒR`QV»ÙUWficÙwV2WRÒReKVXP'Øxg Òf`UV»eKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKicaûJcaQL+ÒR`QV

^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2VIØwVÒsÖ(V2VXa$eKÐ5ÙUHKV2Ð5V2axÒfJ]ÒReKicaJ]aQLPRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica.Ú

?

^Ÿ¡ ¨KŠx‘7©¥f•s‹z‘¤¥“5¤2¨°£¡ ‘‹µ‰b‡2‰uf•’¢‹’‡©X‡X‘¢‡X¦x‘…‡X‹A{}|{~M€ß•s_‰u¤X•z£Fü‘ýþ2ÿÔ³

P–e¬LuV2WFJ5ÕMV2aUVXWfJcH°^H¬JcPfPi]ÓµP–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMaQPÖ-`Ue¬^_`$ÐEJngØwV&eKauÑQaUe¹ÒRV2×P–ÒfJ]ÒRV¶JcOuÒRiMÐEJ%ÒfJ5V2ñb×

ÒRV2a7LuVXLßÖ-e¹ÒR`ßY%JcWRe¬J]ØUHKVXPXS.Ö-`Ue¬^_` ^iMÐ5Ð'OUaUe¬^2J]ÒRVÖ-e¹ÒR`+Òf`UV»VXabYxeKWficaUÐ5V2axÒØbg\Ð5V¥J]aQP'i]Ó

e¹aUÙQOuÒfPAJcaQLicOuÒfÙUOuÒfPµ^XJ]WfWRgbeKaUՅÙ7J]W_J]Ð5VÒfV2W_PÚzaÒR`QeKPAPRVÒRÒReKaUÕQSnÒf`UV-YcVXWRe¹Ñ7^XJ%ÒReKicaPsÒfV2ÙÔeKa

ÙQJ]WRÒRe¬^OUH¬J]W¥SlÓÔicWPRJ]ÓÔVÒsg\ÙQWRiMÙ7VXW–Òfe¹V¥P§e¬POUa7LuVX^2eKLUJcØUHKVcÚ zaßiMWfLuVXWÒRi÷ÜMV2VXÙ e¹ÒJcOuÒRiMÐ5J]ÒRe¬^

J]aQL$V2a7P–OUWfVÒR`7J%҅e¹ÒIJ]HKÖJngbPÒfV2WfÐDeKaQJ]ÒRVXPXSUÖ(VJcLuiMÙu҅J]ÙQÙUWRinñueKÐEJ%ÒRVMSU^iMaQP–VXWRY%J]ÒReKYcV§YcV2Wfe¹×

Ñ7^2J]ÒReKicaÒRVX^_`QaUeKêxOUV¥P(ØQJcPRVXLicaJ]ØQP–ÒRW_Jc^Ò(eKaxÒRVXWRÙUWfVÒ_J%Òfe¹iMa\íXðƒSuÖ-`QeK^_`$ÐEJngV2e¹ÒR`UVXW-ÙUWfi%YcV

ÒR`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsgcSuiMW(ÒRV2WfÐ5e¹a7J%ÒRV&Ö-e¹ÒR`½JRLuica Ò-ÜbaUi%Ö§J]a7P–Ö(V2W¥Ú

d`UVÐEJce¹a ^icaxÒfWReKØUOuÒfe¹iMa÷i]ÓAÒf`UV5ÙQJ]ÙwV2W§HKe¹V¥PIeKa<ÒR`UV5P–V¥^iMaQL÷P–ÒRV2Ù i]ӒÒR`UVDÙUWficÙwiMPRVXL

YnJcH¹e¬LUJ]ÒReKica ^_`QJce¹a.ÚÒe¬P'JÒfVXP–ÒÕMV2aUVXWfJ]ÒReKicaßJ]HKÕciMWRe¹ÒR`UÐÒR`QJ]Ò'Ò_J]ÜcV¥PeKaxÒRi\JM^2^iMOUaxÒÒR`QV

e¹auÑ7aUe¢ÒfV×zPsÒ_J%ÒfV§a7J%ÒROQWRVi]ÓÒR`UV&PRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKicaQPJcaQLÒf`UV&eKaQ^iMÐDÙQH¹V2ÒRV2aQVXPfPicÓ±Òf`UV&YcVXWRe¹Ñ7^2J]×

ÒReKica+PsÒfV2Ù.Ú±d`QV5JcH¹ÕMicWfe¢Òf`UÐÒfJcÜcV¥P§JMPe¹aQÙUOuÒfP'J$PRÙwVX^e¹Ñ7^XJ%ÒReKica J]aQL+J$PRJ]ÓÔVÒsg÷ÙQWRiMÙ7VXW–ÒsgMS

J]aQL\ÙUWRiuLuO7^VXPJ»ÒRV¥PsÒ^2JMP–V'ÓÔicW&^_`UV¥^_ÜxeKaUÕ»ÒR`UVE^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V'ØwVÒsÖ(V2VXa<JÕceKYcV2a<e¹Ð5ÙUHKV×

ÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa<JcaQL÷Òf`UVEP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa.S°J]aQL÷ÒR`UVEPfJ%ÒfeKP–Ó¶Jc^ÒReKica\icÓAÒR`QV5PfJ%ÓÔV2Òsg½ÙUWficÙwV2WRÒsg$Øbg

ÒR`UV-eKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKica.Úcdi&LuVXJcHuÖ-e¢Òf`Ee¹aUÑQaUe¹ÒRV×zP–ÒfJ%ÒfV-P–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMaQPµJ]aQLDÙUWficÙwV2WRÒReKVXPXSnÒR`QV

J]HKÕcicWfe¹ÒR`Uкe¬P(à%ò_è]ô‘ä¶ãÝMe¢Ò’LUixV¥PµaUicÒµJ]ҖÒfV2Ð5ÙuÒAÒfi§VXabOUÐ5V2W_J%ÒRV(Òf`UVÔÙwi]ÒfV2axÒRe¬J]HKH¹ge¹aUÑQaUe¹ÒRV

LuicÐEJ]eKa»icÓ°ÒR`UV&PRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica PYnJcWRe¬J]ØQH¹V¥P2SxØUOuÒ-LuVXJcHKP(Ö-e¹ÒR`»ÒR`UV§Y%J]WfeKJcØUH¹V¥P’ØbgEÐ5VXJcaQPi]Ó

P–gbÐ'ØwicHKe¬^&^icÐ5ÙUOUÒfJ%Òfe¹iMaQPXÚ ö PFJE^2icaQPRVXêxOUVXaQ^V&icÓÒf`UVeKaQ^iMÐ5ÙUH¹V2ÒRVXaUVXPfP-i]ÓÒR`QVYcVXWRe¹Ñ7^2J]×

ÒReKicaEPsÒfV2Ù.S]ÒR`UV-ÒfVXP–Ò’^2JMP–V¥PÕcV2aQV2W_J%ÒRV¥L'ØbgicOUWAJcH¹ÕMicWfe¢Òf`UкÐEJng'J]H¬PRiLUVÒRV¥^ÒAYbeKicH¬J%ÒReKica7Pi]Ó

ÒR`UVÙQWRiMÙ7VXW–ÒsgØbg»ÒR`UVEàƒáQâ_ãäå(ãfæ]ç}ä¶è]éÖ-`UVXa$V2ñuVX^OUÒRVXLiMa$ÒR`UVEäóò…áwô¹â2òEâé7çæ]ç}ä¶è]éQÚlTFV2a7^VcS

ÒRVXP–ÒFVñuV¥^OuÒfe¹iMaÐEJng»LuV2ÒRV¥^ÒFicaQV§iMWFP–VXYcVXWfJcHwicÓ±Òf`UVÓÔicHKH¹i%Ö-eKaUÕDe¹a7^ica7P–e¬PsÒfV2aQ^2e¹V¥P2Ý

Þ

Ybe¹iMHKJ]ÒReKica$i]Ó±Òf`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsgØbgEÒR`QVP–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa.S

Þ

Ybe¹iMHKJ]ÒReKica$i]Ó±Òf`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsgØbgEÒR`QV&e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica±S

Þ

Ybe¹iMHKJ]ÒReKica$i]Ó^2icauÓÔiMWRÐEJcaQ^V§Ø7V2ÒsÖVXV2aeKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa$JcaQLP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa.Ú

d`UVXPRV&WRV¥P–OQH¢Ò_PFJ]WfV&WRV2ÒROUWfaUV¥L$ÒRiEÒf`UVOQPRV2WFeKaÒR`QV&ÓÔicWfÐ icÓÒRVXP–Ò…YMV2W_LueK^ÒfPXSQJ]a7LÐ5Jng

Ø7VIV2Ð5ÙUHKi%gcVXLÒfi&ÑUñEV2WfWRiMWfPeKaEÒf`UVFeKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa.SbP–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa.SciMWµÒR`UVIÙUWficÙwV2WRÒReKVXPXÚ

d`UV5WRV¥PsÒ&i]ÓÒR`UV5ÙQJcÙ7VXW&eKPiMWRÕxJ]aUe¬PRVXL÷JMP§ÓÔicHKH¹i%ÖFPXÚ bVX^ÒReKica ø ÙQWRV¥P–VXaMÒ_PIÒR`UVEÐ5iuLuV2H

i]ÓzaUÙQOuҖ×IOuÒRÙQOuÒbgbÐ'ØwicHKeK^Id±W_J]aQPRe¹ÒReKicabguP–ÒRVXÐ5Pud !J]aQL°SbeKa"bV¥^Òfe¹iMa ú Ö(VP–V2Ò

ÒR`UVÓÔW_J]Ð5V2Ö(icWfÜÓÔicW’YcV2Wfe¹Ñ7^2J]ÒReKicaJcaQLÒRV¥PsÒfe¹aUÕ&O7P–eKaUÕud DJcPÒf`UVFOUaQLUV2WfH¹gbeKaUÕÐDiuLuVXH}Ú

bVX^ÒReKica$#÷LuVÑ7aUVXP'icOUWPRgbÐ'ØwicHKeK^DÒfVXP–Ò'ÕcVXaUV2W_J%Òfe¹iMa JcH¹ÕMicWfe¢Òf`UÐÚ.d`UV»J]HKÕciMWRe¹ÒR`QÐ eKP

ÙUWRi%YMVXL^2icWfWRV¥^Ò¥SXeKaÒf`UV-P–VXaQP–VÒR`7J%ÒÒR`UVYcVXWfLUeK^ÒfPWRV2ÒROUWfaUVXL'ØbgÒRVXP–ÒµVñuVX^2OuÒReKicaD^iMWRWfVX^ÒRHKg

^_`QJ]W_Jc^ÒRV2Wfe¬P–V&Òf`UVDWRVXHKJ]ÒReKicaQPIØ7V2ÒsÖVXV2a<e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica±SlPRÙwVX^e¹Ñ7^XJ%ÒReKica±SlJcaQL÷ÙQWRiMÙ7VXW–ÒsgMÚ

[½icWfV2i%YMV2W¥SlÒR`UV%ÔeKauÑQaUe¹ÒRV&'PRVÒDi]ӅJ]HKHAÒfVXP–ÒD^XJcPRVXPÕMV2aUVXWfJ]ÒRV¥L<eKaßÒf`UeKPÐEJ]aUaQV2WDÐ5JngMS±eKa

ÙUWReKaQ^2e¹ÙUHKVcSALUeKPf^i%YMV2W5J]HKH-e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica7P'Òf`QJ%Ò»LUi<aUicÒ^icaUÓÔicWfÐ ÒRi+J ÕceKYcV2a P–ÙwVX^2e¢×

Ñ7^2J]ÒReKica?Jc^2^2icW_LueKaUÕ÷Òfi<Òf`UV½PsÒ_J]aQLQJ]W_L('*) +,) WfV2H¬J%ÒReKica í¹î-nðÚ ö PJ<ØbgM×ÙUWfiuLuOQ^ÒEicӅÒR`QV

^icWfWfVX^ÒfaUVXPfPÙUWfibi]Ó¶PXS%ÖV…PR`Ui%ÖûÒR`QJ]Ò.') +/)u×z^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V(Ö-e¹ÒR`EWfVXPRÙwVX^ÒµÒfiJ&ÕceKYcVXaDPRÙwVX^×

e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa e¬PEJ<PfJ%ÓÔV2Òsg ÙUWficÙwV2WRÒsgcÚ0 VJcHKPRi ÙUWRi%Ybe¬LuVJ PRgbÐ'ØwicHKeK^$^iMaQP–ÒRWfOQ^Òfe¹iMa icӅÒR`QV

^2J]aQicaUe¬^2JcH7ÒfVXP–ÒRVXWí#]ð.ÓÔicW '*) +,)U×^2icauÓÔiMWRÐEJ]a7^V§Ö-e¢Òf`$WfVXPRÙwVX^ÒÒfi5J5ÕMe¹YMV2a$P–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa.Ú

bVX^ÒReKicaïicOUÒRHKe¹aUV¥PAJ§ÒRV¥^_`UaUe¬êxOUV-ÓÔicW’icÙuÒfe¹Ð5e¬P–eKaUÕ&ÒfVXP–Ò^2JMP–V¥PÒRi%ÖJ]W_LUPµLuVÒfVX^ÒReKaUÕ&ÒR`QV

YxeKicH¬J%Òfe¹iMa»icÓÒf`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsgcÚ1<VPR`Ui%Ö Òf`QJ%Ò-Òf`Ue¬P-icÙuÒfe¹Ð5e¬PRJ]ÒReKica$ÙUWfVXPRV2WfYcVXP’ÒR`QV^icWfWfVX^ÒR×

aUVXPfPi]ÓwÒR`UVÒfVXP–ÒAYcVXWfLue¬^Ò_P2Ú]d`QV(i%YMV2W_J]HKHuJ]ÙUÙUWfiMJM^_`e¬Pµe¹HKHKOQPsÒfWfJ]ÒRV¥L'iMaDJ&PRe¹Ð5ÙUHKVVñUJ]Ð5ÙUHKVcÚ

d`UVÓÔOUHKHYcVXWfPRe¹iMai]ÓµÒR`QeKP§ÙQJcÙ7VXW'íKî&Xðµ^iMaMÒ_J]eKaQP…J»HKJcWRÕMV2WFV2ñUJ]Ð5ÙUHKVóÒf`UVÛ(iMOUaQLuV¥L÷N-V×

d`UVÐ5iuLuV2H(i]Ó zaUÙUOUҖ×IOuÒRÙUOUÒbgbÐ'ØwicHKe¬^d±W_J]a7P–e¹ÒReKica bguP–ÒRV2ÐEP3ud !&eKP'e¹aQPRÙUeKWRV¥L

