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Sur la théorie des phénomènes de diffusion atomique
L. Goldstein
To cite this version:
SUR LA
THÉORIE
DESPHÉNOMÈNES
DE DIFFUSIONATOMIQUE
Par L. GOLDSTEIN. Institut Henri-Poincaré.
Sommaire. 2014 On déduit des lois analytiques universelles, valables pour tous les atomes neutres, pour la diffusion cohérente des électrons et des rayons X en utilisant une représentation ana-lytique approchée de la distribution statistique du potentiel atomique. On étudie la diffusion élastique des électrons dans le champ atomique et l’on donne la forme analytique des phases limites détermi-nant la diffusion. Ces phases limites correspondent, d’une part, à la solution approchée de l’équation radiale, associée au problème de choc, par la méthode de l’optique géométrique 2014 phases géométriques
2014
et, d’autre part, à la solution analytique obtenue par la méthode de la théorie des perturbations 2014
phases de perturbation. Les phases de perturbation admettent une représentation analytique univer-selle sous une forme fermée; elles se réduisent à des polynômes de Legendre de seconde espèce de
même ordre que celui des phases considérées. Les phases géométriques se présentent sous la forme d’une série et peuvent être obtenues avec une précision arbitraire. On donne ensuite la loi de diffu-sion cohérente des électrons relative à la méthode d’approximations successives de Born; cette loi,
égale-ment universelle, a une forme analytique très simple. On en déduit une représentation analytique du facteur de structure atomique associée à la représentation continue de la distribution des électrons dans l’atome. Ce facteur de structure universel a une forme analytique d’une simplicité remarquable et conduit à des lois simples pour les rayons X diffusés d’une maniére cohérente ou incohérente dans un domaine de longueur d’onde éloigné de celui de la diffusion anomale. La forme analytique univer selle du facteur de structure atomique et les lois de diffusion obtenues doivent pouvoir rendre des services appréciables dans les études de structure les plus diverses aux rayons X ou aux ondes de de Broglie.
La diffusion cohérente des ondes de de
Broglie
oudes rayons X par les atomes est
régie
par la structure de l’atome diffuseur. Cette structure est déterminée par la distribution decharge
ou depotentiel atomique
définie par les électrons. Leproblème
de la diffusion par unsystème atomique
est essentiellement unpro-blème à nombreux électrons dont la solution est condi-tionnée par celle du
problème
associé à la structure dusystème
considéré en absence de toute influence per-turbatrice.Or,
la solution de ce dernierproblème
con-duisant à la distribution
électronique
dans l’atome nepeut
êtrequ’approximative
etdépend
des méthodes utilisées pour l’obtenir. Les méthodesd’approxima-tion actuellement connues
dérivent,
on lesait,
de deuxpoints
de vue extrêmes. Lepremier
est celui où l’on utilise les solutions duproblème
à un corps, dansle second le
système atomique
est assimilé à un gaz decorpuscules,
un gaz d’électrons. Onpeut
dire que lapremière
méthode attribue une individualitépro-noncée aux électrons de
l’atome,
tandis que dans la seconde les électrons ontperdu
leurindividualité,
dans le sens strict de ce
mot,
et elle n’est admise ici que dans la mesure où elle estimposée
par la méthodestatistique.
Comme onpouvait s’y
attendre,
une mé-thodepratique logique pouvait
être obtenue tenantcompte
à la fois de cespoints
de vue extrêmes. C’est laméthode du
champ
self-consistent de Hartree.Cepen-pendant
l’utilisation de cette méthode et des fonctions de distributionqu’elle
fournit est trèslaborieuse,
puisque
les fonctions d’onde des électrons individuelsdes atomes
correspondent
ici à des solutions nonana-lytiques
ounumériques
deséquations
différentiellesqui
les déterminent. Il est clair que les fonctions de distribution associées à ces fonctions d’ondeindivi-duelles ne
peuvent
être obtenueségalement
que sous forme de tables. Enoutre,
chaque
atomepossède
ses fonctions à un électron et sa fonction de distribution dont l’obtention est d’autantplus
difficile que lenu-méro
atomique
de l’atome considéré estplus
élevé. Ce fait conduit t àpréférer,
dans ungrand
nombre de cas, la méthodestatistique
moinsrigoureuse
de Thomas et Fermi à celle de Hartreequi
la contient.On
sait,
eneffet,
que la méthodestatistique
résulte de la méthode duchamp
self-consistentlorsqu’on
ynéglige
la non commutation de coordonnéescanoniquement
conjuguées.
