Analyse II

Analyse II

Partie B

Calcul Diff´erentiel Equations Diff´erentielles

Ernst Hairer

Universite de Geneve Juin 1999

Section de mathematiques Case postale 240

CH-1211 Geneve 24

Table des matieres

I Calcul di erentiel dans les espaces de Banach 1

I.1 Rappel sur la di erentiabilite dans ^IRn . . . 1

I.2 Espaces de Banach et de Hilbert . . . 2

I.3 Applications lineaires . . . 4

I.4 Di erentiabilite dans les espaces normes . . . 8

I.5 Theoreme des accroissements nis . . . 10

I.6 Theoreme du point xe de Banach . . . 12

I.7 Theoreme d'inversion locale . . . 17

I.8 Theoreme des fonctions implicites . . . 20

I.9 Applications bilineaires et multilineaires . . . 22

I.10 Derivees d'ordre superieur . . . 23

I.11 Exercices . . . 26

II Maxima et minima relatifs et calcul de variations 33

II.1 Maxima et minima relatifs . . . 33

II.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . 35

II.3 Calcul de variations . . . 38

II.4 Problemes isoperimetriques . . . 42

II.5 Geodesiques des surfaces . . . 43

II.6 Exercices . . . 47

IIIEquations di erentielles ordinaires 51

III.1 Terminologie et quelques exemples . . . 51

III.2 Existence et unicite du probleme de Cauchy . . . 54

III.3 Theoreme de Peano . . . 56

III.4 Prolongement des solutions et existence globale . . . 59

III.5 Inegalites di erentielles et solutions approchees . . . 61

III.6 Systemes d'equations di erentielles lineaires . . . 64

III.7 Systemes lineaires a coecients constants . . . 67

III.8 Di erentiabilite par rapport aux valeurs initiales . . . 69

III.9 Stabilite . . . 72

III.10 Exercices . . . 78

IV.2 La fonction de Green . . . 86

IV.3 Problemes adjoints et auto-adjoints . . . 88

IV.4 Le probleme de Sturm{Liouville . . . 90

IV.5 Theoreme de comparaison de Sturm . . . 93

IV.6 Equations di erentielles avec des singularites . . . 95

IV.7 Exercices . . . 100

V Sous-varietes de

^IRn

105

V.1 Theoreme du rang . . . 105

V.2 Denition des sous-varietes de^IRn . . . 107

V.3 Espace tangent . . . 109

V.4 Equations di erentielles sur des sous-varietes . . . 110

V.5 Exercices . . . 111

Bibliographie 113

Avant-propos

Cette brochure est une version corrigee des polycopies distribues pendant le cours \Ana- lyse II, Partie B" (2 heures par semaine) donne en 1998/99. Plusieurs parties ont prote des notes de cours de Pierre de la Harpe. Les portraits sur la page de couverture (S. Banach (1892{1945) et D. Hilbert (1862{1943) a gauche, G. Peano (1858{1932) et C.-F. Sturm (1803{

1855) a droite) ont ete copies sur Internet par les soins de Stephane Cirilli (site http://www- groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Mathematicians/). Quelques gures (surtout celles avec un air artistique) ont ete produites en utilisant des programmes de Gerhard Wanner. Je remercie ces collegues sincerement.

En ce lieu, j'aimerais remercier Luc Rey-Bellet et Stephane Cirilli pour leur aide dans la preparation des exercices et pour leur lecture soigneuse d'une version preliminaire. Je tiens aussi a remercier mon ls Martin pour avoir verie l'orthographe de ces polycopies.

Bibliographie

AMR88] R. Abraham, J.E. Marsden and T. Ratiu, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Appl. Math. Sciences ⁷⁵, 2nd edition, Springer-Verlag, 1988.

Ar74] V. Arnold, Equations Dierentielles Ordinaires, Editions Mir (traduction francaise), Moscou, 1974.

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C67] H. Cartan, Calcul Dierentiel, Hermann, Paris, 1967.

D63] J. Dieudonne, Fondements de l'Analyse Moderne, Gauthier-Villars, Paris, 1963.

Fox] C. Fox, An Introduction to The Calculus of Variations, Dover Publications New York, 1987.

GH96] M. Giaquinta and S. Hildebrandt, Calculus of Variations I, Springer Berlin, 1996.

HW95] E. Hairer and G. Wanner, Analysis by Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer New York, 1995.

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H64] P. Hartman, Ordinary Dierential Equations, John Wiley & Sons, New York, 1964.

HS74] M.W. Hirsch and S. Smale, Dierential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic Press, 1974.

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Tr83] J.L. Troutman, Variational Calculus with Elementary Convexity, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer New York, 1983.

Calcul di erentiel dans les espaces de

Banach

Le calcul di erentiel dans IR et dans IRⁿ etait un des sujets traites au cours `Analyse I' (voir le livre HW95]). Le premier chapitre du cours `Analyse II' a comme but d'etendre ce calcul aux espaces plus generaux. Ceci nous permet non seulement d'obtenir des resultats plus generaux avec des applications interessantes, mais nous obtenons en m^eme temps une meilleure comprehension du calcul di erentiel dans IRⁿ.