ÓÔWRiMÐ , J]OuÒficÐEJ%Ò_J í¹înï¥ðƒÚFaUHKe¹ÜMV , J]OuÒficÐEJ%Ò_JUS ud LuißaUicÒWRV¥êxOUe¹WfV+äóé%áuç

ãfè]òFálô¹â2çâ2éwâà_à ÔeƒÚVcÚKSQJ]HKH.eKaUÙUOu҅JM^ÒReKica7P-Lui5aUi]Ò-aUVXVXLÒRiEØwV&V2aQJcØUHKVXL$J]HKHlÒR`UVÒfe¹Ð5VÚ

' ')!#"%$'&)(*,+-*/.1032547698:<;3:>=@?5ABDC)EGFIH

hD, Θ, Q, q ⁰ , Σ, T i

^{J3K HMLNH}

Þ

D

=@?OA>PQ4R=BSHT?UH1B5VXWBZY[E/H1\7]§J%ÒfJR^QE,AXL_B =`B =aV14!H1\=Z4BbVAc?UH1B

V

VXWAY%J]WfeKJcØUHKVXPdAX4G\eA

?MHXB

P

VXWÙQJcWfJcÐ5VÒRVXWfP_fhg!VXL

d ∈ D

^{^}

type(d)

\hHU4!VhBSHU?dB

K

H-BZY[E/HdV1W

d

^f

Þ

Θ

^=@?OBK HIe¹aQe¢ÒfeKJcH±^iMaQLue¹ÒReKicaG^iAkjVhV1FaHNAX4lHnmoELNHU?n?=IVX4pV14

V

^{^}

Þ

Q

=@?5A-4!VX4!HMqTEBZY^QPR4R=`BbHr?UH1BsV1WH¹iu^XJ%ÒReKica7PtAu4G\

q ⁰ ∈ Q

^=@?dBK HIeKaUe¹ÒRe¬J]H.HKiu^2J]ÒReKica<f Þ

Σ

=Z?rAv4!V14HMqTEBZY[^!PR4R=`BbHJ]HKÙU`QJ]ØwVÒ)^

J3K

= w

K

=@?TB

K

Hk\o=@?@xNV1=Z4!B5Cu4R=aV14yV1WzA{?UH1B

Σ ^?

^V1W

e¹aQÙUOuÒDJM^Òfe¹iMaQP-Au4G\yAe?UH1B

Σ ^!

V1WicOuÒfÙUOuÒ5Jc^Òfe¹iMaQPU|Xf<gV1L{HNAhw

K

Aw)B =aV14

a ∈ Σ

^{^=`B?}

P–eKÕca7J%ÒROQWRVDàä~}

(a) = hp 1 , . . . , p k i ∈ P ^k

^

k ∈ N

€

=Z?AcBC)EFaHOV1WE,AXLUAXqcH1BSHMLM?)f

Þ

T

=Z?5Ak?UH1BsV1WÒRW_J]a7P–e¹ÒReKicaQP_fh‚Aw

K

BLMAu4Q?D=`B =aV147=@?AcBC)EFaH

hq, a, G, A, q ⁰ i

q>Ah\hHdV1W'ƒ

•

A-FIVRwUAB =aV14

q ∈ Q

^GwUAXFZFIH1\7B

K

HIicWfe¹ÕMe¹alV1WB

K

H-BLMAu4Q?=B=IVX4<f

•

AX4lAw)B =aV14

a ∈ Σ

wMAuF„FaH_\pB

K

H§Jc^Òfe¹iMaeVXWB

K

H-B LUAX4i?D=`B =aV14<f

•

AkjVVXFIH9AX4lHnmoELNHU?n?D=aV14

G

^VX4

V ∪

^àä~}

(a)

^,wUAXFZFIH1\7B

K

HIÕcOQJcWfL<f

•

AX4JcPfP–eKÕcaUÐ5VXaMÒ

A

^{^ J3K = wK} =Z?tAT?UH1B3V1WHMmuEGLUHN??=IVX4Q?…VXW3B

K

HWV1Lnq

(x := A ^x ) x∈V

?)Cw

K BK

ABD^sWV1LH9Ahw

K

x ∈ V

^{^5BK HcLn=~† K B`‡K} AX4G\?= \hH

A ^x

^V1WˆBK HpAu?n?=~†4RqcHM4B

x := A ^x

=Z?5Au4eHMmoELUHN??=aV14pVX4

V ∪

^àä~}

(a)

^f

•

A-FIVRwUAB =aV14

q ⁰ ∈ Q

wUAXFZFIH1\eB

K

H§LuV¥PsÒfe¹a7J%ÒReKicalV1WB

K

H-BLMAu4Q?=B=IVX4<f

ö PRe¹Ð5ÙUHKV VñUJ]Ð5ÙUHKV\icÓ ud ?e¬PLuV2ÙUe¬^ÒfVXL e¹aÏeKÕcOQWRV îcÚ-d`Ue¬PPRguPsÒfV2Ð VñuÙwVX^ÒfP$J

ST ART

e¹aQÙUOuÒD^XJ]WfWRgbeKaUÕ÷J]aßeKaxÒRVXÕcV2WÙQJ]W_J]Ð5V2ÒRV2W

p

^SJcaQL PfJnYcVXP&ÒR`UVYnJcH¹OQVi]Ó

p

^eKaxÒRi

ÒR`UV&Y%J]Wfe¬J]ØUHKV

x

ÚQd`UVXa.SQJcPHKicaQÕDJMP

x

eKPFP–ÒRWfe¬^ÒRHKgÙwiMPRe¢Òfe¹YMVcSue¹ÒfPY%J]HKOUV&e¬PV2Ð5e¹Ò–ÒRV¥LÒRi5ÒR`QV V2abYbe¹WficaUÐ5VXaMÒFYbe¬JDÒR`UV'icOuÒfÙUOuÒ

M SG

^2JcWRWfgbe¹aUÕDÒf`UVÙQJcWfJcÐDV2ÒRVXW

m

Úwd`UV&Y%J]WfeKJcØUH¹V

x

^eKP

LuVX^2WRV¥JcPRVXLØbg<îcSUJ]a7L»Ö-`UVXae¢ÒFWfVXJM^_`UVXP

0

^SbÒf`UV

ST OP

icOuÒfÙUOuÒFe¬PV2Ð5e¢ÒRÒRV¥L°Ú

x := p ST ART ?(p)

ST OP ! x = 0

m = x ∧ x > 0 M SG!(m) x := x − 1

‰zŠZ‹RŒ œ ¿hŽw~c‡Xˆ&‰x‘{b-~ Ÿ ~

S



”x¤X•(‹z‘ˆ&‰x‘‘—_«£ƒ²%„u¤X“x«²E‘“x‰MŠM£(‡X“bŒE¤XŠM£s‰xŠc£‡2—f£s‘¤¥“M‹-‡2•s…—_¤¥“M‹z¢ŒMf•sŒ ¡ R•s¥³U€ ˆ&¤X•s…ŒMR£–‡X‘‘Œ

HKJcØ7VXH¹HKVXLÒRW_J]a7P–e¹ÒReKicaQPPRguPsÒfV2ÐEP3ud !Ú

' ')! G0Iéùä¬à÷æßç`¥áwô¹â

hS, S ⁰ , Λ, →i

^âëfâ

S

ä¬à÷æ+à2âçDèEP–ÒfJ%ÒfVXP

ä¶ã

òEæ _â&äóé¥åAéQäóçzâ

S ⁰ ⊆ S

^ä¬àç âà2âçèeKaUe¹ÒRe¬J]H.P–ÒfJ%ÒfVXP

Λ = Λ ^? ∪ Λ ^!

ä¬à&æ5àâ2ç(è

äóé]á!uçè%ë'èXuç¢á!uç! &Jc^Òfe¹iMaQPAæ]é#"

→⊆ S × Λ × S

^ä¬à&ç â-ÒfWfJcaQP–e¹ÒReKica$WfV2H¬J%ÒReKica%$

zaMÒfOUe¹ÒReKYcV2HKgcS.ÒR`UVud +PRV2ÐEJcaMÒfeK^XPi]ÓFJ]a$ud

hD = V ∪ P, Θ, Q, q ⁰ , Σ, T i

V2abOUÐ5V2W_J%ÒfVXPi]Ó(ÒR`QVEÙ7ixPRPRe¹ØQH¹VDÒROQÙUH¹V¥PicÓY%J]HKOUVXP Ô`UVXWRV¥J%ÓóÒRVXW^2JcH¹HKVXL'&%æ%ôQæ]ç}ä¶è]éUài]ÓÙQJ]×

WfJcÐDV2ÒRVXWfP

P

J]aQL&Y%JcWRe¬J]ØUHKVXP

V

^Ú(.V2Ò

V

LuV2aUicÒRV’ÒR`UVP–V2ÒicÓUYnJcH¹O7J%ÒReKica7P.i]ÓQÒR`UVYnJcWRe¬J]ØQH¹V¥P

V

^S

J]aQL

Π

LUV2aUicÒRV5ÒR`QV5PRVÒicÓY%J]HKOQJ]ÒReKicaQP§i]Ó(ÒR`QVDÙ7J]W_J]Ð5VÒfV2W_P

P

Ú.d`QV2a.S°ÓÔiMW&J]a VñuÙUWfVXP–×

P–eKica

E

e¹abYciMH¹YbeKaUÕ¶J&PROUØQPRVÒµi]Ó

V ∪ P

S]JcaQLÓÔicW

ν ∈ V

^S

π ∈ Π

S%ÖVFLuVXaUi]ÒfVØxg

E(ν, π)

ÒR`UV-Y%J]HKOUVicØUÒfJ]eKaUV¥L'Øbg'PROUØQP–ÒRe¹ÒROuÒfe¹aQÕ&e¹a

E

VXJc^_`DY%J]WfeKJcØUHKVØbge¹ÒfPµY%JcH¹OUV-JM^2^iMWfLUe¹aUՅÒRi

ν

^S

J]aQLVXJM^_`ÙQJcWfJcÐ5VÒRVXWØxg»e¢Ò_P-Y%J]HKOUVJc^X^icW_LueKaUÕÒfi

π

^ÚQÏUiMW

P ⁰ ⊆ P

SuÖ(V&LuV2aQi]ÒRV&Øbg

Π P ⁰

ÒR`UV&WfVXP–ÒRWfeK^ÒReKicai]ÓÒR`UVPRVÒ

Π

i]ÓYnJcH¹O7J%ÒReKica7P(ÒRi5ÒR`QVP–V2Ò

P ⁰

i]ÓÙ7J]W_J]Ð5VÒfV2W_P2Ú

' ')!*),0{;

K

H?MHUq{Au4B =wn?V1WAu4>698:,;3:

S = hD, Θ, Q, q ⁰ , Σ, T i

=Z?AX4c698,+,;3:

[[S]]

^-

hS, S ⁰ , Λ, →i

^,\hHMPQ4!H_\cAu?…WVXF„FaV

J

?)ƒ

Þ BK

Hr?UH1BVXW?)B`ARBbHU?t=@?

S = Q × V

^{^}

Þ BK

Hr?UH1BVXW<=Z4R=`B =IAXF<?)B`ARBbHU?t=@?

S ⁰ = q ⁰ × V ⁰

^{^ J =BK}

V ⁰ = {ν ∈ V| Θ(ν ) = true}

Þ BK

He?MHXBkV1WTAhw_B =aV14Q?

Λ = {ha, πi|a ∈ Σ, π ∈ Π

^.0/132465

}

^{^…AXF@?MV} wUAXFZFIH1\ BK

Hp?UH1BvV1W

Y%J]HKOUVXL Jc^ÒReKicaQP9^3=Z?TE,AuL)B=B=IVX4!H_\ =Z4!BSV BK H?UH1B?

Λ ^?

VXW…Y%J]HKOUV¥LûeKaUÙUOuÒ_PcAX4,\

Λ ^!

^V1W

Y%J]HKOUVXL$icOUÒRÙUOuÒ_PN^!?9Cw

K BK AB3WV1L

# ∈ {?, !}

^{^}

Λ ^# = {ha, πi|a ∈ Σ ^# , π ∈ Π

^.0/1728495

}

^f

Þ

→

^=@?dBK Hr?q>AXFZFIHN?9BLNHMFIAB =aV147=Z4

S × Λ × S

\hHMPQ4!H_\;:9YB

K

HWV1FZFIV

J

=Z4†vL)CoFIHuƒ

hq, νi, hq ⁰ , ν ⁰ i ∈ S ha, πi ∈ Λ t = hq, a, G, A, q ⁰ i ∈ T G(ν, π) = true ν ⁰ = A(ν, π) hq, νi ^ha,πi → hq ⁰ , ν ⁰ i

d`UV’WfOUHKVPfJngbP.ÒR`QJ]ÒÒf`UV(YnJcH¹OQVXL'JM^Òfe¹iMa

ha, πi

ÒfJcÜcVXP.ÒR`UVPRgbP–ÒRVXÐ:ÓÔWRiMÐ J…P–ÒfJ%ÒfV

hq, νi

ÒRi÷JPsÒ_J%ÒfV

hq ⁰ , ν ⁰ i

e¹ÓÒf`UV2WfVEVñue¬PsÒ_P&J»ÒfWfJcaQPRe¢Òfe¹iMa

t = hq, a, G, A, q ⁰ i

Ö-`UiMPRV5ÕcOQJcWfL

G

V2Y%J]HKOQJ%ÒfVXPÒfi

true

Ö-`UV2aDÒf`UV…Y%J]Wfe¬J]ØUHKVXPVXYnJcH¹O7J%ÒRVFJM^2^2icW_Lue¹aQÕIÒfi

ν

J]a7LDÒR`UVFÙ7J]W_J]Ð5VÒfV2W_P

^2J]WfWfe¹V¥L»ØbgÒR`UV'JM^Òfe¹iMa

a

V2Y%J]HKOQJ%ÒfVJc^X^icW_LueKaUÕDÒRi

π

Úwd`UV2a±SUÒR`QV'JcPfP–eKÕcaQÐDVXaxÒ

A

^i]ÓÒR`UV

ÒRW_J]aQPRe¢Òfe¹iMaÐEJcÙQP(ÒR`UV&Ù7J]eKW

(ν, π)

^ÒRi

ν ⁰

^Ú

' ')!=< $?>@3.10O2 L_Cu4 WILUA1†q>HU4B=@?{A ?UHBACHU4GwUH7V1WdAXF`BbHMLn4iARB =Z4†?)B`ARBbHU?{Au4G\

C

AuFChH_\ Ahw)B=IVX4Q?

s 1 α 1

→ s 2 α 2

→ · · · s n−1 α n−1

→ s n

fz2@WROUa =@?vAyL_Cu4 WILMAX†[qcHM4BkB

K

ARB

?9BbAXL_B?t=Z4eAu4=Z4R=`B =IAXF<?)B`ARBbHuf

ö P–ÒfJ]ÒRV eKP ëRâ_æcã

æ/ôKâe¢ÓDe¢Òe¬P»Òf`UV+HKJMPsÒ½P–ÒfJ%ÒfV<icÓJ WfOUa.Ú-ÏQicW½J PRVXêxOUVXaQ^V

σ = α 1 α 2 · · · α n

i]Ó&Y%J]HKOUV¥L JM^Òfe¹iMaQP2S’ÖV÷PRicÐ5VÒfe¹Ð5V¥PEÖ-WRe¹ÒRV

s → ^σ s ⁰

^ÓÔiMW

∃s 1 , . . . s n+1 ∈ S. s = s 1

α 1

→ s 2 α 2

→ · · · s n α n

→ s n+1 = s ⁰

ÚlÏUiMWIJPRVÒ§i]ӒP–ÒfJ%ÒfVXP

S ⁰ ⊆ S

^{i]ÓµÒf`UV Ud}

ÖVÖ-Wfe¢ÒfV

s → ^σ S ⁰

e¹ÓÒR`UVXWRV&V2ñbe¬P–ÒfP-J5PsÒ_J%ÒfV

s ⁰ ∈ S ⁰

P–OQ^_`ÒR`7J%Ò

s → ^σ s ⁰

^Ú

' ')! D $S>!+[R.10T;

K

H&ÒRW_Jc^V{V1WA>L)Co4

ρ

^=Z?kBK HrELUV9xNH_w_B =aV14V1W

ρ

^VX4

Λ ^! ∪ Λ ^?

