Relation entre contrainte et d´eformation

But : Relation constitutive entre contrainte et d´eformation pour fermer le probl`eme.

– ´ Elasticit´e : relation lin´ eaire entre contrainte et d´eformation. (Loi de Hooke, 1676).

– R´eversibilit´e.

– Les co´efficients de proportionalit´e d´ependent pour certaines roches de la direction selon laquelle on regarde (notion d’ anisotropie ).

– Valable uniquement pour des d´eformations mod´er´ees.

PSfrag replacements

σ

seuil de plasticit´ e seuil de rupture

con train te

d´ eformation

domaine ´ elastique domaine plastique

Questions :

– Au niveau des sources sismiques, comportement r´eversible ou irr´eversible ? – Et pour les r´egions visit´ees par les ondes sismiques ?

4 Cycle sismique d’une faille active

a) Situation au d´ebut d’un cycle, imm´ediatement apr`es un s´eisme majeur (contraintes r´e´equilibr´ees)

b) Mat´eriau sous contrainte tectonique, mais le seuil de rupture n’a pas ´et´e at-teint. Glissement asismique.

c) Apr`es la rupture. D´ecalage.

Table des mati` eres

1 Introduction 1

1.1 D´efinition . . . . 1

1.2 La rupture . . . . 1

1.3 Les diff´erents types de faille . . . . 2

1.4 Magnitude . . . . 2

1.5 Fr´equence . . . . 3

1.6 La sismicit´e mondiale . . . . 4

2 Observations des failles actives 4 2.1 Observations g´eologiques . . . . 4

2.2 Observations sismologiques . . . . 5

2.3 Sismom`etres . . . . 5

2.4 Distribution des stations . . . . 6

2.5 Sismogrammes . . . . 6

2.6 Interpr´etation . . . . 6

3 M´ ecanique des milieux continus 7 3.1 Introduction – D´efinition . . . . 7

3.2 Notion de contrainte . . . . 7

3.3 Notion de d´eformation . . . . 8

3.4 Relation entre contrainte et d´eformation . . . . 8

4 Cycle sismique d’une faille active 8

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

Sismologie (II)

1 Les ondes sismiques

1.1 Introduction

Une onde : propagation d’´energie sans propagation de mati`ere.

Les ondes sismiques sont des ondes ´elastiques dans les r´egions solides de la Terre, et des ondes acoustiques dans ses r´egions fluides.

1.2 Les ondes ´ elastiques de volume

Solide lin´eaire, ´elastique, homog`ene et isotrope.

Ondes de compression : ondes P Ondes de cisaillement : ondes S

wavelength : longueur d’onde.

1.3 Polarisation des ondes de volume

Vecteur d’onde : vecteur qui indique la direction dans laquelle l’onde se propage. Souvent not´e ~k (ou ˆ k).

– Le d´eplacement induit par le passage de l’onde P est dans la direction de propagation (//

vecteur d’onde) : c’est une onde longitudinale.

– Le d´eplacement induit par le passage de l’onde S (SV+SH) est dans le plan orthogonal au

vecteur d’onde : c’est une onde transversale.

1.4 Vitesse de propagation des ondes de volume

Notations : α (resp. β) est la vitesse de propagation des ondes P (resp. S).

α = s

κ + 4/3µ

ρ , β =

r µ ρ avec :

– κ : module d’incompressibilit´e. En Pa. Granite : 3, 8.10 ¹⁰ Pa ; Eau : 0, 2.10 ¹⁰ Pa.

– µ : module de rigidit´e. En Pa. Granite : 1, 6.10 ¹⁰ Pa ; Eau : 0 Pa → β = 0 : un fluide ne peut pas ˆ etre cisaill´ e.

– ρ : masse volumique.

A retenir : ` α/β n’est jamais tr`es loin de √

3. Dans la croˆ ute, α ' 6 km.s ^{− 1} Loi empirique de Birch : La vitesse varie lin´eairement avec la densit´e

α = a + bρ.

