Modélisation Numérique des Profils Radiaux de la Vitesse Axiale et de la Contrainte pariétale dans les Écoulements Laminaires Transitoires en Conduites

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FACULTÉ DES SCIENCES

RABAT

N° d’ordre: 2823

THÈSE DE DOCTORAT

Présentée par :

Hassan SAMRI

Discipline : Physique

Spécialité : Mécanique et Énergétique

Modélisation Numérique des Profils Radiaux de la

Vitesse Axiale et de la Contrainte pariétale dans les

Écoulements Laminaires Transitoires en Conduites

Soutenue le : 26/12/2015

Devant le jury:

Président

Kamal GUERAOUI: P.E.S à la Faculté des sciences de Rabat.

Examinateurs

Mohamed Ouadi BENSALAH : P.E.S à la Faculté des Sciences de Rabat.

Bennasser BAHRAR : P.E.S à l’ENSET de Mohammedia.

El hassan EL KAFSSAOUI : P.E.S à la Faculté des Sciences de Kenitra.

Omar BOUATTANE : P.E.S à l’ENSET de Mohammedia.

Invité

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1

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Remerciements

Le présent travail a été réalisé au sein de l’Equipe de Modélisation en Mécanique des Fluides et Environnement du Laboratoire de Physique Théorique de la Faculté des Sciences de Rabat.

Un très grand merci à Monsieur Bennasser BAHRAR, Professeur de l’Enseignement Supérieur à l’école normale supérieure de l’enseignement technique de Mohammedia pour avoir accepté la direction de cette thèse. Sa disponibilité, son expérience, ses qualités scientifiques, pédagogiques et tout simplement humaines ont été sans conteste à l’origine du si bon déroulement de cette thèse.

Je suis très sensible à l’honneur que me fait Monsieur Kamal GUERAOUI, Professeur de l’Enseignement Supérieur à la Faculté des Sciences de Rabat et Responsable de l’Equipe de Modélisation en Mécanique des Fluides et Environnement, en acceptant la présidence du jury, malgré ses multiples occupations et ses nombreuses charges. Qu’il veuille trouver ici, l’expression de ma gratitude pour l’intérêt qu’il a porté à mon travail.

Je tiens aussi à remercier vivement Monsieur Mohammed Ouadi BENSALAH, Professeur de l’Enseignement Supérieur à la Faculté des Sciences de Rabat, pour s’être penché sur mon travail en qualité de rapporteur et pour la pertinence de ses commentaires ainsi son aide précieuse.

Je remercie vivement Monsieur Elhassan ELKAFSSAOUI, Professeur de l’Enseignement Supérieur à la Faculté des Sciences de Kenitra, pour l’intérêt qu’il a porté à ce travail et pour avoir accepté d’être rapporteur et de consacrer une partie de son temps à l’analyse de mon travail.

Je suis également très reconnaissant envers Monsieur Omar BOUATTANE, Directeur adjoint à l’école normale supérieure de l’enseignement technique de Mohammedia, pour avoir accepté de faire partie de ce jury.

Enfin, Je suis également très reconnaissant envers Monsieur Mohamed DRIOUICH professeur assistant à L’INSA El Houceima, d’avoir accepté notre invitation pour faire partie de ce jury.

Je souhaite aussi remercier ma famille pour m’avoir constamment soutenue tout au long de ces années.

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Résumé :

Ce travail traite de la modélisation de la contrainte pariétale dans les écoulements transitoires et laminaires en conduite à l’aide du couplage d’une méthode de développement en séries polynomiales des profils radiaux de la vitesse axiale instantanée et de la méthode des caractéristiques pour résoudre les problèmes de coup de bélier.

En régime transitoire, lors du transport des fluides en canalisation, le changement des conditions aux limites qui résulterait d’une fermeture volontaire ou accidentelle de vanne conduirait à des sauts brusques de la contrainte de pression dans le fluide. Ces sauts brusques de pression sont appelés, communément, les phénomènes de coup de bélier.

Ces phénomènes sont encore assez complexes en raison du fait qu’ils sont imprévisibles et peuvent être à l’origine de plusieurs anomalies néfastes tant pour le circuit lui-même (sur-contraintes dans le matériau), que pour le fluide (causer des pertes d’énergie assez importantes). Il est donc nécessaire de comprendre ces phénomènes à plusieurs niveaux :

 Au niveau de la conception des systèmes de transport des fluides, de leur dimensionnement, de la qualité de service, de la durée de fonctionnement, du coût etc. …

 Au niveau prévisionnel et contrôle des paramètres vitesse, pression et débit dont la variation peut résulter de circonstances particulières (fermeture volontaire ou accidentelle de vanne, …).

Une connaissance assez judicieuse, de ces phénomènes et des effets dissipatifs liés à la contrainte de frottement qui conditionnerait les pertes de charge, contribuerait à une meilleure amélioration des modes opératoires lors du transport de fluides (eau, pétrole, gaz…etc.) et à une maîtrise des outils prévisionnels.

Le terme de frottement a fait l’objet de plusieurs études qui ont essayé d’en donner une meilleure représentation numérique et expérimentale dans les écoulements en conduites, en particulier, dans le cas des écoulements en régime laminaire.

Le travail que nous entamons dans le cadre du mémoire de Thèse du doctorat s’inscrit dans ce contexte. Il consiste à élaborer un code numérique permettant d’une part, de modéliser ce phénomène et d’autre part, de comparer l’efficience de ce modèle avec ceux trouvés dans la littérature en vue de leur optimisation.

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Mots clés : Contrainte pariétale transitoire – Écoulement laminaire – Fluide Newtonien –

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Abstract

This work deals with the modelling of the transient wall shear stress in transient laminar flow with the coupling the method for developing polynomial series of radial profiles of the instantaneous axial velocity and the method of characteristics to solve the water hammer problems in transient laminar flow.

During the transport of fluids in pipe, the change of boundary conditions would result from deliberate or accidental shutoff valve and would lead to sudden jumps of pressure stress in the fluid. These sudden jumps in parameters of flow, such as pressure and average velocity, are called in hydraulic, commonly, water hammer phenomena.

These phenomena are still rather complex due to the fact that they are unpredictable and can cause several adverse anomalies for both the circuit itself (on-stresses in the material), that for the fluid (cause losses sizable energy). It is therefore necessary to understand these phenomena at several levels:

 At the design of fluid transport systems, their design, quality of service, the duration of operation, cost etc ...

 At the forecast level and control speed, pressure and speed whose variation may result from special circumstances (intentional or accidental shutoff valve ...).

A fairly sound knowledge of these phenomena and dissipative effects related to the friction stress which would condition the load losses, contribute to better improve procedures during fluid transport (water, oil, gas ... etc.) And a master of forecasting tools.