Apres un rappel sur la di erentiabilite dans IRⁿ, nous donnons la denition d'un espace de Banach et nous discutons les di erences essentielles entreIRⁿ et les espaces de Banach de dimension innie. Nous etendons ensuite la notion d'application di erentiable aux espaces de Banach, nous donnons plusieurs exemples, et nous abordons les sujets suivants: le theoreme des accroissements nis, le theoreme du point xe de Banach, le theoreme d'inversion locale, ainsi que le theoreme des fonctions implicites.

I.1 Rappel sur la dierentiabilite dans

^IRn

Pour une fonction a une variablef : (a b)^!IR, la derivee au point x0 est denie par f⁰(x0) = lim_x!x⁰ f(x)^;f(x0)

x^;x0 : (1.1)

De toute evidence, cette denition n'a pas de sens pour des fonctions a plusieurs variables.

Pour une fonctionf :U ^!IR^m (U etant un ouvert de IRⁿ), on dit que f(x) est di eren- tiable en x0 ²U, s'il existe une application lineaire f⁰(x0) :IR^n!IR^m, telle que

f(x) =f(x0) +f⁰(x0)(x^;x0) +r(x)^kx^;x0^k (1.2) ou la fonction r : U ^!IR^m (qui depend du parametre x0) satisfait r(x)^! 0 pour x ^! x0. On a vue dans HW95, IV.3] que cette denition ne depend pas de la norme choisie et que l'application lineaire est donnee par la matrice jacobienne

f⁰(x0) =

0

B

B

@

@f¹

@x¹(x0) ::: _@x^@f1_n(x0)

... ...

@fm

@x¹(x0) ::: ^@f_@x^m_n(x0)

1

C

C

A (1.3)

ou x = (x1 ::: xn)^T et f(x) = (f1(x) ::: fm(x))^T. L'exemple suivant montre qu'il n'est pas toujours avantageux de representer l'application lineaire f⁰(x) a l'aide de la matrice jacobienne.

Exemple 1.1

Identions l'espace IRⁿⁿ avec l'ensemble des matrices carrees de dimension n, et considerons l'application f : IR^{nn !} IRⁿⁿ denie par f(X) = X². La propriete (X0+H)² =X20+X0H+HX0+H² suggere la denition

f⁰(X0)H=X0H+HX0 r(X) = (X^;X0)²=^kX^;X0^k: (1.4) Pour demontrer que l'application lineaire f⁰(X0) de (1.4) est vraiment la derivee de f(X), il faut voir que r(X) ^! 0 si X ^! X0. Ceci decoule du fait que, pour la norme euclidienne dans IRⁿⁿ, on a ^k(X^;X0)^2kkX^;X0^k2.

I.2 Espaces de Banach et de Hilbert

Essayons d'etendre la denition (1.2) de la di erentiabilite a une fonction f :E ^!F. Dans les espaces E etF il faut savoir additionner, soustraire, multiplier avec un nombre reel et il faut avoir a disposition une norme. Rappelons qu'une norme sur un espace vectoriel E est une application ^kk:E ^!IRqui verie les trois proprietes:

(N1) ^kx^k0 et ^kx^k= 0^,x= 0, (N2) ^kx^k =^jjkx^k,

(N3) ^kx+y^kkx^k+^ky^k (inegalite du triangle).

Un cas particulier important d'une norme est

kx^k:=^qhx xⁱ (2.1)

ou ^{h i}:EE ^!IR est un produit scalaire, c.-a-d.,

(PS1) ^hx xⁱ0 et ^hx xⁱ= 0^,x= 0 (denie positive), (PS2) ^hx yⁱ=^hy xⁱ (symetrique),

(PS3) ^hx1+x2 yⁱ=^hx1 yⁱ+^hx2 yⁱ (linaire).

Comme pour la norme euclidienne dans IRⁿ on verie que ^kk, donne par (2.1), satisfait les proprietes (N1), (N2), (N3) d'une norme (Exercice 3).

Des qu'on a donne une norme surE, on peut denir la convergence de suites (voir HW95, IV.1]). On dit qu'une suite ^fxn^ga valeurs dans E converge vers a²E, si

8" > 0 ⁹N 1 ⁸nN ^kxn^;a^k< ": (2.2) Elle est une suite de Cauchy, si

8" > 0 ⁹N 1 ⁸n mN ^kxn^;xm^k< ": (2.3)

Denition 2.1

Un espace vectoriel E muni d'une norme ^{k k} s'appelle espace vectoriel norme. Il est complet si chaque suite de Cauchy dansE est convergente. Un espace vectoriel norme et complet s'appelle un espace de Banach.

Un espace de Banach, dont la norme est donnee par un produit scalaire, s'appelle un espace de Hilbert.

Le premier exemple d'un espace de Hilbert est l'espace IRⁿ avec comme norme la norme euclidienne. La completude est une consequence du Theoreme IV.1.8 de HW95]. Avec la norme ^kx^k1 = ^P_ni=1^jxi^j (ou ^kx^k1 = maxi^jxi^j) l'espace IRⁿ n'est pas un espace de Hilbert (Exercice 4), mais il est un espace de Banach, car toutes les normes sont equivalentes dans IRⁿ (HW95, Theoreme IV.2.4]).