Le rôledirect dehconsiste,
dans la méthodestatistique,
à fixer le volume des cellules d’extensionen
phase.
Uneconséquence
restrictive trèsimportante
de l’utilisation de la méthodestatistique
dans ladescription
des atomes est le renoncementqu’elle
entraîne à l’individualité desélectrons,
à larepré-sentation de l’atome par des électrons discrets. En
particulier,
leproblème
de la diffusion cohérente des électrons par un atome neutre de numéroato-mique
Zqui
est unproblème
à(Z-~- 1)
électrons,
est ramené ici à unproblème
à un seul électron. Demême la diffu·ion des
rayons X
qui
estégalement
associée à unproblème
àZ électrons,
dans le cas d’unatome neutre de numéro
atomique Z,
est ramenée par cette méthode auproblème
de la diffusion de256
rayonnement
par une distribution continue decharge.
Le
grand avantage
de la méthode consiste en cequ’elle
fournit une fonction de distributionélectro-nique
universelle,
valable pour tous les atomesneu-tres.
Cependant
cette fonction est encore une fonctionconnue seulement
numériquement.
L’équation
diffé-rentiellequi
la détermine semble exclure lapossibilité
d’en obtenir unereprésentation analytique approchée
valable dans tout le
champ
de la variableindépendante.
Une telle formeanalytique
vient d’être donnée récem-ment par Rozental (1)qui
par une méthode ad hoc a réussi àreprésenter
la fonction de distributionsta-tistique
dupotentiel
atomique
à l’aide d’une somme de troisexponentiels.
Cettereprésentation analytiquc
re-lativement
simple
donne une très bonneapproxima-tion de la foncapproxima-tion de distribuapproxima-tion réelle obtenue
numé-riquement.
Ellepermet
dedonner,
dans les cadres de la méthodestatistique,
des lois de diffusionanalyti-ques
simples
valables pour tous les atomesneutres,
donc universelles. Nous voudrions étudier dans ce
qni
suit la diffusion
élastique
des électrons lents oura-pides
et des rayons X dans unerégion
delongueur
d’ondeéloignée
de celle de la diffusion anomale. Nous nous bornons à des cas limites où des formesanalyti-ques
précises
peuvent
être données sous une formefermée ou non. Nous reviendrons éventuellement dans un travail ultérieur sur une étude
plus
détaillée des lois obtenues ici.§
i. - La solution duproblème
de la difftision des ondesplanes
de deBroglie,
de
longueur
d’onde X associée à uncorpuscule
de masse m et de vitesse v en mouvement suivant l’axe des z d’unsystème
de trois axesrectangulaires
par undiffuseur à
symétrie
sphérique
est donnée par la solu-tionappropriée
del’équation
d’ondeassociée au mouvement du
corpuscule
dans lechamp
du diffuseur où ilpossède,
à la distance r du centre dudiffuseur,
l’énergie potentielle
V (r).
La solution de(2)
qui
se réduitasymptotiquement,
pour rgrand,
à lasu-perposition
de l’ondeplane
incidente et d’une ondesphérique divergente
diffuséedonne toutes les
carac!érisliques
duphénomène
de diffusion considéré. L’intensité de l’onde diffusée à travers une surface élémentaire ds(b, cp)
autour dupoint (0,
y)
sur unesphère
de rayon r dont le centre coïncide avec celui du diffuseur est’
(1) S. RozF,-NT.&L : Z. Plygik, 1936, 98, 742.
ce
qui rapporté
à l’intensité de l’onde incidenteet pour une intensité incidente
unité,
l’intensité de l’onde diffusée par unitéd’angle
solide autour de la direction faisantl’angle 6
avec la direction d’incidence serac’est la section efficace élémentaire associée au pro-cessus. On démontre
(2)
que la solutiongénérale
àsymétrie cylindrique
autour de la direction d’incidencede
l’équation
d’onde(2)
estoù les
Pn
(x)
sont lespolynômes
deLegendre
de pre-mièreespèce,
lesfn
(r)
les solutionsappropriées
del’équation
radialeassociée à
(2);
et les sont des constantes arbitraires.En l’absence du diffuseur la solution
générale
de(2),
avec V
(r)
nul parconséquent,
estet comme 1 onde
plane
incidente exp(i
k z)
est néces-sairement solution de(ï)
dans ce cas, il en résulte ledéveloppement
de exp(i k .~)
donné par(8).