The term friction has been the subject of many studies that have attempted to provide a better experimental and numerical representation in the flows in pipes, in particular in the case of flow in the laminar regime.

As we begin the work within the framework of the doctoral thesis memory fits into this context. It is to develop a digital code firstly, to model this phenomenon and, secondly, to compare the efficiency of this model with those found in the literature for their optimization.

Keywords: Transient parietal stress - Laminar flow - Newtonian Fluid - Radial velocity

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Liste des publications et communications

Publications :

 H. SAMRI, B. BAHRAR, K. GUERAOUI, F. AKEF « A Polynomial Expansion of Axial Velocity Profiles to Solve Transient Laminar Flow in Elastic Pipe » Applied Mathematical Sciences, Vol. 9, 2015, no. 9, 447 - 457 HIKARI Ltd.

 B. BAHRAR, H. SAMRI, E.H. ACHOUYAB, K. GUERAOUI « Numerical modeling of hydraulic transient in plastic pipes » accepté au journal International Review of Mechanical Engineering (I.RE.M.E).

 H. SAMRI, E.H. ACHOUYAB, K. GUERAOUI, S. HAMDOUN, B. BAHRAR « A Numerical modeling of velocity profiles and shear stress in hydraulic transient» soumis au journal International Review of Mechanical Engineering (I.RE.M.E).

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Communications :

 M. TAMANI, F. AKEF, H. SAMRI, E. H. ACHOUYAB, B. BAHRAR. « Analyse de l’élasticité d’un matériau sur l’onde de pression dans un écoulement diphasique en conduite », 12ème Congrès de Mécanique, 21-24 Avril, Casablanca, 2015.

 E. H. ACHOUYAB, H. SAMRI, B.BAHRAR , « Modélisation numérique d’interaction fluide-structure : coup de bélier », 10ème congrès de Mécanique 19 – 22 Avril 2011 Oujda (Maroc).

 H. SAMRI, E. H. ACHOUYAB, B. BAHRAR, « Modélisation numérique des écoulements transitoires, faiblement cisaillés, de Solutions de polymères- (Modèle d’Oldroyd-B) », Le 8ème_{Congrès de mécanique Du 17 au 20 Avril 2007, El}

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Table des Matières

NOTATIONS ET SYMBOLES ...11

LISTE DES FIGURES ...14

LISTE DES TABLEAUX ...16

INTRODUCTION GÉNÉRALE...17

CHAPITRE I : ÉTUDE BIBLIOGRAPHIQUE……….. …………..18

I. INTRODUCTION ...19

1. Théorie du coup de bélier………..…………...………...………..19

2. Importance de l’étude des phénomènes de coup de bélier………...….23

3. Analyse physique du phénomène du coup de bélier …….………...24

3-a) Cas de fermeture instantanée de vanne……….………….……….25

3-b) Cas de fermeture progressive de vanne …….……….……….31

4. Estimation de la surpression générée par le coup de bélier………….………...34

II. CONTRAINTE DE FROTTEMENT EN RÉGIME TRANSITOIRE ...………….……..35

1. Introduction……….………..35

2. Expression générale du terme de frottement………...36

3. Les modèles de frottement proposés dans la littérature……….………....37

3-a) Le modèle de Zielke ……….……….………….……….37

3-b) Le modèle de Cartens et Roller ……….………….………….……....38

3-c) Le modèle de Safwat et Polder..……….………….……….…....39

3-d) Les modèles de Brunone et de Vitkovsky.……….……….…....39

CHAPITRE II : FORMULATION MATHÉMATIQUE………....42

I. INTRODUCTION………..……….43

II. FORMULATION MATHÉMATIQUE DU PROBLÈME………...44

1. Hypothèses………..44

1-a) Hypothèses sur la conduite ……….…....………….……….44

1-b) Hypothèses sur l’écoulement…..……….…....………….……….44

1-c) Hypothèses sur le fluide …..……...………….…....………….……….44

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2-a) Équation de conservation de la masse………...45

2-b) Équation de conservation de la quantité de mouvement………...45

2-c) Équation de comportement thermodynamique du fluide…..………...47

2-d) Équation de Comportement rhéologique de la paroi………..…….49

2-e) Conditions aux limites………...….50

2-f) Conditions initiales .………..……….………...…50

3. Système des équations moyennées sur une section droite de la conduite…………....50

3-a) Équation de continuité………...51

3-b) Expression de la célérité de coup de bélier ………...52

3-c) Équation de conservation de la quantité de mouvement ………...…...54

3-d) Conditions aux limites et initiales………56

4. Modèle mathématique proposé de contrainte transitoire de cisaillement...………58

4-a) Développement polynomial du profil de vitesse instantanée………...58

4-b) Détermination des coefficients

a

_j des profils radiaux de la vitesse axiale ………..………..59

4-c) Calcul des vitesses moyennes pondérées……….60

CHAPITRE III : METHODE DE RÉSOLUTION………...64

I. INTRODUCTION………...…65

II. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU SYSTÈME D’ÉQUATIONS……...……….….66

1. Système moyenné - Méthode des caractéristiques………..………...66

1-a) Méthode des caractéristiques ………....………...67

1-b) Relation différentielle le long de la direction caractéristique 0 dt dx …..………...71

2. Discrétisation des équations de compatibilité (Méthode des différences finies) ...73

2-a) Schéma de différences finies………...73

2-b) Maillage et discrétisation des équations de compatibilité……...………74

2-c) Discrétisation des conditions aux limites……….76

2-d) Discrétisation des conditions initiales……….………….76

2-e) Schéma numérique de résolution du système d’équations moyennes.….………...77

2-f) Organigramme de résolution du système global………...80

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I. INTRODUCTION………...83

II. ÉVALUATION DES TERMES SOURCES………..…....84

III. VALIDATION ET INTERPRETATION………88

1. Paramètres de l’écoulement à la vanne………...……….……..88

2. Paramètres de l’écoulement au milieu de la conduite……….………..90

3. Effet de l’approximation polynomiale du profil de vitesse ……….92

4. Profils de vitesse des différentes approximations………...……….... .98

5. Profils de vitesse des différentes approximations………101

IV. CONCUSION………106

CONCUSION GÉNÉRALE……….…107

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NOTATIONS ET SYMBOLES

Symboles latins

Symbole

Unité

Définition

a

m/ s Célérité du coup de bélier

A

m2 Section transversale de la conduite

j

a

m/s Coefficients du profil de vitesse *

C -- Coefficient de Vardy

P

C

J/(mol.°K) Chaleur spécifique à pression constante

)

(



C

-- Courbes caractéristiques

ij

d

s-1

Tenseur des taux de déformations

D

m Diamètre de la conduite

H

D m Diamètre hydraulique de la conduite

E

N/m2 Module d’Young du matériau

e

m Épaisseur de la paroi de la conduite

)

(V

f

m/s Loi de fermeture de la vanne.