Proposition 2.2

^{Soit C}(0 1]) :=^ff : 0 1]^!IR f est continue^g. Avec la norme

kf^k1 = sup_t

201]^jf(t)^j (2.4)

C(0 1]) est un espace de Banach. Par contre, avec une des normes

kf^k1 =^Z₀^1jf(t)^jdt ou ^kf^k2 =

s

Z 1

0 ^jf(t)^j2dt (2.5) l'espace ^C(0 1]) n'est pas complet.

Remarque. La norme ^kf^k2 est denie a partir du produit scalaire ^hf gⁱ = ^R₀¹f(t)g(t)dt, mais ^C(0 1]) avec cette norme n'est pas un espace de Hilbert.

Demonstration. Comme dans IRⁿ, en remplacant la somme nie par une integrale, on verie que ^kf^k1, ^kf^k2 et ^kf^k1 sont des normes sur ^C(0 1]).

a) Soit ^ffn^gn1 une suite de Cauchy pour la norme ^kf^k1. Alors, la propriete

jfn(t)^;fm(t)^jkfn^;fm^k1< " pour n mN (2.6) implique que ^ffn(t)^gn1 est une suite de Cauchy dans IR. Comme IR est complet (HW95, Theoreme III.1.8]), la suite ^ffn(t)^gn1 converge vers un element de IR, qu'on denote par f(t). Il reste donc a demontrer que la fonction f(t), denie de cette maniere, est continue.

En passant a la limite m^!1 dans (2.6), nous obtenons

jfn(t)^;f(t)^j" pour nN

ou N depend de " > 0 mais pas de t ² 0 1]. Alors, la suite ^ffn^g converge uniformement vers f, et la continuite de f est une consequence de HW95, Theoreme III.4.2].

b) Considerons la suite ^ffn^g dans ^C(0 1]), ou fn(t) est lineaire par morceaux, 0 sur 0 1=2^;1=n] et 1 sur 1=2 + 1=n 1] (voir le dessin, n = 4 8 16). Pour m n on a que^kfn^;fm^k1 <1=net^kfn^;fm^k2 <1=^pn. La suite

ffn^g est alors une suite de Cauchy. Comme la fonction limite f(t) n'est pas continue sur 0 1], cette suite ne

converge pas dans ^C(0 1]). ^{.5 1.0}

.5 1.0

Proposition 2.3

Pour un ensemble arbitraire A considerons l'espace

B(A) :=^ff :A ^!IR fest bornee^g avec ^kf^k1 = sup_t

2A^jf(t)^j: (2.7)

B(A) est un espace de Banach.

La demonstration de cette proposition est presque la m^eme que pour la partie (a) de la Proposition 2.2. Nous omettons les details.

Toutes les notions et denitions des paragraphes IV.1 et IV.2 de HW95] peuvent ^etre etendues aux espaces de Banach:

Deux normes^kkp et^kkq sont equivalentes, s'il existe des constantes positives C1 et C2 pour lesquelles C1^kx^kp ^kx^kq C2^kx^kp pour tout x²E.

Une boule de centre a et de rayon r est l'ensemble Br(a) =^fx²E ^kx^;a^k< r^g.

Un ensemble V E est un voisinage de a ²E, s'il existe un" >0 tel que B"(a)V.

Un ensemble U E est ouvert, si U est voisinage de chacun de ses elements, c.-a-d.,

8x²U ⁹" >0 B"(x)U.

Un ensemble V E est ferme, si la limite de chaque suite convergente ^fxn^g avec xn²V, est dans V.

Un ensemble K E est compact, si chaque suite ^fxn^g avec xn ² K possede une sous-suite qui converge vers un element deK.

Soient E et F deux espaces normes et U E. Une fonction f : U ^! F est continue en x0 ²U si ⁸" >0 ⁹ >0 ⁸x²U : ^kx^;x0^k< ^kf(x)^;f(x0)^k< ".

Soient E un espace norme. L'application x ^{7! k}x^k est continue (car ^jkx^k;kx0^kj

kx^;x0^k).

La majorite des resultats de HW95, IV.1 et IV.2] reste vraie si l'on remplace IRⁿ et IR^m par des espaces de Banach. Neanmoins, il faut faire attention, car certaines proprietes sont perdues si la dimension de l'espace de Banach est innie (comme c'est le cas pour les exemples des Propositions 2.2 et 2.3). A l'aide de contre-exemples, nous demontrons que:

La boule fermee ^fx²E ^kx^k1^g n'est pas forcement compacte.

Deux normes dans le m^eme espace ne sont pas toujours equivalentes.

Le theoreme de Bolzano-Weierstrass \chaque suite bornee possede une sous-suite con- vergente" n'est plus vrai.

La caracterisation \K compact ^, K ferme et borne" n'est plus valable.

Considerons l'espace ^B(IR) de (2.7) et denissonsfn ^2B(IR) par fn(t) = 1 si t ²n n+ 1) et par fn(t) = 0 si t ⁶² n n+ 1). La suite ^ffn^g est bornee (on a ^kfn^k1 1) et elle satisfait ^kfn^;fm^k1 = 1 pour n ⁶= m. Par consequent, cette suite ne peut pas avoir une sous-suite convergente. Ce contre-exemple montre en m^eme temps que la boule fermee n'est pas compacte, que le theoreme de Bolzano-Weierstrass n'est pas vrai sur ^B(IR), et que la caracterisation ci-dessus de la compacticite n'est pas valable.