On vérifie aisément queprenant
pour la formeasymptotique
defn°
(1~),
pour rgrand
ce
qui
estcompatible
avec la conditionimposée
à toute ·olutionacceptable
de(2)
ou(7),
d’être finiepartout,
les constantes
~° 1G
prennent
la formeDe méme
im posant
àfn
(r)
d’avoir la formeasympto-tique
(2) Pour les détails, nous ne pouvons que renvoyer au traité
de N. F. Mott et H. S. W. 111assey :
liteory
of atomie257
on détermine les
An
tenantcompte
de(3),
doncOn trouve, en
effet,
remplaçant
ici ~
(r, 6)
par(6)
etexp cos
8)
par sondéveloppement
en ondessphé-riques
(8),
utilisant les fonctionsasymptotiques (9)
et(11) pour
(r)
etfn
(r), respectivement,
excluant laprésence
d’une ondesphérique
convergente
dans lepremier
membre de(3a),
les
constantes r,n
nedépendant
que de k et de la forme duchamp
diffuseur déterminéepar V (r).
On voit sur(9)
et(11)
que les constantes r,~apparaissent
comme des différences dephase
des ondessphériques
dif-fusées et des ondessphériques
incidentes de même ordrequi composent
l’ondeplane
incidente. Avec(12)
on trouve immédiatement
l’amplitude
de l’ondesphé-rique
diffuséece
qui
donne,
d’après
(5),
la section efficace élémen-taireOn en déduit finalement la section efficace totale
La diffusion cohérente des ondes de de
Broglie
dans lecas considéré ici est déterminée par les
phases
"fin’ Ilest clair que tout ce
qui précède
serapporte
au cas de diffusion où l’onpouvait
laisser de côté la déformationou
polarisation
duchamp
diffuseur par lecorpuscule
incident et la déformation de l’onde incidente par le
diffuseur.
§
2. - Leproblème
auquel
on se trouve ramené estla détermination des différences de
phases
ou,briève-ment,
phases
définies par(9)
et(~ 1).
Comme la discussionprécédente
lemontre,
cesphases
s’ob-tiennent,
àpartir
de la solution del’équation
radiale~7)
associée àl’équation
d’onde duproblème.
La formeasymptotique
des solutions étantimposée
par(11).
Posant
l’équation
différentielle déterminant g,~(r)
devientd’après (7),
Or,
l’équation précédente
n’a pas de solutionanalytique
en
général,
de sorte que lesphases
fondamentales 1,,ne
peuvent
être obtenues que par la voie trèslabo-rieuse de
l’intégration numérique
de(17).
C’est le casqui
seprésente
avec leschamps atomiques
même avec lareprésentation
analytique
approchée
dupotentiel
statistique. Cependant
dans des cas limiteson peut
donner des formesanalytiques
auxphases.
Nous nous occuperonsuniquement
de cesphases
analytiques.
Ces
phases analytiques
limites serapportent
aux solutionsapprochées
del’équation
différentielle(i7~.
Lepremier
de ces cas limites est associé àl’application
de la méthoded’optique géométrique
à la solution de cetteéquation
radicale(3).