L

m Longueur de la conduite

r

e



-- Direction radiale

x

e



-- Direction axiale





e

-- Direction angulaire

g

m/s2 Accélération de la pesanteur ij

G

-- Matrice de passage r

H

m Hauteur piézométrique au niveau du réservoir

ij

H

s Matrice de passage

i

-- _{Nombres entiers /}

_i



₀

_,

₁

_,

₂

_,...,

_(dim(

_J

₎



₁

₎

(13)

12

j

--

_j



_N

_,

_j



₂

J

-- _Ensemble/

_J





_j

_/

_j



_N

_,

_j



₂



l

-- Indice d'incrémentation spatial

L

m Longueur de la conduite

P

N/m2 Pression hydrostatique

r

P

N/m2 Pression imposée par le réservoir.

q

J/ s Le flux de chaleur échangée

r

m Coordonnée radiale

r m Coordonnée radiale adimensionnelle

R

m Rayon de la conduite

s

J/°K Entropie du fluide

i

S

m/s2 _{Termes sources pour}

i



0 ,

1 ,

2 ,...,

(dim(

J

)



1 )

t

s Variable temps

T

°K Température

f

T

N/m2 Terme de frottement

v m/s Vecteur vitesse instantanée

HP

v

m/s Vitesse de l’écoulement de Poiseuille

r

v m/s Coordonnée radiale de la vitesse

x

v m/s Coordonnée axiale de la vitesse



v m/s Coordonnée angulaire de la vitesse

)

,

( t

x

V

m/s Vitesse moyennée

i

V

m/s Vitesses moyennes pondérées pour

i



0 ,

1 ,

2 ,...,

(dim(

J

)



1 )

x

m Coordonnée suivant l’axe de la conduite

Symboles Grecs



-- Coefficient de dilatation volumique à pression constante 1

 -- Coefficient du modèle de Safwat et Polder 1

 -- Coefficient du modèle de Safwat et Polder

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13

ij

 -- Symbole de Kronecker





-- Variation relative du périmètre



N/ m2 Module de compressibilité du fluide à entropie constante



-- Facteur de frottement de Darcy-Weisbach



N.s/ m2 Viscosité dynamique du fluide  m2.s Viscosité cinématique du fluide



Kg/m3 Masse volumique du fluide



 N/m2 Tenseur des contraintes

f

 N/m2 _{Contrainte de cisaillement}

w

 N/m2 Contrainte de cisaillement pariétal

ij



N/m2 Tenseur des contraintes visqueuses

v

 m Laplacien du vecteur vitesse instantanée



-- Déterminant

v

 (ms)-1 laplacien du vecteur vitesse instantanée

r



m Pas suivant

e

r



t



s Pas en temps

x



m Pas dans l’espace suivant

e

x



Abréviations

det Déterminant dim dimension H.P Écoulement de poiseuille ) , ( tx

T_f Terme général de frottement

)

,

( t

x

T

_fp Composante du frottement liée au caractère permanent de l’écoulement

) , ( tx

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LISTE DES FIGURES

Figure I-1 : schéma de l’installation... ………..………24

Figure I-2 : Évolution de la perturbation du coup de bélier……….……….29

Figure I-3 : Changement temporel de la pression à la vanne…...………30

Figure I-4a) Cas de fermeture rapide de vanne a L t_f 2 ……....……….32

Figure I-4b) Cas de fermeture lente de la vanne

a

L

t

_f



2

………... .32

Figure I-5 : Allure de la surpression P due à la fermeture de la vanne………..33

Figure II-1 : Géométrie de la conduite...44

Figure III-1 : courbes caractéristiques………...71

Figure III-2 : maillage du plan

(

x

,

r

,

t

)

...72

Figure III-3 : Schéma du maillage de la conduite...73

Figure III-4 : maille élémentaire………....74

Figure III-5 : maille côté réservoir……….………....77

Figure III-6 : maille intérieure………..……….………....78

Figure III-7 : maille côté vanne………..……….………..78

Figure IV-1 : Évolution de la perturbation pression à la vanne ………..88

Figure IV-2 : Évolution de la perturbation de la pression au milieu de la conduite………….89

Figure IV-3 : Évolution de la vitesse moyenne au milieu de la conduite en fonction du temps………...90

Figure IV-4 : Évolution de la contrainte de cisaillement pariétal au milieu de la conduite en fonction du temps……….91

Figure IV-5 : Évolution de la pression à la vanne du modèle proposé pour les dimensions 3, 5, 7, 8, 10 et du modèle quasi-stationnaire……….92

Figure IV-6 : Évolution de la pression à la vanne du modèle proposé pour les dimensions 3, 4, 5, 6, 7 et du modèle quasi-stationnaire ………...92

Figure IV-7 : Évolution de la pression au milieu de la conduite du modèle proposé pour les dimensions 3, 5, 7, 8, 10 et du modèle quasi-stationnaire………93

Figure IV-8 : Évolution de la pression au milieu de la conduite du modèle proposé pour les dimensions 3, 4, 5, 6, 7 et du modèle quasi-stationnaire………...93

Figure IV-9 : Évolution de la vitesse au milieu de la conduite du modèle proposé pour les dimensions 3, 5, 7, 8, 10 et du modèle quasi-stationnaire………94

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15

Figure IV-10 : Évolution de la vitesse au milieu de la conduite du modèle proposé

pour les dimensions 3, 4, 5, 6, 7 et du modèle quasi-stationnaire………..94

Figure IV-11 : Évolution de la contrainte pariétale au milieu de la conduite du modèle proposé pour les dimensions 3, 5, 7, 8, 10 et du modèle quasi-stationnaire…....95

Figure IV-12 : Évolution de la contrainte pariétale au milieu de la conduite du modèle proposé pour les dimensions 3, 4, 5, 6, 7et du modèle quasi-stationnaire…...…95

Figure IV-13 : Figure IV-13 : Profils de la vitesse instantanée au milieu de la conduite

pour les ensembles Ja, Jb, Jc et Jd……….97

Figure IV-14 : Figure IV-13 : Profils de la vitesse instantanée au milieu de la conduite

pour les ensembles Je, Jf, et Jg……….98

Figure IV-15 : Instants sélectionnés pour le traçage des profils de la vitesse

instantanée au milieu de la conduite……….…99

Figure IV-16 : Profils de la vitesse instantanée au milieu de la conduite

à l’instant t L/( a2 )………..100

à l’instant t 3L/(2a)………101

à l’instant t 5L/(2a)………102

à l’instantt 7L/(2a) ………103

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LISTE DES TABLEAUX

Tableau I-1 : valeur PenBarsen fonction du type du matériau ……… ..33 Tableau IV-1 : caractéristiques de l’installation………....82

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INTRODUCTION GÉNÉRALE

Le travail présenté concerne la modélisation théorique et numérique des profils radiaux de la vitesse axiale et de la contrainte pariétale de cisaillement dans les écoulements laminaires et transitoires en conduites, pour simuler, les phénomènes de coup de bélier.

