ENSEIGNEMENT DES FONCTIONS
AU COLLÈGE ET AU LYCÉE
FONCTION
Première idée de dépendance : variable
Relation entre grandeurs dont les variations sont liées par une loi
Approche ensembliste : correspondance terme
à terme des éléments de deux ensembles
L’analyse épistémologique nous a conduit à poser que c’est l’idée de dépendance qui fonde les concepts de fonction et de variable.
Rappelons seulement que chez Leibniz (1646- 1716), le mot « fonction » désigne une relation entre grandeurs dont les variations sont liées par une loi. L’approche ensembliste de la notion de fonction par une mise en correspondance terme à terme des éléments des deux ensembles modélisés par un graphe, évacue cette idée de contrainte entre deux grandeurs. (Comin, 2005, p. 38)
PROGRAMME DE SIXIÈME
Proportionnalité en lien avec les grandeurs
Organisation et représentation de données
Lecture de graphiques
Passage d’un type de représentation à un autre
PROGRAMME DE CINQUIÈME
Proportionnalité
« des variations d’une grandeur en fonction d’une autre grandeur mais toute définition de la
notion de fonction est exclue. »
Activités graphiques
Représentation et traitement de données
PROGRAMME DE QUATRIÈME
Utilisation de la proportionnalité
« Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines permettent de mettre en oeuvre un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage. »
Proportionnalité
Traitement des données
« …usage du tableur ou de la calculatrice »
Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalité d = vt.
PROGRAMME DE TROISIÈME
Notion de fonction
Image, antécédent, notations.
« Toute définition générale de la notion de fonction et d’ensemble de définition sont hors
programme ».
« Déterminer l’image d’un nombre par une
fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule »
« Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation
graphique. »
Extrait d’un manuel de troisième
Un autre manuel de troisième
Des exercices posés en troisième
Soit la fonction f définie par : f : x (x – 3)
21. Calculer les images de 2 et de 5 par f.
2. a) Que représente f (-1) pour le nombre -1 ?
b) Calculer f (-1).
PROGRAMME DE SECONDE
Le programme de la classe est divisé en trois parties :
Fonctions
Géométrie
Statistiques et probabilités
PROGRAMMES SECONDE 2009
L’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier :
un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée (définie par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée
pour associer au problème divers aspects d’une fonction
;
un problème d’optimisation ou un problème du type f (x) > k et de le résoudre, selon les cas, en exploitant les potentialités de logiciels, graphiquement ou
algébriquement, toute autonomie pouvant être laissée pour associer au problème une fonction.
PROGRAMMES 2000 ET 2009
Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule :
identifier la variable et, éventuellement son ensemble de définition ;
déterminer l’image d’un nombre ;
rechercher des antécédents d’un nombre.
EVOLUTION DES PROGRAMMES
Appauvrissement du travail algébrique au Collège.
Entrée dans l’analyse repoussée en 1
èreet même en Terminale.
Nouvelle place pour les fonctions en classe de 2
nde.
Nouvelles tâches .
Usage accru de la calculatrice graphique et des
TICE.
UN NOUVEAU CONTEXTE
L’importance accrue de la statistique, l’usage des calculatrices graphiques et la nécessité d’ouvrir les mathématiques sur les autres disciplines et le monde extérieur sont autant de facteurs qui doivent nous
conduire à nous interroger sur la nécessité de faire travailler les élèves sur les différents modes de
représentation des fonctions, y compris pour les élèves qui ne poursuivront pas des études
scientifiques.
CONCLUSIONS
Introduction des fonctions plus intuitive, moins formelle.
Ouverture sur les autres disciplines et le monde extérieur.
Usage des nouveaux outils TICE.
Affirmation de la prise en compte des
différents modes de représentation.
DIFFÉRENTS MODES DE
REPRÉSENTATIONS D’UNE FONCTION
Fonction plus seulement représentée par une formule algébrique
Graphique
Tableau de valeurs
Tableau de variations
MAIS …
Liens entre ces représentations ?
Spécificité, partialité de chacune ?
Comment accéder à l’objet fonction au delà de
ses représentations ?
REGISTRES DE REPRÉSENTATION SÉMIOTIQUE (DUVAL)
[…] les représentations sémiotiques
[sont] des productions constituées
par l’emploi de signes appartenant à
un système de représentation qui a
ses contraintes propres de
signifiance et de fonctionnement.
REGISTRES
Une fonction peut se représenter dans différents registres :
Algébrique (formule)
Graphique (courbe représentative)
Tableau (de valeurs ou de variation)
Langage commun
ACTIVITÉS DE TRAITEMENT
Dans chaque registre, on peut résoudre
certains problèmes plus ou moins facilement
mais on reste dans le registre.