1.5 Les ondes de surface

Ondes guid´ees `a la surface de la Terre.

Ondes de Love

Analogue en surface des ondes SH. Vitesse ' 0, 96β .

Ondes de Rayleigh

Mouvement elliptique r´etrograde. Analogue

en surface de P + SV . Vitesse ' 0, 92β .

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

2 Propagation des ondes de volume

2.1 Notion de surface d’onde – Principe de Huygens

Surface d’onde : surface (quand elle existe) d´efinie par un ensemble de points vibrant en phase, atteints au mˆeme instant apr`es ´emission `a la source.

Le vecteur d’onde est normal `a la surface d’onde ( wave-front ).

Principe de Huygens (1678) : Chaque point d’une surface d’onde atteint ` a un instant t peut ˆetre consid´er´e comme une source secon-daire qui ´emet des ondelettes sph´eriques. ` A un instant post´erieur

`

a t, la nouvelle surface d’onde est l’enveloppe des surfaces d’onde

´emises par les sources secondaires. Huygens, Christian

(1625–1695)

Onde plane :

Onde sph´erique :

2.2 Comportement d’une onde ` a l’interface entre 2 milieux

2.2.1 Rappels d’optique

Dans un milieu homog`ene d’indice n, la lumi`ere se propage en ligne droite ` a la vitesse c/n.

Lois de Snell–Descartes `a l’interface entre 2 milieux pour d´eterminer les angles de r´eflexion et de r´efraction :

PSfrag replacements

R´esultat bas´e sur le principe de Fermat [cf.

TD].

Si n d´epend de la longueur d’onde :

2.2.2 En sismologie

Il peut y avoir conversion P → P+SV, SV → P + SV. Une onde SH reste SH. Les lois de Snell–Descartes s’appliquent.

Cas plan :

PSfrag replacements α ₁

α ₂ β ₁

β ₂

Onde incidente SH

Onde r´ efl´ echie SH

Onde r´ efract´ ee SH

r

PSfrag replacements α ₁ i

α ₂ β ₁

β ₂

Onde incidente P

P p est le param` etre du rai . Ce param`etre contrˆ ole la g´eom´etrie du rai sismique quand celui-ci traverse des milieux de vitesse diff´erente. Le long d’un rai donn´e, p reste constant.

Transmission et r´eflexion : une partie de l’´energie est transmise, et son compl´ementaire est r´efl´echi. Dans le cas d’une onde P en incidence normale (i = 0), on montre que :

A r – A i : amplitude de l’onde incidente,

– A r : amplitude de l’onde r´efl´echie, – A t : amplitude de l’onde transmise.

Le param`etre pertinent est l’imp´ edance (ρα) (masse volumique × vitesse). C’est le contraste

d’imp´edance entre les 2 milieux qui compte.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

Cas sph´erique :

Le param`etre de rai devient

p = r sin i V .

Si le milieu n’est plus continu par morceaux mais continu tout court :

α et β sont des fonctions de r.

Le rai se courbe. Si la vitesse augmente avec la profondeur, le rai remonte.

Q : Que se passe-t-il dans la Terre ?

3 Hodochrones

3.1 D´ efinition

Si on connaˆıt les profils radiaux de vitesse α(r) et β (r), on peut tracer les rais dans la plan`ete et construire les hodochrones as-soci´ees.

Une hodochrone est une courbe donnant le temps d’arriv´ee d’une onde ´emise par une source en fonction de la distance `a cette source ∆. ∆ s’exprime en degr´es.

