Résistance négative

Résistance négative

R. KERAVEC

Le sujet a déjà été traité plusieurs fois dans le B.U.P. (cf.

bibliographie).

Nous nous limitons au seul montage indiqué dans les commentaires des programmes de Terminales et nous proposons :

- une analyse simple du montage, - une maquette d’étude,

- la visualisation de la caractéristique à l’oscillographe, - l’amorçage des oscillations dans un circuit RLC série.

1. ANALYSE DU MONTAGE

Hypothèse : A.Op. idéal (courants d’entrée nuls, amplification infinie).

1 .l. L’A.Op. est en rbgime linéaire. (figure 1) On a alors v = v- = v+

Les deux résistances R,, soumises ^aux mêmes potentiels v et vs à leurs bornes, sont parcourues par le même courant égal à i. Il en résulte que R, est aussi traversé par ce même courant i et l’on a immédiate- ment :

v = -Roi Remarques :

a) le courant de sortie i, de l’amplificateur est alors i, = 2 i

b) le résultat précédent n’est valable que si l’A.Op. n’est pas en saturation ; or :

Vs = - (Ro + R,) i

La valeur maximale de i en régime linéaire est donc :

et

c) Les A.Op. courants (74 1 - TL08 1) ne peuvent débiter plus de 20 mA,

donc 1 klax 1 14

< 10 mA, soit Q+Rt >0,01 Rg+Rt > 1400Q, Pour opérer en toute sécurité, nous prendrons :

R, = 2,2 kR

1.2. L’A.Op est en régime de saturation (figure 2)

Dans ces conditions vs = * VS,, et v- f v+

En saturation haute : vs = VSAT et v = Rti + VSAT En saturation basse : vs = -VSAT et v=Rti-VS,, Mais ici, les courants ne sont plus les mêmes dans les trois

résistances ! Le courant j est constant pour un état de saturation donnée :

VSAT j=*----

RO+RI mais i et donc i, ne le sont pas.

Remarque : en saturation haute, la tension différentielle vD est

positive. Or, v =XV

+ Ro+R, SAT ce qui implique que

v<dL

Ro+R, SAT

Figure 2

De même en saturation basse, vD < 0 et v > - ~ RO

Rg+R, VSAT

1050

1.3. Traduction graphique des résultats : V = f(i) et ^VS = g(i)

Figure 3

2. MAQUETTE D’ÉTUDE (figure 4)

La maquette proposée est réalisée selon les principes exposés dans la présentation de l’atelier d’électronique des journées de 1’U.d.P. de Nantes (voir ci-dessus).

Figure 4

- l’alimentation +15V - 0 - -15V est placée sur le côté, - A.Op. : TL08l

- Les diverses résistances sont montées sur des plaquettes enfichables toutes identiques :

Rt : 2,2 kR et éventuellement l,5 kR*

Ru : 220 R et 470 R variable R, : I kR et IkR variable.

- Prévoir en plus une résistance supplémentaire R’ = 100R et des inductances (2,2 mH ou 4,7 mH), des capacités (10 nF - 47 nF - 0,l CIF - 1 PR

Pour des élèves de terminales, l’influence de la valeur de R, sur

* _Remarque : La maquette ayant été réalisée dans l’optique d’une formation de professeurs, les résistances RI étaient montées sur plaquettes.

les caractéristiques du montage étant superflue, il y aurait avantage à en fixer la valeur définitivement et à les monter directement sur le ciruit imprimé.

3. VISUALISATION DE LA CARACTÉRISTIQUE À L’OSCILLOSCOPE (figure 5)

d,: ~,tfh

Figure 5

- Prendre pour Ru une valeur intermédiaire 200R par exemple.

- Rappelons qu’une résistance Rp est indispensable pour asurer la stabilité du montage ; en effet le taux de réaction négative doit être supérieur au taux de réaction positive (cf bibliographie). Si R désigne l’ensemble des résistances de la branche EM contenant le GBF, (soit R = R, + R’ + r avec r : résistance interne du GBF) on doit avoir :

soit R > Ro

- le GBF est utilisé ici avec masse flottante obligatoirement. Comme normalement l’une de ses bornes de sortie est mise à la terre par l’intermédiaire du cordon d’alimentation, il sera nécessaire d’utiliser

une prise sans terre pour son alimentation (ou déconnecter la terre au moyen d’un adaptateur).

- Dans ces conditions, on observera à l’oscilla : v en fonction de (-R’i) La plupart des oscillographes actuels : - utilisent la voie A pour attaquer en X

- possèdent une touche d’inversion de la tension (- Y, par ex.).

En envoyant -R’i en X par la voie A et v sur la voie +YB”, on restituera la caractéristique sous la forme habituelle v = f(i).

- On utilisera le GBF en signaux sinusoïdaux ou triangulaires à une centaine de Hz ; on évitera la superposition d’une tension continue au signal variable, en agissant éventuellement sur l’«offset».

En agissant sur le niveau de sortie, on décrira l’ensemble de la caractéristique.

- En faisant varier Ru observer le changement de la pente (-Ru) de la partie correspondant à la résistance négative alors que les branches correspondant à la saturation ne subissent aucune modification (pente constante = RI)

- En utilisant un deuxième oscillographe :

- visualiser en fonction du temps v et vs (ou vs et i) et ainsi observer les deux régimes de fonctionnement de l’A.Op.

- en mode X-Y, visualiser vs = g(i) en procédant comme ci-dessus pour visualier la caractéristique v fonction de i.