Cette mélhode est utilisablelorsque
la fonctionqui
est le facteur du terme linéaire dansl’équation
en g
(r),
(17),
ne varie pas trèsrapidement
avec r.Il est clair que
lorsque
F(r)
se réduit à une constanteF,
les solutions de
(17)
sontlorsque
~,n (~~)
n’est pas constant on pose pour cessolutions
1 - 1 . -, f"’B. ’B.
ce
qui
donneremplaçant
en(17)
el tenantcompte
dece que F
(r)
variant lentement a(r)
varie aussi trèslentement
permettant
de laisser de côté dlajdr2,
b
désignant
une constante arbitraire. Dans larégion
où(r)
estnégatif
la solution de~~’1)
estexponentielle
et où il estpositif
la solution est oscillante. Si pdésigne
le zéro deFn (r), unique
dans le cas deschamps atomiques,
ondémontre
qu; la solutiona~ymptotique
qui
tend vers une valeur finie pour r -~0,
estDe même en absence du
champ
diffuseur, pO
désignant
le zéro de(~) Cf. 1;’1. L. ApNOT et G. 0. B.UNBS : Proc. Roy. Soc., London A, 1934, 146, 65t. C’est la méthode de Brillouin-iNentzel-Kralners ;
cf. L. BRILLOUIN : Artualités scientifiques et industrielles, no 39,
Her-mann, Paris, 1932. L’équivalent de cette méthode a été donnée indépendamment par H. JEFFREYS : Proc. London Alath. Soc., 1924,
258
la solution
correspondante
estde sorte que, en vertu de la définition contenue en
(9)
et
(~ i),
lesphases
YIn àl’approximation
de laprésente
méthode sontNous
appellerons
cesphases
limites «phases
géomé-triques ».
La formule
(24)
supposesimplicitement
l’existence des zéros p etpl,
cequi
est le caspour n 1
1 pour lesecond et
n 1
0 pour lepremier
dans le cas d’unchamp
diffuseur
répulsif.
Dans le cas d’unchamp
attractif(3)
et pouroc= 0,
auquel cas
iln’y
a pas de zéropour Fo
(r),
on voit sur(20)
et(2t)
que la formeasymptotique
de gn (1~) admissible est une sinusoïde dontl’argument
estégal
àl’intégrale
dey~o (~)
étenduedepuis
l’origine
jusqu’à
l’infini. Il en est de même pour.’/0°
(r).
Mais laphase
d’ordre zéroro n’a
de sens que sil’intégrale
sur(r)
en a un. Or ceci n’est pas le cas pour leschamps atomiques
diffusant des électrons cequi indiquerait, qu’en principe,
laphase géométrique
d’ordre zéro est inutilisable dans ce cas.Donc,
enprincipe,
laphase géométrique
d’ordre zéro n’est définie que pour unchamp
répulsif
où le zéro p de
(r)
existe. Dans le cas deschamps
attractifs un calculapproximatif
de cesphases
d’ordrezéro est
cependant possible.
Adoptant
lareprésentation statistique,
on aura pour un électron/ B ,
~
(~x)
étant la fonction de distributionstatistique
dupotentiel
atomique
et Z le numéroatomique.
Lepotentiel
analytique statistique
donné par Rozental s’écritavec les valeurs
respectives
suivantes des constantes alet a, :
( j
=~, 2, 3) :
0, ~55 ; 0,581 ; 0,164; 0,246 ;
0,947
et4,~56.
Donc àl’approximation
de(26)
ce
qui
donneComme pour r > p, p étant le zéro de
Fn
(r),
il résulte que
peut
êtredéveloppé
en série pour r > p, conduisantaux
phases
géométriques explicites
suivantes :-L’intégrale
type
rencontrée dans lepremier
terme du second membre estoù Y est une
constante,
éventuellementnulle,
et pour y nonnul,
on trouveet Ei
(-
x)
estl’intégrale logarithmique
on trouve finalement
que
Pon»peut
calculer avec uneprécision
arbitraire.Pour obtenir des
renseignements précis
sur la valeur desphases
géométriques,
le mieux c’est de les confronter auxphases
exactes déduites parintégration
numérique
directe del’équation
différentielle en lespour diverses valeurs de
k,
ou v la vitesse des électronsincidents,
utilisant lechamp
self-consistent pourquelques
atomes. Cette confrontation a été faite parArnot
(,)
en calculant lesphases géométriques
avecles mêmes
champs
et évaluantnumériquement
lesintégrales figurant
dansl’expression
de cesphases.
