Physique de la Terre – Terre Solide

Physique de la Terre – Terre Solide

Structure du cours

1. Gravit´ e : loi de gravitation universelle, potentiel gravitationnel, rotation, acc´el´eration axifuge, moment d’inertie, anomalies du champ de gravit´e, g´eo¨ıde, anomalies gravim´etriques.

2. Sismologie : rupture, sismicit´e, observation des failles actives, notions de m´ecanique des milieux continus, cycle sismique, ondes sismiques, propagation, comportement `a une interface, hodochrones, phases terrestres, mod`eles sismo- logiques de Terre, notions de tomographie sismique.

3. G´ eothermie : origines de la chaleur interne de la Terre, transport de cha- leur (rayonnement, conduction, convection), distribution du flux de chaleur (oc´eans/continents), bilan thermique, g´eotherme.

4. G´ eomagn´ etisme : mesures du champ magn´etique, observations, variations spatiales, dipˆole magn´etique, variations temporelles (orages magn´etiques, va- riation s´eculaire).

5. Pal´ eomagn´ etisme : milieux aimant´es, courbe de premi`ere aimantation, ai- mantation des min´eraux et des roches, pr´el`evements et mesures, pal´eoposition du pˆole, d´erive des continents, inversions du champ g´eomagn´etique.

Bibliographie

– C. Larroque et J. Virieux, Physique de la terre solide, observations et th´ eorie , Gordon and Breach Science Publisher. Un bon texte en fran¸cais qui introduit tous les aspects de la g´eophysique interne.

– J.-P. Poirier, Les profondeurs de la Terre , Masson. Texte pr´ecis et concis, ´ecrit par un g´eophysicien de renom.

– C.M.R. Fowler, The Solid Earth - An Introduction to Global Geophysics, Cam- bridge University Press. De nombreux exercices.

Ouvrages d’un niveau plus avanc´e :

– D.L. Turcotte and G. Schubert, Geodynamics , Cambridge University Press. Un texte de r´ef´erence.

– S. Stein and M. Wysession, An Introduction to Seismology, Earthquakes, and

Earth Structure , Blackwell publishing. Texte r´ecent (2003), tr`es p´edagogique et

bien illustr´e. Niveau L3-M1, avec certaines parties abordables.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Gravit´ e

Gravitation universelle et structure moyenne de la Terre et des plan` etes

1 Mesure du rayon de la Terre

TERRE

PSfrag replacements

α

α ombre A

ob´elisque (Alexandrie)

S (Sy`ene)

Eratosth`ene (v 284 – v 192 av. J.-C.) α = 7 ^o 12 ⁰ ,

AS = 5000 stades (1 stade ≈ 185 m)

R L = AS α(en rad)

= 40000 stades

= 7361 km

Valeur moderne (`a retenir) : R L = 6371km.

A retenir aussi : la dur´ee d’une ann´ee et celle du jour ! `

2 Masse, densit´ e, moment d’inertie

? Composition → masse volumique (ρ) → masse ← gravit´e ~g

2.1 La loi de gravitation universelle

PSfrag replacements

r

~ u 12

F ~ 12

m ₁

m 2

Force exerc´ee par m ₁ sur m ₂ : F ~ ₁₂ = −G m ₁ m ₂

r ² ~ u ₁₂

G : constante de gravitation universelle ; G = 6, 67.10 ⁻¹¹ N.m ² .kg ⁻²

2.2 Mesure de ~g :

PSfrag replacements

g m h

L

~g = −g~ u z .

Chute libre → g = 9, 80 m.s ^{− 2} . [cf. TD]

g = G M L

R ² L donne M L = 5, 95.10 ²⁴ kg.

Autre approche : 3i`eme loi de Kepler pour les satellites de la Terre (naturels ou artificiels).

T ²

R ³ _S = 4π ² GM L . Lune → M L = 6, 1.10 ²⁴ kg. Masse volumique moyenne :

¯ ρ L =

M L

4

3 πR ³ L = 3M L

4πR ³ L = 5500 kg.m ^{− 3} .

Pour les roches de la croˆ ute : 2800 kg.m ^{− 3} ≤ ρ c ≤ 3500 kg.m ^{− 3} . L’int´ erieur doit ˆ etre plus dense en moyenne.

3 Potentiel gravitationnel

Le potentiel gravitationnel cr´e´e par une masse m ¹ est donn´e par V 1 (r) = −G m 1

r , r mesurant la distance par rapport `a m ¹ .

F ~ 12 = −G m 1 m 2

r ² ~ u 12 = −m 2

dV 1

dr ~ u 12 . On dit que la force F ~ ¹² d´ erive du potentiel V ¹ .

Plus exactement, l’acc´el´eration g 1 de la masse m 2 vers m 1 peut ˆetre ´ecrite en terme du potentiel V 1 sous la forme :

g 1 = dV 1

dr . (attention au signe) En g´en´eralisant `a 3 dimensions :

~g 1 = − gradV ~ 1 , o` u grad ~ est l’op´erateur gradient.