^f

; K

Hr?MHXBsV1W…B LUAhwUHN?V1W3AX47698:,;3:

S

=@?r\hHU4!VhBSH_\;:9Y*uëfæcã_âà

(S)

^f

.VÒ

F ⊆ Q

ØwV-J…PRVÒi]Ó7HKiu^2J]ÒReKicaQPi]Ó7Jcaud

S

^{Ú ö WROUa}

ρ

e¬P(ëRâ_ã_è}céQä¬à2â "

F

^e¢Ówe¢Ò

V2aQLUPeKaJIPsÒ_J%ÒRVe¹a

F ×V

^{Ú ö} ÒfWfJM^V’e¬P(ëRâ_ã_è}céQä¬à2â "

F

e¹ÓQe¹Òe¬PÒR`UV(ÙUWfi

V¥^ÒReKica&iMa

Λ ^! ∪Λ ^?

i]ÓµJWfVX^2icÕMaUeKPRVXL»WROQa.ÚUd`UVPRVÒ-i]ÓWRV¥^iMÕcaUe¬P–V¥LEÒfWfJM^VXP(e¬PFLuVXaUi]ÒfVXLØxguëRæMã_âà

(S, F )

^Ú

ö a ud ½eKP "câ2çzâëòDäóéQä¬àçƒä¶ã…e¹Ó’eKa÷VXJM^_`÷HKib^XJ%Òfe¹iMa.SQÒf`UV'ÕMOQJ]W_LUP…i]ÓµÒR`QV'ÒfWfJcaQP–e¹ÒReKica7P

HKJcØ7VXH¹HKVXL+Øbg÷Òf`UV»PfJ]Ð5VJc^ÒReKicaßJ]WfVEÐ'OUÒROQJcH¹HKg<V2ñU^HKOQP–eKYcVMÚ ö HKH’Òf`UVud  ^2icaQPReKLUV2WfVXL

e¹a?Òf`UeKP»ÙQJ]ÙwV2W$J]WfV÷LuVÒfV2WfÐ5e¹aUe¬P–ÒRe¬^]Ú za?Òf`UV½ÓÔOUHKH…YMV2W_P–eKica:íKî&XðS’Ð5iMWRV½ÕMV2aUVXWfJcH ud

J]WfV§JcHKPRi^2icaQPReKLUV2WfVXL ¶aUica7LuVÒfV2WfÐDeKaUe¬PsÒfeK^ ud Ö-e¢Òf`eKaxÒRVXWRaQJcH°Jc^Òfe¹iMaQP Ú

ö

P–gbÐØ7iMH¹e¬^

"câ2çâ2ëòäóé7ä¬à2æ%çƒä¶è%é?icÙwV2W_J%Òfe¹iMa.S’Ö-`Ue¬^_` ^2icaQPReKP–ÒfP»e¹a ÒRW_J]aQP–ÓÔicWfÐ5e¹aQÕ J aUiMaQLuVÒfV2WfÐ5e¹aUe¬P–ÒRe¬^

ud eKaxÒRiEJ5LuVÒfV2WfÐ5e¹aUe¬P–ÒRe¬^IiMaUV`QJnYbe¹aQÕ'Òf`UVPRJcÐ5VPRVÒ-icÓ±ÒRW_Jc^2VXPXSbeKP-JcHKPRi5ÙUWRV¥P–VXaxÒRVXL.Ú

d`UV&icÙwV2W_J%Òfe¹iMa»e¬P-ÙUWfi%YcVXL^iMWRWfVX^ÒJcaQLÒfV2WfÐ5e¹aQJ]ÒRV¥P(ÓÔicWFJ5P–OQØw^2HKJMPRPicÓ ud \íø ðÚ

±ÉQÎ ÍÈUΖʒǵDžËÍlʒÇ_ÊAÉµÇ…Í ÈMÈUÎ–Ç ÎzÈR@Æ

d`UeKPP–V¥^Òfe¹iMa P–V2ÒfP&Òf`UVÓÔW_J]Ð5VXÖiMWRܽÓÔiMW'YMV2Wfe¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa+JcaQLß^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V5ÒRV¥PsÒfe¹aUÕ<Ö-e¢Òf`

ud lÚQÏeKWfP–ÒXS7ÖV&ÙUWfVXPRV2axÒFJDÓÔV2Ö:iMÙ7VXWfJ]ÒReKicaQPiMa"Ud lSQJ]a7L»Òf`UV2aÒf`UV'PfJ%ÒfeKP–Ó¶Jc^ÒReKica

WRVXHKJ]ÒReKicaJ]aQL»ÒR`UV^2icauÓÔiMWRÐEJcaQ^V§WRVXHKJ]ÒReKica$Ø7V2ÒsÖVXV2a"ud J]WfVIÓÔiMWRÐEJcH¹HKg»LuV2ÑQaUVXL.Ú

),0" >( > )%@+o

d`UVFáQæ%ëfæ%ôóô¹â2ôbáwëfè "uQãçwi]Ó.ÒsÖ(i Ud 5eKPJcaud EÖ-`QiMPRVIPRVÒicÓ.ÒRW_Jc^2VXP ÔWfVXPRÙ.ÚxWRV¥^icÕc×

aUeKPRVXL»ÒRW_Jc^2VXP(J]WfV…Òf`UVe¹axÒRVXWfPRVX^ÒReKicai]ÓÒR`UV&PRVÒ-i]ÓÒRW_Jc^V¥PÔWfVXPRÙ.ÚuWRV¥^iMÕcaUe¬P–V¥LEÒfWfJM^VXP ’i]Ó

ÒR`UV§icÙwV2W_J]aQLQP2Úbd`Ue¬PiMÙ7VXWfJ]ÒReKicaeKÐ5Ù7ixP–V¥PÒR`QJ]ÒÒf`UV Ud E`QJnYMV…aUiDP–`QJcWRV¥LEY%J]WfeKJcØUHKVXPXS

ØUOu҅J]WfV&LuVÑ7aUVXL$icaÒR`QVPRJcÐDV&JcH¹ÙU`7J]ØwVÒfPicÓJM^Òfe¹iMaQPJ]aQLPfJ]Ð5VÙQJ]W_J]Ð5VÒfV2W_P2Ú

' ')! $! ) #"%'%$& T&_(c*<+-*.X0Qg!VXL

j = 1, 2

^{^BK H5B J Vt698:,;3:}

S j = hD j = V j ∪ P j , Θ j , Q j , q ⁰ _j , Σ j , T j i

^{J =BK \ARB`A}

D j

Au4G\AXFE K A :hHXB

Σ j = Σ _j ^? ∪ Σ _j ^!

AXLNH^iMÐD×

ÙQJ%Òfe¹ØUHKVO=ZW

V 1 ∩ V 2 = ∅

^{^}

P 1 = P 2

^

Σ ^! ₁ = Σ ^! ₂

^{^}

Σ ^? ₁ = Σ ^? ₂

^f

' ')!(' $) >( * > )%@+o1.10>;

K

HkE,AuLMAuF„FaHMF3ELNVR\QCw)B

S = S 1 ||S 2

VXWˆB

J V

wUV1qTE,ARB =3:XFaH698:,;3:

S 1 , S 2

=@?eB

K

H698:<;3:

hD, P, Θ, Q, q ⁰ , Σ, T i

^BK ABvwNV14Q?=Z?)B?cVXW BK

H5WV1FZFaV

J

=„4†cHMFaHMqcHU4!B`?)ƒ

V = V 1 ∪ V 2

^

P = P 1 = P 2

^

Θ = Θ 1 ∧ Θ 2

^

Q = Q 1 × Q 2

^

q ⁰ = hq ⁰ ₁ , q ₂ ⁰ i

^{^}

Σ ^? = Σ ^? ₁ = Σ ₂ ^?

^{^}

Σ ^! = Σ ₁ ^! = Σ ₂ ^!

^{; K Hk?UH1B}

T

VXWBLMAu4Q?=B=IVX4Q?ˆV1WdB K H

wUV1qTEVX?UH_\{?SYQ?)BbHUq =Z?TB

K

Hr?q>AXFZFIHN?9B3?UH1B…\hHMPQ4!H_\;:9YyB

K

HL)CuFaHXƒ

hq 1 , a, G 1 , A 1 , q 1 ⁰ i ∈ T 1 hq 2 , a, G 2 , A 2 , q 2 ⁰ i ∈ T 2

hhq 1 , q 2 i, a, G 1 ∧ G 2 , A 1 ∪ A 2 , hq ⁰ ₁ , q ⁰ ₂ ii ∈ T

+s"%$'>!+o )-,/./0" >12"%> )@ +uX.10

uëfæcã_âà

(S 1 ||S 2 ) =

^{uëfæcã_âà}

(S 1 ) ∩

^{uëRæMã_âà}

(S 2 )

^$

uëfæcã_âà

(S 1 ||S 2 , F 1 × F 2 ) =

^{uëRæMã_âà}

(S 1 , F 1 ) ∩

^{uëRæMã_âà}

(S 2 , F 2)

^$

),0 3 @ ' +oh +o R4 B@/"sh')! &_(c*<+-*

zaù^icaUÓÔicWfÐ5JcaQ^VÒfVXP–ÒReKaUÕ e¹Òe¬P»JMPRPROUÐ5VXL Òf`QJ%ÒÒf`UV\VXabYxeKWficaUÐ5V2axÒÐEJng icØQPRV2WfYcVaUicÒ

^icaUÓÔicWfÐ5JcaQ^V’ÒRV¥PsÒfe¹aUÕ5íKî -nðÚ/IaJIØUH¬Jc^_Üx×Ø7inñ&eKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa.S]êxOUeKVXPf^V2a7^V(eKPiMØQP–VXWRYMVXL

OQP–eKaUÕÒReKÐ5V2W_P2ÝUJÒReKÐ5V2We¬PWRV¥P–V2Ò(Ö-`UVXaUV2YMV2W(ÒR`QV§VXabYxeKWficaUÐ5V2axÒ-P–VXaQLUP-JDPsÒfe¹ÐOUHKOQP(ÒRiDÒR`QV

e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica±ìUÖ-`UV2aÒR`QVÒReKÐDVXWFVñuÙUeKWfVXPXSbÒR`UV&VXaxYbeKWRiMaUÐ5V2axÒicØQPRV2WfYcV¥P(êxOUeKVXPf^VXaQ^VMÚ

za iMWfLuVXW'ÒfißLueKP–ÒReKaUÕMOUeKPR`?J<êxOUeKVXPf^VXaQ^VÒR`QJ]ÒEeKPEJcHKPRi<ÙQWRV¥P–VXaMÒ5eKa J P–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa

ÓÔWRiMÐ*iMaUVEÒf`QJ%ÒDeKPaUi]Ò¥SêxOUeKVXPf^VXaQ^V^2J]aßØwV$Ð5JMLuVV2ñbÙQH¹e¬^e¹ÒiMaûJ÷PRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica Øbg+J

P–gbÐ'ØwicHKe¬^icÙwV2W_J%Òfe¹iMaû^2JcH¹HKVXLùàUbà}áQâ2éUàä¶è%é7Úd`QeKPDicÙwV2W_J%Òfe¹iMaßÒRW_J]a7PsÓÔiMWRÐEP'Jca ud

S

e¹axÒRiDJ]aUd

S ^δ

SuJcHKPRi'^2JcH¹HKVXLEÒR`UVàUbà}áQâ2éUàä¶è%é Di]Ó

S

ڒJM^_`»HKiu^2J%Òfe¹iMa

q

^i]Ó

S ^δ

^icaxÒ_J]eKaQPJ…aUV2Ö P–VXH¢Óó×H¹ibiMÙUe¹aQÕFÒRW_J]a7P–e¹ÒReKica.S¥H¬J]ØwV2HKH¹V¥LÖ-e¹ÒR`JIaUVXÖ icOuÒfÙUOuÒµJc^ÒReKica

δ

SnÖ-`Ue¬^_`

Ð5Jng»Ø7VÑQWfVXLe¹ÓJcaQL$icaUHKge¹ÓaUi5icÒR`UVXW-icOuÒfÙUOu҅Jc^ÒReKica$ÐEJngØ7VÑ7WRV¥L»eKa

q

ÚQÏUiMWRÐEJ]HKHKgcS

' ')! $* @/"sh')!3.10t=

C

HU4

S = hD = V ∪ P, Θ, Q, q ⁰ , Σ = Σ ^! ∪ Σ ^? , T i

AX4698:,;3:!^…B

K

HP–O7P–ÙwV2aQPReKica 698:,;3:

S ^δ

^{=Z?cBK H7BC)EFaH}

hD = V ∪ P, Θ, Q, q ⁰ , (Σ ^! ∪ {δ}) ∪ Σ ^? , T ∪ S

q∈Q hq, δ, G _δ,q , (v := v) v∈V , qii

^{J3K HMLNH}

G δ,q : ^

a∈Σ ^!

