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ÉQUATIONS
I. Rappels
1. Notion d’équation - Vocabulaire
INCONNUE C’est une lettre qui cache un nombre
cherché. 𝑥
EQUATION C’est une égalité avec une inconnue. 10𝑥 − 2 = 2𝑥 + 3 MEMBRE
C’est ce qui se trouve de chaque côté du signe =. Dans une équation, il y a donc deux membres.
1er membre : 10𝑥 − 2 2nd membre : 2𝑥 + 3 RESOUDRE
UNE EQUATION
C’est chercher et trouver le nombre caché sous l’inconnue.
SOLUTION C’est le nombre caché sous l’inconnue. 𝑥 = 0,625 Vérification Après avoir trouvé la solution, il
convient de vérifier son résultat.
10 × 0,625 − 2 = 2 × 0,625 + 3 donc 0,625 est bien la solution Méthode : Vérifier si un nombre est solution d’une équation
Vérifier si 14 est solution de l’équation 4(𝑥 − 2) = 3𝑥 + 6.
D’une part, 4(𝑥 − 2) = 4(14 − 2) = 4 × 12 = 48 D’autre part, 3𝑥 + 6 = 3 × 14 + 6 = 42 + 6 = 48
14 vérifie l’équation 4(𝑥 − 2) = 3𝑥 + 6 donc 14 est solution !
2. Résolution d’équations
Résoudre l’équation : 2x + 5x − 4 = 3x + 2 + 3x But : c’est trouver 𝑥 !
C'est-à-dire : isoler 𝑥 dans l’équation pour arriver à : 𝑥 = nombre
Dans l’équation 2x + 5x − 4 = 3x + 2 + 3x, on reconnaît la famille des x et la famille des nombres.
Pour obtenir « x = nombre », on ramènera les x à gauche de la « barrière = » et les nombres à droite.
On sera ainsi amenés à effectuer des mouvements d’un côté à l’autre de la « barrière = » en suivant des règles énoncées ci-dessous.
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a. Règle sur les additions et soustractions
Propriété : On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre à chacun de ses membres.
Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 des nombres relatifs. Si 𝒂 = 𝒃, alors 𝒂+ 𝒄= 𝒃+ 𝒄 et 𝒂− 𝒄= 𝒃− 𝒄
Exemples :
Equation A Equation B a. 4𝑥 − 3 = 5 4𝑥 = 5 + 2𝑥
b. 4𝑥 − 3+ 3= 5+ 3 4𝑥− 2𝑥= 5 + 2𝑥− 2𝑥 (on applique la propriété) c. 4𝑥 = 5+ 3 4𝑥− 2𝑥= 5 (on réduit un membre) d. 4𝑥 = 8 2𝑥 = 5 (on réduit l’autre membre) Regardons plus précisément ce qui se passe entre l’étape a. et l’étape c. :
Equation A Equation B a. 4𝑥− 3 = 5 4𝑥 = 5+ 2𝑥 c. 4𝑥 = 5+ 3 4𝑥− 2𝑥= 5
En passant par-dessus la « barrière = », l’élément déplacé s’est transformé en son opposé.
Règle : pour les éléments liés entre eux par des additions ou des soustractions, chaque déplacement par-dessus « la barrière = » se traduit par un changement de signe de l’élément déplacé.
Méthode : Résoudre une équation (1) Résoudre : 2𝑥 + 5𝑥 − 4 = 3𝑥 + 2 + 3𝑥
2𝑥 + 5𝑥− 4 = 3𝑥+ 2+ 3𝑥 1. on identifie les éléments de chaque famille.
2𝑥 + 5𝑥 − 3𝑥 − 3𝑥 = +2 + 4 2. chacun rentre chez soi ! Les 𝑥 à gauche, les nombres à droite.
𝑥 D’une part,
2 × 6 + 5 × 6 − 4 = 38
= 6
D’autre part,
3 × 6 + 2 + 3 × 6 = 38
3. on réduit chaque membre.
4. on vérifie
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b. Règle sur les multiplications et divisions
Propriété : On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre non nul (rappel : on ne divise pas par 0 !) chacun de ses membres.
Soient 𝑎, 𝑏 et 𝑐 des nombres relatifs. Si 𝒂 = 𝒃, alors 𝒂𝒄= 𝒃𝒄 et 𝒂 𝒄 =𝒃
𝒄 Exemples :
Equation A Equation B a. 2𝑥 = 5 𝑥
7= 3 b. 2𝑥 ×1
2= 5×1 2
𝑥
7× 7= 3× 7 (on applique la propriété) c. 𝑥 = 5×1
2 𝑥 = 3× 7 (on réduit un membre)
d. 𝑥 = 5
2 𝑥 = 21 (on réduit l’autre membre)
Regardons plus précisément ce qui se passe entre l’étape a. et l’étape c. : Equation A Equation B
a. 2𝑥 = 5 𝑥 7 = 3 c. 𝑥 = 5×1
2 𝑥 = 3× 7
En passant par-dessus la « barrière = », l’élément déplacé s’est transformé en son inverse.
