Espaces vectoriels

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Licence 1 Alg` ebre Lin´ eaire

Universit´ e de Paris 8 Feuille n

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Espaces vectoriels

1 D´ efinition, sous-espaces

Exercice 1 D´ eterminer lesquels des ensembles E

, E

, E

et E

sont des sous-espaces vectoriels de R

. Calculer leurs dimensions.

E

= {(x, y, z) ∈ R

; x + y − z = x + y + z = 0}.

E

= {(x, y, z) ∈ R

; x

− z

= 0}.

E

= {(x, y, z) ∈ R

; e

e

= 0}.

E

= {(x, y, z) ∈ R

; z(x

+ y

) = 0}.

Exercice 2 Parmi les ensembles suivants reconnaˆıtre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.

E

=

(x, y, z) ∈ R

; x + y + a = 0, et x + 3az = 0

E

= {f ∈ F ( R , R ); f (1) = 0} , E

= {f ∈ F( R , R ); f(0) = 1}

E

= {P ∈ R

[X]; P

= 3} , E

=

(x, y) ∈ R

; x + αy + 1 > 0 . Exercice 3 Soit E un espace vectoriel (sur R ou C ).

1. Soient F et G deux sous-espaces de E. Montrer que

F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E ⇐⇒ F ⊂ G ou G ⊂ F.

2. Soient H un troisi` eme sous-espace vectoriel de E. Prouver que G ⊂ F = ⇒ F ∩ (G + H) = G + (F ∩ H).

2 Syst` emes de vecteurs

Exercice 4 Soient dans R

les vecteurs e ~

(1, 2, 3, 4) et e ~

(1, −2, 3, −4). Peut-on d´ eterminer x et y pour que (x, 1, y, 1) ∈ V ect{ e ~

, ~ e

} ? Et pour que (x, 1, 1, y) ∈ V ect{ e ~

, ~ e

} ?

Exercice 5 Dans R

on consid` ere l’ensemble E des vecteurs (x

, x

, x

, x

) v´ erifiant x

+ x

+ x

+ x

= 0. L’ensemble E est-il un sous espace vectoriel de R

? Si oui, en donner une base.

Exercice 6 Soient E et F les sous-espaces vectoriels de R

engendr´ es respectivement par les vecteurs {



 2 3

−1



 ,



 1

−1

−2



} et {



 3 7 0



 ,



 5 0

−7



}. Montrer que E et F sont ´ egaux.

Exercice 7 Peut-on d´ eterminer des r´ eels x, y pour que le vecteur v = (−2, x, y, 3) appartienne au s.e.v. engendr´ e dans R

par le syst` eme (e

, e

) o` u e

= (1, −1, 1, 2) et e

= (−1, 2, 3, 1) ? Exercice 8 Soit α ∈ R et f

:

(

R → R

x 7→ 1 si x = α , 0 sinon . Montrer que la famille (f

)

est libre.

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3 Somme directe

Exercice 9 Soient e ~

(0, 1, −2, 1), ~ e

(1, 0, 2, −1), ~ e

(3, 2, 2, −1), ~ e

(0, 0, 1, 0) et e ~

(0, 0, 0, 1) des vecteurs de R

. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre r´ eponse.

1. V ect{ e ~

, ~ e

, ~ e

} = V ect{(1, 1, 0, 0), (−1, 1, −4, 2)}.

2. (1, 1, 0, 0) ∈ V ect{ e ~

, ~ e

} ∩ V ect{ e ~

, ~ e

, ~ e

}.

3. dim(V ect{ e ~

, ~ e

} ∩ V ect{ e ~

, ~ e

, ~ e

}) = 1.

4. V ect{ e ~

, ~ e

} + V ect{ e ~

, ~ e

, ~ e

} = R

.

5. V ect{ e ~

, ~ e

} est un sous-espace vectoriel de suppl´ ementaire V ect{ e ~

, ~ e

, ~ e

} dans R

. Exercice 10 On consid` ere les vecteurs v

= (1, 0, 0, 1), v

= (0, 0, 1, 0), v

= (0, 1, 0, 0), v

= (0, 0, 0, 1), v

= (0, 1, 0, 1) dans R

.

1. Vect{v

, v

} et Vect{v

} sont-ils suppl´ ementaires dans R

? 2. Mˆ eme question pour Vect{v

, v

, v

} et Vect{v

, v

}.

Exercice 11 Soit E = ∆

( R , R ) et F = {f ∈ E/f (0) = f

(0) = 0}. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E et d´ eterminer un suppl´ ementaire de F dans E.

Exercice 12 Soit

E = {(u

)

∈ R

| (u

)

converge }.

Montrer que l’ensemble des suites constantes et l’ensemble des suites convergeant vers 0 sont des sous-espaces suppl´ ementaires de E.

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