Influence des défauts de forme d'une électrode simple en optique électronique

HAL Id: jpa-00234088

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00234088

Submitted on 1 Jan 1948

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Influence des défauts de forme d’une électrode simple en

optique électronique

François Bertein

To cite this version:

Graphique II. - Benzène.

La chaleur _spécifique du benzène solide en fonction de la _température absolue.

expérimentale

de la chaleur

_{spécifique [8] (voir}

graphique

II).

Cette conclusion vaut encore si l’on admet que la

fréquence

35 cm-1 est due à une

oscillation de « translation >}.

L’hypothèse

d’une rotation libre des molé-cules de benzène conduit à

_remplacer

la fonc-tion d’Einstein

_{correspondant}

à u = 35 cm

(ou

à 0 = _{par la valeur}

constante ~ :

il faut

_{simplement ajouter}

une calorie aux deux fonctions d’Einstein

_{correspondant}

à ’) ==

63,5

cm-1 et ., = 105 cm-1. Le calcul _ne vaut certainement

pas aux trés basses

_{températures,}

la rotation

dispa-raissant au-dessous de la

_température

de rotation

(ici

o,20 K _pour un moment d’inertie de

_{210 g x cm2).}

Il conduit à la valeur

_{expérimentale}

vers 20~ K et donne ensuite dans l’intervalle 2o-5oO K des valeurs nettement inférieures aux chaleurs

_mesurées,

mais on

_peut

évidemment

expliquer

la différence par la contribution des branches

_acoustiques

des mouvements des centres de

_gravité

sous forme de trois fonctions de

_Debye.

BIBLIOGRAPHIE. [1] E. GROSS et M. VUKS, J. de Physique, 1935, 6, p. 457

et 1936, 7, p. 113. - M.

VUKS, Acta physico-chimica U. R. S. S., 1937, 6, p. 11. - E. GROSS et A. V.

KOR-SHUNOW, C. R. Acad. Sc. U. R. S. S., 1939, 24, p. 328.

[2] A. KASTLER et A. ROUSSET, C. R. Acad. Sc., 1941, 212,

p. 645; J. de _{Physique, 1941, 2, p. 49.}

[3] T. M. K. NEDUNGADI, Proc. Ind. Acad. _{Sc., 1941,} 13,

p. 161; 1942, 15, p. 376.

[4] A. BOUSSET et R. LOCHET, J. de _{Physique, 1942, 3, p. 146.}

[5] S. B. _HENDRICKS, L. R. MAXWELL, V. L. MOSLEY et

M. E. _JEFFERSON, Journal _of Chemical Physics, 1933, 1, p. 549.

[6] A. KASTLER et A. FRHÜLING, C. R. Acad. Sc., 1944, 218,

P. 998.

[7] J. C. SOUTHARD et F. G. BRICKWEDDE, J. Am. Chem. Soc..

1933, 55, p. 4378. Tables annuelles de constantes et

données numériques, fasc. _{4, Hermann, Paris, 1935.}

[8] Voir R. C. LORD Jr, J. F. AHLBERG et P. H. ANDREWS Journal of Chemical _{Physics, 1937,} 1, p. 649.

INFLUENCE DES

DÉFAUTS

DE FORME D’UNE

ÉLECTRODE

SIMPLE EN

_OPTIQUE

_{ÉLECTRONIQUE}

Par

_FRANÇOIS

BERTEIN. Compagnie générale de _{Télégraphie} sans fil.

Sommaire. - Les

imperfections de construction des instruments _{électroniques} centrés sont à l’origine

d’aberrations _optiques souvent _notables; on _présente dans cet article une méthode _générale de calcul

applicable à une électrode simple; cette méthode permettra de _préciser les _performances mécaniques

à réaliser au cours de la construction des lentilles.

LE _JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. SÉRIE _VIII, TOME _IX, MARS d948.

1. -

PROPRIÉTÉS

GÉNÉRALES

DU POTENTIEL CORRECTIF

CRÉÉ

PAR LES

DÉFAUTS

DES LENTILLES. ABERRATIONS

RÉSULTANTES.

Étant

donné un

_système

centré

_d’optique

électro-nique

(exemple :

microscope),

l’rnstrument

_{e f f}

ecti-rlemenf réalisé

_présente

divers écarts vis-à-vis de l’ instrumenf idéal

_!,envisagé.