Ce code de calcul numérique proposé repose, plus essentiellement, sur une technique de couplage d’une méthode de développement en séries polynomiales des profils radiaux de la vitesse axiale instantanée et de la méthode des caractéristiques dans le plan espace- temps.

Ce travail s’organise comme suit :

 Le premier chapitre est consacré à l’étude bibliographique, pour mettre en exergue, l’état d’avancement de la recherche et de développement de la modélisation de l’interaction fluide structure de la paroi de la conduite, au niveau du frottement et de la dissipation de l’énergie lors de transport de fluide dans les canalisations.

 Le second chapitre traitera de la formulation mathématique du problème à l’aide des équations de base de la mécanique des fluides (conservation de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie, rhéologie,…) associées aux conditions initiales (régime permanent pour le fluide et équilibre pour la paroi) et aux conditions aux limites.

 Le troisième chapitre sera consacré à la présentation de la méthode résolution numérique du problème. Cette technique est, essentiellement, basée sur le couplage d’une méthode de développement en séries polynomiales des profils radiaux de la vitesse axiale instantanée et de la méthode des caractéristiques.

 Enfin, dans le quatrième chapitre, nous présentons les résultats obtenus par ce modèle et leur validation à l’aide de résultats expérimentaux et numériques trouvés dans la littérature.

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18

CHAPITRE I :

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I. INTRODUCTION

1. Théorie du coup de bélier

Lorsque, dans un réseau de canalisations qui transporte un fluide, on modifie localement les conditions aux limites de l’écoulement (mise en route ou arrêt d’une pompe, manœuvre d’une vanne, …etc.), on introduit, alors, dans l’écoulement des discontinuités qui portent sur les paramètres eux-mêmes (pression, vitesse) ou sur leurs dérivées [01, 02, 03, 04]. En raison de l’élasticité du matériau de la conduite et de celle du fluide, cette discontinuité se propage de proche en proche avec une célérité souvent, très élevée comparée à celle de l’écoulement. Cette perturbation affecte, ainsi, rapidement une zone étendue de l’écoulement considéré.

La perturbation, ainsi générée, peut avoir une amplitude très importante et se propage suivant une onde de choc dans le fluide. En hydraulique, c’est sous le vocable de coup de bélier que l’on regroupe l’ensemble de ces phénomènes et cette désignation a pour origine les variations brusques de pression qui sont souvent observées expérimentalement et numériquement, si la modification du débit est brutale. Les perturbations correspondantes peuvent se révéler très dangereuses et causer d’énormes dommages matériels aux installations hydrauliques. En effet, lors de la production de ces phénomènes, il peut y avoir une augmentation brusque de la pression ce qui, sous contraintes exagérées, conduirait à la plastification du matériau de la conduite et à son endommagement. Au contraire, une chute exagérée de la pression au dessous de la pression de vapeur saturante conduirait à la vaporisation du fluide et à sa cavitation. Ce dernier phénomène se traduit par la formation et l’implosion de bulles de vapeur dans la conduite. Ce phénomène assez complexe conduirait à l’écrasement et à l’érosion de la paroi de la conduite, à la destruction des joints d’étanchéité et à la pollution.

De part leur nature, et hormis les cas particuliers de résonance, les phénomènes liés à l’élasticité du milieu s’amortissent rapidement (quelques allers et retours d’onde) conduisant, soit à un nouveau régime permanent, soit, en présence de surfaces déformables, à des mouvements d’ensemble le plus souvent de caractère oscillatoire que l’on peut analyser directement en faisant abstraction de l’élasticité du milieu.

L’expression coup de bélier est souvent utilisée pour les liquides et spécialement pour l’eau. Cette appellation provient de la similitude des bruits provoqués par ce phénomène et celui dû à des coups de marteau donnés à la conduite (Waterhammer). Cette appellation

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‘coup de bélier‘ est utilisée quand, dans la formulation mathématique du problème d’écoulement en conduite, on prend en compte le caractère élastique du matériau et la compressibilité du fluide. Si ces facteurs ne sont pas pris en compte, on dit que l’on a une situation d’oscillation de masse.

Si le phénomène transitoire est périodique, on parle d’écoulement pulsatoire ou oscillatoire ou, tout simplement, périodique. Dans ce cas, les conditions d’écoulements varient avec le temps et se répètent identiquement après un intervalle de temps appelé période d’oscillations.

Généralement, l’étude des régimes transitoires peut être traitée :

 Soit de façon générale avec prise en compte de l’élasticité du milieu, ce qui conduit à une évaluation précise des paramètres (pression, vitesse,…etc.) en chaque point du fluide et quelque soit l’instant considéré.

 Soit de façon simplifiée en supposant le fluide incompressible et la conduite indéformable, d’où une estimation de valeurs moyennes, concernant les mouvements d’ensemble des domaines fluides considérés.

L’étude du phénomène du coup de bélier a fait, depuis presque un siècle et demi, l’objet d’une succession de travaux tendant à dégager de la théorie mathématique, des formules pratiques pour ses divers effets. Ceci a pris, dans ces dernières années, un intérêt particulier en raison de l’importance exceptionnelle des conduites amenant les forces hydrauliques aux puissantes usines d’énergie électrique, il parait donc utile, au point de vue de l’art de l’ingénieur, de faire l’inventaire de ces travaux et d’en indiquer sommairement les résultats.

Menbrea en 1858, paraît avoir été le premier à étudier le travail de la dilatation élastique d’un tuyau et de la compression de la colonne liquide qu’il contient pour l’absorption d’une quantité d’énergie donnée. Il admettait que le coup de bélier pouvait faire travailler la paroi du tuyau jusqu'à sa limite d’élasticité [05].

G. Hacker publia, en 1870 une formule exprimant la réaction maximum et fit des expériences au moyen de divers robinets. Une étude de A. Castigliano, sur le même objet, fut publiée en 1874 [05].

Deux ans plus tard, en 1876, les recherches de Marey sur les pulsations artérielles et ses expériences sur les petits mouvements de l’eau dans un tuyau, de caoutchouc amenèrent H.Resal a en calculer, par une analyse très simple, la formule de propagation ondulatoire , comme il considérait une colonne liquide sans écoulement contenue dans un tube élastique,

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mince et dépourvu de tension longitudinale, il était fondé à négliger les actions mutuelles des annaux et il pouvait négliger la compressibilité du liquide et admettre le parallélisme des tranches [05].