¬G a,q

Ö-`UVXWRV

G a,q : _

t=hq,a,G,A,q ⁰ i∈T

∃sig(a).G.

^–î

ÏUicWÒf`UV ud

S

LuV2ÙQeK^ÒRVXLeKaÏe¹ÕMOUWfVIîMSXÒf`UV ud

S ^δ

e¬PµLuV2ÙQeK^ÒRVXLeKaÏe¹ÕMOUWfV ø Únd`QV ÕcOQJcWfL

x < 0

i]Ó°Òf`UVIÒRW_J]aQPRe¢Òfe¹iMaEHKJcØ7VXH¹V¥L

δ

e¬P’iMØuÒfJce¹aQVXLEØbgEP–eKÐ5ÙUHKe¢ÓÔgbeKaUÕÒf`UVIV2ñuÙUWRV¥PRPReKica

¬(x = 0 ∨ ∃m, m = x ∧ x > 0)

SuÖ-`Ue¬^_`½^icWfWfVXPRÙ7iMaQLUPÒRiEÏUiMWRÐOUH¬J–îJ]Øwi%YcVMÚ zaÒR`Ue¬P…PRguPsÒfV2ÐS7J eKaUÙUOuÒ§Ö-e¢Òf`\JEaUVXÕMJ]ÒReKYcV&ÙQJcWfJcÐDV2ÒRVXW

p < 0

-LuibVXP…aUi]Ò J]HKH¹i%ÖûÓÔicW <icW,\icOUÒRÙUOuÒ_P2SMe}ÚVcÚKS%Òf`UV…PRgbP–ÒRVXкe¬PAêxOUe¹V¥PR^2V2axҒJ%ÓóÒfV2W ±Ú]d`UeKP

eKP-ÐEJMLuVVñuÙUHKeK^2e¢ÒFØbgEÒf`UVP–ÙwVX^2eKJcH°icOuÒfÙUOuÒ

δ!

^{J]ÓóÒRVXW ±Ú}

x := p ST ART ?(p)

ST OP ! x = 0

m = x ∧ x > 0 M SG!(m) x := x − 1

δ! δ!

δ!

x < 0

‰zŠZ‹RŒ œ ¿QŽw~]Šx‹z‰u_“M‹z¢¤X“D{b-~ Ÿ ~

S ^δ

),00) O >&' + '*)i )-,* 1,b > )">1'

d`UVAÙUWficØUHKV2Ð^iMaQP–e¬LuVXWRV¥LI`QV2WfVAeKPXÝÕMe¹YMV2aJWfVXJc^ÒReKYcVAPRguPsÒfV2Ð Ð5iuLuVXH¹HKVXLØbgJ]aud

S

^S

J]aQLEJPRJ]ÓÔVÒsg'ÙQWRiMÙ7VXW–Òsg

ψ

LuV2ÑQaUVXLicae¹ÒfPAÒRW_Jc^V¥P2SxLuibVXP

S

PRJ]ÒRe¬PsÓÔg

ψ

 V…Ð5iuLuV2HlPRJ]ÓÔVÒsg ÙUWRiMÙ7VXW–Òfe¹V¥PFOQPReKaUÕ è/à2â2ë&nâ2ë_àSwÖ-`QeK^_`\JcWRVDLuVÒfV2WfÐ5e¹aUe¬P–ÒRe¬^ud V¥êxOUe¹ÙQÙ7V¥L÷Ö-e¹ÒR`\JP–V2Ò

i]Ó sØQJML IHKiu^2J%Òfe¹iMaQPXìbÒR`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsgEe¬P-Ybe¹iMHKJ]ÒRVXLÖ-`UVXa$J–ØQJcL H¹iu^XJ%ÒReKica$e¬PWRV¥Jc^_`UV¥L°Ú

' ')! $(*$ _>!>o.X0r254 V :o?MHUL

C

HMLˆ=@?vA \hHXBbHMLnqv=„4Q=Z?)B =wk698:<;3:

ω

^{BbV1†HXBK HUL}

J

=B

K

AT?UH1B3V1W3\H_\o=wMARBbH_\-FIVRwMARB =aV14Q?±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ⊆ Q ω

^

J3K

= w

K

AXLNHr\hH9Ah\oFaVRwh?



4!V-VhCRB †Vo‡

=„4†eBLMAu4Q?D=`B =aV14i?

€

f254eV :u?UHML

C

HML

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω )

=@?rwUV1qTE,ARB =3:XFaH

J

=`B

K

AX4698:,;3:

M

^=„W

ω

=Z?wUVXqTE,AB=:XFaH

J

=B

K

M

^{f; K} Hs?MHXB,VXW!V :o?MHUL

C

HMLM?wUVXqOE<AB =3:XFaH

J

=`B

K

M

=Z?\hHU4!VhBSH_\

Ω(M)

^f

ö a\iMØQPRV2WfYcV2W

ω ∈ Ω(M)

LuVÑQaQVXPJ»PfJ%ÓÔV2Òsg$ÙQWRiMÙ7VXW–Òsgica

(Λ ^! _M ∪ Λ ^? _M ) ^∗

Swa7J]Ð5V2HKgcSwÒR`QV ÙUWRiMÙ7VXW–ÒsgÒR`7J%Òe¬P(PRJ]ÒRe¬PsÑQV¥LEØbgEJ]HKH7PRVXêxOUV2a7^VXPeKa

(Λ ^! _M ∪ Λ ^? _M ) ^∗ \

^{UëRæcã_âà}

(ω, V iolate ω )

¶J]a7LEÒR`QiMPRV§PRVXêxOUVXaQ^V¥PiMaUHKgÚ1za»ÙQJcW–ÒfeK^2OUHKJcWXSxe¹Ó

M

e¬PÒR`UV&PROQP–ÙwV2a7P–eKicaud

S ^δ

^i]ÓJ

ÕceKYcV2a"ud

S

SbÒf`UV2a$ÒR`QV&ÙUWRiMÙ7VXW–Òsg»eKP-PfJ%ÒfeKP–ÑQVXLØbgJ5PROUØQPRVÒ-i]Ó

(Λ ^! _S ∪ {δ} ∪ Λ ^? _S ) ^∗

^Ú

M SG?(m)

p ≥ 0 ST ART ?(p)

ST OP !

‘¤¥¢‡2£s

∗ ∗

M SG?(m)

p > 0 ST ART ?(p)

ST OP !

‘¤X¹‡£s

∗ ∗

‰zŠZ‹Œ œ ¿RŽl~c‡Xˆ&‰M¢¤¥¦M‹zf•s©nf•s‹ Ä

ω ₁

‘f¨¹£R„

ω ₂

•s‘® ¡ £R³

ÏUicW-V2ñUJ]Ð5ÙUHKVIÒf`UViMØQP–VXWRYMV2W

ω 1

LuV2ÙQeK^ÒRVXL$eKa÷Ïe¹ÕMOUWRV ú LuV¥PR^2WReKØ7V¥P(ÒR`UVPRJ]ÓÔVÒsgÙUWficÙU×

V2WRÒsg<Ö-`Ue¬^_`ûPfJnguPÒR`QJ]ÒØwVÒsÖ(V2VXa* e¹aQÙUOuÒD^XJ]WfWRgbeKaUÕ÷J½ÙQJcWfJcÐ5VÒRVXW

p > 0

^SJ]a7L

J "iMOuÒRÙUOUÒXSAÒf`UV÷PRgbP–ÒRVXÐ Ð'O7PsÒV2ñb`Qe¹ØUe¹Ò»J%ÒHKVXJMPsÒEiMaUV "iMOuÒRÙQOuÒXڒd`QV÷P–V2Ò

i]Ó0–ØQJML HKib^XJ%Òfe¹iMaQP§eKP

{

±ä¶è%ôKæ%çzâ

}

Ú.d`QV5PRV2H¹Óó×H¹ibicÙ7P DLUV2aUicÒRVEJ]HKHAJc^ÒReKicaQPÔeKaQ^2H¹OQLUe¹aUÕ ÒR`UV'êxOUeKVXPf^VXaQ^V

δ

(Òf`QJ%҅LUiEaUi]҅H¬J]ØwV2H±i]ÒR`QV2WFiMOuÒRÕMiceKaUÕ'ÒfWfJcaQPRe¢Òfe¹iMaQP2Ú7d`UV&icØQPRV2WfYcVXW

ω 2

LuV2ÙUe¬^ÒfVXLiMa»Òf`UVWfe¹ÕM`MÒR׃`7J]aQL$P–e¬LuV&icÓÏeKÕcOUWfV ú LuVXPf^Wfe¹ØwVXP…J]HKÐDixPsÒÒf`UV'PfJ]Ð5VÙUWRiMÙ7VXW–Òsg

ÔVñU^2V2ÙuÒÓÔicW§Òf`UVDÓ¶Jc^ÒÒf`QJ%Ò \eKaUÙUOuÒ'^XJ]WfWReKVXPIJ$ÙQJ]W_J]Ð5VÒfV2W

p ≥ 0

^{Ú ö a Ud}

PRJ]ÒRe¬PsÑQV¥P-J]a$icØQPRV2WfYcVXWe¹ÓaUi5ÒRW_Jc^2VIicÓÒf`UVud »eKP-WfVX^2icÕMaUeKPRVXL»ØbgEÒR`UV&iMØQPRV2WfYcV2W¥Ý

' ')!#" $D&)(c*<+-** '6)/ (*$ _>!>o.X0ˆg!VXLcAX4 698:,;3:

S

^{AX4G\ AX4 V :[‡}

?MHUL

C

HML

(ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω ) ∈ Ω(S)

^{^ J H>?nA9Y BK AB}

S

?nARB =@?DPHU?

(ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω )

^t\hHU4!VhBSH_\ :9Y

S | = (ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω )

^i=„Wuëfæcã_âà

(S) ∩

^{uëRæMã_âà}

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ) = ∅

^f

.VÒ

Q

LuVXaUi]ÒfV5ÒR`UVP–V2Òi]ÓH¹iu^2J]ÒReKicaQPicÓ

S

Ú±d`UV2a±Suëfæcã_âà

(S) =

^{UëRæcã_âà}

(S, Q)

^J]aQL

uëRæMã_âà

(Skω, Q×

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ) =

^{UëRæcã_âà}

(S , Q)∩

^{uëfæcã_âà}

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω )

^{¶^ÓsÚ} .VXÐ5Ð5Jî&Ú TFV2a7^VcSx^_`UVX^_ÜbeKaUÕ

S | = (ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω )

JcÐ5icOUaxÒfPµÒRi'^_`UV¥^_Übe¹aUÕ§Òf`UVFV2Ð5ÙuÒsgbaUV¥PRPAi]ÓlÒR`UVIP–V2Ò uëRæMã_âà

(Skω, Q ×

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω )

ڒd`Ue¬P^XJ]a Ø7V÷LuiMaUV÷^_`UV¥^_ÜxeKaUÕ<ÒR`QJ]ÒEÒR`UV½eKaxÒRVXWfPRVX^ÒReKica Ø7V2ÒsÖVXV2aÒf`UVP–V2Ò(icӒëRâ_æcã

æ/ô¹âàçæ]çâàAi]Ó

Skω

SuJ]aQLÒR`UVP–V2Ò(icÓP–ÒfJ%ÒfVXP(Ö-`UixP–VIH¹iu^2J]ÒReKicaQP H¹eKVeKa

Q ×

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω

Swe¬PIV2Ð5ÙuÒsgcÚ

ö

H¢ÒfV2WfaQJ%Òfe¹YMV2HKgcSUÒf`UVDe¹axÒRVXWfPRVX^ÒReKica÷ØwVÒsÖ(V2VXa½ÒR`QVDPRVÒ§i]Ó

PsÒ_J%ÒRV¥P§ÓÔWRiMÐ Ö-`Ue¬^_`

Q ×

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω

e¬P&WRV¥Jc^_`QJcØUHKV"}J]H¬P–i^2JcH¹HKVXL\ÒR`UV\ã_è]ëRâ_æcã

æ,2ô¹âà2â2çµi]Ó

Q ×

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω

SQJ]a7LÒf`UVP–V2Ò-i]Óe¹aUe¹ÒRe¬J]HPsÒ_J%ÒRV¥P2SU^XJ]a$Ø7V^_`QVX^_ÜcV¥LEÓÔiMW-V2Ð5ÙuÒsgbaUVXPfPXÚ

TFi%Ö(V2YcVXWXS7WRV¥Jc^_`QJcØUHKV'J]aQL<^iMWRV¥Jc^_`QJcØUH¹VPRVÒ_PJ]WfV'aUicÒ^2icÐ5ÙUOuÒ_J]ØUHKVeKa\ÕMV2aUVXWfJcHØwV×

^2J]O7P–VicӒOUaQLUVX^e¬LUJcØUe¹HKe¹Òsg$ÙQWRiMØUH¹VXÐEP2Ú ö ÙUÙUWfinñue¹ÐEJ]ÒRV'JcaQJ]HKguP–e¬P-ÒfVX^_`UaUe¬êxOUVXP§PROQ^_`\JcP§J]ØU×

PsÒfWfJM^Òe¹axÒRVXWRÙQWRV2ÒfJ%Òfe¹iMa ínðƒSU^XJ]a»ØwV&OQPRVXLÒRiE^iMÐDÙQOuÒRVi%YcVXW–×zJ]ÙQÙUWRinñueKÐEJ%ÒReKica7Pµi]Ó.Òf`UV2ÐÚ

IOUWAÒfixiMH Ud *bgbÐ'ØwicHKe¬^…dVXP–Ò§V2aQV2W_J%ÒReKica í]ðwe¬Pe¹axÒRVXW–Ó¶JM^V¥LEÖ-e¢Òf`»J&ÒfibicH7^XJ]HKH¹V¥L

…ÛJc^…í¹î

ú

ðbÓÔicWÒR`Ue¬PÙUOUWfÙ7ixP–VMÚXÏe¹W_P–ÒXS ud JcOuÒRiMÐ5J]ÒRe¬^2JcH¹HKg§^2icÐ5ÙUOuÒfVXP±ÒR`UV(ÙUWfiuLuOQ^Ò

ω||S

^S

J]aQL ÒR`QV2a.SIÛJc^J]OuÒficÐEJ%ÒfeK^XJ]HKH¹gûÙ7VXW–ÓÔiMWRÐEPEJ]a?J]ÙQÙUWRinñueKÐEJ%ÒRV$WfVXJc^_`7J]ØUeKH¹e¹Òsg J]a7J]HKgbPRe¬P