La Proposition 2.2 montre que dans l'espace ^C(0 1]) les normes ^kf^k1 et ^kf^k1 ne sont pas equivalentes. Au cas contraire, la suite ^ffn^g de la partie (b) de la demonstration serait aussi une suite de Cauchy pour la norme ^kk1, ce qui impliquerait la convergence de ^ffn^g

vers une fonction continue f ^2C(0 1]).

I.3 Applications lineaires

Les applications lineaires jouent un r^ole important dans la denition (1.2) de la di eren- tiabilite. Dans IRⁿ, elles sont toujours continues, m^eme uniformement continues (HW95, Theoreme IV.2.6]). Nous verrons dans ce paragraphe que ceci n'est pas toujours le cas si la dimension de l'espace vectoriel est innie.

Proposition 3.1

Pour une application lineaire A:E ^!F (E etF sont des espaces vecto- riels normes), les conditions suivantes sont equivalentes:

(a) A est continue en tout point de E (b) A est continue a l'origine0²E

(c) ^kA(x)^k est bornee sur la boule-unite ^fx²E ^kx^k1^g.

Demonstration. Il est clair que (a) ⁾ (b). Montrons que (b) ⁾ (c): la continuite de A(x) a l'origine implique que pour "= 1 il existe un > 0 tel que ^kA(y)^k1 pour ^ky^k. En utilisant la linearite de A, on obtient alors

kA(x)^k=A¹ x

= 1^kA(x)^k 1

^{pour k}x^k1: On vient donc de prouver que ^kA(x)^k est bornee sur la boule-unite.

Pour demontrer (c) ⁾(a), nous xons arbitrairement un x0 ²E et nous supposons que

kA(x)^k est bornee parM sur la boule-unite. Alors, on a pour x⁶=x0

kA(x)^;A(x0)^k=^kA(x^;x0)^k=^kx^;x0^k

A x^;x0

kx^;x0^k

M^kx^;x0^k

ce qui implique la continuite de A en x0.

Surtout dans les espaces de dimension innie, nous appelons une application lineaire aussi operateur lineaire. Nous ecrivons souventAx au lieu deA(x) et nous disons aussi application borneepour une application continue (a cause de la propriete (c) dans la proposition prece- dente). Une application lineaire A de IRⁿ dans IR^m est representee par une matrice, qu'on denote par la m^eme lettre A. L'expression Ax peut donc ^etre interpretee comme la valeur de l'applicationA au point x, ou bien comme le produit de la matrice Aavec le vecteur x.

Exemple 3.2

Il existe des operateurs lineaires non-continus. Considerons l'espace ^C(0 1]) avec la norme ^kf^k1 de (2.5) et les fonctions fn ^{2 C}(0 1]) donnees par fn(t) = n^;n²t=2 si t ²0 2=n] et fn(t) = 0 si t 2=n. L'application A:^C(0 1])^!IR denie par A(f) =f(0) est lineaire mais non-bornee, car ^jA(fn)^j=n et ^kfn^k1 = 1 pour tout n.

Denition 3.3

^Soient E et F des espaces vectoriels normes. On denote par ^L(E F) l'en- semble des applications lineaires continues de E dans F. Pour un element A^2L(E F), on denit

kA^k= sup

kx^k1^kAx^k= sup_x

6=0

kAx^k

kx^k : (3.1)

Pour E =F, on ecrit aussi ^L(E) a la place de ^L(E E).

Cette denition signie que ^kA^kest le plus petit nombre reel tel que

kAx^kkA^kkx^k pour tout x²E: (3.2) L'inegalite (3.2) est fondamentale pour tous les calculs avec des applications lineaires.

Proposition 3.4

^{L'espace L}(E F) muni de (3.1) est un espace vectoriel norme. Si F est complet, alors ^L(E F) est aussi complet.

Demonstration. Les proprietes (N1) et (N2) d'une norme sont faciles a verier. Demontrons (N3): pour A B ^2L(E F) nous avons

k(A+B)x^kkAx^k+^kBx^k(^kA^k+^kB^k)^kx^k:

En divisant cette relation par^kx^k et en prenant le supremum, nous obtenons l'inegalite du triangle^kA+B^kkA^k+^kB^k.

La demonstration de la completude et similaire a celle de la partie (a) de la Proposi- tion 2.2. Soit^fAn^g une suite de Cauchy dans^L(E F). Pour ^kx^k1 on obtient

kAnx^;Amx^kkAn^;Am^kkx^k"^kx^k" pour n mN (3.3) ce qui implique que^fAnx^gest une suite de Cauchy dansF. Cet espace etant complet, la suite

fAnx^gpossede une limite qu'on denote parAx. De cette maniere, on obtient une application lineaire A : E ^! F. En passant a la limite m ^{! 1} dans (3.3) et en divisant par ^kx^k, on voit que An^;A (et alors aussi A) est bornee et que A est la limite de ^fAn^g.