Il résulte de cette étude que l’erreur dans lesphases
géométriques
décroîtrapidement
comme lesphases,
aveel’ordre ii,
de sortequ’elles
deviennent exactespratiquement
pour n assezgrand. L’approximation
dans ces
phases
serait due non seulement à la méthoded’optique
géométrique
- variationhypothétique
très lente del’amplitude
de l’onde avec la distance aucentre du
diffuseur,
- mais aussi à lajonction
inadéquate
des solutionsapprochées
aux zéros pet -,0;
l’erreurprovenant
de cettejonction
estcependant
faible. Nous ne pouvons que renvoyer au travail de
Arnot pour l’analyse détaillée des
phases géométriques.
§
3. - Le second cas où l’onpeut
obtenirégalement
uneexpression
analytique
approchée
desphases
"lJn est celui oùdansl’équation
radiale en g(r),
le termeU (r)
provenant
duchamp atomique
peut
être considéré commepetit,
cequi
permet
d’appliquer
la méthode de la théorie desperturbations
pour trouver lesgn(r).
Dans ce cas il est évident que lesphases
"l)n’ les phasesde
perturbation,
qui
représentent
par définitionl’écart
entre les solutionsasymptotiques
de(17)
etl’équation
sans le terme enU (r),
devront êtrepetites.
Le
présent
cas limite serapporte
donc auxpetites
phases
etcorrespond
à la condi tionEn mettant -
U (r).g
(r)
clans le second membre de(17),
posant
les
go
(r)
étant les solutionsasymptotiques
sinusoï-dales nonperturbées,
on trouve
(~),
négligeant
leproduit p
(î-),.
~’(î-),
en introduisant ici à la
place
desg£
(r)
les fonctions/~
(r)
qui représentent
lesparties
radialesasymptotiques,
ondessphériques
composantes
de l’ondeplane
inci-dente, non
perturbées
d’après (il) et (16),
(1) Loc. cit. et Proc.
Canitridqe
Phil. Soc., 1936, 32, 961. (") 110TT et MASSE?. Loc. cit., p. ~7 et Proc. Cambridge l’hil. Soc.,1929, 25, 304.
ce
qui
indique
l’intervention des éléments de matricediagonaux
del’énergie perturbatrice
dans la solutionasymptotique (,1
(r).
Identifiant(3),
av7ec p(r)
donnépar
(35),
à-
-confondant sin r,n avec ~,~, ce
qui
est admissible envertu même de
l’applicabilité
de laprésente méthode,
on obtient finalement les
phases
deperturbation
©n
peut
dire parconséquent
que lesphases
depertur-bation sont
données,
à une constante dimensionnelleprès,
par la valeur moyenne del’énergie potentielle
du
corpuscule
tombant sur le diffuseur dans lechamp
de celui-ci et dont le momentcinétique
parrapport
au centre du diffuseur estégal
àUne forme
plus
exacte de cesphases
deperturbation
s’obtient en utilisant dans le calcul de l’élément de matricediagonal
deV (r)
non pas les solutionsasymp-totiques
nonperturbées
mais les solutions exactes d’oùelles
dérivent;
commeoù les
Jn+
1/2(z)
désignent
les fonctions de Bessel d’ordre(n
+
on auraLa connaissance de la forme
analytique
duchamp
atomique
valable
pour tous les atomes neutresconduit finalement anx
phases
deperturbation
analy-tiques
universelles.Remplaçait
en(38), V
(r)
parl’expression approchée
(~7),
on obtientL’intégrale
précédente
(6) s’exprime
par la fonction deLegendre
de secondeespèce
d’ordre 11,désignée
parQ,1
(z);
on trouve finalement260
x
étant 2 -c elh e
et les constantes aj, ai et b ont été données à propos de(26)
et(2’7).
Il est essentiel de noter quel’argument
deQ,,
(z)
restetoujours
supé-rieur à l’unité.
L’applicabilité
de(40)
est limitéer
aux
phases
nedépassant
pas - ; donc lacondition,
9
- les constantes ai ne
dépassant
pas l’unitéayant
étélaissées de côté -,
permet
de trouver àpartir
dequelle
valeur de n, àpartir
dequel
ordre,
cesphases
deperturbation
sont utilisables si l’on se donne v lavitesse du
corpuscule
incident;
ou inversement onpeutfixer
l’ordre n et chercher àpartir
dequelle
vitesse(&1)
est satisfait. La forme relativementcompliquée
des fonctionsQn pour n
égal
àquelques
unités rend difficile unedisçussion
directe de(~l),
Nous voudrions retenir l’étude de cette condition pour untravail ultérieur.