óÓÔWficÐÒR`UV(eKaUe¢ÒfeKJcHuPsÒ_J%ÒRV¥P±J]aQL'J]ÙUÙUWfinñue¹ÐEJ]ÒRV’^2icWfVXJc^_`7J]ØUeKH¹e¹ÒsgIJcaQJ]HKguP–e¬P ÔÒRi…ÒR`UV(Ybe¹iMHKJ]ÒReKaUÕ

H¹iu^2J]ÒReKicaQP -icÓµÒR`UVDÙUWfiuLuOQ^Ò¥Úwd`QVXPRV'ÒfixiMHKPI^2Jca÷Ø7VDV2Ð5ÙUHKi%gcV¥LÒRiÙUWfi%YcVcS7VcÚÕQÚKSQÒf`QJ%Ò§ÒR`QV

ud

S ^δ

LuV2ÙQeK^ÒRVXLDeKaEÏeKÕcOQWRV

ø

LuibVXPµPfJ%ÒfeKP–ÓÔgÒf`UV-icØ7P–VXWRYMV2W

ω 1

LuV2ÙQeK^ÒRVXLDeKaEÏeKÕcOQWRV

ú Ú

J]a Ud LuibVXP§élè%ç°PRJ]ÒRe¬PsÓÔgJca»iMØQP–VXWRYMV2W¥Ú bO7^_`JDP–e¹ÒROQJ]ÒReKicaib^X^OUW_P(Ö-e¢Òf`»Òf`UV ud

S ^δ

eKaÏeKÕcOUWfV

ø

J]a7L»Òf`UViMØQP–VXWRYMV2W

ω 2

LuVXÙUe¬^ÒRV¥Le¹aÒf`UVWfe¹ÕM`xҖ×`QJ]aQL$PReKLuV&icÓAÏeKÕcOQWRV

ú Ý

S ^δ

LuibVXP§aUi]ÒPfJ%ÒfeKP–ÓÔg

ω 2

S°ØwVX^XJ]OQPRVEJ; <e¹aUÙQOuÒ'^2JcWRWfgbe¹aUÕÒR`UVEÙQJcWfJcÐ5VÒRVXW

p = 0

J]HKH¹i%ÖFPÓÔiMWJ <iMOuÒRÙQOuҒÒfi'ØwVFV2Ð5e¹Ò–ÒRV¥L ÔÖ-e¹ÒR`QicOuÒ-J]abg

M SG

eKaUÙUOuÒ_P’eKaØwVÒsÖ(V2VXa S Ö-`UeK^_`YbeKicH¬J%ÒRV¥PÒR`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsgEi]ÓeKaMÒfV2WfVXP–ÒóÒR`QV ±ä¶è%ôKæ%çzâ-HKib^XJ%Òfe¹iMae¬PWRV¥Jc^_`UV¥L Ú

è]ò2äóéQäóéh}+è,àâ2ë &%âë_à$Ed`UVEÙ7J]W_J]HKH¹VXHµÙUWRiuLuO7^Ò'icÓÒsÖ(iicØQPRV2WfYcVXWfP

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω )

^JcaQL

(ϕ,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ϕ )

^XJ]aØ7V&J]H¬PRieKaxÒRV2WfÙUWfVÒfVXLeKaÒRV2WfÐEP(i]ÓPfJ%ÓÔV2ÒsgEÙUWRiMÙ7VXW–Òfe¹V¥P2Ú1 VOQP–VIÒR`QVXPRV ÙUWRiMÙ7VXW–Òfe¹V¥P»eKa bVX^ÒReKica #7Ú

ö

aQJ]ÒROUW_J]H&^_`UiMeK^2V\e¬PÒRi VXêxOUeKÙùÒR`QV ÙQWRiuLuOQ^Ò

ω||ϕ

^Ö-e¢Òf`

ÒR`UV'PRVÒFicÓHKiu^2J]ÒReKicaQP ä¶è%ô¹æ]çâ

ω ×

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ϕ

ìQØxg .VXÐDÐEJîMS uëfæcã_âà

(ω||ϕ,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ×

±ä¶è%ôKæ%çzâ

ϕ ) =

^{uëRæMã_âà}

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ) ∩

^{uëfæcã_âà}

(ϕ,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ϕ )

ì-`UV2aQ^2VcSÖ(V<iMØuÒfJce¹aJ PRJ]ÓÔVÒsg$ÙUWRiMÙ7VXW–Òsg$Ö-`Ue¬^_`÷e¬P…YbeKicH¬J%ÒRV¥LÖ-`UV2aQV2YcVXW…Øwi]Òf`\PRJ]ÓÔVÒsgÙUWficÙwV2WRÒReKVXPILuVXPf^Wfe¹ØwVXLØbg

(ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω )

^J]aQL

(ϕ,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ϕ )

J]WfV(YxeKicH¬J%ÒfVXL°Ú ö H¢ÒfV2WfaQJ%Òfe¹YMV(^_`UiMeK^2VXPÓÔicWÒf`UVYbe¹iMHKJ]ÒReKaUÕ H¹iu^2J]ÒReKicaQPJcWRVMS7VMÚÕ7Ú¹S ±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω × (Q ϕ \

±ä¶è%ôKæ%çzâ

ϕ )

S°Ö-`QeK^_`<e¹aQLUeK^XJ%ÒRV¥P§ÒR`UV5YbeKicH¬J%ÒReKica\i]Ó ÒR`UV§ÓÔicWfÐ5V2W(ÙUWficÙwV2WRÒsgcSxØUOuÒ-aUi]ÒÒf`QJ%Òi]ÓÒR`UV§HKJ]ҖÒfV2W¥ìbJcaQL°S

(Q ω \

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ) ×

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ϕ

S

Ö-`UeK^_`eKaQLue¬^2J]ÒRVXP(Òf`UV&Ybe¹iMHKJ]ÒReKicai]ÓÒR`UV&H¬J%ÒRÒRV2W¥SuØUOuÒFaQi]ÒFi]ÓÒR`UVÓÔiMWRÐ5VXW-ÙUWRiMÙ7VXW–ÒsgMÚ

),0< )i4, ) >Q+[e+) '

ö ã_è%éBè%ëòEæ%éwã_âDëRâ2ô¹æ]ç}ä¶è]éÓÔicWfÐEJ]HKeKPRVXP-ÒR`UVDP–V2҅i]ÓAeKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKicaQPFÒR`QJ]҅Ø7VX`QJnYcV^icaU×

P–e¬PsÒfV2axÒRHKg»Ö-e¹ÒR`÷J5PRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica.Ú ö a½eKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa

I

eKP-aQi]҅JDÓÔicWfÐEJ]H°iMØ VX^Ò Ôe¹Ò…eKP J'ÙU`bguPReK^XJ]H°P–guP–ÒRVXÐ ’ØUOuÒ¥Sue¹a$icW_LuVXW’ÒfiDWfVXJMP–iMa»J]ØwicOUÒ^2icauÓÔiMWRÐEJ]a7^VcSxe¹Òe¬P(aUVX^2VXPfPRJcWRgDÒfi

JcPfP–OUÐ5VIÒR`QJ]ÒÒf`UV&P–VXÐEJ]axÒRe¬^2Pi]Ó

I

^2Jca»ØwVÐDiuLuVXH¹HKVXLØbgJ&ÓÔiMWRÐEJ]HliMØ VX^ÒXÚ1<V&JMPRPROUÐ5V

`UV2WfVÒf`QJ%ÒDe¢Ò5eKPÐ5iuLuV2HKH¹V¥LßØbgßJ]a ud }^ÓsÚ3]IVÑQaUe¹ÒReKica

ø

Úd`UVaUi]Òfe¹iMaQPi]Ó-ÒRW_Jc^2V

J]aQLêMOQe¹V¥PR^2V2aQ^2VIJ]WfVLuVÑQaQVXLEÓÔiMW ud OQP–Ò-JMPAÓÔiMW ud lÚud`UV§e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKicaeKP

JcPfP–OUÐ5V¥LÒfiDØwVEäóé%áuç–ã_è]òFálô¹âçzâ2SUe}ÚVcÚKSQJcH¹H°e¹ÒfP-eKaUÙUOUÒfPFJcWRVV2a7J]ØUHKVXLe¹a½JcH¹H.P–ÒfJ]ÒRVXPXÚ

d`UVXPRVJMPRPROUÐ5ÙuÒReKica7P±J]WfV^XJ]HKH¹V¥LEçzâàç

fáQè%ç

âàä¬àeKa'^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2VµÒRV¥PsÒfe¹aQÕQÚ%d`UV^2V2au×

ÒRW_J]HlaUi]Òfe¹iMa»eKa^2icauÓÔiMWRÐEJ]a7^VFÒfVXP–ÒReKaUÕDeKPÒR`7J%Ò-i]Ó(ã_è]é è%ëòEæ%élã_â&ëRâ2ô¹æ%çƒä¶è%é7ìbÒR`UV&P–ÒfJcaQLUJ]W_L

') +/)WRVXHKJ]ÒReKicaLUVÑQaUV¥L$Øxgd±WfVÒfÐ5JcaQPíKî -nð^XJ]a$Ø7V&WfV2ÙQ`UWfJMP–V¥L»JMP

' ')!#"i"%$') +/)!.10Ié äóé%áwôKâòEâé7çæ]ç}ä¶è]é

I

'*) +,)<–ã_è%é è]ëò'à$çè+æ\àƒáUâ_ã2äåã_æ%çƒä¶è%é

S

"câ2éwè]çâ "

I

^{'*) +,)}

S

^{Aä uëRæMã_âà}

(S ^δ ) · (Λ ^! ∪ {δ}) ∩ T races(I ^δ ) ⊆

^{UëRæcã_âà}

(S ^δ )

^$

zaMÒfOUe¹ÒReKYcV2HKgcSJ]a+eKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa

I

') +/)u×z^iMauÓÔicWfÐEPÒRi½e¹ÒfPP–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa

S

S±e¹ÓsSJ]ÓóÒRV2W VXJc^_`\ÒRW_Jc^2V'i]ӒÒR`UVEPROQP–ÙwV2a7P–eKica ud

S ^δ

SwÒR`UV5eKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa\iMaUH¹g½V2ñu`Ue¹ØQe¢Ò_PIiMOuҖ×

ÙUOuÒfP…J]aQL$êxOUe¹V¥PR^2V2aQ^2VXPJ]HKHKi%ÖV¥LØbg

S ^δ

ÚUTFV2a7^VcSQe¹aÒR`Ue¬PÓÔW_J]Ð5V2Ö(icWfÜlScÒf`UV&P–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa eKPáQæ%ëçƒä¶æ%ôÖ-e¹ÒR`?WRV¥P–ÙwVX^ÒÒfi+e¹aUÙQOuÒfPXSAeƒÚVMÚ¹SAJ]ÓóÒRV2WEJca eKaUÙUOuÒEÒf`QJ%ÒEe¬P5aUi]ÒLuV¥PR^2WReKØwVXL Øbg

ÒR`UV5P–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa.SwÒR`UVDeKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa\ÐEJng`QJnYcVJ]abgØ7VX`QJnYbe¹iMOUWXSwÖ-e¹ÒR`UiMOuÒ§YbeKicH¬J%ÒR×

e¹aUÕ<^icaUÓÔicWfÐ5JcaQ^VDÒfi½ÒR`UV$P–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa.Ú±d`Ue¬P'^2icWfWRV¥P–Ùwica7LUP§ÒRi½Òf`UV»eKaxÒROUe¹ÒReKica+Òf`QJ%ÒDJ

P–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa½ÐDiuLuVXHKPIJEÕceKYcVXa½P–V2҅i]ÓAPRV2WfYxe¬^V¥PÒR`7J%ÒIÐOQP–Ò…Ø7V'ÙUWRi%Ybe¬LuVXLØbg$JP–guP–ÒRVXÐ$ì

JÙQJ]WRÒRe¬^OUH¬J]W&eKÐ5ÙUHKV2Ð5V2axÒfJ]ÒReKicaßicÓÒf`UV»PRgbP–ÒRVXÐÐEJng\eKÐ5ÙUHKV2Ð5V2axÒ'Ð5icWfVPRV2WfYxe¬^V¥P§ÒR`QJca

P–ÙwVX^2e¢ÑQV¥L°SUØUOUÒ-ÒR`UV¥P–VJMLULue¹ÒReKicaQJcHlÓÔVXJ%ÒfOUWfVXP-PR`UicOUH¬LaUi]Ò-eKaQOUVXaQ^V&e¹ÒfPF^2icauÓÔiMWRÐEJcaQ^VMÚ

bæ%ò…áwô¹âB$ ö ae¹Ð5ÙUHKV2Ð5VXaMÒ_J%Òfe¹iMaEÒR`QJ]Ò(V2ñu`Ue¹ØQe¢Ò_PAÒf`UV…ÒfWfJM^V

ST ART ?(1) · ST OP !

^LUixV¥P

aUi]Ғ^2icauÓÔiMWRÐ"ÒRiÒR`QVFP–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa

S

LUV2ÙUe¬^ÒfVXL5eKa5ÏeKÕcOUWfV&î(×.ÒR`QeKPAÒRW_Jc^Ve¬PµaUicҒÙUWfVXPRV2axÒ

e¹a ÒR`UV Ud

S ^δ

}ÏeKÕcOQWRV

ø

ÚAÏUicWDÒf`UV÷PRJcÐ5VWfVXJMP–iMa.SÒR`UV$ÒRW_Jc^2V

ST ART ?(1) · δ!

WRVXYcVXJcHKPJ…aQicau×z^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2VµÒRi

S

Ú,IaÒf`UVi]Òf`UV2W`QJ]a7L°S]J-ÒfWfJM^VP–OQ^_`DJcP

ST ART ?(1)·

ST ART ?(1) · ST OP !