Proposition 3.5

^{Soit I 2L(E}) l'identite (c.-a-d., Ix=x) et considerons des applications lineaires A^2L(E F) et B ^2L(G E). Alors, on a

kI^k= 1 ^kAB^{k k}A^kkB^k: (3.4)

Demonstration. La propriete^kI^k = 1 est evidente. Pour demontrer l'estimation de ^kAB^k, nous appliquons deux fois l'inegalite fondamentale (3.2),

k(AB)x^kkA^kkBx^kkA^kkB^kkx^k:

Ensuite, nous divisons cette relation par ^kx^k et nous prenons le supremum sur x⁶= 0.

Exemple 3.6

Soit A une matrice mn, c.-a-d.,A^2L(IRⁿ IR^m), et notons par

kA^kp = sup_x

6=0

kAx^kp

kx^kp (3.5)

l'expression (3.1) si l'on utilise la m^eme norme dans les deux espaces IRⁿ etIR^m. Alors, on a les formules explicites

kA^k1 = max_j=1:::n^Xm

i=1^jaij^j

kA^k1 = max_i=1:::m^Xn

j=1^jaij^j

kA^k2 = ^qplus grande valeur propre deA^TA:

Demonstration. Pour la norme^kx^k1, on a

kAx^k1 =^Xm

i=1

n

X

j=1aijxj

m

X

i=1 n

X

j=1

jaij^jjxj^j=^Xn

j=1

^Xm i=1

jaij^j

jxj^j_j=1:::nmax ^Xm

i=1

jaij^j

kx^k1: On en deduit que ^kA^k1 maxj(^P_i^jaij^j). Pour montrer l'egalite, on choisit un j0 avec maxj(^Pi^jaij^j) = ^Pi^jaij^0j et on pose x = (0 ::: 0 1 0 ::: 0)^T, ou 1 est a la position j0. Avec ce choix de x, on a egalite dans l'estimation ci-dessus, ce qui demontre que ^kA^k1 ne

peut pas ^etre plus petit que maxj(^P_i^jaij^j). La formule pour la norme^kx^k1 se demontre de la m^eme maniere.

La matrice A^TA etant symetrique et semi-denie positive (x^TA^TAx = ^kAx^k2 0), il existe une matrice orthogonale U (U^TU = I) telle que U^TA^TAU = diag(1 ::: n), ou i 0 sont les valeurs propres de A^TA. On obtient alors avec la transformation x =Uy et en utilisant^kx^k2 =^ky^k2 que

kAx^k22 =x^TA^TAx=y^TU^TA^TAUy=^Xn

i=1i^jyi^j2

max^ky^k22 =max^kx^k22:

Ceci implique ^kA^k2 ^pmax. Pour montrer l'egalite, on pose x egal au vecteur propre de A^TA qui correspond a la valeur propre max.

Exemple 3.7

Pour la matrice A=

0

B

@

4 3

;2 5 4 1

1

C

A on a

kA^k1 = max(10 9) = 10

kA^k2 =:::=^q(71 +^p145)=26:4437

kA^k1= max(7 7 5) = 7:

Exemple 3.8

^{Soit k : 0 1] 0 1] ! IR} une fonction continue a deux variables. Nous considerons l'operateur lineaireA:^C(0 1])^!C(0 1]), deni par

(Af)(t) =^Z₀¹k(t s)f(s)ds (3.6) et les normes de la Proposition 2.2. Avec la notation (3.5) nous avons

kA^k1 = max_s

201]

Z 1

0 ^jk(t s)^jdt ^kA^k1 = max_t

201]

Z 1

0 ^jk(t s)^jds

kA^k2

s

Z 1 0

Z 1

0 ^jk(t s)^j2dsdt:

Les formules pour^kA^k1 et^kA^k1sont obtenues comme dans l'Exemple 3.6, l'estimation pour

kA^k2 comme dans HW95, Theoreme IV.2.6].

Proposition 3.9

^Soit E un espace de Banach et supposons que l'operateur A ^{2 L}(E) sa- tisfasse ^kA^k<1. Alors, I^;A est inversible, (I^;A)^;1 est continue, et on a

(I ^;A)^;1 =I+A+A²+A³+::: (3.7) (serie geometrique ou \serie de Neumann").

Demonstration. Montrons d'abord que An:=I+A+A²+:::+Aⁿest une suite de Cauchy dans ^L(E). En utilisant ^kA^nkkA^kn, on obtient pour m > nque

kAn^;Am^k=^kAⁿ⁺¹+:::+A^mkkA^n+1k+:::+^kA^mkkA^kn+1+:::+^kA^{km k}A^kn+1 1^;kA^k (observons que ^kA^{kn+1 !}0 si n^!1). Comme ^L(E) est complet (voir la Proposition 3.4), la suite ^fAn^g converge vers un B ^{2 L}(E). En passant a la limite n ^{! 1} dans l'identite An(I ^;A) = (I ^; A)An = I ^;Aⁿ⁺¹, nous obtenons B(I ^; A) = (I ^;A)B = I, ce qui demontre l'inversibilite de I^;A et la formule (3.7).

I.4 Dierentiabilite dans les espaces normes

Nous donnons maintenant une generalisation directe de la denition (1.2).