- Les oscillographes étant étalonnés, il est facile de vérifier les valeurs numériques correspondant aux graphiques du nQ 1.3.

Pour R = 200 R,

Ii max ’ = 'SAT

~ = 5,8 mA

RO+RI

Dans ces conditions, le GBF doit délivrer une tension alternative d’amplitude d’environ 7 V.

La valeur choisie pour Ro sera contrôlée à l’ohmmètre après l’avoir extraite du montage.

Rappelons par ailleurs que certains ohmmètres numériques donnent directement avec son signe la valeur de la résistance négative, en les branchant entre E et M.

4. ÉTUDE DES OSCILLATIONS ET DE LEUR AMORÇAGE

4.1. Montage (figure 6)

Figure 6

- C = 0,l j.tF

- I’inductance choisie est une inductance moulée : L = 2,2 mH r=23R

- R’ = 100 R permet de visualiser i éventuellement.

- Afficher u, et vs à I’oscillographe.

- Au départ Ru = 0 : pas d’oscillations

- Pour une valeur donnée de Ru, on observe des oscillations quasi sinusoïdales aux bornes du condensateur, et à la sortie de l’A.Op.

Observer les distorsions ou la saturation de l’A.Op. pour des valeurs trop grandes de Ru.

- Revenir à la valeur minimale de Ru assurant les oscillations avec le minimum de distorsion. Mesurer la période Tu des oscillations. Calculer fo. Comparer avec la valeur théorique : fo=c&. Comparer cette valeur minimale de R. à la résistance totale du circuit RLC.

- Permuter R’ et C. Visualiser i et v.

- Si -R’i est appliqué en X (par la voie A) et v en +-YB”, en mode XY, on retrouve la caractéristique de la résistance négative mais où la saturation est simplement amorcée.

Remarque :

- la valeur de fu est déterminée par L et C,

VSAT - l’amplitude du courant i est î=G

1 0

- l’amplitude de la tension aux bornes du condensateur est û =Lî&p

c CO, C. Elle est d’autant plus grande que, pour L donné, C est plus petit.

4.2. Étude de l’amorçage des oscillations

Le schéma équivalent (figure 7) au montage est : avec

soit

uc=-4

dt

v=- Rgi ou v=kVSAT+Rli u,+uL-Ri=v

4

C

+Le+Ri=-v

dt

Figure 7

1056 BULLETINDEL'UNIONDESPHYSICIENS

Avant amorçage des oscillations, i = 0 et v est de l’ordre du millivolt (décalages initiaux de l’A.Op.). En modifiant RO, on modifie également la tension v et un courant i prend alors naissance.

Au voisinage de i = 0 et v = 0, le dipôle résistance négative obéit à la loi v = -Roi (l’A.Op. est en régime linéaire). On peut donc écrire.

:+L$+Ri=+R,j ou encore :

d*i R-RO di -+--

dt* +Li=O

L dt LC

Tant que R > RO, on reconnait l’équation différentielle d’un système conduisant à des oscillations libres amorties. Comme la valeur initiale de i est faible, celle-ci ne peut que décroître. Le système n’oscille pas.

La condition R = R, qui conduirait à des oscillations sinusoïdales de pulsation o0 (avec LCoO * = 1) est pratiquement impossible à réaliser en toute circonstance. L’expérience montre qu’il faut donner à Ko une valeur légèrement supérieure à R pour voir s’établir le régime

oscillatoire.

En effet l’équation devient : d*i RO-R di dt2

+Li=O L dt LC On pose en général :

(m est le cœfficient d’amortissement du circuit).

Avec les valeurs indiquées dans le montage ci-dessus : L = 2,2 mH C=O,l /.tF R = 123 R

on trouve f. - 10 kHz R o - R = quelques ohms.

Soit : m = 2.10d2

L’équation caractéristique correspondant à l’équation différentielle ci-dessus est :

L’intensité i dans le circuit peut donc se mettre sous la forme : i = Aemoot sin (qt + (9)

A et cp dépendent des conditions initiales.

A partir d’une valeur initiale, même très faible, l’amplitude augmente exponentiellement, tant que l’amplificateur opérationnel n’est pas saturé.

t -i, ---- ---- t -

Figure 8

Supposons que i atteigne la valeur i,,, = ~ ^VSAT à l’issue de sa

Rl +Ro’

croissance exponentielle. L’amplificateur se sature et on a alors v = -V,AT + Rti. L’équation différentielle régissant le phénomène devient :

g+L-+Ri=V

C dt ^{SAT- Rli}

ou d*i R+Rl di

-+--

dt* +Li=O

L dt LC

L’amortissement devient ici fortement positif ; i dépasse légère- ment la valeur i max et tendrait vers zéro ; mais en repassant par la valeur 4nw l’amplificateur retrouve son régime linéaire : i atteindra -in,,, où l’A.Op. se sature à sa valeur haute... etc.

Le courant i n’est donc pas tout à fait sinusoïdal : il l’est d’autant moins que Ru dépasse notablement la valeur limite d’accrochage.

L’étude expérimentale de l’amorçage des oscillations a été faite à l’aide d’un oscilloscope METRIX à mémoire numérique ; le contenu de la mémoire a été restitué sur table traçante afin de faciliter l’étude quantitative.

Les enregistrements obtenus sont reproduits ci-après et leur exploitation confirme l’étude ci-dessus.

BIBLIOGRAPHIE

- B.U.P. n” 691 (page 209 et suivantes) - B.U.P. no 717 (page 1175 et suivantes)

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