LUixV¥P…aQi]ÒÙ7ixP–VDÙUWficØUHKV2ÐEP…ÓÔicW&^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2VcS7JMP

S ^δ

LuibVXP§aUicÒ

^ica7PsÒfWfJce¹a»ÒR`UVÒfWfJM^VXPicÓ±Òf`UVP–guP–ÒRVXÐ J%ÓóÒfV2WÒf`UVP–V¥^iMaQL; eKa½J]abgEÖJngcÚ

kMÈ ±Ç±É1ÈuÎ–Ê’Ç _ÊAÉ &n.È µÇIË<ʒÇ_ÊAÉ µÇIÍ

d`UeKP$PRVX^Òfe¹iMa PR`Ui%ÖFP`Ui%ÖÒfiûÕMV2aUVXWfJ]ÒRV\J ÒRVXP–Ò½^2JcPRV÷ÓÔWficÐ J P–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa OQP–eKaUÕ J

PRJ]ÓÔVÒsg ÙUWRiMÙ7VXW–Òsg+JcPJ½ÕcOQeKLuVMÚd`QVÒRV¥PsÒ5^2JMP–V»J]ҖÒfV2Ð5ÙuÒfP'ÒRi<LuVÒfVX^ÒDYbe¹iMHKJ]ÒReKicaQP'i]Ó-ÒR`QV

ÙUWRiMÙ7VXW–ÒsgDØbgJ]aeKÐ5ÙUHKV2Ð5V2axÒfJ]ÒReKicaicÓ.ÒR`QVIPRgbP–ÒRVXÐ J]aQLYxeKicH¬J%Òfe¹iMaQPAicÓ.ÒR`QVI^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V

Ø7V2ÒsÖVXV2aÒR`QV'eKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa\J]a7L$ÒR`UVDP–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa.Ú7[½iMWRVXi%YcVXWXSue¹ÓµÒR`UVYcVXWRe¹Ñ7^2J]ÒReKica

PsÒfV2Ù bVX^ÒReKica

ú Úú

’^icOQHKL»aUi]ÒVXP–ÒfJcØUH¹e¬PR`ÒR`QV…Ó¶JM^ÒÒR`QJ]ÒÒf`UV&P–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa»PfJ%ÒRe¬P–ÑQVXPÒR`QV

ÙUWRiMÙ7VXW–ÒsgMSxÒR`UV&ÕMV2aUVXWfJ]ÒRVXL»ÒRV¥PsÒF^XJcPRVXPÐEJngJ]H¬P–iELuV2ÒRV¥^ÒFYbe¹iMHKJ]ÒReKicaQP(icÓ±ÒR`QV&ÙUWRiMÙ7VXW–ÒsgEØbg

ÒR`UVPRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica$Ö-`UV2aV2ñbV¥^OuÒfVXLica$ÒR`QV&e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica±Ú

<VPR`Ui%ÖùÒf`QJ%Ò-Òf`UVÒRV¥Ps҅^XJcPRVXPÕMV2aUVXWfJ]ÒRVXL»Øbg»icOQW-ÐDV2ÒR`UiuLJ]HKÖJngbP(WfVÒfOUWRa^iMWRWfVX^Ò

YcV2W_Lue¬^Ò_P2ÚzaÒR`Ue¬PFPRV2aQPRVcSbÒf`UVÒRV¥PsÒFÕMV2aUVXWfJ]ÒReKicaÐDV2ÒR`UiuL$e¹ÒfPRV2H¹Óe¬PF^iMWRWfVX^ÒXÚ

…uçƒô‘äóélâ $. V…ÑQW_P–Ò(LuV2ÑQaUVFÒf`UVEèXuç¢á!uç`–ãfè]òFálô¹â2ç}ä¶è]é

Σ ^! (M)

^icÓJ]aUd

M

Ú/ VIÒR`UVXa

P–`Ui%Ö Òf`QJ%ÒDÒR`UVicOuÒfÙUOuÒR×^2icÐ5ÙUHKVÒReKicaûi]Ó-ÒR`QV ud +icÓ

S ^δ

^e¬PDJ ã_æ%élè%éQä¶ã_æ]ô(çzâà_çzâ2ëDí#]ð ÓÔicW

S

JcaQLEÒf`UV') +/)$WRVXHKJ]ÒReKicaLUVÑQaUV¥LeKauVX^Òfe¹iMa

ú Ú#"¶J5^2JcaUicaQeK^XJ]H7ÒRVXP–ÒRVXW(ÓÔicW-JPRÙwVX^×

e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa Ö-e¹ÒR`?WfVXPRÙ7V¥^ÒEÒfi J<ÕMe¹YMV2a WRVXHKJ]ÒReKica?J]HKH¹i%ÖFPXSµeKa ÙQWReKaQ^eKÙUHKVcSµÒfi LuVÒfVX^ÒV2YcVXWRg

e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica$Òf`QJ%҅Lue¬PfJ]ÕcWfV2V¥P(Ö-e¢Òf`Òf`UVPRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica½Jc^X^icW_LueKaUÕÒRiDÒR`UV'WRVXHKJ]ÒReKica Ú

d`UeKP-LUV2Wfe¹YMVXP’ÓÔWRiMÐ ÒR`UV§Ó¶Jc^ÒXSUP–ÒfJ]ÒRVXLeKa ±V2Ð5ÐEJ ø Ø7VXH¹i%Ö&SxÒf`QJ%Ò ')+,)u×z^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2VFÒfi

JP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa

S

e¬PFV¥êMOQe¹Y%J]HKV2axÒIÒRi»PfJ%ÒfeKP–ÓÔgbe¹aUÕ ¶J»PfJ%ÓÔV2ÒsgÙQWRiMÙ7VXW–Òsg$LuVXPf^Wfe¹ØwVXL÷Øxg!-Jca icØQPRV2WfYcVXWicØuÒ_J]eKaUVXLßÓÔWRiMÐ

Σ ^! (S ^δ )

ÚµÛ(gß^iMÐDÙwiMPReKaUÕ½ÒR`QeKPicØQPRV2WfYcVXW'Ö-e¹ÒR`ûJcaUi]Òf`UV2WDicØU×

P–VXWRYMV2W

(ω,

±ä¶è%ôKæ%çzâ

ω )

ÖViMØuÒfJce¹aÒRV¥Ps҅^XJcPRVXPÓÔicWF^_`UV¥^_Übe¹aUÕDÒf`UV^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V…Òfi

S

^JcaQL

ÒR`UVPfJ%ÒfeKP–Ó¶Jc^ÒReKica$i]Ó

(ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω )

^Ú

' ')!#" $) @ " @< +/) "& ')!.X0 t=

C

HM4

M = hD, Θ, Q, q ⁰ , Σ, T i

A-\H1BbHULM‡

qk=Z4R=@?9B= wt698:,;3:!^GB

K

H-iMOuÒRÙQOuÒF^icÐ5ÙUHKVÒfe¹iMa7V1W

M

^{=Z?rBK H698:,;3:}

Σ ^! (M) = hD, Θ, Q ∪

{

^æ%äóô

M }, q ⁰ , Σ, T ∪ S

q∈Q,a∈Σ ^! hq, a, V

t=hq,a,G t ,A t ,q _t ⁰ i∈T ¬G t , (x := x) x∈V ,

^æ%äóô

M ii

^f

éQçzâ2ëƒáwëRâ2çæ]ç}ä¶è]é

Σ ^! (M)

e¬PicØUÒfJ]eKaUV¥L ÓÔWRiMÐ

M

Øbg JMLULueKaUÕ÷J½aUVXÖ HKiu^2J]ÒReKica

æ]äóô

M ∈ / Q

^S(JcaQL ÓÔiMWV¥Jc^_`

q ∈ Q

^J]a7L

a ∈ Σ ^!

^S-J ÒRW_J]aQPRe¢Òfe¹iMa Ö-e¢Òf` iMWReKÕceKa

q

SLuVXP–ÒReKaQJ%Òfe¹iMa

æ]äóô

M

SUJc^ÒReKica

a

Sue¬LuV2axÒfe¢Òsg»JMPRPRe¹ÕMaUÐ5V2axÒfP(J]a7L»ÕMOQJ]W_L

V

t=hq,a,G t ,A t ,q ⁰ _t i∈T ¬G _t

ÚUTFV2a7^VcS J]abg½icOuÒfÙUOuÒaUi]ÒÑQWfVXJcØUHKV'eKa

M

ØwVX^2icÐ5VXP…ÑQWfVXJcØUH¹VDeKa

Σ ^! (M )

JcaQL÷HKVXJMLUPIÒRiÒR`UV5aUVXÖ

¶LuV¥JcLuHKiu^_Ü.H¹iu^XJ%ÒReKica

æ%äóô

M

Únd`UVicOuÒfÙUOuҖ×z^iMÐ5ÙUH¹V2ÒReKicaicÓQJ]aUd

M

^2J]a'Ø7V(P–VXV2a'JMP J]aEicØ7P–VXWRYMV2W¥S]ØbgD^_`UibixP–eKaUÕ

{

^æ%äóô

M }

JcPµÒf`UVIPRVÒ(i]Ó°Ybe¹iMHKJ]ÒReKaUÕHKiu^2J%Òfe¹iMaQPXÚMd`UV-ÓÔiMH¹HKi%Ö-eKaUÕ H¹VXÐDÐEJPRJnguPÒf`QJ%Ò^icaUÓÔicWfÐ5JcaQ^VÒfiJPRÙwVX^e¹Ñ7^XJ%ÒReKica

S

eKPIJ»PfJ%ÓÔV2ÒsgÙUWficÙwV2WRÒsgcSQaQJ]Ð5V2HKgcS ÒR`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsgEÖ-`UixP–VaUVXÕMJ%Òfe¹iMae¬PWfV2ÙUWfVXPRV2axÒRV¥L»ØbgEÒf`UV&icØ7P–VXWRYMV2W

(Σ ^! (S ^δ ), {F ail S δ })

^Ú

+s ,0

I

^{') +/)}

S

^ä

I ^δ | = (Σ ^! (S ^δ ), {F ail S δ }))

^$

d`UV\HKV2Ð5ÐEJ J]H¬PRiûPRJnguP5Òf`QJ%ÒÒR`UV ud

Σ ^! (S ^δ )

e¬P»Jû^XJ]aUiMaUe¬^2J]HFÒRVXP–ÒRVXWÓÔiMW')+,)u×

^icaUÓÔicWfÐ5JcaQ^VÒRi

S

ÚzaQLUV2VXL.S

I ^δ | = (Σ ^! (S ^δ ), {F ail S δ ) }

^{^XJ]a} ØwV»eKaxÒRV2WfÙUWfVÒfVXLßJcP'ÒR`QV Ó¶Jc^Ò-Òf`QJ%ÒFV2ñuVX^OUÒReKica$i]Ó

Σ ^! (S ^δ )

icaÒR`QV&e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica

I

aUV2YMV2WH¹V¥JcLUP§Òfi½J–Ï7J]eKHYMV2W_Lue¬^ÒXìlÒf`UV5Ó¶Jc^Ò&ÒR`QJ]Ò&ÒR`Ue¬P&e¬PVXêxOUeKY%J]HKV2axÒÒRi

I

^{') +/)}

S

¶JcP-P–ÒfJ]ÒRV¥LØbg ±V2Ð5ÐEJ

ø

J]Ð5iMOUaxÒfPÒRiE`QJnYbeKaUÕ5JE^2J]aQicaUe¬^2JcH7ÒfVXP–ÒRVXW&í#cðƒÚ

ö ^2JcaUicaUe¬^2JcH°ÒRV¥PsÒfV2W§eKPXSQeKa÷ÙUWfeKaQ^eKÙUHKVcSQVXaUicOQÕc`ÓÔicW§LuVÒfVX^ÒReKaUÕ»J]HKH±eKÐ5ÙUHKV2Ð5V2axÒfJ]ÒReKicaQP

ÒR`QJ]ÒµLUiIaUicÒ^2icauÓÔiMWRÐÒfi§JIÕceKYcVXaPRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica.ÚnTFi%Ö(V2YMV2W¥SXiMOUWÕMiMJcHMeKa'Òf`Ue¬PÙ7J]ÙwV2WeKPÒfi

LuVÒfVX^Ò¥SMeKa»JMLULue¹ÒReKica5ÒRiDP–O7^_`EaUicau×z^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2VXPXS%i]Òf`UV2WÙ7icÒRV2axÒfeKJcH7YbeKicH¬J%ÒReKica7Pµi]Ó.icÒR`UVXW

¶JcLQLue¢Òfe¹iMaQJ]HPfJ%ÓÔVÒsgEÙQWRiMÙ7VXW–Òfe¹V¥P-^icÐ5eKaUÕDÓÔWRiMÐSuVcÚÕQÚKSbÒR`UVPRguPsÒfV2ÐPWfVXêxOUeKWfV2Ð5V2axÒfPXÚ

d`UV…iMØQP–VXWRYMV2W_P}^ÓsÚ]…V2ÑQaUe¹ÒReKica-/AV2Ð5ÙUHKi%gcVXLEÓÔicWVñuÙUWfVXPfP–eKaUÕ'PROQ^_`ÙQWRiMÙ7VXW–Òfe¹V¥PJcHKPRi

P–VXWRYMVJcP§J»ÒRVXP–Ò&P–VXH¹V¥^ÒReKica\ÐDV¥^_`QJ]aQeKPRÐìwØbg .VXÐ5Ð5J<îcSwÒf`UVÙQWRiuLuOQ^Ò§ØwVÒsÖ(V2VXa<Jca\icØU×

P–VXWRYMV2WµJ]aQL'ÒR`QV^XJ]aUiMaUe¬^2J]HxÒfVXP–ÒRV2W^2J]aØ7V-O7P–V¥L'Òfi&LuVÑQaQVJPROUØQPRVÒAicÓQÒRW_Jc^2VXPi]Ówe¹axÒfV2WfVXP–Ò

J]Ð5icaUÕÒR`QV&Ð5JcabgÙ7ixPRPReKØUH¹VÒfWfJM^V¥PicÓÒf`UV^2JcaUicaQeK^XJ]HwÒRV¥PsÒfV2W¥Ú

<V'ÑQWfP–ÒIaQi]ÒRV'ÒR`QJ]҅ÓÔiMWIJ]a ud

M

J]a7L÷J]a½iMØQP–VXWRYMV2W

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ) ∈ Ω(M)

^S

ÒR`UV ud

ω||Σ ^! (M)

^2J]a»Ø7V§e¹axÒfV2WfÙUWRV2ÒRV¥LJcP(J]aiMØQPRV2WfYcV2W’i]Ó

M

ØbgE^_`UibiMPRe¹aUÕ'e¢Ò_P(PRVÒ i]ÓYxeKicH¬J%Òfe¹aQÕ½H¹iu^2J]ÒReKicaQPXÚ.V2Ò&ÓÔicWaQi%Ö"Òf`UeKP'P–V2Ò'Ø7Vä¶è%ô¹æ]çâ

ω × {

^æ]äóô

M }

SLuV2aUicÒRV¥L<Øbg

±ä¶è%ôKæ%çzâ

æ%äóô

ω||Σ!(M)

Úd`QV(PROUØQPf^Wfe¹ÙUÒe¬PicÐ5e¢ÒRÒRV¥LÖ-`UVXaUV2YMV2We¢Òµe¬P^2H¹V¥J]W±ÓÔWRiMÐ:ÒR`UV^iMaMÒfVñbÒXÚ

' ')!#")<0

è%ë

(ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω ) ∈ Ω(S ^δ )

^Açzâàç

(S , ω) , ω||Σ ^! (S ^δ )

^$

za5ÒR`UVFWfVXP–Ò’icÓwÒf`UV…PRVX^ÒReKica5ÖVIP–`Ui%Ö ÒR`7J%ҒVXYcV2Wfg»çzâà_ç

(S , ω)

^2Jca5Ø7V…PRV2VXaJcPAJ&ÒRVXP–Ò^XJcPRV ÒR`QJ]ÒFWRV2ÑQaUVXP(Òf`UV^2JcaUicaQeK^XJ]HwÒRV¥PsÒfV2W¥SUJcPYbe¹iMHKJ]ÒReKicaQPicÓ

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω )

JcWRV&J]H¬PRiD^_`UV¥^_ÜcV¥L°Ú

>&) " )# ' '*)i "i0

I

^{'*) +,)}

S

^ä

∀(ω,

±ä¶è%ôKæ%çzâ

ω ) ∈ Ω(S ^δ ). I ^δ | = (

^çzâàç

(S , ω),

ä¶è%ô¹æ]çâ

æ%äóô

.