Denition 4.1

^Soient E F deux espaces vectoriels normes et U E un ouvert. On dit que f : U ^! F est di erentiable en a ² U s'il existe une application lineaire continue f⁰(a)^2L(E F) telle que

f(x) =f(a) +f⁰(a)(x^;a) +r(x)^kx^;a^k (4.1) ou la fonction r:U ^!F satisfait r(x)^!0 pour x^!a.¹

Par rapport a la denition usuelle dansIRⁿ, on demande en plus que l'application lineaire f⁰(a) soit continue. Ceci est important, car sinon une fonction di erentiable pourrait ne pas

^etre continue (voir les exemples ci-dessous).

Sif :E ^!F est lineaire et continue, on af⁰(a) =f quelque soit a²E. Une application lineaire non-bornee n'est pas di erentiable (e.g., l'operateur de l'Exemple 3.2).

Exemple 4.2

^{Soient E =IR3, F =IR2 etf :E !F donnee par}

f(x) = f1(x1 x2 x3) f2(x1 x2 x3)

!

= x₂₁+x₂₂ +x₂₃ x1x2x3

!

:

Sa derivee au point a = (a1 a2 a3)^T est l'application lineaire f⁰(a)^2L(IR³ IR²) denie par la matrice

f⁰(a) = 2a1 2a2 2a3

a2a3 a1a3 a1a2

!

:

On verie aisement que l'application r(x) de (4.1) satisfait r(x) ^! 0 si x ^! a. Comme toutes les normes sont equivalentes sur IRⁿ, il ne faut pas preciser la norme avec laquelle on travaille. De plus, une application lineaire de IRⁿ dans IR^m est automatiquement continue.

Exemple 4.3

Considerons l'espace ^C(0 1]) avec la norme ^kk1, notons ses elements par x(t) ou a(t), et etudions l'applicationf :^C(0 1])^!C(0 1]),

f(x)(t) =^Z₀¹k(t s)g(x(s))ds (4.2) ou k : 0 1]0 1] ^! IR est continue et g : IR ^! IR est 2 fois contin^ument di erentiable.

Pour une fonction a^2C(0 1]) donnee, cherchons la derivee f⁰(a). Avec h^2C(0 1]) on a

f(a+h)^;f(a)(t) = ^Z₀¹k(t s)g(a(s) +h(s))^;g(a(s))ds

= ^Z₀¹k(t s)g⁰(a(s_{)) + 12}g⁰⁰( (s))h(s)h(s)ds

ou (s) est une valeur entre a(s) et a(s) +h(s). Ce calcul montre que l'application lineaire f⁰(a) :^C(0 1])^!C(0 1]), denie par

f⁰(a)h(t) := ^Z₀¹k(t s)g⁰(a(s))h(s)ds

est un bon candidat pour la derivee de f. Cette application est continue (voir Exemple 3.8).

De plus, le reste ^kf(a+h)^;f(a)^;f⁰(a)h^k1 peut ^etre estime par Const^kh^k21, car g⁰⁰(x) est bornee dans l'intervalle contenant a(s) et a(s) +h(s) pour tout s ² 0 1] et pour toute h avec ^kh^k11. Ceci demontre que la fonction non-lineaire (4.2) est di erentiable en a.

1^:Il est possible d'etendre la caracterisation de Caratheodory HW95, Lemma IV.3.5], mais elle necessite la connaissance du Theoreme de Hahn-Banach de l'analyse fonctionelle.

Denition 4.4

Une applicationA:E ^!F (ouE etF sont des espaces vectoriels normes) est un isomorphisme, si A est lineaire, bijective, continue et si l'inverse A^;1 est continu.² On denote

GL(E F) :=^fA ^2L(E F) A est un isomorphisme^g: (4.3) Pour E =F, on ecrit aussi GL(E) a la place de GL(E E).³

Lemme 4.5

^Si E et F sont des espaces de Banach, l'ensemble GL(E F) est ouvert dans

L(E F).

Demonstration. PourA²GL(E F) l'applicationA+H est un isomorphisme pour tout H avec^kH^k1=^kA^;1k. Ceci decoule deA+H =A(I+A^;1H), de^kA^;1H^kkA^;1kkH^k<1, et de la Proposition 3.9.

Exemple 4.6

Considerons l'application f(X) = X^;1 de GL(E) dans ^L(E) (ou E est un espace de Banach). Avec la serie de Neumann (Proposition 3.9) nous obtenons

(A+H)^;1= (I+A^;1H)^;1A^;1 =A^;1;A^;1HA^;1+^X

j2(^;A^;1H)^jA^;1 dont la partie lineaire est

f⁰(A)H =^;A^;1HA^;1: (4.4)

La continuite def⁰(A) est une consequence de^kf⁰(A)H^kkA^;1k2kH^k(en utilisant la Pro- position 3.1). Le reste ^P_j2(^;A^;1H)^jA^;1 peut ^etre estime par^kH^k2kA^;1k3=(1^;kA^;1H^k).

Divise par^kH^k, il tend vers 0 si^kH^k!0. Ceci demontre la di erentiabilite def(X) = X^;1 ainsi que la formule (4.4).

Pour deux espaces vectoriels E1 E2 de normes respectives ^kk1 ^kk2, considerons le produit cartesien E1 E2. Si on le munit de la norme

k(x1 x2)^k:=^kx1^k1+^kx2^k2 (4.5) on obtient un espace vectoriel norme. C'est un espace de Banach si les espacesE1 etE2 sont des espaces de Banach.