Ces écarts créent des 1 ei-iiies correctifs dans

_{l’expression}

du

_champ

défi-nissant les

_trajectoires

_{électroniques}

du

_système;

ils en modifient

_par

suite

_l’optique,

_{principalement}

par des aberrations

supplémentaires.

Nous donnerons

ici les traits essentiels de cette

_{correspondance}

_[1]

dans le cas des instruments

_purement

électrostatiques

et en ne considérant _{que leurs}

défauts géométriques :

imperfections

de forme,

décentrages

occasionnés

par un

_montage

insuffisamment

précis

des

diffé-rentes

_pièces.

1

Détermination du

_potentiel

correctif créé par un écart

_{géométrique. -}

L’instrument sera

rapporté

à un

_système

de coordonnées

cylin-driques

autour de l’axe de l’écart

_peut

être

défini

par la distance à

(z,

0)

séparant

les

surfaces

S des électrodes réelles de celles

_So

des électrodes idéales en tout

_point

_(z,

₀₎

de ces dernières. On

posera, d’autre

_part

E

_(z)

le

_{champ électrique}

Je

_long

de

_So

dans l’instrument

_{l:o; à}

et E seront

_comptés

algébriquement

à

_partir

de

_So

_(fig.

_i).

Fige.

’

On montre que le

_potentiel

correctif dû à l’écart

_{géométrique}

à

_(z

₀₎

est _{déterminé par la} condition aux limites

moyennant

l’hypothèse

suivante que nous suppo-serons satisfaite : a

petit vis-à-vis des

distances à

l’axe Oz et _{des rayons} de courbure des deux

sur-faces

So,

S dans la

_{région envisagée.}

Faisons intervenir les

_{développements}

de Fourier

de 0 et Cf en 0

4’

Les

_expressions

seront dits écarts

_composants

d’ordre m,

potenftels composants

d’ordre m

_(ils

vérifient

séparé-ment

_{l’équation}

de

_Laplace).

On observe que les termes de

chaque

rang se

comportent

de

_façon

autonome; autrement dit il suffit de considérer

_chaque

terme de à

_{séparément:}

soit

.

il crée la

_composante

de même structure en 0

suivant la relation

_(1-1).

Seules les toutes

_premières

valeurs de m ~ i sont à

envisager :

d’une

_part,

la valeur m = _o est à laisser de côté _car il

s’agit

d’un terme de révolution _que l’on

_peut

_incorporer

à la structure même de

_io;

d’autre

_part,

l’effet

optique

des

_potentiels

d’ordre ln décroît

rapidement

quand

on

_prend

des valeurs croissantes de m, car

ils sont infiniment

_petits

de

_degré

m en r, au voisi-nage de l’axe

Oz,

zone

_optique

du

_système.

On

peut

poser

ce

qui

définit pour

chaque

valeur de m ~ i, une

fonction complexe ~"L (z)

_ ~"t

_conjugué)

dont le rôle est essentiel.

En ce

_qui

concerne le

_comportement

au loin des

potentiels

d’ordre in, on montre _{que ?,,, et}

_9m’

sont infiniment

_petits

ou d’ordre

_supérieur

(p,

distance à

_{l’électrode).}

-Propriétés

optiques

associées. Elles se

déterminent à l’aide des lois de

_l’optique

électro-nique

appliquées

au _{terme y;} on _{posera :}

x,

angle

d’ouverture des

faisceaux;

.

a,

a’,

abscisses

respectives

de

l’objet

et de

l’image

(compteur

sur

Oz) ;

Po

(z), potentiel

sur l’axe Oz dans l’instrument

_~o;

T

_{(z), trajectoire}

issue du

_{point objet}

sur

_l’axe,

calculée dans

_{l’approximation}

de

Gauss,

dans

_~o

et _pour une inclinaison

initiale 71

I).

On observe la

_{superposition}

d’actions

caracté-ristiques

de

_chaque

ordre m. -

-Les écarts d’ordre m == i traduisent les défauts

de

mise

en

_{place (décentrages...)}

des

électrodes;

le

potentiel

associé ne crée _pas d’aberrations sensibles :

il occasionne seulement un

_déplacement

transversal

des

_points

cardinaux du

_système,

c’est-à-dire de

l’image finale;

reporté

dans le milieu

_objet

ce

dépla-cement a

_{l’expression}

.

les électrodes

_présentant

ces écarts

_supposés

seuls

ne

_{possèdent plus}

la

_symétrie

de révolution; leurs ouvertures et

_{plus généralement}

leurs sections normales sont

_elliptiques.