S

ω

)

^$

éQçzâ2ëƒáwëRâ2çæ]ç}ä¶è]é#$Id`UVud  çzâà_ç

(S, ω)

^2Jca½Ø7V'PRV2VXa½JcPFJ5ÒfVXP–ÒI^2JMP–V§ÒfiØ7V'VñuVX^2OuÒRV¥L e¹a<ÙQJ]W_J]HKH¹VXH±Ö-e¹ÒR`+J]a÷eKÐ5ÙUHKV2Ð5V2axÒfJ]ÒReKica

I

^Ú 2AWRiMÙ7ixP–e¹ÒReKicaûîPfJngbPFÒR`QJ]Ò§e¹ÓAÒf`UeKP§V2ñbV¥^OuÒfe¹iMa V2axÒRVXWfP.JHKiu^2J]ÒReKicae¹a ä¶è%ô¹æ]çâ

æ%äóô

.

S

ω

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ×{

^æ]äóô

S δ }

SÒf`UV2a&Òf`UVAeKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2au×

ÒfJ%Òfe¹iMa½Ybe¹iMHKJ]ÒRVXPØwi]Òf`ÒR`UV'ÙUWRiMÙ7VXW–Òsg$LuVÑ7aUVXLØbg

(ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω )

J]aQLÒf`UV'^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V ÒRiEP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa

S

Ú!za$ÒR`Ue¬P-PRe¢ÒfOQJ%Òfe¹iMa.SuÒR`QV ')-6R) !'YMV2W_Lue¬^Ò-eKPÕMe¹YMV2a.Ý

'*) 7)!'zÝUÒR`UV&eKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKica$YxeKicH¬J%ÒfVXP(Òf`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsg\æ%é#"IÒf`UV^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V

d`UVAÙUWficÙwiMPRe¢Òfe¹iMa§JcHKPRiFPfJngbPwÒf`QJ%Ò±ÒR`UV¶e¹aUÓÔaUe¢ÒfV±P–V2ÒMçzâàç

(S, ω)|(ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω ) ∈ Ω(S ^δ )}

i]ÓÒRVXP–ÒI^XJcPRVXPe¬P sV2ñu`QJ]OQP–ÒReKYcV …ÓÔicWI^_`UVX^_ÜbeKaUÕ ') +/)u×z^icaUÓÔicWfÐ5JcaQ^VIÒRiJÕMe¹YMV2a½PRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]×

ÒReKica

S

SUÐ5VXJcaUeKaUÕDÒR`QJ]҅J]HKH°aUicau×z^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2VXPÐEJngcSueKa$ÙQWReKaQ^eKÙUHKVcSUØwVLuV2ÒRVX^ÒRV¥L°Ú

 VaUi%Ö:^iMaQP–e¬LuVXWFJ]aUicÒR`UVXWFe¹axÒfV2WfÙUWRV2ÒfJ]ÒReKica$i]ÓÒR`UVUd

ω||Σ ^! (M )

SUÖ-`Ue¬^_`½H¹V¥JcLUP ÒRiJcaUi]Òf`UV2WÒRV¥PsÒYcVXWfLUeK^ÒXÚ`UibiMPRe¹aUÕÒR`UV§Ybe¹iMHKJ]ÒReKaUÕHKib^XJ%Òfe¹iMaQPAÒfi'ØwV

(Q ω \

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω ) × {

^æ%äóô

M }

WfVXPROUH¹ÒfPIe¹a J»LuelV2WfV2axÒ§iMØQPRV2WfYcV2W¥Ú! VDLUV2aUicÒRVDØxg

æ%äóô

ω||Σ!(M)

ÒR`UV5PRVÒ

(Q ω \

±ä¶è%ôKæ%çzâ

ω ) × {

^æ]äóô

M }

Ú7d`UV&P–OUØ7PR^2WReKÙuÒ-eKPFicÐ5e¢ÒRÒRV¥LÖ-`QV2aUVXYcV2W(Òf`UV^iMaMÒfVñbÒ-eKP…^HKVXJ]W¥Ú

>&) " )# ' '*)i*G0dg!VXL5AX47698:,;3:

S

^AX4G\

(ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω ) ∈ Ω(S ^δ )

^{^}

I ^δ 6| = (

^çzâàç

(S , ω),

^{æ]äóô . 2}

S

ω

⁵

) ⇒ ¬(I

^{'*) +,)}

S)

2AWRiMÙ7ixP–e¹ÒReKica

ø

PRJnguPIÒR`7J%ÒÖ-`UVXa çzâàç

(S, ω)

V2axÒRVXWfP&J$HKib^XJ%Òfe¹iMa<eKa\Òf`UVPRVÒ

æ%äóô

.

S ω Q ω \

±ä¶è%ôKæ%çzâ

ω ) × {

^æ%äóô

_S ^δ }

(Ö-`UV2a$VñuVX^2OuÒRV¥L»iMaJcaeKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKica

I

^SbÒR`UVXa

I

YxeKicH¬J%ÒfVXP^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V'Òfi

S

Ú±d`UV5ÙUWficÙwV2WRÒsg

ω

e¬PaUi]Ò&YbeKicH¬J%ÒRV¥L ÔÒR`UVä¶è%ô¹æ]çâ

ω

PRVÒ&eKP

ö ÒR`Qe¹W_L½eKaMÒfV2WfÙUWfVÒfJ]ÒReKica½icÓµÒR`UV ud

ω||Σ ^! (M)

JMP…Jca÷icØQPRV2WfYcVXWF^2Jca÷Ø7VÕceKYcVXa.SQØbg

^_`UibiMPRe¹aUÕÒR`QV'P–V2ÒFi]ÓYxeKicH¬J%Òfe¹aQÕDHKiu^2J]ÒReKicaQP(ÒfiEØ7V ä¶è%ô¹æ]çâ

ω × Q M

Ú! VLuV2aUicÒRVÒf`UeKP…P–V2Ò

Øxg ±ä¶è%ôKæ%çzâ

ω||Σ!(M)

SUJcaQLicÐ5e¢ÒÒf`UVP–OQØQPR^2WReKÙuÒÖ-`UV2aQV2YcVXWe¢ÒFe¬P^HKVXJ]W(ÓÔWficÐ=Òf`UV&^iMaMÒfVñbÒXÚ

>&) " )# ' '*)i=),0dg!VXLcAX4 698:,;3:

S

^{Au4G\ V :u?UHML C HUL}

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ) ∈ Ω(S ^δ )

^{^}

I ^δ 6| = (

^çzâàç

(S, ω),

ä¶è%ô¹æ]çâ

. 2

S ω

⁵

) ⇒ I ^δ 6| = (ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω ) ∧ S ^δ 6| = (ω,

ä¶è%ô¹æ]çâ

ω )

^f

2AWRiMÙ7ixP–e¹ÒReKica

ú

PRJnguP’ÒR`QJ]ÒÖ-`QV2a+çâàç

(S, ω)

V2axÒRVXWfP-JHKib^XJ%Òfe¹iMa»eKa ä¶è%ô¹æ]çâ .

S ω

Ö-`UVXa

VñuVX^2OuÒRV¥LiMaEJ]aDe¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica

I

S%ÒR`UVXaEJYxeKicH¬J%Òfe¹iMaicÓ7Òf`UV-ÙUWficÙwV2WRÒsgØbg'Øwi]Òf`5PRÙwVX^×

e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa$JcaQL$e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica$e¬PFLuVÒfVX^ÒRVXL.ÚQTFVXaQ^VMSbÒR`UV "')-6_EYcVXWfLue¬^Ò-e¬P-ÕceKYcVXa.Ý

'*) 7)7ÝuÒf`UVP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa$JcaQL»ÒR`UV&eKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKicaYbe¹iMHKJ]ÒRVIÒR`UV&ÙUWficÙwV2WRÒsg

ä¬à2ã9bàfàä¶è]é#$ 2AWficÙwiMPRe¢Òfe¹iMaQP5îcS ø S±J]a7L ú PR`Ui%Ö"ÒR`QJ]ÒÒR`UV5ÒfVXP–Ò'ÕcVXaUV2W_J%Òfe¹iMa<JcH¹ÕMicWfe¢Òf`UÐS

e}ÚVcÚKS¥ÒR`UV(^ica7PsÒfWROQ^ÒReKicaicÓuÒR`UVud 5çzâà_ç

(S, ω)

JcaQL&icÓUe¢Ò_P±Òf`UWfV2V’YMV2W_Lue¬^ÒfPXSnJ]WfVIã_è%ëëRâ_ã2ç}S e¹a$ÒR`QV'P–VXaQPRVIÒf`QJ%ÒIYcV2W_Lue¬^Ò_P-^icWfWfVX^ÒfH¹gLUVXPf^Wfe¹ØwVÒR`UV'WRVXHKJ]ÒReKicaQP(ØwVÒsÖ(V2V2a½PRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica.S

e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica±SbJcaQLEÙUWficÙwV2WRÒsgcÚbd`UVIYcV2W_Lue¬^Ò ')-6R) !' ¶WRV¥P–Ù.Ú '*LuV2ÒRVX^ÒfPÒR`QV

YxeKicH¬J%Òfe¹iMaicÓ7Òf`UV-ÙUWficÙwV2WRÒsgJ]aQLDicÓ7Òf`UVF^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V ¶WRV¥P–Ù.Úci]ÓwÒR`UVF^2icauÓÔiMWRÐEJ]a7^V(icaUHKg!

Øxg<ÒR`QV»eKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒfJ%Òfe¹iMa.Úd`UeKP'`UicH¬LUP'e¹aQLUV2ÙwV2aQLuVXaxÒRHKgßi]Ó-Ö-`UVÒf`UV2WÒR`QV»P–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa

PRJ]ÒRe¬PsÑQV¥P§ÒR`UV5ÙUWficÙwV2WRÒsg÷iMW§aQi]ÒXì±e¹aQLUV2VXL.S°ÒR`UV5V2ñbV¥^OuÒfe¹iMa<icÓÒf`UV5ÒRV¥PsÒ^XJcPRVDiMa\Òf`UVEeKÐ×

ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKica ÐEJngßLuVÒfVX^ÒDYbeKicH¬J%ÒReKica7Pi]Ó-Òf`UV$ÙUWRiMÙ7VXW–Òsg Øbg+ÒR`UV$P–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa OQPRe¹aQÕ

ÒR`UV "')-6_÷YcVXWfLUeK^ÒXÚ.d`UVJcØUe¹HKe¹Òsg÷ÒRi½ÕMV2aUVXWfJ]ÒRVÒRV¥PsÒ^XJcPRVXP§ÓÔWficÐJÙQWRiMÙ7VXW–Òsg\JcaQL J

P–ÙwVX^2e¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa\Ö-`Ue¬^_`\ÐEJng½icWÐEJngaUi]ÒPfJ%ÒfeKP–ÓÔgÒR`UV5ÙUWficÙwV2WRÒsgeKP§eKÐ5Ù7iMW–Ò_J]axÒXSlØwVX^2JcOQPRV

YcV2Wfe¹Ñ7^2J]ÒReKicaDeKPµOQaQLuVX^2eKLQJ]ØUHKVÓÔicWµÒf`UV-eKauÑQaUe¹ÒRV2×P–ÒfJ]ÒRV…PRguPsÒfV2ÐEPµ^iMaQP–e¬LuVXWRV¥L'eKa5ÒR`Ue¬PµÙQJcÙ7VXWXÚ

ö aQJ]ÒROUW_J]H§êMOQVXP–ÒReKica?ÒR`7J%Ò½J]WfeKPRVXPEe¬PÖ-`xg JßYbeKicH¬J%Òfe¹iMa i]Ó&ÒR`QV\ÙUWficÙwV2WRÒsg Øbg ÒR`QV

e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKicae¬PFJ]HKÖJngbP-LUVÒRV¥^ÒfVXLP–eKÐ'OQH¢Ò_J]aUVXicOQPRH¹gÖ-e¢Òf`V2e¹ÒR`UVXW sî&J5Ybe¹iMHKJ]ÒReKica$i]Ó

ÒR`UVÙQWRiMÙ7VXW–ÒsgØbg»ÒR`UVPRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKicaicW ø -JDYbeKicH¬J%ÒReKicaicÓÒf`UV^iMauÓÔicWfÐEJ]aQ^2V§ØwVÒsÖ(V2VXa

e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica5J]a7LDPRÙwVX^e¹Ñ7^XJ%ÒReKica±Ú]d`UVWRV¥JcPRica'e¬PÒR`7J%ÒAicOQWÒfVXP–Ò’^2JMP–V¥PJcWRVV2ñxÒfWfJM^ÒfVXL