PSfrag replacements

F

S

∆

Exemple dans le cas d’un gradient de vitesse constant :

Hodochrone :

3.2 Les hodochrones de la Terre

Leur observation a permis d’´eplucher la structure en oignon de la Terre. Les lettres que vous

voyez correspondent ` a diff´erentes phases sismiques.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

4 Phases sismiques terrestres

4.1 Les phases du manteau

Source : Princeton University

4.2 Les phases r´ efl´ echies ` a la FNM

Source : Princeton University

4.3 Les phases du noyau

4.4 Les phases de la graine

4.5 En r´ esum´ e

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

4.6 Quand on a l’œil

4.7 La zone d’ombre du noyau

Sa mise en ´evidence a permis d’´etablir son existence.

5 Mod` eles sismologiques de Terre

Donnent α(r), β(r), and ρ(r).

Exemple : le Preliminary Reference Earth Model (PREM) de Dziewonski & Anderson (1981).

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0

500

PSfrag replacemen ts

pressure (kbar) density (Mg/m ³ )

P-wave speed (km/s) S-wave speed (km/s)

depth (km) depth (km)

Mantle

Outer Core

Inner Core

NB : M L et C sont deux contraintes pour la construction de ce type de mod`ele.

6 Notions de tomographie sismique

6.1 Introduction

Id´ee : passer d’une description 1D (r) `a une description 3D (r, θ, φ). La tomographie sismique a pour but de fournir une carte tridimensionnelle de la vitesse des ondes sismiques dans la Terre.

PREM (ou un autre) sert de mod`ele de r´ef´erence.

On veut contraindre les h´et´erog´en´eit´es lat´erales de vitesse : α(r, θ, φ) = α ⁰ (r) + δα(r, θ, φ) – α ⁰ (r) est la vitesse de r´ef´erence,

– δα(r, θ, φ) est l’anomalie de vitesse.

δα/α 0 n’exc`ede jamais quelques %.

6.2 Comment faire ?

Une technique consiste `a mesurer des anomalies de temps de trajet pour contraindre les

anomalies de vitesse.

TUE232 Physique de la Terre – Terre Solide Sismologie (II)

Les tomographes travaillent sur une phase donn´ee (P,S, etc.) et utilisent plusieurs milliers (millions) de donn´ees de temps de trajet.

NB : Huygens → les anomalies lentes sont moins faciles ` a d´etecter que les anomalies rapides (wavefront healing).

6.3 Un exemple de tomographie d’ondes P

(figure tir´ee d’un papier de revue de Romanowicz, 2003, Annu. Rev. Geoph. Space Phys.

groupe de Van der Hilst, MIT)

– Vitesse rapide : mat´eriel chaud ou froid ? – Qu’observez-vous ?

– Qu’en d´eduisez-vous sur la convection dans le manteau ?

Table des mati` eres

1 Les ondes sismiques 1

1.1 Introduction . . . . 1 1.2 Les ondes ´elastiques de volume . . . . 1 1.3 Polarisation des ondes de volume . . . . 1 1.4 Vitesse de propagation des ondes de volume . . . . 2 1.5 Les ondes de surface . . . . 2

2 Propagation des ondes de volume 3

2.1 Notion de surface d’onde – Principe de Huygens . . . . 3 2.2 Comportement d’une onde `a l’interface entre 2 milieux . . . . 3 2.2.1 Rappels d’optique . . . . 3 2.2.2 En sismologie . . . . 4

3 Hodochrones 5

3.1 D´efinition . . . . 5 3.2 Les hodochrones de la Terre . . . . 6

4 Phases sismiques terrestres 7

4.1 Les phases du manteau . . . . 7 4.2 Les phases r´efl´echies `a la FNM . . . . 7 4.3 Les phases du noyau . . . . 7 4.4 Les phases de la graine . . . . 7 4.5 En r´esum´e . . . . 8 4.6 Quand on a l’œil . . . . 9 4.7 La zone d’ombre du noyau . . . . 9

5 Mod` eles sismologiques de Terre 10

6 Notions de tomographie sismique 10

6.1 Introduction . . . . 10

6.2 Comment faire ? . . . . 10

6.3 Un exemple de tomographie d’ondes P . . . . 11

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