4 BAO : L’op´ erateur gradient grad ~ (ou ∇ ~ )

Le gradient d’un champ scalaire T est un vecteur qui d´ecrit les variations (fluctuations) de T dans l’espace.

La composante de gradT ~ dans une direction donn´ee de l’espace est le taux de variation de

T dans cette direction particuli`ere.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Gravit´ e

En coordonn´ees cart´esiennes, dans un rep`ere (~ e x , ~ e y , ~ e z ), la composante selon ~ e x de gradT ~ est ^∂T _∂x , sa composante y ^∂T _∂y , et sa composante z ^∂T _∂z .

gradT ~ = ∇T ~ == ∂T

∂x ~ e _x + ∂T

∂y ~ e _y + ∂T

∂z ~ e _z = ∂T

∂x , ∂T

∂y , ∂T

∂z

.

∇ ~ T est perpendiculaire aux surfaces d’´egale valeur de T .

Dans le cas o` u T est un potentiel (comme le potentiel gravitationnel), on dit que ∇ ~ T est perpendiculaire aux surfaces ´ equipotentielles [cf. TD].

0.2

0.2

0.4

0.4

0.6

0.8

-0.8 -0.6 -0.4

-0.4

-0.2

-0.2

-1 0 1

5 Potentiel gravitationnel (reprise)

PSfrag replacements

O

~g(r) r L R ^L

~ u r

M

Tout point M situ´e ` a une distance r > R L du centre O de L

est donc soumis au potentiel gravitationnel V L (r) = −G

M L r .

[Q : Quelles sont les surfaces ´ equipotentielles associ´ ees ?]

Il subit une acc´eleration gravitationnelle dirig´ee vers O

~g(r) = − ∇ ~ V L (r)

= −

dV L dr ~ u r

= −G

M L r ² ~ u r .

(expression du gradient en coordonn´ees sph´eriques : plus tard.) ` A la surface de la Terre (r = R L ), nous retrouvons

g = G

M L

R ² .

6 Et en plus elle tourne (sur elle-mˆ eme) !

6.1 Potentiel axifuge (centrifuge)

PSfrag replacements

O ~g L r

R ^L

~ u r s

M N

E

~ ω

~g ω θ

g ω sin θ~ u r

La rotation de la Terre sur elle-mˆeme –`a une vi- tesse angulaire ~ ω– fait qu’un point M situ´e ` a sa surface subit une acc´el´eration centrifuge ~g ω de norme

g ω = ω ² s,

o` u s mesure la distance de M ` a l’axe de rotation de la Terre. En introduisant la colatitude θ,

g ω = ω ² R L sin θ.

Cette acc´el´eration d´erive ´egalement d’un potentiel appel´e potentiel centrifuge V ω [cf. TD]

V ω (r, θ) = − 1

2 r ² ω ² sin ² θ NB : ω = 7, 2722.10 ^{− 5} rad.s ^{− 1} . EXO : Calculer . ^g _g ^ω ` a l’´equateur. [3, 461.10 ^{− 3} ] ' 1/290

6.2 Figure d’´ equilibre de la Terre

Terre pas parfaitement rigide –¿ d´eformation sous l’effet de sa propre rotation.

PSfrag replacements

O ~g L r

R ^L

~ u r

s M

N

E

~ ω

~g ω

θ

g ω sin θ~ u r

c a

Ellipso¨ıde ` a sym´etrie axiale : sph´ ero¨ıde.

– a : demi-grand axe.

– c : demi-petit axe.

L’applatissement est mesur´e par exemple par l’ellipticit´e :

e = a − c a .

Pour la Terre, e ^L ' 1/298.

7 Rotation et moment d’inertie

– Quantit´e de mouvement = MASSE × VITESSE

– Moment cin´etique = MOMENT D’INERTIE VITESSE ANGULAIRE

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Gravit´ e

Etude du moment cin´etique d’une plan`ete ´ → autre mani`ere de contraindre sa composition moyenne.

PSfrag replacements

O ~g

r s N

E

∆

dm

Le moment d’inertie d’une plan`ete (qui occupe un volume V ) par-rapport ` a un de ses axes ∆ est donn´e par la formule :

C = Z

V

s ² dm.

(s distance de la masse ´el´ementaire dm ` a ∆).

Pour une plan`ete homog`ene de masse M et de rayon a, [cf. TD]

C = 2

5 M a ² = 0, 4M a ² . Quelques exemples :

L Lune Mars V´ enus C/M a ² 0.3307007 0.3935 0.366 0.33

Des commentaires ?

Table des mati` eres

1 Mesure du rayon de la Terre 1

2 Masse, densit´ e, moment d’inertie 1

2.1 La loi de gravitation universelle . . . . 1 2.2 Mesure de ~g : . . . . 2

3 Potentiel gravitationnel 2

4 BAO : L’op´ erateur gradient grad ~ (ou ∇ ~ ) 2

5 Potentiel gravitationnel (reprise) 3

6 Et en plus elle tourne (sur elle-mˆ eme) ! 4

6.1 Potentiel axifuge . . . . 4

6.2 Figure d’´equilibre de la Terre . . . . 4

G´ eo¨ ıde et anomalies gravim´ etriques

On veut caract´eriser les distributions de densit´e dans la Terre en mesurant l’acc´el´eration de la gravit´e (la pesanteur). → Il faut se donner des r´ef´erences.