Les termes de

_potentiel

associés se manifestent

_uniquement

_par une

aberra-tion,

plus

précisément

un

_astigmatisme

affectant les faisceaux et détruisant les

_propriétés

de focali-sation de l’instrument. Ce défaut

_impose

la limite suivante au

_pouvoir

_séparateur

Les écarts d’ordre m = 3 _se traduisent

par une

aberration

_imposant

la limite de résolution

Toutes choses

_égales

d’ailleurs,

l’on a

_{ZU3 -}

et les écarts d’ordre

m ~ 4

n’ont _{pas d’action}

décelable,

ce

_qui

montre bien la décroissance des actions

_optiques

en fonction de m; en

définitive,

c’est

_{l’elIiptic,ité}

des

_électrodes,

c’est-à-dire l’ordre m ==2

qui

crée l’aberration la

_plues

*

importante, laquelle

a

_priori

_masque toutes les autres.

Cette influence de

_{l’ellipticité}

a été observée

expérimentalement

en

_Amérique

_{par Hillier} sur le

microscope magnétique [3].

Elle a été

_également

reconnue

_[2]

sur

_l’appareil

_{électrostatique}

de la

Compagnie

de

_{Télégraphie}

sans fil construit par

MM. Grivet et Bruck. On trouvera d’autre

_part,

l’étude

_théorique

de ce

_{type d’astigmatisme}

en

fonction de la

_répartition

de

_potentiel

_(mais

non

des défauts des

_{électrodes) :}

M.

Cotte,

[4],

étudie très

_{généralement}

le cas d’un

_potentiel

à

_plan

de

symétrie;

W. Glaser

_[5]

_envisage

le cas actuel mais en admettant encore l’existence d’un tel

_plan.

Nous ne _{supposons pas ici que les} axes des sections

elliptiques

aient la même direction.

Il est clair _{que dans la}

_pratique

seuls

_importent

les ordres de

_grandeur

et non les valeurs exactes des limites _~3

_imposées

_{par les aberrations.}

La zone d’action des

_(z)

étant en

_général

res-treinte,

on _pourra souvent

_remplacer

dans les expres-sions

_{précédentes}

les

_{fonctions 4),(z)}

et

_T(z)

_par des

valeurs _{moyennes. Cette}

_{approximation}

est d’autant

plus

légitime

que la lentille considérée est

plus

«faible». Les

_champs

_correctifs,

d’autre

_part,

ne s’étendent pas

jusqu’à

a et _{a‘, de sorte que} l’on

_peut

écrire en

définitive

on _posera

le

_{signe -}

_indique

la

_{proportionnalité.}

Nous sommes ainsi conduits à dire de

_façon

générale

que l’action

optique

d’un

dé f aut

d’ordre mi i

est « nlesurée » _par

l’intégrale

A titre

_{d’exemple simple}

nous donnerons celui

d’une électrode « bosselée o. Prenons une lentille idéale admettant comme

_{plan de}

_symétrie

géomé-trique

et

_électrique,

le

_plan

moyen P de l’électrode

envisagée. Supposons

l’écart entre S et

_{So tel}

_qu’en

deux

_{points symétriques}

_quelconques

M, N,

de

_So

la fonction _prenne des valeurs

_opposées

_(fin.

2);

ig...

il en est

ainsi

par

exemple

si S se déduit de

_So

à l’aide d’une rotation conservant son centre

0,

ou

si cette électrode a été « bosselée ».

Le

_potentiel

correctif 9

associé est dans ces condi-tions défini par une relation sur

_So

_(1-1)

lui

_assignant

des valeurs

_opposées

en tout

_couple

de

_points

correspondants; 9

et l’ensemble des ~", ne

_peuvent

être que fonctions

_impaires

en z. Il résulte des formules

_{précédentes}

que le défaut

envisagé

ne

II. -

QUELQUES

PROPRIÉTÉS

ESSENTIELLES DE

_{L ÉQUATION}

ET DES FONCTIONS DE LEGENDRE.