En 1878, Koteweg publia une analyse plus complète du phénomène ; se préoccupant de la propagation du son, il devait tenir compte de la compression de l’eau [05].

En 1878, M.Michaud avait publié ses travaux sur les coups de bélier dans les tuyaux à propos de la conduite du funiculaire de Lausanne à Ouchy et noté le caractère oscillatoire du phénomène [05].

Stodola, dans l’étude sur la régularisation des turbines qu’il fit paraître en 1893-1894, s’attacha à simplifier les équations du problème, de manière à aboutir à des formules pratiques que les hypothèses faites ne permettent pas d’accueillir sans réserves, notamment en ce qui concerne le volume à donner aux réservoirs d’air [05].

Les premières expériences des ingénieurs sur les effets du coup de bélier ne s’éclairèrent pas des travaux théoriques précités, les observations ne portèrent que sur des longueurs faibles de conduites et, dans ces conditions, le relèvement de la pression semblait se produire instantanément dans tout le tuyau, parce que sa propagation s’effectue avec une vitesse considérable (1400 m/s). Ce vice d’expérimentation affecta notamment les essais réitérés des Américains, B.Westan en 1884 (conduite de 37 m), de B.Russel en 1889 du Sibley Collège, sous la direction de Carpenter, en 1892-1893 (conduites de 50 m et 125 m) [05].

En 1887, Jean Barre de Saint Venant a publié les équations fondamentales régissant l’écoulement non permanent [06].

La solution définitive du problème a été donnée par Lorenzo Allievi [02] (mort en 1942) dans un mémoire magistral intitulé "Teoria General Del Moto Perturbato Del L’acqua Nei Tubi Impressione" publié en 1903 dans les annales de la société des ingénieurs et architectes Italiens.

Le nom d’Alliévi est resté lié à la théorie des écoulements non permanents dans les conduites en charge, car sa présentation analytique est un chef-d’œuvre d’élégance et de clarté mathématique. Celle-ci a ensuite été raffinée par différents auteurs en étudiant son application aux problèmes particuliers posés par les conditions usuelles de la pratique courante telles que les conduites forcées, les conduites de refoulement,…..etc. [06]

Joukowsky, de l’Université et de l’institut technique de Moscou, parait avoir, le premier, procédé avec toute l’ampleur et toute l’exactitude nécessaires aux études théoriques et aux expériences susceptibles d’élucider pleinement les questions relatives au coup de bélier. Mais

(23)

22

son travail, publié seulement en russe à l’origine (1898) et traduit deux ans plus tard en allemand, n’a pas trouvé dans les milieux Scientifiques et techniques la diffusion immédiate qu’il méritait, et il n’a trouvé une mention explicite que dans l’Encyclopédie des Sciences Mathématiques, publié à Leipzig en Mai 1906 [08], [05].

Par la suite des ingénieurs praticiens ont développé des méthodes pour résoudre des formes simplifiées des équations principales de Saint VENANT en utilisant particulièrement des méthodes d’intégration graphique et numérique [09], [06].

Ainsi, Othmar Schnyder a été le premier à établir une méthode graphique pour solutionner le problème d’écoulement non permanent dans les conduites de refoulement des pompes en 1929. Il a étendu ensuite cette méthode aux cas de systèmes en charge quelconques, particulièrement, aux conduites alimentant les turbines.

Bergeron a trouvé en 1933 la même méthode appelée « Méthode de Bergeron » et qui fut employée universellement dans la pratique pendant plusieurs années. En 1937, Bergeron a montré que la méthode graphique établie pour le calcul des ondes du coup de bélier est applicable à d’autres problèmes de la théorie d’élasticité et d’électricité. Cette méthode est développée dans son ouvrage publié en 1949 ayant pour intitulé "Du coup de bélier en hydraulique au coup de Foudre en électricité". Il est à noter que le principe de la méthode avait été donné par Kreitner et Lowy en 1928. L’avantage des méthodes d’intégration graphique est à mener l’analyse à une compréhension approfondie du phénomène physique. Aujourd’hui avec l’arrivée des ordinateurs et l’accroissement constant de leur puissance, ces méthodes ont évidemment été remplacées dans la pratique courante par des méthodes numériques [03].

Monge a, déjà en 1789, développé une méthode graphique pour intégrer des équations hyperboliques aux dérivées partielles qu’on nomme "la méthode des caractéristiques ou la méthode d’intégration numérique". Cette méthode a, ensuite, été adaptée et retravaillée de façon à permettre son implantation sur les calculateurs numériques.

Chaudry, en 1987, a présenté une description complète de cette méthode de calcul [10]. La méthode des caractéristiques a été développée par Streeter V.L. (USA 1966) et Vichnievsky K.P. (URSS 1965). Encore aujourd’hui, cette méthode est largement utilisée et demeure extrêmement populaire bien qu’elle présente certaines faiblesses pour le calcul des écoulements transitoires dans des systèmes hydrauliques très complexe. Par ailleurs, pour pallier à ces insuffisances, on procède soit aux meilleures méthodes d’interpolation, soit à l’utilisation des schémas numériques de différences finis ou d’éléments finis.

(24)

23

Les méthodes numériques, lorsqu’elles sont soigneusement appliquées, donnent des résultats très satisfaisants pour le calcul des écoulements en régime transitoire.

2. Importance du phénomène de coup de bélier

Le coup de bélier est, traditionnellement lié au saut de pression dû à l’onde de choc induite dans l’écoulement par manipulation brusque. Comme, il a été signalé plus haut, il est difficile de donner une liste exhaustive des dommages et des conséquences de ce phénomène sur les réseaux hydrauliques résidentiels ou industriels.

La force induite par le coup de bélier peut entraîner la rupture des conduites ou causer des fuites au niveau des joints d’étanchéité, des pompes, vannes, robinets….

Les installations dans lesquelles des coups de bélier sont susceptibles de se produire se retrouvent dans un champ assez vaste d’activités : aqueducs, stations de pompage, centrales hydroélectriques, refoulement des eaux usées, transport d’hydrocarbures, boucles thermiques (calo ducs), systèmes de refroidissement, montages et procédés industriels, centrales nucléaires, systèmes d’irrigation….. etc.

Les ondes de chocs ou de bélier typiques dans les conduites d’eau se propagent avec des célérités qui peuvent atteindre 1500 m/s dans les matériaux rigides et peuvent exercer des pressions instantanées excessives de l’ordre de 70 bars.

Il est donc capital de prévoir et d'étudier ces phénomènes transitoires afin de réduire leurs effets par l'utilisation de dispositifs spéciaux et le dimensionnement correct des différents composants d'une installation. Pour cela, il est nécessaire d’analyser et de comprendre un ensemble de phénomènes qui évoluent et dont la prévision s’avère difficile dès que le réseau examiné devient un peu complexe.