Exemple 4.7

Soit B :E1E2 ^!F une application bilineaire bornee, c.-a-d., elle satisfait

kB(x1 x2)^kM^kx1^k1^kx2^k2 pour tout (x1 x2)²E1E2: (4.6) Une telle application est di erentiable et sa derivee est donnee par

B⁰(a1 a2)(h1 h2) =B(a1 h2) +B(h1 a2): (4.7) La continuite de B⁰(a1 a2) resulte de ^kB⁰(a1 a2)(h1 h2)^kM(^ka1^k1^kh2^k2+^kh1^k1^ka2^k2) Mmax(^ka1^k1 ^ka2^k2)^k(h1 h2)^k. La di erentiabilite deB est alors une consequence de

B(a1+h1 a2+h2)^;B(a1 a2)^;B⁰(a1 a2)(h1 h2) =B(h1 h2) car ^kB(h1 h2)^kM^kh1^k1^kh2^k2 M(^kh1^k1+^kh2^k2)²=4 =M^k(h1 h2)^k2=4.

2^:La continuite de ^A;1 est une consequence des hypotheses sur^A. La demonstration de ce resultat est dicile et utilise le \theoreme sur les applications ouvertes" (analyse fonctionnelle).

3^:GL est une abreviation pour \general linear group".

Resumons quelques regles du calcul di erentiel:

Linearite de la derivee. Soient f g deux applications U ^! F (U un ouvert de E) di erentiables en a²U, et soit ²IR. Alors, on a

(f+g)⁰(a) =f⁰(a) +g⁰(a) (f)⁰(a) =f⁰(a): (4.8)

Derivee d'une fonction composee. SoientE F Gtrois espaces vectoriels normes, soitU un ouvert de E, et soitV un ouvert de F. On considere deux applications,f :U ^!F di erentiable en a ² U et g : V ^! G di erentiable en b = f(a) ² V (on suppose f(U)V). Alors, gf est di erentiable et on a

(gf)⁰(a) =g⁰(f(a))f⁰(a): (4.9)

Formule de Leibniz. Soient E F1 F2 G des espaces vectoriels normes, U un ouvert de E, f : U ^! F1 et g : U ^! F2 des applications di erentiables en a ² U, et B :F1F2 ^!G une application bilineaire bornee (c.-a-d., elle satisfait (4.6)). Alors, la fonctionp(x) :=B(f(x) g(x)) est di erentiable en a et on a

p⁰(a)h=B(f(a) g⁰(a)h) +B(f⁰(a)h g(a)): (4.10) La demonstration de (4.8) est triviale et celle de (4.9) est la m^eme que pour des fonctions dans IRⁿ. La formule (4.10) est une consequence de (4.7) et de (4.9), car p = B d ou d:U ^!F1F2 est donnee par

d(x) = (f(x) g(x)) avec pour derivee d⁰(x)h= (f⁰(x)h g⁰(x)h):

I.5 Theoreme des accroissements nis

La terminologie des⁽⁽accroissements nis⁾⁾ s'explique par des raisons historiques: la notion d'accroissements ⁽⁽ nis⁾⁾ s'oppose a celle d'ac- croissements⁽⁽in nitesimaux^))::: (H. Cartan 1967) Pour une fonctionf : a b]^!IR, le theoreme des accroisse-

ments nis (ou theoreme de Lagrange) arme qu'il existe un ²(a b) tel que

f(b)^;f(a) =f⁰()(b^;a)

si f est continue sur a b] et di erentiable sur (a b). ^{f (a)f (a) aa bb}

f (b) f (b)

Pour une fonction f : a b] ^! IR^m, l'armation sous cette forme n'est plus vraie. Un contre-exemple (deja donne dans HW95, IV.3]) est la fonction f(x) = (f1(x) f2(x))^T ou f1(x) = cosx, f2(x) = sinx, et a b] = 0 2]. On a que f(a) = f(b), mais il n'y existe pas de avec f⁰() = 0. Par contre, on voit que l'inegalite^kf(b)^;f(a)^kkf⁰()^kkb^;a^kreste vraie dans cet exemple.

Dans un premier theoreme, nous considerons des fonctions f : a b] ^! F ou F est un espace vectoriel norme. La demonstration va ^etre di erente de celle de HW95, Theoreme IV.3.7], car nous n'avons pas de produit scalaire a disposition dansF. Ensuite, nous etendons le resultat a des fonctions f :U ^!F, ou U E, et E est un autre espace vectoriel norme.

Lemme 5.1

^{Soient a < b} deux reels, F un espace vectoriel norme, f : a b] ^! F et g : a b] ^! IR deux applications continues sur a b] et di erentiables sur (a b). Supposons que ^kf⁰(t)^kg⁰(t) pour a < t < b. Alors,

kf(b)^;f(a)^kg(b)^;g(a):

Demonstration. Pour un " >0 donne, considerons l'inegalite

kf(t)^;f(a)^kg(t)^;g(a) +"(t^;a) +": (5.1) Elle est satisfaite pourt=a et aussi, par continuite def etg, dans un voisinage dea. Donc, le supremum

c:= sup^ft ²a b] (5.1) est satisfaite^g existe et on a quec > a.