L’étude actuelle fera

_appel

à

_quelques

résultats

mathématiques

que nous mentionnons brièvement

[6].

Équation

L

_(n,

m,

x)

y=o. -

L’équation

différen-tielle de

_Legendre

est la suivante :

’

Nous l’écrirons en

_abrégé

L

_(n,

m,

x) y

= _o. On _en

définit deux

_intégrales

linéairement

_{indépendantes}

notées

dont les

points

singuliers

dans le

_plan

de la variable

complexe x

sont au

_{plus x}

_{= ± z,}

oo . Il

_s’agira

donc en

général

de fonctions multiformes autour de ces

_points;

nous _{prenons pour chacune} une seule

détermination obtenue à l’aide d’une coupure

pratiquée

le

_long

de l’axe réel sauf dans l’intervalle

(2013i + 1).

Les valeurs sur cette _coupure ne _{sont par}

suite pas définies mais nous _{n’aurons pas} à les considérer. Nous supposerons essentiellement n et

m ‘_~ o

₍₁₎

et entiers.

1.

_{P,~~(x) (fonctions}

de

_{première espèce).}

- Elles

sont obtenues à

_partir

des

_polynomes

de

_Legendre

à l’aide des relations

(Cette

dernière

_expression

est notée

_P-1"

_(x)

dans la référence

_[6].)

On

_prendra

la détermination du radical

_positive

pour x réel.

’

2.

_(fonctions

de deuxième

_espèce).

-- On

pose d’abord

Conformément

à notre

convention,

les

_intégrales

dans

_(11-3)

doivent être

_prises

le

_long

d’une

_ligne

(1) Il est _{clair d’ailleurs que} les valeurs de m et n .entières o ne fournissent pas d’autres fonctions.

ne traversant _{pas la coupure. On définit alors .}

quel

que soit m.

reste

_fini,

est infini _{pour x} ==~: 1.

Équation

L

_(r~,

m,

ix)

y = o. -

Remplaçons x

par ix

dans

_{l’équation (II-1);}

elle s’écrit alors

ou en

_abrégé

Les

_intégrales

de cette nouvelle

_équation

sont :

.

Nous aurons besoin d’en connaître l’allure pour les valeurs réelles de la variable x; ce sont alors des

f onctions régulières

puisque

les seuls

_{points singuliers}

possibles

sont x

= ~- i,

’l0.

Lorsque

x devient très

_grand

en valeur absolue

est

_également

_{infiniment grand,}

de

_degré

n en _x;

_quant

à

_{QI, (ix)}

nous

_{distinguerons}

deux éventualités :

1. Si 1 l’on a

_simplement

en vertu de

_(1-3)

et

_(1-4)

quand

x ~ ± x,

Q::l (ix)

est infiniment

_petit

en x-(n+1).

2. Si n > m - I on

_peut

_{voir que} est

encore infiniment

_petit

_(en

_{~°-~~~-~-~ )}

_{pour x ~ -~- oo,}

mais non

_plus

_quand

x -~- y .

III. - LES POTENTIELS CORRECTIFS EN

COORDONNÉES

ELLIPTIQUES.

APPLICATION A LA

DÉTERMINATION

DE J

DANS UN CAS PARTICULIER. Revenons aux

_{potentiels correctifs}

d’ordre m

que nous allons étudier en les

_rapportant

à un

système

de coordonnées

elliptiques

uv 0 défini à

partir

de coordonnées

_cylindriques

rz O _par les relations

Les surfaces u = _const.

_{représentent}

_des

ellipsoïdes .

aplatis

et v = const. des

hyperboloïdes

de révo-lution autour de Oz

_(fig.

_3).

_{L’expression}

dans ce

Fig. 3.

système

de

_{l’équation}

de

_Laplace

relative au

potentiel 9

fournit

_{1’équation}

suivante

_régissant

les

fonctions

_{(et c?;,t}

_que nous _supposons traitées de

façon

parallèle)

c’est-à-dire suivant la notation condensée

_(II)

(en

écrivant maintenant les

symboles -

au lieu

de d.