1 Mod` ele de r´ ef´ erence du champ de pesanteur

Il prend en compte :

– L’effet de l’ellipticit´e dans le calcul de l’attraction due ` a M L . – L’acc´el´eration centrifuge due `a ~ ω.

~ ω

a − R ^L = 7 , 1 km

R ^L − c = 14 , 2 km

a

c R ^L

Horizon tale

~g

a = 6378 , 136 km c = 6356 , 751 km R ^L = 6371 , 000 km

Terre sph´erique

Ellipso¨ıde de r´evolution (sph´ero¨ıde)

Le mod`ele th´eorique de g adopt´e par l’Union G´eophysique et G´eod´esique Internationale depuis 1967 sur l’ellipso¨ıde de r´ ef´ erence est

g = g 0 1 + k 1 sin ² (λ) + k 2 sin ² (2λ) .

– g 0 : valeur th´eorique de la pesanteur `a l’´equateur. g 0 = 9, 780318 m.s ^{− 2} . – λ : latitude.

– k 1 et k 2 : constantes qui d´ependent de l’´ellipticit´e de la Terre et de ω. k 1 = 0, 00053024 et k 2 = − 0, 0000058.

Hypoth` ese : pas de variation lat´ erale de densit´ e.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Gravim´ etrie

2 La forme de la Terre et le g´ eo¨ıde

2.1 D´ efinition

Le g´eo¨ıde est d´efini comme la surface ´ equipotentielle oc- cup´ ee par la surface moyenne des oc´ eans. [La surface d’un fluide au repos est une ´equipotentielle (sinon elle se d´eforme pour le devenir).]

(niveau `a bulle ∼ niveau des oc´eans pour l’horizontale.) Le po- tentiel en question ici est le g´ eopotentiel : potentiel d’attraction gravitationnel dˆ u `a la masse pr´esente dans L

+ potentiel centri- fuge.

Mesure du g´eo¨ıde : altim´etrie satellitaire au-dessus des oc´eans.

Au niveau des continents, le g´eo¨ıde correspond au niveau moyen de l’eau si des canaux reli´es aux oc´eans ´etaient creus´es.

GOCE (ESA) lancement en 2006.

2.2 La forme de la Terre – Le g´ eo¨ıde mesur´ e par les satellites

On distingue :

– l’applatissement au pˆ ole, – le bourrelet ´equatorial, – les ondulations du g´ eo¨ıde.

→ forme qu’aurait la terre si elle ´etait uniform´ement recouverte par les oc´eans au repos.

2.3 Causes des ´ el´ evations du g´ eo¨ıde

Il doit exister des variations lat´ erales de densit´ e.

(a) la pr´ esence de masse au dessus de l’ellipso¨ıde de r´ ef´ erence

a)

Montagne g´eo¨ıde

N ellipso¨ıde

L’´ecart N est appel´e ondulation du g´eo¨ıde. ( N < 100 m presque partout).

Pour un creu du g´eo¨ıde ?

(b) la pr´ esence d’un corps de densit´ e ´ elev´ ee sous l’ellipso¨ıde de r´ ef´ erence

Exc` es de masse

b)

g´eo¨ıde N

ellipso¨ıde

champ de pesanteur local

Pour un creu du g´eo¨ıde ?

2.4 Anomalies du g´ eo¨ıde

N en m

→ Pas de relation avec les structures de surface.

→ Indicateur des courants de convection dans le manteau.

Renseignements ` a grande ´echelle ( > 1000 km).

Pour voir ` a plus petite ´echelle : campagnes gravim´etriques.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Gravim´ etrie

3 Anomalies gravim´ etriques

Anomalies gravim´etriques Mesure `a petite ´echelle. Contraindre les variations lat´erales de densit´e dans la Terre sous-jacente.

PSfrag replacements

~g ~g

ρ ₀ ρ ₀

?

mesure mesure

ρ 0 + ∆ρ

3.1 Mesure de la pesanteur

Mesures relatives et absolues.

– mesures absolues : chute libre d’une masse dans le vide ; appareils de tr`es grand volume (la moiti´e d’une salle), notamment pour s’affranchir de l’activit´e microsismique. Pr´ecision de l’ordre du milli`eme de milliGal (1 mGal = 10 ^{− 5} ms ^{− 2} ) sur la pesanteur directement MAIS appareillage pas ais´ement transportable et donc inutilisable pour cartographier un terrain d’´etude.

– mesures relatives : appareils plus petits. Ils sont calibr´es en un endroit o` u une mesure absolue est connue et en mesurant les ´ecarts par rapport ` a cette r´ef´erence (souvent appel´ee

”base” ). → cartographie des anomalies gravim´etriques. Masse accroch´ee au bout d’un ressort. Pr´ecision : 1 voire 0, 1 mGal.