Dans le cas de l’eau en écoulement dans une conduite, la fermeture soudaine de vanne, produirait un flux d’eau de direction inverse crée une onde choc oscillatoire qui doit être dissipée jusqu’à un état d’équilibre. Selon l’ampleur de l’onde choc, un bruit peut être entendu dans les conduites longues et se déplace pendant que l’onde choc s’absorbe. S’il n’y a pas de frottement, l’onde choc peut continuer à osciller infiniment.

La prévision appropriée de la pression pendant les coupures rapides est importante pour la conception des composants du conduit afin de s’assurer qu’aucun dommage ne touchera l’installation.

(25)

24 L’étude des écoulements transitoires vise donc :

 A apprécier la réaction des réseaux d’eau sous pression durant les écoulements transitoires.

 A déterminer les zones à risque, c'est-à-dire là où les pressions en régime non permanent dépassent les limites prescrites.

 A prévoir les dispositifs nécessaires et adéquats de protection.

Citons par exemple, l’accident produit le 17 juin 1998 aux Etats-Unis. La centrale nucléaire de Washington chargée du système de protection anti-feu a connu un sévère coup de bélier qui a entraîné la rupture de la vanne d’isolement et donc l’inondation de plusieurs secteurs comprenant le réacteur principal et la pièce du système de refroidissement du noyau d’urgence causant, ainsi plusieurs dommages au niveau des équipements de cette pièce.

Donc l’étude du phénomène des écoulements transitoires sous charge vise à déterminer si la pression dans l’ensemble d’un système, suite à une perturbation de l’écoulement, est à l’intérieur des limites prescrites.

Evidemment, en définissant l’étendue d’une étude de coups de bélier, on prévoira l’examen des variations de débit et de pression qui résultent de mauvaise opération du système, de son opération normale et des opérations d’urgence. Le concepteur d’un système de transport de liquide sous pression aura avantage à effectuer le design du réseau en ne perdant jamais de vue les considérations du coup de bélier. En effet, certains choix judicieux au stade de conception peuvent minimiser l’étendue d’un éventuel problème de coup de bélier, et par conséquent, contribue à réduire le coût du système projeté.

3. Analyse physique du phénomène du coup de bélier

Pour une raison de simplicité et d’interprétation des résultats, nous nous limitons à un circuit équivalent constitué d’une conduite horizontale de diamètre nominal

D

, d'épaisseur

e

constante et de longueur

L

. Cette conduite de section circulaire , est ancrée à l'amont à un réservoir qui impose une pression constante

P

₀ correspondant à une hauteur piézométrique

(26)

25

Figure I-1 : schéma de l’installation

Pour expliquer le phénomène du coup de bélier, deux cas sont à considérer suivant que :

 Cas de fermeture instantanée de vanne,  Cas de fermeture progressive de vanne.

3-a) Cas de fermeture instantanée de vanne

En se limitant, dans ce cas au fluide parfait, c'est-à-dire en négligeant l’effet de la viscosité et en supposant que la vanne soit fermée instantanément au tempst0. Cette manœuvre, alors, entraîne la génération d’une onde de pression – dépression qui sera décrite suivant les quatre phases suivantes :

 Phase 01 : Dans cet état, la vitesse des particules liquides qui initialement était

V

₀

s’annule du fait que ces particules viennent buter contre cette vanne. Ceci a pour conséquence que toute l’énergie cinétique du liquide se transforme en travail de déformation du tuyau et du liquide, compression du liquide et dilatation de la paroi de la conduite (C’est justement cette compressibilité du liquide qui permet d’expliquer le coup de bélier).

La fermeture complète de la vanne, qui fait passer la vitesse de

V

₀ à zéro, provoque derrière elle une onde de surpression, alors que dans le reste de la conduite l’écoulement persiste à la vitesse

V

₀ et à la pression

P

₀. Cette onde se propage vers

(27)

26

l’amont avec une célérité

 

a . Au droit de la vanne, la pression devient

P

0





P

, où

P

 est l’augmentation de la pression

P

, donnée par la formule de Joukowsky [01] : 0

.

. V

a

P







Ou, en hauteur piézométrique :

g

V

a

H



.

0



Avec  : la masse volumique du fluide, g: l’intensité de la pesanteur et

a

la célérité du coup de bélier, donnée par la formule d’Alliévi [02] :

        E e D a . 1 1





Où :





: Module de compressibilité du fluide, 

e

: Épaisseur de la conduite,

 D : Diamètre nominal.

Cette vitesse est, pour un fluide donné, fonction de la nature du matériau.

Il est clair que les particules qui suivent immédiatement celles qui se sont immobilisées, sont stoppées à leur tour et ainsi de suite. Donc, l’onde de surpression (annulation de la vitesse et l’augmentation de la pression) se propagera à une vitesse

"a

"

, dite vitesse de propagation d’onde ou célérité, de la vanne vers le réservoir (Figure I-2b).

Une fois que toutes les particules du liquide se sont immobilisées dans la conduite et que cette dernière se soit complètement dilatée (une compression du liquide et une dilatation de la paroi de la conduite), la pression dans cette conduite sera P0 P1 supérieure donc à celle régnant dans le réservoir (juste à l’entrée de la conduite). Donc, au temps

a

L

t



, l’onde de surpression atteint le réservoir, et on a un état caractérisé par (Figure I-2c) :

Phase 1 :













1 0 1 1

0 P

P

V

(28)

27

Ainsi, le liquide qui a franchi à la vitesse

V

₀ l’entrée de la conduite entre

t



0

et

a

L

t



sert à compenser la variation de volume dû à la dilatation de la conduite.

 Phase 02 : Comme l’état à la fin de la phase 01 n’est pas un état d’équilibre, alors on enregistre un écoulement du liquide de la conduite vers le réservoir vidant ainsi la conduite du volume accumulé sous la surpression. La vitesse d’écoulement de l’eau dans la zone décomprimée est égale à

V

₀ mais de signe contraire, c'est-à-dire, elle est dirigée vers l’amont (réservoir). Dans ce cas, le diamètre tend à reprendre son état initial. En conséquence une énergie cinétique apparaît progressivement (Figure I-2d). Cette transformation s’effectue également sous forme d’une propagation par une onde de dépression qui a la même célérité

"a

"

et dirigée vers la vanne, qu’elle atteint au temps

a

L

t



2

Cette onde de dépression entraîne les variations suivantes :

























1 2 0 1 2

P

V

A la fin de la deuxième phase la conduite retrouve son diamètre initial et la pression devient

P

₀ et l’écoulement sera finalement caractérisé par (Figure I-2e) :

Phase 2 :