ACTIVITÉS DE CONVERSION
On résout un problème en changeant de registre de représentation (explicitement demandé ou pas).
Par exemple, tracer la courbe représentative d’une fonction à partir de l’expression
algébrique de cette fonction.
PAR RAPPORT AU CADRE DE DUVAL
Pour que courbes et tableaux de valeurs jouent effectivement le rôle de représentations
sémiotiques de l’objet fonction de façon
adéquate, il est nécessaire que leur place dans leur registre respectif soit mieux identifiée, par rapport à la spécificité qu’ils ont quand ils
représentent des fonctions.
QUESTIONS POUR LE PROFESSEUR DE SECONDE
Les modes de représentation utilisés sont-ils questionnés (mode de codages, conventions, etc…) ou sont-ils considérés comme transparents et laissés à la charge de l’élève ?
La nature des représentations est-elle soulevée (unicité, exhaustivité, …) ?
Des tâches permettant de faire le lien entre les différents modes de représentation sont-elles proposées ? Quels en sont les enjeux ?
SUR LES TABLEAUX/COURBES
Initier une réflexion des élèves sur les rapports (dans les deux sens) entre courbes et tableaux de valeurs et de variations
Aider à dépasser l’idée de la représentation point par point et faire entrevoir la spécificité d’une relation numérique prenant en compte une variation continue de la variable ?
Apports et limites d’un tel travail pour l’apprentissage de la notion de fonction numérique ?
COURBE
Objet déjà rencontré par les élèves de 2nde
Dans d’autres disciplines
En mathématiques
Codage particulier : travail sur la construction et la lecture de courbes
MAIS
Pas forcément liée aux fonctions
Courbes particulières en 3ème (droites)
TABLEAU DE DONNÉES
Représentation partielle de la correspondance entre la variable et son image
Choix arbitraire des valeurs
Correspondance non univoque avec la fonction
TABLEAU DE VALEURS (DONNÉES) (2)
Objet déjà rencontré par les élèves de 2nde
Dans d’autres disciplines
En mathématiques : tableau de proportionnalité
Pas de codage particulier
Techniques de remplissage particulières ? MAIS
Pas forcément lié aux fonctions
Tableaux particuliers en 3ème (fonctions linéaires et affines)
Usage des calculatrices
TABLEAU DE VARIATIONS
Condense par un codage adapté toutes les informations sur les variations d’une fonction
La construction nécessite des connaissances mathématiques spécifiques
À une fonction correspond un seul tableau de variations
Mais à un tableau de variations correspondent plusieurs fonctions
TABLEAU DE VARIATIONS (2)
Objet nouveau pour les élèves de 2nde
Codage particulier
Depuis 2000 tâches moins classiques en classe de 2nde : construire un Tableau de variations à partir d’une courbe
MAIS
Peu d’enseignement explicite de sa construction et du codage
Objet transparent laissé à la charge de l’élève
EXERCICE MAJORITAIREMENT REJETÉ
Soit une fonction g définie sur l’intervalle [-2 ; 14] dont on connaît les valeurs suivantes :
Quelle est, à votre avis le plus petite valeur prise par g sur l’intervalle [-2, 14] ?
x -2 3 8 14
g(x) -7 41 7 34
EXERCICE ATYPIQUE :
IL MANQUE LA COURBE !
Soit f une fonction définie sur un intervalle [-2, 2] dont on connaît les valeurs suivantes.
1-Donner un tableau de variations possible pour f.
2- Est ce qu’on pourrait en donner un autre ? Si oui lequel ? Si non expliquer.
x -2 -1 0 1 2 f(x) -5 -3 -1 1 3
TEST ÉLÈVE
83% des élèves arrivent facilement, à partir d’un tableau de valeurs, à tracer une courbe mais 55% ont des difficultés pour donner un tableau de variations
11% des élèves arrivent à donner une autre courbe (et encore sans changer les variations) et 3%, un autre tableau de variations, correspondant à un même tableau de valeurs
LA COURBE CI-DESSOUS REPRÉSENTE UNE FONCTION F DE [-4 ; 4] DANS IR. VOUS DEVEZ DONNER, SUR UN SEUL TRANSPARENT, DES INFORMATIONS (TOUT SAUF UNE COURBE), DE SORTE QUE VOS CAMARADES TRACENT UNE COURBE QUI RESSEMBLE LE PLUS POSSIBLE À CELLE-CI.