Les variables u et v se

_séparent

et l’on vérifie

d

immédiatement l’existence de tout un ensemble de solutions de la forme

l’indice n

_pourrait

_prendre

ici toute valeur réelle

ou

_complexe

mais nous _{n’en retiendrons que} les valeurs entières

positives,

de manière à ne faire

intervenir que les fonctions les

plues

maniables,

définies au

_paragraphe

II.

Du _{fait que} nous

_envisageons

seulement les fonc-tions

_régulières

sur l’axe

~z,

c’est-à-dire _pour v =

i,

celles en

_sont

à éliminer et l’on a seulement

Exemple

de _{y associé à} un défaut

_particulier.

-

Imaginons

une électrode idéale dont la

_surface

_S,

est

_{lhhyperboloïde v}

==

Po

(fig. 4

a).

On

_désignera

_par R _{le rayon} de son cercle de gorge, R’ le rayon de courbure de la méridienne au

point z

= o et l’on Les

paramètres

_c,

Cette surface

_So

nous fournira

_pratiquement

le ca~

plus

usuel d’un

_disque

_plat

5~J

_présentant

une

ouver-ture circulaire en forme de demi-tore

_{correspondant}

aux mêmes valeurs de R et ï,

_{(fig. 4}

_b).

L’approxi-mation est d’autant meilleure _que est

_plus

faible;

elle est

_{déjà justifiée}

_pour

_ainsi

_que le montrera la

_comparaison

de certains résultats obtenus ici

pour

So

avec ceux établis par une tout autre méthode

_[I]

_{pour un}

_{S~ particulier}

( 1,

=

f )

([7]

pièce

centrale de la lentille

_VIII).

_{D’après (111-4)}

l’hyper-boloïde

_So

_ï,

_{~ 7 )}

est _{défini par les}

_paramètres

(coeiucienL angulaire

de la direction

asympto-tique --

=

_2).

Vk

Chaque

=

cos rn 0

_peut

être considéré

comme étant créé

_{par le}

= sur

_So

déterminé en vertu de

_(I-1)

_par

le

_long

de

_So,

c’est-à-dire _pour La quan-tiié

E6,,,

apparaît

par la suite comme

_formant

un

tout

_qu’il

_{n’y a}

pas lieu de

scinder;

le

_champ

E varie

a

_priori

le

long

de l’électrode au même titre

_{que à,,,}

mais on

_pourrait

souvent le considérer comme

constant

_(ci.

_[7])

le

_long

d’un écart limité. Sa déter-mination n’a pas à être

_envisagée

ici.

Prenons la fonction _ym

suivante,

parmi

celles

possibles

(111-3)

Pemplaçant

par son

_{expression (I I-7),}

m

=

(j

+

u2)

2,

l’écart

générateur

varie le

long

de

_SQ

suivant la loi

ce _que l’on

_peut

écrire en faisant

intervenir

sa

valeur dans le

_{plan z}

= o

La fonction

_{4),,, (z)}

associée s’obtient d’autre

part

[(1-3)

où 4J,,>

_=W,,,]

en évaluant

_(111-6)

au

voisinage

de

ON,

ce

_qui

fait intervenir

_{P;;i_,}

_(,.)

pour 1

(II-7);

k

_s’exprime

en fonction de

Telle est la loi sur l’axe créée par un écart

d’ordre m, Eô variant en

_1_.

Les formules

(111-4)

rm.

permettent

de _passer des

_paramètres

c, vo à ceux

géométriques

R,

~..

Considérons le cus

_particulier

ni == 2

si par

exemple ¡,

_{== y}

( fig. ~ a)

L’étude

_{[il pour Ie disque}

_5’0

_{correspondant}

(~,

4

donne pour un écart localisé dans l’ouverture

_(fig.

₄

_b)

La différence entre les résultats

_(III.-10)

et

_(III-11)

. se

justifie

du fait que dans Je

premier

cas l’écart

est en

~3

c’est-à-dire non strictement localisé : la

figure

4

permet

d’effectuer la

comparaison;

on

conçoit

bien que le

_~2

associé soit

_plus

_grand

et en

particulier

décroisse moins

_rapidement

à l’infini que dans le deuxième cas.

L’évaluation des

intégrales f 4),

dz fournit

respec-tivement les valeurs

l’aber-R R

ration

_optique

résultante est

_{approximativement}

deux fois

_plus

faible dans le deuxième cas.

t

IV. - CAS DE

DÉFAUTS

QUELCONQUES

SUR

L’ÉLECTRODE HYPERBOLIQUE.