0 2 0 2

P

V

 Phase 03 : Comme le liquide continue toujours à s’écouler de la conduite vers le réservoir, au niveau de la vanne, ce liquide tend à se décoller de la vanne tout en produisant un abaissement de pression (une transformation de l’énergie cinétique en dépression), c'est-à-dire que l’onde de dépression au contact de la vanne se réfléchit sans changement de signe. Cette onde se propagera alors de la vanne vers le réservoir (Figure I-2f) avec les caractéristiques suivantes:





























1 2 3 0 2 3

P

V

(29)

28 Après un temps

a

L

t



3

, l’onde de dépression arrive au réservoir, l’eau sera immobilisée et la pression sera inférieure à la pression initiale, ce qui engendre une contraction de la conduite (Figure I-2g) et l’écoulement sera caractérisé par :

Phase 3 :













1 0 3 3

0 P

P

V

 Phase 04 : Comme la pression

P

₃ est inférieure à celle du réservoir qui est maintenue constante et égale à

P

₀, l’eau s’écoulera alors du réservoir vers la vanne, donc on assiste au remplissage de la conduite augmentant ainsi la pression dans la conduite de

1

0

P





à

P

₀. Cela vaut dire que l’onde de dépression se réfléchit sur la surface libre du réservoir en changeant le signe et devient une onde de surpression (ou compression). La vitesse du liquide sera égale, à ce moment à

V

₀ (Figure I-2h). Donc cette onde a les caractéristiques suivantes :



























1 3 4 0 3 4

P

V

Il est évident qu’une fois la dépression







P



aura été complètement supprimée, la conduite va reprendre son état initial et se retrouvera donc dans les mêmes conditions que celles qui existaient juste à la fermeture de la vanne (Figure I-2i).

Par conséquent, au temps

a

L

t



4

, on a un écoulement identique à l’écoulement de l’état initial, caractérisé par:

Phase 4 :









0 4 0 4

P

V

On peut donc conclure que le phénomène est périodique de période

a

L

t



4

.

Dans la figure I-2, on donne une récapitulation de l’évolution de la dilatation, de la contraction de la conduite et du saut de pression, lors du passage de l’onde de coup de bélier.

(30)

29

Évolution de la déformation de la conduite

Évolution du saut de pression

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

(31)

30 (g)

(h)

(i=a)

Figure I-2 : Illustration de l’évolution de la perturbation du coup de bélier

Il résulte de cette interprétation que le phénomène se reproduira théoriquement à l’infini (Figure I-3a). Mais en réalité, l’amortissement du phénomène est dû aux pertes de charge par frottement et à la dissipation d’une partie de l’énergie du liquide dans le réservoir (Figure I-3b).

(32)

31

Figure I-3 : Changement temporel de la pression à la vanne.

3-b) Cas de fermeture progressive de vanne

La célérité de l’onde est, généralement, dans les matériaux rigides de l'ordre de 1

1000 

 ms

a , alors que la vitesse maximale dans une conduite forcée se situe à 1

0

3

6





à

ms

V

. Par conséquent, la surpression peut atteindre des valeurs types de 300 à 600 m de colonne d'eau, ce qui correspond, à 30 et 60 bars. Des conduites devant résister à de telles surpressions auraient des dimensions excessives.

Le moyen de réduire ces pressions est de considérer des manœuvres progressives, c'est-à-dire de varier graduellement la fermeture de la vanne. La manoeuvre la plus simple est linéaire en temps. Soit

t

_f



0

le temps de fermeture de la vanne.

Deux cas sont envisageables:  fermeture rapide,

a L t_f 2 .

(33)

32  fermeture lente, où

a L t_f  2 .

La figure I-4a représente différentes étapes de la progression de l'onde en négligeant les effets de frottement et de la variation de pression sur le débit. Il apparaît que la surpression à la vanne n'est pas diminuée par une fermeture rapide. Pendant la période

a L t a L 2   , elle

s'élève à la valeur correspondant à l’expression donnée en hauteur piézométrique par joukowsky, c'est-à-dire :

g V a h_max  . 0 _. La pente de la ligne de surpression est :

 

_{ }

f f _g_t V t a g V a . . / . tan 0   0      



Par contre, la partie amont de la conduite est soulagée, c'est-à-dire le saut de pression y est modéré. Ce soulagement s'étend sur une longueur a.tf /2 et la surpression varie

linéairement de zéro à l'entrée de la conduite avec un maximum maxh auprès de la vanne.

L'onde de pression résultant d'une fermeture lente de la vanne est représentée dans la figure I-4b. Il est supposé que les caractéristiques de la galerie et de la conduite forcée sont identiques au cas de la figure I-4a. Lorsque l'onde de pression atteint son maximum à la vanne, l'onde de dépression (revenant de l'amont) a déjà une certaine valeur.

Le maximum de surpression se produit à la vanne au temps

a L t_f 2 et vaut donc : f

t

g

LV

h

.

2 max



0 ,

a

L

t

f



2

.

(

I



1 )

L'équation (I-1) est attribuée à Stucky [11] et indique que la surpression maximale est inversement proportionnelle au temps de fermeture. Une fermeture lente permet donc d'obtenir une appréciable diminution de la surpression, à condition d'envisager des temps de fermeture très longs. Typiquement, il faut considérer

30

2 .

10 



L

t

a

f

pour que

h

max

soit

plus petit que

30 m

. Pour une longueur de conduite de

L



5000

m

, cela conduit à

s

t

f



200

.

(34)

33

Des fermetures aussi lentes ne sont pas acceptables pour les turbines. Pour éviter cet inconvénient, la turbine peut être équipée d'un orifice compensateur (turbine Francis) ou d'un déflecteur (turbine Pelton).

Toutefois, le réglage de l'orifice compensateur est délicat et une perte d'eau importante doit être admise. L'introduction d'une chambre d'équilibre sur la conduite forcée est un remède radical et sûr. C'est cette solution qui est normalement adoptée, en plus d'une fermeture aussi lente que possible.

a) b)

Figure I-4 : a)Fermeture rapide de la vanne

a L

t_f 2 et onde de pression résultante (surpression hachurée); b) Fermeture lente de l’obturateur

a

L

t

_f



2

et onde de pression résultante (surpression hachurée)

(35)

34

Figure I-5 : Allure de la surpression P due à la fermeture de la vanne

4. Estimation de la surpression générée par le coup de bélier

A titre d’exemple, pour pouvoir donner une estimation de la surpression créée lors d’un coup de bélier, on applique la formule de Joukowski. Cette formule prend en compte de façon instantanée, les caractéristiques de l’installation étudiée.

On a, à titre d’exemple, pour une longueur des tubes 10 m, diamètre équivalent à 1/2”, tubes en acier, cuivre et PE-X avec vitesse de l’eauV₀ 2ms1. Nous reportons les valeurs de la vitesse de propagation de l’onde (a), des temps de manœuvres “brusque” tf (temps de

réaction) et de la surpression P extraite de la formule de joukowsky.

m en L 1 0 .  s m en V aenm.s1 tf enms PenBars Acier 10 2 1411 14,2 28,3 cuivre 10 2 1400 14,3 28 PE-X 10 2 885 22,6 18

Tableau I-1 : valeur PenBarsen fonction du type du matériau.