La connaissance des
phases géométriques
et de per-turbationpermet
de calculer les sections efficaces élé-mentaires et totales audegré d’approximation
corres-pondant
à cesphases analytiques.
Engénéral,
les sommes infiniesqui
interviennent dans ces sectionsefficaces ne
peuvent
pas être effectuées par voieanaly-tique.
S 4.
- Dans cequi précède,
nous nous sommes limité à 1"étude de la diffusion cohérente des ondes de deBroglie
delongueur
d’onde arbitraire.Lorsque
lesphases
r,n sont assezpetites
pour tous les n, cequi
permet
de confondre dansl’ampli tude
f (a) donnée par
(13),
(exp 2
i ri,, -1)
avec(f
ir~),
cetteamplitude
devient1 oc
Ê
(J? n
-i-
11 Pl2
(cos 6).
(?)
f (0)
== Tt
(2 it
+
1)
-r,,, P,,
(cos °
(4,2)
Il est clair que cette
approximation
n’est utilisable que pour lesphases
deperturbation
etlorsque
celles-ci sont assezpetites
pour tous les n.Remplaçant
ici rn par(38),
il vient :or,
l’expression
entre crochets sousl’intégrale
estégale
à(’)
(7) NN’ÀTSON. Loc. cit., p. 363.
où
7~
plus exactement
1 K 1
, désigne
laperte
d’im-pulsion
en unitéh/2 x
ducorpuscule
diffusé dans lechamp
caractérisé parV (r).
Parconséquent
(1)
ce
qui
estl’expression
del’ampli tude
des ondesdiffu-sées conformément à la méthode
d’approximations
suc-cessives deBorn;
c’estl’amplitude d’approximation
d’ordre un. Utilisant pourV (1")
la formeanalytique
donnée par
(~7),
on obtientl’amplitude
de Born uni-verselle. On aura doncles
constantes a,.
et~j
étant données par(26)
et(27).
La déductionprécédente
del’amplitude
(43)
metparticulièrement
en évidence la connexion de(42)
aupremier
terme de la méthoded’approximations
suc-cessives de Born. Il est clair que cette
amplitude
peut
s’obtenir directement enremplaçant
en(42)
lesphases
de
perturbation
par leur formeexplicite
(40).
Ontrouve ainsi
Comme
l’argument
des fonctions deseconde
espèce
Qn
est nécessairementsupérieur
àl’unité,
et celui des fonctionsP,,
nedépasse
pas en valeur absoluel’unité,
il résulte que la somme infinie en
(4~,1)
n’est autre chose que ledéveloppement
en série de fonctions deLegendre
de(z j
- cos0)-.
On a, eneffet,
dans leprésent
cas desarguments considérés,
K étant
toujours
sin 0 .
Remplaçant
(42,2)
en 2(~~~,~1)
on retrouve immédiatementl’amplitude
(43).
Commeest
l’amplitude
de Rutherford associée à la diffusion d’un électron par un centre infiniment lourddecharge
Ze,
(42)
s’écrit, posant
et la
secti’on
efficace élémentaire associée à(~3)
sera
On
peut
obtenir une autre formeexplicite importante
de t (K),
toujours
dans les limites de la méthode deBorn,
en écrivantl’énergie
potentielle
V(1~)
sous laforme d’une somme de deux termes relatifs
respecti-vement au noyau de l’atome et aux électrons. Si l’on
désigne
par p(r)
la densité desélectrons,
aupoint
situé à la distance r du noyau, associée à la
représen-tation
analytique
(27)
dupotentiel,
on aoù
est le
potentiel électrique statistique, l’énergie
poten-tielle s’écrit alors :et tenant
compte
de ce quel’amplitude
de Bornest,
dans le
présent
cas de diffusion cohérenteK étant
toujours
laperte
d’impulsion
vectorielle,
enunité
h/2
ar, de l’électrondiffusé,
on obtient avec(48)
Or,
l’intégrale
sur r n’est autre chose que lepotentiel
+ +
au
point
r’ de la distribution de densité exp (i Ilr),
doncet,
parconséquent
c’est le facteur de structure de l’atome diffuseur
con-sidéré associé à la distribution continue de la
densité
électronique
pCr). lntégrant
en(53)
sur lesangles,
ontrouve la forme
plus explicite
du facteor destructure,
écrivant r à la
place
de r’Tenant
compte
maintenant
de la valeur deRz
(K)
donné par
(44),
on trouvequi
estl’amplitude équivalente
à(43).