Nous avons obtenu en

_(111-8)

la fonction corrective associée à l’écart

_{particulier (111-7).}

Plus

géné-ralement on

_peut

chercher à

_représenter

_par une

série de solutions

_{particulières (III.3),}

le

_potentiel

créé par un écart

_quelconque

sur

_So.

Cela est

impos-sible du moins si l’on se borne aux fonctions d’indice n

entier ~ o; _pour écrire le

_potentiel

créé _par un a

localisé il est en

_effet,

nécessaire de faire

_appel

à des fonctions « de base» _{s’annulant pour} u _=-~--x,

c’est-à-dire aux seules fonctions

qui

sont en nombre fini m

_{(§ II)}

alors

_qu’une

infinité serait nécessaire.

.

En abordant le

_problème

différemment on va

montrer

_qu’il

est

_possible

d’évaluer très

_{généralement}

intégrales

portant

sur ~",

_(~),

en

_premier

lieu d~,

expression

dont nous avons v u l’intérêt au

para-graphe

II.

En raison du caractère

_physique

du

_problème,

nous

_{n’envisagerons}

en

_principe

_que les écarts

limités,

c’est-à-dire ne _{s’étendant pas}

_l’infini.

Reprenons l’équation

(111-2)

déterminant ~~", et

cherchons en

_premier

lieu à obtenir certaines fonc-tions auxiliaires de u :

_{g,,, (u),}

_{h,,, (u)}

_{telles que}

l’on ait l’identité

L’identification des deux membres montre sans

peine

que le

problème

est

_possibles;

il suffit de choisir trois fonctions

lm,

gm, h,,, satisfaisant à

Nous nous bornerons à

_envisager

ici encore des valeurs de n

entières

_{~ o;}

_P;;z(iu),

_(~’;t

étant fonctions

_régulières

de la variable réelle u, il en est

de même ,

L’équation générale (111.2)

multipliée

par

fm

peut

alors s ’ écrire

Nous allons

_{l’intégrer}

par

rapport

à u, en maintenant fixe la variable v et choisissant les fonctions auxi-liaires de telle sorte

_{que le premier}

terme donne une

_

contribufion nulle.

"

Il suffît

_(condition

d’ailleurs non

nécessaire)

_que

la fonction

g"L

ou

- o _pour u ~ _{°° J}

rappelons

que 9m varie au loin comme ou

est d’ordre

_supérieur;

_{d’après (IV. 2)}

les compor-tements de

_et

découlant d’autre

_part

de ceux

de

_{(9~ (tu),}

l’on voit sans difflculté

_qu’il

suffit

_{d’envisager}

toutes les fonctions

lm,

gm, h", pour n m.

Dans ces

_conditions,

_{l’équation (IV. 3)}

_intégrée

se réduit à

équation

de

_Legendre

_par

_rapport

aux fonctions

de c~ ,

Ces dernières étant

_régulières

au

_voisinage

de Oz

_(v

=

I);

seule la solution de

(IV.

4)

est

à _retenir, autrement dit

Le facteur K

_dépend

bien entendu de l’indice n

et de la fonction _Ym

_envisagés.

Cette

_équation

est valable

_quel

_{que soit} le _9m correctif d’un écart ne

s’étendant pas

jusqu’à

l’infini. Nous allons

_l’exprimer

pour les valeurs de v suivantes : 1. ç, = -

(Surface

So

de l’électrode

_idéale);

(IV. 5)

s’écrit en vertu de

_(I.1}

2. r == i - E. -

(Voisinage

de

_Oz);

en

rempla-çant

91n et

Pjt

(v)

par les

premiers

termes de leurs

développements

(I.3)

et

_(II.7),

il vient

L’élimination de K entre les deux formules donne alors

Nous obtenons _{ainsi pour l’électrode}

_hyperbolique

_So

les valeurs d’un certain nombre

_{d’intégrales}

concer-nant le

_potentiel

correctif associé à l’écart cos

On verrait _{facilement que}

_{(IV. 8)}

_s’applique

à un

écart d’ordre m

_global,

c’est-à-dire

_{d’expression}

cos + sin

il suffit alors de

_remplacer

dans le deuxième

_membre,

àm

_par Nous nous bornerons dans les

applications

qui

suivent,

aux écarts

dm cos m0

pour éviter cette

_complication

d’écriture.