3.2 Anomalies – D´ efinitions

D´ efinition : l’anomalie de gravit´e est la diff´erence entre la gravit´e mesur´ee exp´erimentalement en un endroit et la gravit´e th´eoriquement attendue au mˆeme endroit.

Cette derni`ere est extrapol´ee `a partir de la valeur connue sur le g´ eo¨ıde. Si N est faible, on utilise la valeur sur l’ellipso¨ıde de r´ef´erence.

Il existe plusieurs types d’extrapolation ( de correction ) qui d´efinissent plusieurs anomalies.

3.3 Le cas id´ eal (qui n’existe pas)

On fait la mesure sur le g´eo¨ıde (qu’on suppose confondu avec l’ellipso¨ıde de r´ef. ici). Il n’y a

pas de correction `a faire. •

R P

R • Q ellipso¨ıde de r´ef´erence

3.4 Correction et anomalie ` a l’air libre

Corrections des effets dus `a la prise de mesure ` a une hauteur h par rapport au g´eo¨ıde (=el-

lipso¨ıde sur le dessin).

g(R L + h) = g(R L ) − 2

g(R L ) R L h.

Soit

g(R L + h) = g(R L ) − 0.3086 × 10 ^{− 5} h.

[cf. TD]

•

•

R P

•

•

R Q

ellipso¨ıde de r´ef´erence

h _P h Q

On d´efinit la correction `a l’air libre g al( h) = − 0.3086 × 10 ^{− 5} h.

L’anomalie `a l’air libre ∆g al est d´efinie par

∆g al( h) = g mes( h) − g ref − g al( h).

g ref est la valeur de r´ef´erence mesur´ee `a la base.

3.5 Correction de plateau et anomalie de Bouguer simple

Prise en compte de l’existence de masse entre la r´ef´erence et le point de mesure. Hypo : la gravit´e suppl´ementaire cr´e´ee l’est par un plan infini d’´epaisseur h et masse volumique moyenne ρ.

•

•

R P

•

•

R Q

ellipso¨ıde de r´ef´erence

h _P h _Q

La correction de plateau (ou de Bouguer) est donn´ee par g b( ρ, h) = 2π G ρh, et l’anomalie de Bouguer simple par

∆g b( ρ, h) = g mes( h) − g ref − g al( h) − g b( ρ, h).

[cf. TD]next week.

3.6 Correction de terrain et anomalie de Bouguer « compl` ete »

Terrain de mesure accident´e : un simple mod`ele type « plateau » ne suffit pas.

Il faut calculer plus finement la correction due ` a la topographie (ici vall´ee ou colline) g t.

Correction complexe : ordinateur + mod`eles num´eriques de terrain.

•

•

R P

•

•

R Q

ellipso¨ıde de r´ef´erence

h _P h Q

colline

vall´ ee

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Gravim´etrie

L’anomalie de Bouguer compl`ete est

∆g b( ρ, h) = g mes( h) − g ref − g al( h) − g b( ρ, h) − g t .

3.7 En r´ esum´ e

Pesanteur mesur´ee =

attraction de l’ellipso¨ıde de r´ef´erence

+ effet de l’´el´evation au-dessus du niveau de la mer (air libre)

+ effet de la masse normale au-dessus du niveau de la mer (Bouguer et terrain)

+ variations d´ependant du temps (mar´ees) + effet des variations de densit´ e dans le « sous-sol » (croˆ ute et manteau).

Pour expliquer les anomalies observ´ees, des mod`eles de lithologie doivent ˆetre propos´es. Un mod` ele n’est pas unique : des g´ eom´ etries diff´ erentes avec des densit´ es diff´ erentes peuvent expliquer une seule et mˆ eme observation.

Il faut donc tenir compte des connaissances g´ eodynamiques et g´ eologiques de la zone. Une utilisation conjointe de la gravim´etrie avec l’imagerie sismique est en g´en´eral fructifiante.

Table des mati` eres

1 Mod` ele de r´ ef´ erence du champ de pesanteur 1

2 La forme de la Terre et le g´ eo¨ ıde 2

2.1 D´efinition . . . . 2

2.2 La forme de la Terre – Le g´eo¨ıde mesur´e par les satellites . . . . 2

2.3 Causes des ´el´evations du g´eo¨ıde . . . . 2

2.4 Anomalies du g´eo¨ıde . . . . 3

3 Anomalies gravim´ etriques 4 3.1 Mesure de la pesanteur . . . . 4

3.2 Anomalies – D´efinitions . . . . 4

3.3 Le cas id´eal (qui n’existe pas) . . . . 4

3.4 Correction et anomalie ` a l’air libre . . . . 4

3.5 Correction de plateau et anomalie de Bouguer simple . . . . 5

3.6 Correction de terrain et anomalie de Bouguer « compl`ete » . . . . 5

Sismologie (I)

1 Introduction

Bibliographie : Chapitre 3 de “Physique de la Terre solide” par C. Larroque et J. Virieux.

(Gordon and Breach Science Publisher).