Règle : pour les éléments liés entre eux par des multiplications ou des divisions, chaque déplacement par-dessus « la barrière = » se traduit par une inversion de l’élément déplacé.
Méthode : Résoudre une équation (2) Résoudre les équations suivantes :
1) 2𝑥 = 6 2) 𝑥
−3= 4 3) 7
9𝑥 = −2 1) 𝑥 =6
2 𝑥 = 3
2) 𝑥 = 4 × (−3) 𝑥 = −12
3)
𝑥 = −2 ×9 7 𝑥 = −18
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c. Avec toutes les opérations Méthode : Résoudre une équation (3) Résoudre : 4𝑥 + 5 − 3𝑥 − 4 = 3𝑥 + 2 + 𝑥
4𝑥+ 5− 3𝑥− 4 =3𝑥+ 2+ 𝑥 1. On identifie chaque famille (𝑥 et nombres) 𝑥+ 1 =4𝑥+ 2 2. On réduit chaque membre si possible.
𝑥 − 4𝑥 =2 − 1 3. Chaque famille rentre chez elle (éléments liés par des + et – ).
−3𝑥 =1 4. On réduit chaque membre si possible.
−3𝑥=1 𝑥= 1
−3
5. On brise le dernier couple 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑥 (éléments liés par des × et ÷ ).
𝑥 = −1
3 6. On simplifie chaque membre si possible.
7. On vérifie à la calculatrice que : 4 ×−1
3 + 5 − 3 ×−1
3 − 4 = 3 ×−1
3 + 2 +−1 3
d. Avec des parenthèses Méthode :
Résoudre : 2(𝑥 + 3) = −(𝑥 + 3)
2𝑥 + 6 = −𝑥 − 3 1. On se débarrasse des parenthèses 2. On réduit chaque membre si possible.
2𝑥 + 𝑥 = −3 − 6 3. Chaque famille rentre chez elle (éléments liés par des + et – ).
3𝑥 = −9 4. On réduit chaque membre si possible.
𝑥 =−9
3 5. On brise le dernier couple (éléments liés par des × et ÷ ).
𝑥 = −3 6. On simplifie chaque membre si possible.
7. On vérifie de tête ou à la calculatrice que : 2(−3 + 3) = −(−3 + 3)
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II. Equation produit
Si a x b = 0, que peut-on dire de a et b ?
« Faire des essais sur des exemples, puis conclure … ! » Propriété : Si a x b = 0 alors a = 0 ou b = 0.
Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.
Méthode : Résoudre une équation-produit Résoudre les équations :
a) (4
𝑥
+ 6)(3 − 7𝑥
) = 0 b) 4𝑥
2+𝑥
= 0 c)𝑥
2− 25 = 0 a) Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul :4𝑥 + 6 = 0 4𝑥 = −6 𝑥 = −6
4 𝑥 = −3 2
ou 3 − 7𝑥 = 0
−7𝑥 = −3 𝑥 =−3
−7 𝑥 =3
7 donc 𝑆 = {−3
2;3 7}
b) 4
𝑥
2 +𝑥
= 0 𝑥(4𝑥 + 1) = 0Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul :
𝑥 = 0 ou 4𝑥 + 1 = 0
4𝑥 = −1 𝑥 = −1
4 donc 𝑆 = {−1
4; 0}
c)𝑥2 − 25 = 0
(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 0
Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul : 𝑥 − 5 = 0
𝑥 = 5
ou 𝑥 + 5 = 0
𝑥 = −5 donc 𝑆 = {−5; 5}
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III. Application à la résolution de problèmes
Méthode : Mettre un problème en équation
Deux agriculteurs possèdent des champs ayant un côté commun de longueur inconnue. L’un est de forme carré, l’autre a la forme d’un triangle rectangle de base 100m. Sachant que les deux champs sont de surface égale, calculer leurs dimensions.
On désigne par
𝑥
la longueur du côté commun.Les données sont représentées sur la figure suivante :
L’aire du champ carré est égale à 𝑥2. L’aire du champ triangulaire est égale à :
100𝑥
2 = 50𝑥
Les deux champs étant de surface égale, le problème se ramène à résoudre l’équation : 𝑥2 = 50𝑥
Soit 𝑥2− 50𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 50) = 0
Si un produit est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul :
𝑥 = 0 ou 𝑥 − 50 = 0
𝑥 = 50
La première solution ne convient pas à la situation du problème (champs inexistants), reste donc la deuxième.
On en déduit que le premier champ est un carré de côté de longueur 50m et le deuxième est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 100m et 50m
x
100