Calcul

de f (1", dz.

- Cette

intégrale

est fournie par

(IV.

8)

si l’on fait intervenir n ---. _{m --}

I, et la fonction n

Ce résultat est vérifiable immédiatement dans le cas

particulier

étudié

_plus

haut

_{(III. 7), (III. 8);}

obser-vons toutefois _que ce dernier était relatif à un écart s’étendant à

l’infini;

on verrait

_qu’il

satisfait cepen-dant aux conditions

_{d’application}

de la théorie

précédente..

L’examen de l’élément différentiel

_figurant

au

deuxième membre montre que la contribution

_optique

d’un écart localisé en u _{= uo}

_(r

=

ro)

_sur

l’inter-vatle àu est

_{E à,,,(I + U")}

_àu,

_{c’est-à-dire}

propor-tionnelle à

_{représentant}

l’aire

de sa section méridienne

_(zone

hachurée sur les

figures), y

la

_pente

de

_So

au

_voisinage.

Ce résultat

met en évidence le rôle des

_paramètres

effectifs

définissant l’écart

_(champ

au

_{voisinage, grandeur,}

position);

en

_particulier

_{l’e f f et optique}

décroît en

f onction

de la distance

_{ro de}

l’écart à l’axe d’autant

plus

vite que m est

_{plus grand.}

L’on a en

_particulier

_pour m = 2, 3

Application

aux limites de résolution _OJ2

et ~3. -- Calculons à

partir

des

_expressions

précé-dentes les limites de résolution _{UJ2 et UJ3}

_{(g II)}

_provenant

des

_{dissymétries}

de l’électrode centrale

_S,

(),

=

~)

objecti f

de

_microscope

_{électronique :}

cette électrode

constitue,

en ce

_qui

concerne l’étude

actuelle,

la

~one la

plus

sensible de l’ instrument

_{[ 1 ].}

Prenons d’abord le _{deuxième ordre;} nous assimi-lerons

_S"

à

_{l’hyperboloïde}

_So

(~~7)

_présentant

l’écart d

_{== ô2}

cos 20 de

_profil

défini par

On

_peut

voir _que ce défaut est limité aux

abscisses z -

__ ,

l

.

c .

Nous trouvons ~en

=a t

portant

sa valeur dans

_{IV

₁₀₎

valeur voisine de celle 2

1?

obtenue I

La limite _UJ2 est donnée _par la relation

_(1.4)

dans

_laquelle

nous _pourrons faire

_apparaître

l’inté-grale précédente

en

_remplaçant

les autres fonctions (~) Cette formule a été _indiquée dans une Note aux C, R.

..1cad. Sc., février _ig-~17, mais avec une _{justification} erronée. 1

par des valeurs « _moyennes »

.

, ,.

La

_quantité

sans

dimensions 1

d0 (a) d0 (O) R

4>0 (a .2013 est fournie _par les évaluations de H. Bruck

_([71,

lentille

_VIII),

Tableau

1,

3) :

-.

d’ oû

et _{par mètre}

c’est la _{valeur même obtenue pour}

₅₁₀

_[1]4

l’assimi-lation

_{l’hyperboloïde, So}

se trouve

_justifiée.

Rappelons

les

_{conséquences}

tirées de la formule

précédente :

soit a

_{= 2,~ . I o B,}

ordre de

_grandeur

usuel; si

l’on _{veut que} l’aberration

_{d’eliipticité}

ne

réduise

pas le

pouvoir

séparateur

du

_microscope,

la limite _tU2 doit être inférieure aux autres limites de résolution irréductibles

_{(sphéricité,}

diffraction),

soit

approximativement

v à I

Il en résulte

_d’après

(IV.

12)

ô"n" ~ o,1 ~c : la symétrie

axiale

_exigée

est donc

_{difficilement}

accessible.

Noues calculons de

_{façon analogue}

la limite _tU3 créée _par un écart ô =

°3

cos 3 0

_supposé

de même

profil

que le

précédent [c f . (IV. 11)];

on a

d’où suivant

_{(t. 5)}

On vérifie en

_rapprochant

cette valeur de celle de úY2

(IV.12)

que l’aberration d’ordre 3 sera

_foujours

masquée

à

_priori

_{par celle d’ordre} 2.