Toutes les figures in English : “An introduction to Seismology, Earthquakes, and Earth Struc- ture” by Stein and Wysession.

1.1 D´ efinition

La sismologie est l’´etude des tremblements de Terre et de la propagation des ondes (vibrations) qu’ils g´en`erent.

La rupture se produit lorsque les contraintes accumul´ees dans l’´ecorce terrestre d´epassent la r´esistance des mat´eriaux.

3 classes de s´eismes selon profondeur z : – S´eisme superficiel : z < 30km.

– S´ei. interm´ediaire : 30km < z < 200km.

– S´ei. profond : z > 200km.

Potsdam (1889).

1.2 La rupture

La rupture se produit sur le plan de faille (normale ˆ n ) et le d´eplacement des blocs s’effectue selon ˆ d .

fault plane : plan de faille ; strike : azimut ; dip angle : pendage ; foot wall block : plan

chevauch´e ; slip angle : pitch (slip=glissement).

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (I)

1.3 Les diff´ erents types de faille

Les ´etudes tectoniques ont montr´e que tout mouvement sur un plan de faille peut d´ecomposer suivant 3 types de mouvement principaux : allongement (faille normale), raccourcissement (faille inverse), ou coulissage horizontal (faille d´ecrochante).

1.4 Magnitude

Crit`ere quantitatif, `a ne pas confondre avec l’intensit´e (crit. qualitatif). Il existe plusieurs definitions de la magnitude. Retenons que la magnitude de moment M w est donn´ee par

log M 0 = 1, 5M w + 9, 1, o` u M 0 est le moment sismique, dont l’expression est donn´ee par

M 0 = µdA,

µ ´etant la rigidit´e du mat´eriau, d le glissement moyen le long de la faille, et A la surface de la faille s’´etant d´eplac´ee. Le moment sismique est homog` ene ` a une ´ energie.

Q : Quel est le rapport d’´energie lib´er´ee par deux s´eismes dont la magnitude diff`ere d’une

unit´e ?

1.5 Fr´ equence

De fa¸con empirique, Gutenberg et Richter ont d´etermin´e que

log N = a − bM,

o` u N repr´esente le nombre de s´eismes dont la magnitude est comprise entre M et M + δM pour un certain intervalle de temps dans une certaine zone. La valeur du param`etre b est proche de l’unit´e.

Q : Quel est le rapport du nombre de s´eismes de magnitude 7 sur le nombre de s´eismes de

magnitude 6 ?

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (I)

1.6 La sismicit´ e mondiale

Epicentres des s´eismes de magnitude ´ > 4 entre 1963 et 1995. (plus ou moins diffus selon la fronti`ere de plaques).

– ∼ 90 % de l’´energie : zones de subduction.

– ∼ 5 % de l’´energie : zones transformantes.

– ∼ 5 % de l’´energie : s´eismes intraplaques.

2 Observations des failles actives

2.1 Observations g´ eologiques

Condition n´ecessaire : suffisamment d’´energie pour que la rupture arrive en surface. Mesure du d´ecalage et de la direction de la rupture.

Glissement le long de la faille Imp´eriale, El Centro, California, 15/10/1979.

Le plan de faille n’est pas un mythe !

Crowley Lake, California.

2.2 Observations sismologiques

Pour surveiller l’activit´e d’une faille, le sismologue

´etudie les sismogrammes enregistr´es en surface pendant un s´eisme survenu sur cette faille. Un sismogramme est un enregistrement des mouvements du sol en fonction du temps, et est obtenu par les sismom`etres.

Aujourd’hui :

– Sensibles au µm (amplification ´electronique).

– Bonne horloge (vitesses des ondes de plusieurs km.s ^{− 1} ).

2.3 Sismom` etres

Ordre de grandeur des quantit´es mesur´ees :

Dur´ee fr´equence acc´el´eration d´eplacement

r´egion ´epicentrale 0,01–150s 0,005–100 Hz 0,5–20 m.s ^{− 2} cm au m

r´egion ´eloign´ee min `a h 0,005–100 Hz 10 ^{− 2} –10 ^{− 6} m.s ^{− 2} µm au mm

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (I)

2.4 Distribution des stations

Etat des lieux en 1999 ´ Commentaires ?

Le contraste NS commence `a ˆetre gomm´e. Et bientˆot : Ocean Bottom Seismometers (OBS).

2.5 Sismogrammes

3 composantes : Verticale, NS, EW.

Enregistrement d’un magnitude 4.9 (superficiel) ` a 64 km de distance. P : Onde P ; S : Onde S (on y reviendra la semaine prochaine).

2.6 Interpr´ etation

Permet souvent de localiser l’´epicentre et de d´eterminer l’heure origine du s´eisme (p. ex.

en utilisant t _S − t _P ).

Pour aller plus loin, il faut mener une analyse

discriminatoire.

3 M´ ecanique des milieux continus

3.1 Introduction – D´ efinition

Notre but : d´ecrire les forces internes qui as- surent la coh´esion des roches pour mieux com- prendre le processus de rupture et de propa- gation des ondes sismiques, et les relier aux d´eformations subies par le milieu.