Montrons que l'inegalite (5.1) est satisfaite pour c. Par denition du supremum, il existe une suite ^ftn^g,tn ^!c, telle que ^kf(tn)^;f(a)^kg(tn)^;g(a) +"(tn^;a) +". En passant a la limiten ^!1, la continuite def etg montre l'inegalite (5.1) pour t =c.

Supposons que c < b. La di erentiabilite de f et g au point c implique qu'il existe un >0 tel que

kf(t)^;f(c)^{k k}f⁰(c)^k(t^;c) + "

2 (t^;c) g(t)^;g(c) g⁰(c)(t^;c)^; "

2 (t^;c) pour tout t²c c+]. L'hypothese ^kf⁰(c)^kg⁰(c) implique alors que

kf(t)^;f(c)^kg⁰(c)(t^;c) + "

2 (t^;c)g(t)^;g(c) +"(t^;c): Ceci, en plus de l'inegalite (5.1) pour t =c, implique que

kf(t)^;f(a)^{k k}f(t)^;f(c)^k+^kf(c)^;f(a)^k

g(t)^;g(c) +"(t^;c) +g(c)^;g(a) +"(c^;a) +"

= g(t)^;g(a) +"(t^;a) +"

pour tout t ² c c+], ce qui contredit la denition de c. Alors, on a c = b. Si l'on laisse tendre " vers 0 dans (5.1) avec t=b, on obtient l'armation du theoreme.

Considerons maintenant la situation ouf est denie sur un ouvertU d'un espace vectoriel norme E, qui n'est plus necessairement IR. Pour a b ²E, on appelle segment d'extremites a et b l'ensemble des points x²E de la formex=a+t(b^;a) avec 0t1.

Theoreme 5.2 (Theoreme des accroissements nis)

^{Soient E F} des espaces vecto- riels normes et U E un ouvert. Si f : U ^! F est di erentiable dans U, et si le seg- ment d'extremitesa et b est contenu dans U, on a

kf(b)^;f(a)^k0<t<1sup ^kf⁰(a+t(b^;a))^kkb^;a^k: (5.2) Demonstration. L'application h(t) := f(a+t(b^;a)) est une application di erentiable de 0 1] dans F et on ah⁰(t) =f⁰(a+t(b^;a))(b^;a), donc

kh⁰(t)^kkf⁰(a+t(b^;a))^kk(b^;a)^k:

Il sut alors d'appliquer le Lemme 5.1, en remplacant a par 0, b par 1, f par h, et g(t) par Mt ouM = sup0<s<1^kf⁰(a+s(b^;a))^kkb^;a^k.

On dit qu'un sous-ensemble D d'un espace vectoriel est convexe si, quels que soient a b ²D, le segment ^fa+t(b^;a) t²0 1]^g est dans D.

Corollaire 5.3

^Soient E F des espaces vectoriels normes, U E un ouvert, f : U ^! F di erentiable dans U, et DU un ensemble convexe. Alors,

kf(x)^;f(y)^ksup_z

2D^kf⁰(z)^kkx^;y^k pour x y ²D:

Demonstration. Consequence immediate du Theoreme 5.2.

Un ouvert U d'un espace vectoriel norme est dit connexe, si deux points quelconques de U peuvent ^etre joints par une ligne brisee dans U. Rappelons qu'une ligne brisee est l'union ni de segments _mi=1^fai^;1+t(ai^;ai^;1)t ²0 1]^g.

Corollaire 5.4

^{SoientE F} des espaces vectoriels normes, U un ouvert connexe, et f :U ^! F une application di erentiable dans U. Si f⁰(x) = 0 pour toutx²U, alors f est constante.

Demonstration. Fixons a²U et prenons x²U arbitraire. Comme U est connexe, il existe une suite nie a =a0 a1 ::: am =x telle que les segments ^fai^;1+t(ai^;ai^;1)t ²0 1]^g sont dans U. Le Theoreme 5.2 implique alors que

kf(ai)^;f(ai^;1)^k0<t<1sup ^kf⁰(ai^;1+t(ai^;ai^;1))^kkai^;ai^;1^k= 0: Donc,f(ai) =f(ai^;1) et par consequent aussif(x) =f(a).

I.6 Theoreme du point xe de Banach

Considerons le probleme de resoudre une equation nonlineaire dans un espace de Banach.

Pour des fonctionsf etg deE dansE, le probleme peut ^etre formule de la maniere suivante:

g(x) = 0 on cherche un zero de g, ou

f(x) =x on cherche un point xe de f.

En posant f(x) = x+g(x) ou f(x) = x+Ag(x) avec A ² GL(E), on peut passer d'une formulation a l'autre. Le theoreme suivant donne une condition susante pour l'existence et l'unicite d'une solution a ce probleme.

Theoreme 6.1 (Theoreme du point xe de Banach, 1922)

^{Soient E} un espace de Banach, DE ferme, et f :D^!E une application satisfaisant

(a) f(D)D,

(b) f est une contraction sur D, c.-a-d., il existe un <1 tel que

kf(x)^;f(y)^{k k}x^;y^k pour x y ²D: (6.1) Alors, f possede un unique point xe dans D.