ÓÔWRiMÐ Òf`UVßP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa.S(e}ÚVcÚKS(ÒR`UVXg icaUHKg ^icaxÒ_J]eKaùÒRW_Jc^2VXP»i]ÓÒf`UV PRÙwVX^e¹Ñ7^XJ%ÒReKica±Ú ö a

e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica½ÐEJngicaUHKgYbeKicH¬J%ÒfVJ5ÙUWRiMÙ7VXW–ÒsgÖ-e¢Òf`UicOUÒ sî&icW ø iu^X^OUWfWReKaUÕEÖ-`UVXa

e¢ÒµVñuV¥^OuÒfVXPJFÒfWfJM^VÒR`QJ]ÒLUe¹YMV2WfÕcVXPJ%ÒµPRicÐ5VÙwiceKaxÒÓÔWRiMÐ:ÒR`UV-PRÙ7V¥^e¹Ñ7^2J]ÒReKica'ØbgJca»äóé%áuç}ì

e¹aQLUV2VXL.SJMP'PRV2V2aßeKa bV¥^ÒReKica

ú Ú#QS°Òf`UeKPDLuibVXP'aUi]Ò5^iMÐDÙQWRiMÐDe¬PRV^icaUÓÔicWfÐ5JcaQ^VJcaQL°Si]Ó

^icOQWfPRVcSbÒf`UVP–ÙwVX^2e¢Ñw^2J%Òfe¹iMa$^XJ]aUaQi]Ò-Ybe¹iMHKJ]ÒRV§ÒR`UV&ÙQWRiMÙ7VXW–ÒsgiMa$JDÒfWfJM^VIÒR`QJ]ÒFe¢Ò§LuibVXPaUicÒ

^icaxÒ_J]eKa.Ú bO7^_`EÒRW_Jc^2VXPAJcWRVFV2ñU^HKOQLuVXLEÓÔWRiMÐ"Òf`UV…ÕMV2aUVXWfJ]ÒRVXLDÒfVXP–Ò(^XJcPRVXPµØbgE^iMaQPsÒfWRO7^ÒReKica±Ú

ö H¹ÒRV2WfaQJ]ÒReKYcV2HKgcSXÒR`QVXPRVAÒRW_Jc^2VXP^iMOUHKL'Ø7V(eKaQ^HKOQLuV¥LeKaÒR`QV’ÒfVXP–Ò^XJcPRVXPXSXØUOUÒÒf`UeKPeKÐ5ÙUH¹eKVXP

ÒRiFÙwV2WRÓÔicWfÐ JcaEäóé%á!uç`–ã_è%ò…áwô¹â2çƒä¶è%é…icÓbÒR`UV’PRÙwVX^e¹Ñ7^XJ%ÒReKica}P–eKÐ5e¹H¬J]W.ÒRi5]IVÑQaQe¢Òfe¹iMaî

ø

7ÑQWfP–ÒXS

J]aQL$^iMOUHKL$HKVXJMLÒfiÒfVXP–Ò…^2JMP–V¥P(ÒR`QJ]҅J]WfV…ÒsgbÙUe¬^2JcH¹HKgEÒRibi5H¬J]WfÕcVIÓÔicW-OQPRV&e¹aÙUW_Jc^ÒRe¬^VMÚ

uäóô!"]äóé} æ]éùæcã2çQæ]ô(çzâà_çã_ænà2âB$»di\ØQOUe¹H¬LûJcaûJc^ÒROQJcH’ÒfVXP–ÒD^XJcPRVÓÔWficÐçâàç

(S, ω)

^SµJcH¹H

e¹aUÙQOuÒfPEJcWRV»ÒRW_J]aQP–ÓÔicWfÐ5VXLßeKaxÒRi icOuÒfÙUOuÒfP5JcaQL WfVX^2e¹ÙUWfiu^2JcH¹HKg óÒR`QeKPDicÙwV2W_J%Òfe¹iMa e¬PD^XJ]HKH¹V¥L

òäóëëRè]ëìe¹aûÒR`UVÒRV¥PsÒDVñuVX^2OuÒReKica ÙQWRiu^V¥PRPXSÒR`UV$Jc^Òfe¹iMaQPi]Ó-ÒR`QVeKÐ5ÙUH¹VXÐ5V2axÒfJ]ÒReKicaûJcaQL

ÒR`UixP–V&icÓÒf`UVÒRV¥PsÒI^XJcPRVÐ'OQP–Ò…^iMÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒFVXJc^_`$i]Òf`UV2WÚ7ÏUicWFÒR`UVud

S

LuVXÙUe¬^ÒRV¥L e¹aEÏe¹ÕMOUWfV§î-JcaQLÒR`UV-iMØQP–VXWRYMV2W

ω 2

LuV2ÙQeK^ÒRVXL5eKaEÏe¹ÕMOUWRV

ú

SnÒR`UVF^2icWfWRV¥P–ÙwicaQLUe¹aUÕIÒRV¥PsҒ^XJcPRV

ÔØwVÓÔicWfV-P–eKÐ5ÙUHKe¢Ñ7^XJ%Òfe¹iMa eKPµLuVXÙUe¬^ÒRV¥L'eKa5ÏeKÕcOQWRV#QÚ]ÏeKaQJ]HKH¹gMSnÒR`UVWfVXPROUH¹Òe¬PµJ]OuÒficÐEJ%ÒfeK^XJ]HKH¹g

J]aQJcH¹guPRVXL»JcaQL$P–eKÐ5ÙUH¹e¹ÑQV¥LO7P–eKaUÕDÒR`UV IÛ(JM^IÒRibicHµíKî

ú

ð±ÓÔicW-PsÒ_J%ÒfeK^XJ]HKH¹gVXH¹eKÐ5e¹a7J%ÒReKaUÕDÒRW_J]aU×

x = 0

ST OP ? x = 0

ST OP ?

x := x − 1 M SG?(m) m = x ∧ x > 0 m = x ∧ x > 0

M SG?(m) x := x − 1 δ?

x < 0 δ?

x < 0 δ?

x 6= 0

Ï7J]eKH

ST OP ?

p ≥ 0 x := p ST ART !(p)

δ?

GIe¹iMHKJ]ÒRV

G…eKicH¬J%ÒfV

‰zŠZ‹Œ œ ¿iŽQŽf¨¬¤2•sI‹zf¢f—f£s‘¤¥“ Ä £s_‹£A—‡2‹z…¤X¦M£–‡2¢“MŒ¨¹•s¤¥ˆ

S

”l‘®XŠM•sý µ‡2“bŒ

ω ₂

”l‘®¥Šc•s R³

kMÈ <D±ÍwÈUÎsʒÇ

d`UV<ÐEJce¹aÕcixJ]H…icÓ'Òf`UV\ÒfVXP–ÒReKaUÕ?ÙUWfib^2VXPfP»e¬PÒRi?LuVÒfVX^ÒYbeKicH¬J%Òfe¹iMaQP»icÓÒR`QV+PRguPsÒfV2ÐP

WRV¥êMOQe¹WfVXL\ÙUWRiMÙ7VXW–Òfe¹V¥PØbg½ÒR`UVEPRguPsÒfV2ÐPeKÐ5ÙUHKV2Ð5V2axÒfJ]ÒReKica.Ú za Òf`UeKP&PRVX^ÒReKica ÖV5iMOuÒRHKe¹aQV

J+ÒRV¥^_`UaUe¬êMOQV½ÓÔicW$PsÒ_J%ÒRe¬^2JcH¹HKg?LuVÒfVX^Òfe¹aQÕûJ]aQL?VXH¹eKÐ5e¹a7J%ÒReKaUÕ H¹iu^2J]ÒReKicaQP»J]aQL ÒfWfJcaQP–e¹ÒReKica7P

i]Ó§J<ÒfVXP–ÒE^XJcPRV%¶ÕcVXaUV2W_J%ÒfVXLßÓÔWficÐ J PRÙwVX^e¹Ñ7^XJ%ÒReKica J]aQL J ÙUWficÙwV2WRÒsg JcP5LuVXPf^WfeKØ7V¥LûeKa

bVX^ÒReKica"# ’ÓÔWRiMÐ Ö-`Ue¬^_`»Òf`Ue¬PÕciMJcH°^2J]aQaUi]ÒØ7VJM^_`UeKV2YcV¥LJ]abgÐ5iMWRVMìMÒf`UVWRV¥P–OQH¢Òfe¹aUÕDÒfVXP–Ò

^2JcPRVFJ%ÒRÒRVXÐDÙUÒfPÒfiÜcVXV2ÙDÒR`UV…e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica5eKaPsÒ_J%ÒfVXPµÖ-`UVXWRV-e¹Ò’ÐEJng'P–ÒReKH¹H7Ybe¹iMHKJ]ÒRVÒR`QV

ÙUWRiMÙ7VXW–ÒsgMÚ<VPR`Ui%Ö Òf`QJ%Ò-Òf`Ue¬P-icÙuÒfe¹Ð5e¬PRJ]ÒReKica$ÙUWfVXPRV2WfYcVXP(^iMWRWfVX^ÒRaUV¥PRP(icÓ±ÒRV¥PsÒFYMV2W_Lue¬^ÒfPXÚ

d`UVYbe¹iMHKJ]ÒReKica½icӒJEÙUWficÙwV2WRÒsg»×LuVXPf^Wfe¹ØwVXL\JcP…Jca½icØQPRV2WfYcVXW

(ω,

±ä¶è]ô¹æ%çzâ

ω )

^×Øbg$Jca

e¹Ð5ÙUHKV2Ð5V2axÒ_J%ÒReKica+e¬PÐEJ%ÒRVXWRe¬J]HKe¬P–V¥L\Øbg÷WfVXJM^_`Ue¹aQÕ»Òf`UV±ä¶è]ô¹æ%çzâ

æ]äóô.J]aQL ±ä¶è]ô¹æ%çzâPRVÒ_Pi]Ó

H¹iu^2J]ÒReKicaQPFe¹a$ÒR`QVud  çzâàç

(S, ω)

^{¶^ÓsÚ} bV¥^ÒReKica#1ÚQÏQicW…JEP–ÒfJ]ÒRV

s

i]ÓAJ]aud $J]a7L

J&H¹iu^XJ%ÒReKica

q

<sup>icÓ°ÒR`UV</sup> ud lSxÖVIPRJngÒR`QJ]Ò

s

eKPã_è%ëRâ_æMã

æ,2ô¹âÓÔicW’ÒR`UVIH¹iu^2J]ÒReKica

q

e¹Ó°ÒR`UVXWRV VñueKP–ÒfP’JYnJcH¹O7J%ÒReKica

v

icÓ7Òf`UVFY%J]Wfe¬J]ØUHKVXPµPROQ^_`DÒR`QJ]Ò

s → hq, vi ^σ

ÚMd`QV2a.S%Òf`UV-ÒfVXP–ÒP–VXH¹V¥^Òfe¹iMa ÙUWRiu^2VXPfPA^iMaQP–e¬P–ÒfP ¶eKLuV¥J]HKH¹g!Ae¹aPRV2HKVX^ÒReKaUÕQScÓÔWRiMÐ J&ÕMe¹YMV2aDÒRV¥PsÒ^2JMP–VMS%ÒR`UV§P–OQØQP–V2Ғi]Ó±P–ÒfJ]ÒRV¥P

ÒR`QJ]҅J]WfV§^2icWfVXJc^_`7J]ØUHKV…ÓÔiMWÒR`UV&HKiu^2J]ÒReKicaQP(eKa ä¶è%ô¹æ]çâ

∪

±ä¶è%ôKæ%çzâ

æ%äóô¹Ú

ÒDPR`UicOUH¬L ØwVêMOQe¢ÒfV$^2H¹V¥J]WÒf`QJ%ÒEJ]aûVñUJc^ÒD^iMÐ5ÙUOuÒfJ]ÒReKica i]Ó-ÒR`QeKP5PRVÒicÓIP–ÒfJ%ÒfVXPeKP

e¹Ð5ÙwiMPfP–eKØUHKV$eKa ÕcV2aQV2W_J]HƒÚT…i%ÖVXYcVXWXSÒR`UVXWRV$Vñue¬PsÒ5ÒfVX^_`UaUe¬êxOUVXPDÒf`QJ%ÒJcH¹HKi%Ö=ÒRiß^2icÐ5ÙUOuÒfV

J]ai%YcVXW–×zJ]ÙUÙQWRinñueKÐ5J]ÒReKicaicÓµe¢Ò¥Ú  V`UV2WfV&OQPRV&icaUVP–OQ^_`$ÒfVX^_`UaUe¬êxOUVØQJMP–V¥L$ica½J]ØQP–ÒRW_Jc^Ò

e¹axÒRVXWRÙQWRV2ÒfJ%Òfe¹iMa$JcaQLeKÐDÙQH¹VXÐDVXaxÒRVXL$eKaÒR`UV …ÛJc^§ÒfixiMHAíKî

ú

ðÚ §eKYcVXaJ5HKiu^2J]ÒReKica

q

^icÓJca

ud lS]Òf`UV-ÒfixiMHQ^iMÐ5ÙUOuÒRV¥P2ScÓÔicWAV¥Jc^_`5HKib^XJ%Òfe¹iMa

l

ScJDà%ò_è]ô‘ä¶ãã_è%ëRâ_æMã

æ,2ô¹â§àçæ]çâµÓÔicW

q

^Ý

' ')!#" < $ $ )-'+ +,) >X!+ . $& ) _R.10ˆgV1L

l, q

^{BJ V} FIVRwMARB =aV14Q?cVXWdAu4 698:,;3:

S

^{^ J H7?nA9Y}

hl, ϕ l→q i

=@?cA+P–gbÐØ7iMH¹e¬^^icWfVXJM^_`QJ]ØQH¹V$PsÒ_J%ÒRVeWVXL

q

^=ZW

ϕ l→q

=@?>A

WV1LnqcCuFIAcV14B

K H C

AuL=IA :uFIHN?V1WB

K

Hd698:,;3:l?9Cw

K BK

ABD^!=ZWA{?)B`ARBbH-V1WtB

K

HTWV1Lnq

hl, vi

^=Z?

wUV1LNHNAw

K A :uFIHWV1L

q

^{^<B K HM4}

v | = ϕ l→q

^K

V1F\[?_f

ÚVMÚ¹S

hl, ϕ l→q i

i%YcVXW–×zJ]ÙQÙUWRinñueKÐEJ%ÒRV¥PAÒf`UVP–ÒfJ]ÒRV¥PFÖ-e¹ÒR`÷HKiu^2J%Òfe¹iMa

l

ÒR`7J%Ò§JcWRV^2icWfVXJM^_`QJ]ØUHKV ÓÔicW

q

ÚQd`UV§ÓÔiMH¹HKi%Ö-e¹aQÕ5JcH¹ÕMicWfe¢Òf`UÐ=OQPRVXP(Òf`UeKPFe¹auÓÔiMWRÐEJ]ÒReKicaÓÔicW(áwëUué7äóé}&JÒfVXP–Ò…^2JcPRVcÚ