Il est clair quel’évaluation directe du
facteur
de structure à l’aide de(53)
ou(3:~ a)
serait assez difficile vu que p(1’")
sepré-sente
d’après
(47)
sous une formecompliquée.
On l’obtient ici immédiatement identifiant lesamplitudes
de Bornf (K)
obtenues des deux manières différentesindiquées
qui
conduisaient à(43)
et(34).
On trouve donc pour la formeanalytique
universelle du facteurde structure
atomique
à l’aide de ces deuxrelations,
àl’approximation
de la fonction de distributionsta-tistique
~27),
fz (K)
étant le facteur de structureélectronique.
Rap-pelons
encore que lesconstantes a -
et b sont don-nées à propos de(26)
et(~7)
et k Ce facteur de structureanalytique
d’unesimplicité remarquable
doitpouvoir
rendre des servicesappréciables
dans lesanalyses
de structure lesplus
diverses aux électronsou aux rayons X.
La section efficace différentielle ou élémentaire asso-ciée à la diffusion cohérente des ondes de de
Broglie
s’écrit avecl’amplitude
(54)
sous la formeRz
(Il)
étantl’amplitude
de Rutherford définie par).
Connaissant le facteur de
structure,
onpeut
donner immédiatement la section efficace élémentaire associée à la diffusion cohérente des rayons X delongueur
ano-262
male n’intervient pas; on a pour un faisceau incident
non
polarisé
(*)
- . - -
-étant le facteur de structure
électronique
(5~)).
On a de même pour l’intensité durayonnement
diffuséd’une manière incohérente dans la direction
6,
à
l’approximation
de la distribution continue desélec-trons
dans l’atome. L’intensité totaledu ’rayonnement
diffusé dans la direction6,
le faisceau incident n’étant paspolarisé,
estc’est la somme des intensités des
rayonnements
diffu-sés d’une manière cohérente et d’une manière
incohé-rente.
Nous donnons finalement la section efficace totale associée à
l’amplitude
deBorn,
on aura avec(46).
(*) Cf. par exemple A. H. COMPTON et S. K. ALLI50N. X theury and experinieni, lB1:acmiUan, Londres, i 935, p. 138.
où ), est la
longueur
d’onde de deBroglie
des électronsincidents,
Z le numéroatomique
de l’atomediffuseur,
a le rayon de l’orbite fondamentale de Bohr dans
l’hy-drogène
et lesconstantes ai
etYi
ont été donnéesplus
haut à propos de(26)
et(2î).
Les coefficients de diffusion associés au
rayonne-ment s’obtiennent en
intégrant(57)
et(58) sur
lasphère
de rayon unité. Les facteursangulaires
dans lessec-tions élémentaires
allongent quelque
peu cesintégra-tions
qui
neprésentent
aucune difficulté.Les lois de diffusion obtenues
présentent
t un carac-tèred’approximation
absolue comme la fonction de distributionanalytique approchée
utilisée en ce sens quequelle
que soit les méthodes ultérieures donnant des lois de diffusionplus
raffinées,
elles donneronttoujours
unereprésentation
remarquable
desphéno-mènes de
diffusion,
enparticulier
pour les atomes denuméro
atomique
assez élevé et dans unerégion
delongueur
d’onde où la diffusion anomale n’intervientpas
pratiquement.
Il semble quel’analyse
des donnéesexpérimentales
sur la diffusion des électrons ou des rayons X delongueur
d’onde convenable par des atomes libres ouengagés
dans des édificescomplexes
sera