Un milieu continu est d´efini comme un mi- lieu sans variation brutale des ses propri´et´es

`

a l’´echelle des observations utilis´ees.

PSfrag replacements

F ~ S S

3.2 Notion de contrainte

Passage d’une description surfacique `a une description ponctuelle.

PSfrag replacements

dF ~

dS M O

x

y z

cˆ ot´ e -

cˆ ot´ e +

milieu continu

~ n

On appelle traction en un point M du MC (au- tour duquel on d´efinit une surface ´el´ementaire dS de normale ~ n) la force d ~ F exerc´ee sur cette surface par le cˆ ot´e + sur le cˆ ot´e − . La contrainte

~ σ(~ n) est d´efinie comme

~ σ(~ n) = lim

dS → 0

dF ~ dS .

C’est un force par unit´e de surface, homog`ene ` a une pression. La contrainte d´epend de la sur- face ` a partir de laquelle on la d´efinit, d ’o` u la d´ependance en ~ n. Elle se d´ecompose en une contrainte normale ~ σ n (~ n) et une contrainte tan- gentielle ~ τ (~ n).

On admettra qu’il existe toujours trois direc- tions principales (~ e 1 , ~ e 2 , ~ e 3 ) appel´ees directions de contrainte principale telles que les contraintes tangentielles soient nulles dans les plans or- thogonaux ` a ces directions. Conventions : σ 1 : contrainte principale maximale (selon ~ e 1 ) ; σ 2 : contrainte principale interm´ediaire (selon ~ e 2 ) ; σ 3 : contrainte principale minimale (selon ~ e 3 ).

PSfrag replacements

σ ₁ σ ₂

σ ₃ M

Ellipso¨ıde des contraintes – M point du MC.

Dans la nature : les contraintes varient de quelques MPa (10 ⁶ Pa) ` a quelques centaines de GPa (10 ⁹ Pa) en profondeur.

contrainte normale `a la base de la croˆ ute oc´eanique 500 MPa

contrainte normale `a la base de la croˆ ute continentale 1 GPa

contrainte normale `a la base de la lithosph`ere 15 GPa

contrainte cisaillante pour la rupture d’un calcaire en surface 250 MPa

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (I)

3.3 Notion de d´ eformation

Soit un barreau de roche de longueur L au repos. D´eformation normale : zz = δz/L ; D´eformations cisaillantes : zx = δx/L, zy = δy/L.

De mˆeme, 3 directions principales de d´eformation et ellipso¨ıde associ´e.

Sans unit´e. Au laboratoire : ∼ 10 ^{− 3} −10 ^{− 4} . Dans la nature : ∼ 10 ^{− 6} .

PSfrag replacements

_{1 2 3}

M dx dz

L

Apr`es Avant

3.4 Relation entre contrainte et d´ eformation

But : Relation constitutive entre contrainte et d´eformation pour fermer le probl`eme.

– ´ Elasticit´e : relation lin´ eaire entre contrainte et d´eformation. (Loi de Hooke, 1676).

– R´eversibilit´e.

– Les co´efficients de proportionalit´e d´ependent pour certaines roches de la direction selon laquelle on regarde (notion d’ anisotropie ).

– Valable uniquement pour des d´eformations mod´er´ees.

PSfrag replacements

σ

seuil de plasticit´ e seuil de rupture

con train te

d´ eformation

domaine ´ elastique domaine plastique

Questions :

– Au niveau des sources sismiques, comportement r´eversible ou irr´eversible ? – Et pour les r´egions visit´ees par les ondes sismiques ?

4 Cycle sismique d’une faille active

a) Situation au d´ebut d’un cycle, imm´ediatement apr`es un s´eisme majeur (contraintes r´e´equilibr´ees)

b) Mat´eriau sous contrainte tectonique, mais le seuil de rupture n’a pas ´et´e at- teint. Glissement asismique.

c) Apr`es la rupture. D´ecalage.

Table des mati` eres

1 Introduction 1

1.1 D´efinition . . . . 1

1.2 La rupture . . . . 1

1.3 Les diff´erents types de faille . . . . 2

1.4 Magnitude . . . . 2

1.5 Fr´equence . . . . 3

1.6 La sismicit´e mondiale . . . . 4

2 Observations des failles actives 4 2.1 Observations g´eologiques . . . . 4

2.2 Observations sismologiques . . . . 5

2.3 Sismom`etres . . . . 5

2.4 Distribution des stations . . . . 6

2.5 Sismogrammes . . . . 6

2.6 Interpr´etation . . . . 6

3 M´ ecanique des milieux continus 7 3.1 Introduction – D´efinition . . . . 7

3.2 Notion de contrainte . . . . 7

3.3 Notion de d´eformation . . . . 8

3.4 Relation entre contrainte et d´eformation . . . . 8

4 Cycle sismique d’une faille active 8

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

Sismologie (II)

1 Les ondes sismiques

1.1 Introduction

Une onde : propagation d’´energie sans propagation de mati`ere.