Avec ce =

2,5.10-3,

l’écart

composant

d’ordre 3

doit être environ 80 fois

_supérieur

à celui d’ordre 2

pour

présenter

une

_importance

_optique

du même

ordre =

tV2’

Calcul de

_(p2

dz dz. -

Écrivons

(IV. 8)

pour m = 2, n = o. et en faisant intervenir

P"°-

_(iu)

les

_parties

_complexes

de I’autre et en tenant

_compte

de

_{(Il. 10)}

ces formules vont nous

_préciser

l’allure de la courbe de variation de

_{~2 (z).}

Nous raisonnerons sur un

défauts

localisé en _Uo

_(abscisse

_zo)

dans l’intervalle i1u.

z

-n2

dz

_renseigne

sur la

_positions

_{moyenne de} la courbe le

_long

de l’abscisse du centre de

_gravité

de l’aire

_qu’elle

limite au-dessus de 0~ a la valeur

Comparons-la

à _{celle zo} de I’écart

_générateur

Calculons d’autre

_part-,

dz;

cette

expression

se ramène à des

_intégrales

_déjà

évaluées

_(IV.

_10),

_(IV

₁₄₎

Cette

_{quantité renseigne}

sur l’étalement de la

courbe

_(z)..

,

Supposons

en effet

_qu"on

_puisse

considérer cette dernière comme à _peu

_près

_symétrique,

il en est ainsi tout au moins

_quand

le défaut est voisin du

plan

de

_{symétrie (uo}

_faible);

admettons _par

_analogie

aveelles

formules

_{(III.10), (III.11)}

relatives à un

écart

_symétrique

_que la variation soit de la forme

La

_grandeur

1 caractérise l’étalement de la courbe. Nous allons la déterminer à l’aide du

_rapport

il suffit

_d’égaler

ces

valeurs,

déduites de

_{(IV. 10),}

(IV. 16)

d’une

_part,

de

_(IV.17)

de

l’autre;

il

vient,

teus calculs faits

Il est naturel de

_prendre

p

7

comme dans

l’exemple

(III.11)

dans

_lequel

l’écart est

_localisé;

l’on obtient alors

avec >.

_{= (> i =}

0,95 R

pour un

4

écart

_{symétrique (uo = o),}

valeur voisine de

,

celle

t = 0,84 R

obtenue en

_(III.11)

_pour

S’o.

On

voit ainsi comment la connaissance des

inté-grales (IV. 14)

fournit sur la variation de

(D2

(z)

des indications la

_précisant

notablement

(ci.

étude d’une courbe de

_répartition

_{statistique).}

Nous n’avons

_envisagé

de

_près

en raison de son

importance

que le cas m = _2, mais les relations

(IV. 8)

fourniraient la même

_possibilité

_pour m

_quelconque.

On détermine aisément les

_premières

_intégrales

du

type f zl,

4J,,1 dz.

Cette méthode

_générale

d’étude de

l’influence

des défauts

_{géométriques}

_s’applique

_pratiquement

à l’électrode

_classique

S’o

(disque

perforé);

elle offre

la

_possibilité

de

_prévoir

l’influence des divers para-mètres et de choisir des

_{caractéristiques}

de lentilles

qui,

du

_point

de vue des aberrations actuellement

envisagées

soient

_{avantageuses.}

Manuscrit reçu le 25 novembre

BIBLIOGRAPHIE.

[1] F. BERTEIN, C. R. Acad. _{Sc., 1947, p. 106-107, 560-562;} Annales de Radioélectricité, octobre 1947, p.

379-408.

[2] F. BERTEIN et E. REGENSTREIF, C. R. Acad. Sc., Paris, 1947, 224, p. 737-739.

[3] J. HILLIER, J. _{of Appl. Phys., 1946, 17, p. 307-309.}

[4] M. COTTE, Recherche ssur _{l’Optique électronique,} Thèse,

1938.

[5] W. _GLASER, Zeilschr. _{für Physik, 1943,} 120, p. 1-15.

[6] MAGNÙS et _{OBERHETTINGER,} Formeln und Sätze, Springer, 1943.

[7] H. BRUCK et L. ROMANI, Cahiers de Physique, 1944, 24,