A partir des résultats illustrés sur le tableau ci-dessus, on constate que le saut de pression croît avec la rigidité du matériau de la conduite.

(36)

35

II. CONTRAINTE DE FROTTEMENT EN REGIME TRANSITOIRE

1. Introduction

Traditionnellement, la partie quasi-stationnaire de la contrainte de frottement est, généralement, introduite dans les protocoles d’évaluation de la perte de charge dans les réseaux hydrauliques. Cependant, la comparaison entre les résultats numériques et expérimentaux montre l’existence d’un écart assez significatif entre les calculs réalisés pour les modèles transitoires et ceux des formules de frottement stationnaire. Ces écarts sont, essentiellement, dûs aux grandes fluctuations des profils de vitesse dans chaque section transversale de la conduite. Ceci fut démontré par Zielke [12], Eichinger et Lein [13], Pezzinga [14], Brunone [15], Axworthy et autres [16].

Pour pallier à cette insuffisance, il est nécessaire d’élaborer des modèles transitoires physiquement basés sur les effets de dissipation, ce qui permet de donner une meilleure estimation de la contrainte pariétale et conduit à de bonnes prédictions quant à l’évolution de l’état des variables d’écoulement (pression, vitesse, température,..).

En raison du caractère hyperbolique du système d’équations aux dérivées partielles qui gouverne ce phénomène de propagation d’ondes de discontinuité dans le fluide, on utilise pour des raisons de stabilité numérique et de facilité d’interprétation physique, les modèles de calcul basés sur la méthode des caractéristiques associée aux différences finies.

Dans la littérature, l’expression de la partie instationnaire du terme de frottement diffère suivant les différentes approches adoptées par plusieurs auteurs que l’on peut, sans donner une liste exhaustive, globalement, classer en six groupes :

 Le terme de frottement dépend de la vitesse moyenne instantanée de l’écoulement

V

(Hino et AL [17], Brekke [08], Cocchi [14]).

V

et de l’accélération locale instantanée

t

V



_{(Daily et AL [19], Cartens et Roller}

[20], Safwat et Van Der Polder [21], Kurokawa et Morikawa [22], Shuy et Apelt [23], Golia [24], Kompare [25]).

V

et de l’accélération locale instantanée

t

V



_{et de l’accélération instantanée} convective

x

V



(37)

36

V

et de la diffusion 2 2

x

V



_{(Venatro [27], Svingen [28]).}

V

et des poids

W

(



)

de la vitesse antérieure (Zielke [12], Trikha [29], Achard et Lespinard [30], Arlt [31], Kagawa et AL [32], Brown [33], Yigang et Jin-Chao [34], Suzuki et AL [35], Schohl[36], Vardy [37], Vardy et AL [38] , Vardy et Brown [39, 40], Shuy [41], Zarzycki [42]).

 Le terme de frottement est basé sur la coupe de la vitesse instantanée de l’écoulement (Wood et Funk [43], Ohmi et AL [44], Bratland [45], Vardy et Hwang [46], Eichinger et Lein [13], Venatro [47], Silva-Araya et Chaudhry [48], Pezzinga [14]).

2. Expression générale du terme de frottement

T

f

(

x

,

t

)



T

fp

(

x

,

t

)



T

ft

(

x

,

t

)

(

I



2 )

Où :

)

,

( t

x

T

_fp

:

La composante du frottement liée au caractère permanent de l’écoulement, qui peut s’écrire sous la forme :

2 )

,

(

x

t

V

T

fp





(

I



3 )

Avec :

 Pour un écoulement laminaire :

Re

64 



(

I



4 )

 Pour un écoulement turbulent, le coefficient



se déduit de l’équation de Colebrook [49] :































11 . 1

7 .

3 Re

4 .

6 log

8 .

1

1 D

r





(

I



5 )

(38)

37 Avec aussi :



D

V



Re

(

I



6 )

Où:





_r : Hauteur moyenne de rugosité de la surface interne de la conduite, 

D

: Diamètre de la conduite,



Re : Nombre de Reynolds,





: Viscosité cinématique du fluide,





: Facteur de frottement de Darcy-Weisbach, 

V

: Vitesse de l’écoulement.

3. Les modèles de frottement proposés dans la littérature

Dans la littérature, il y’a plusieurs modèles qui sont proposés dont on peut citer,

essentiellement, ceux de:

3-a) Modèle de Zielke

Ce modèle est développé analytiquement pour un écoulement laminaire transitoire [12]. La part transitoire du terme de frottement est liée aux fonctions poids de la vitesse antérieure dans la section de calcul :

'

)

'

,

(

)

'

(

)

(

.

4 )

,

(

)

(

.

8 )

,

(

0

dt

t

x

V

t

W

t

D

t

x

V

t

D

t

x

T

t f



















(

I



7 )

Où :





: Viscosité cinématique du fluide.



W

(t

)

: Fonction poids qui caractérise la répartition des profils de vitesse dans une section droite de la conduite.

En effectuant le changement de variable suivant: 2

.

4 D

t







(

I



8 )

(39)

38 



0.02





5 1

)

(

i ni

e

W



 Et pour : 





0 .

02 

 



6 1 2 / ) 2 (

)

(

i i i

m

W



Avec :

ni : des coefficients. Pour i= (1,…,5) ; ni= (-26.3744, -70.8493, -135.0198, -218.9216,

-322.5544).

mi : des coefficients. Pour i= (1,..,6) ; mi= (0.282095, -1.25, 1.057855, 0.9375,

0.396696, 0.351563).

Bien qu’il est linéaire, le modèle de Zielke [12] nécessite une capacité de stockage grande de l’ordinateur et un temps de calcul assez laborieux. Il a été modifié par plusieurs chercheurs pour améliorer l’efficacité informatique et pour développer des fonctions poids pour l’écoulement turbulent transitoire.

Trikha [29] a déterminé une expression approximative pour le frottement transitoire basée sur la solution de Zielke [12]. L’utilisation de cette expression approximative nécessite moins de temps de calcul que l’expression exacte. Les résultats obtenus par Trikha [29] coïncident avec ceux obtenus par Zielke [12].

3-b) Modèle de Cartens et Roller

En 1959, Cartens et Roller [20] ont dérivé une expression pour le frottement transitoire assimilant que les profils de vitesse pour l’écoulement turbulent permanent et transitoire sont similaires. Un terme proportionnel à l’accélération locale instantanée est ajouté au terme de frottement permanent. L’expression déterminée est de la forme :