Les ondes sismiques sont des ondes ´elastiques dans les r´egions solides de la Terre, et des ondes acoustiques dans ses r´egions fluides.

1.2 Les ondes ´ elastiques de volume

Solide lin´eaire, ´elastique, homog`ene et isotrope.

Ondes de compression : ondes P Ondes de cisaillement : ondes S

wavelength : longueur d’onde.

1.3 Polarisation des ondes de volume

Vecteur d’onde : vecteur qui indique la direction dans laquelle l’onde se propage. Souvent not´e ~k (ou ˆ k).

– Le d´eplacement induit par le passage de l’onde P est dans la direction de propagation (//

vecteur d’onde) : c’est une onde longitudinale.

– Le d´eplacement induit par le passage de l’onde S (SV+SH) est dans le plan orthogonal au

vecteur d’onde : c’est une onde transversale.

1.4 Vitesse de propagation des ondes de volume

Notations : α (resp. β) est la vitesse de propagation des ondes P (resp. S).

α = s

κ + 4/3µ

ρ , β =

r µ ρ avec :

– κ : module d’incompressibilit´e. En Pa. Granite : 3, 8.10 ¹⁰ Pa ; Eau : 0, 2.10 ¹⁰ Pa.

– µ : module de rigidit´e. En Pa. Granite : 1, 6.10 ¹⁰ Pa ; Eau : 0 Pa → β = 0 : un fluide ne peut pas ˆ etre cisaill´ e.

– ρ : masse volumique.

A retenir : ` α/β n’est jamais tr`es loin de √

3. Dans la croˆ ute, α ' 6 km.s ^{− 1} Loi empirique de Birch : La vitesse varie lin´eairement avec la densit´e

α = a + bρ.

1.5 Les ondes de surface

Ondes guid´ees `a la surface de la Terre.

Ondes de Love

Analogue en surface des ondes SH. Vitesse ' 0, 96β .

Ondes de Rayleigh

Mouvement elliptique r´etrograde. Analogue

en surface de P + SV . Vitesse ' 0, 92β .

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

2 Propagation des ondes de volume

2.1 Notion de surface d’onde – Principe de Huygens

Surface d’onde : surface (quand elle existe) d´efinie par un ensemble de points vibrant en phase, atteints au mˆeme instant apr`es ´emission `a la source.

Le vecteur d’onde est normal `a la surface d’onde ( wave- front ).

PSfrag replacements

S ( t )

S ( t 0 > t ) k ˆ

O

Principe de Huygens (1678) : Chaque point d’une surface d’onde atteint ` a un instant t peut ˆetre consid´er´e comme une source secon- daire qui ´emet des ondelettes sph´eriques. ` A un instant post´erieur

`

a t, la nouvelle surface d’onde est l’enveloppe des surfaces d’onde

´emises par les sources secondaires. Huygens, Christian

(1625–1695)

Onde plane :

Onde sph´erique :

2.2 Comportement d’une onde ` a l’interface entre 2 milieux

2.2.1 Rappels d’optique

Dans un milieu homog`ene d’indice n, la lumi`ere se propage en ligne droite ` a la vitesse c/n.

Lois de Snell–Descartes `a l’interface entre 2 milieux pour d´eterminer les angles de r´eflexion et de r´efraction :

PSfrag replacements

n ₁

n 2

i 1 i 0 1

i 2 normale

interface

i ⁰ ₁ = i ₁ , n ₁ sin i ₁ = n ₂ sin i ₂ , soit sin i ₁

V ₁ = sin i ₂ V ₂ .

R´esultat bas´e sur le principe de Fermat [cf.

TD].

Si n d´epend de la longueur d’onde :

2.2.2 En sismologie

Il peut y avoir conversion P → P+SV, SV → P + SV. Une onde SH reste SH. Les lois de Snell–Descartes s’appliquent.

Cas plan :

PSfrag replacements α ₁

α ₂ β ₁

β ₂

Onde incidente SH

Onde r´ efl´ echie SH

Onde r´ efract´ ee SH

r i i

interface

sin i

β ₁ = sin r β ₂ = p

PSfrag replacements α ₁ i

α ₂ β ₁

β ₂

Onde incidente P

P P

SV SV

r _p r _s

i _p i _s

interface

sin i p

α ₁ = sin i s

β ₁ = sin r p

α ₂ = sin r s

β ₂ = p p est le param` etre du rai . Ce param`etre contrˆ ole la g´eom´etrie du rai sismique quand celui-ci traverse des milieux de vitesse diff´erente. Le long d’un rai donn´e, p reste constant.

Transmission et r´eflexion : une partie de l’´energie est transmise, et son compl´ementaire est r´efl´echi. Dans le cas d’une onde P en incidence normale (i = 0), on montre que :

A r

A i

= ρ ₁ α ₁ − ρ ₂ α ₂ ρ ₂ α ₂ + ρ ₁ α ₁ , A t

A i

= 2ρ ₁ α ₁ ρ ₂ α ₂ + ρ ₁ α ₁ . – A i : amplitude de l’onde incidente,

– A r : amplitude de l’onde r´efl´echie, – A t : amplitude de l’onde transmise.

Le param`etre pertinent est l’imp´ edance (ρα) (masse volumique × vitesse). C’est le contraste

d’imp´edance entre les 2 milieux qui compte.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

Cas sph´erique :

Le param`etre de rai devient

p = r sin i V .

Si le milieu n’est plus continu par morceaux mais continu tout court :

α et β sont des fonctions de r.

Le rai se courbe. Si la vitesse augmente avec la profondeur, le rai remonte.

Q : Que se passe-t-il dans la Terre ?

3 Hodochrones

3.1 D´ efinition

Si on connaˆıt les profils radiaux de vitesse α(r) et β (r), on peut tracer les rais dans la plan`ete et construire les hodochrones as- soci´ees.

Une hodochrone est une courbe donnant le temps d’arriv´ee d’une onde ´emise par une source en fonction de la distance `a cette source ∆. ∆ s’exprime en degr´es.

PSfrag replacements

F

S

∆

Exemple dans le cas d’un gradient de vitesse constant :

Hodochrone :

3.2 Les hodochrones de la Terre

Leur observation a permis d’´eplucher la structure en oignon de la Terre. Les lettres que vous

voyez correspondent ` a diff´erentes phases sismiques.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

4 Phases sismiques terrestres

4.1 Les phases du manteau

Source : Princeton University

4.2 Les phases r´ efl´ echies ` a la FNM

Source : Princeton University

4.3 Les phases du noyau

4.4 Les phases de la graine

4.5 En r´ esum´ e

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

4.6 Quand on a l’œil

4.7 La zone d’ombre du noyau

Sa mise en ´evidence a permis d’´etablir son existence.

5 Mod` eles sismologiques de Terre

Donnent α(r), β(r), and ρ(r).

Exemple : le Preliminary Reference Earth Model (PREM) de Dziewonski & Anderson (1981).

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

PSfrag replacemen ts

pressure (kbar) density (Mg/m ³ )

P-wave speed (km/s) S-wave speed (km/s)

depth (km) depth (km)

Mantle

Outer Core

Inner Core

NB : M L et C sont deux contraintes pour la construction de ce type de mod`ele.

6 Notions de tomographie sismique

6.1 Introduction

Id´ee : passer d’une description 1D (r) `a une description 3D (r, θ, φ). La tomographie sismique a pour but de fournir une carte tridimensionnelle de la vitesse des ondes sismiques dans la Terre.

PREM (ou un autre) sert de mod`ele de r´ef´erence.

On veut contraindre les h´et´erog´en´eit´es lat´erales de vitesse : α(r, θ, φ) = α ⁰ (r) + δα(r, θ, φ) – α ⁰ (r) est la vitesse de r´ef´erence,

– δα(r, θ, φ) est l’anomalie de vitesse.

δα/α 0 n’exc`ede jamais quelques %.

6.2 Comment faire ?

Une technique consiste `a mesurer des anomalies de temps de trajet pour contraindre les

anomalies de vitesse.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

Les tomographes travaillent sur une phase donn´ee (P,S, etc.) et utilisent plusieurs milliers (millions) de donn´ees de temps de trajet.

NB : Huygens → les anomalies lentes sont moins faciles ` a d´etecter que les anomalies rapides (wavefront healing).

6.3 Un exemple de tomographie d’ondes P

(figure tir´ee d’un papier de revue de Romanowicz, 2003, Annu. Rev. Geoph. Space Phys.

groupe de Van der Hilst, MIT)

– Vitesse rapide : mat´eriel chaud ou froid ? – Qu’observez-vous ?

– Qu’en d´eduisez-vous sur la convection dans le manteau ?

Table des mati` eres

1 Les ondes sismiques 1

1.1 Introduction . . . . 1 1.2 Les ondes ´elastiques de volume . . . . 1 1.3 Polarisation des ondes de volume . . . . 1 1.4 Vitesse de propagation des ondes de volume . . . . 2 1.5 Les ondes de surface . . . . 2

2 Propagation des ondes de volume 3

2.1 Notion de surface d’onde – Principe de Huygens . . . . 3 2.2 Comportement d’une onde `a l’interface entre 2 milieux . . . . 3 2.2.1 Rappels d’optique . . . . 3 2.2.2 En sismologie . . . . 4

3 Hodochrones 5

3.1 D´efinition . . . . 5 3.2 Les hodochrones de la Terre . . . . 6

4 Phases sismiques terrestres 7

4.1 Les phases du manteau . . . . 7 4.2 Les phases r´efl´echies `a la FNM . . . . 7 4.3 Les phases du noyau . . . . 7 4.4 Les phases de la graine . . . . 7 4.5 En r´esum´e . . . . 8 4.6 Quand on a l’œil . . . . 9 4.7 La zone d’ombre du noyau . . . . 9

5 Mod` eles sismologiques de Terre 10

6 Notions de tomographie sismique 10

6.1 Introduction . . . . 10

6.2 Comment faire ? . . . . 10

6.3 Un exemple de tomographie d’ondes P . . . . 11

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β

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couche limite

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