Oscillations libres dans un circuit RLC
I. ´ Etude exp´erimentale de la d´echarge d’un condensateur dans une bobine
Soit un circuit contenant une bobine d’inductanceLet de r´esistance interner, d’un condensateur de capacit´e C et d’une r´esistance variableR’.
Le condensateur est initialement charg´e.
On visualise la tension uc aux bornes du condensateur lors de sa d´echarge `a travers la bobine.
1. Montage
2. R´esultats
La charge et la d´echarge du condensateur s’accompagnent d’oscillations ´electriques ; les oscillations sont amorties : c’est le r´egime pseudo-p´eriodique.
L’amortissement est dˆu `a l’effet Joule (d´egagement de chaleur) dans la r´esistanceRdu circuit (ici, R = R’
+ r).
Quand R augmente, l’amortissement augmente.
Tant que R Rc, on a des oscillations ´electriquespseudo-p´eriodiques.
Quand R = Rc = 2 L
C, on a ler´egime critique: les oscillations disparaissent.
Quand R¡Rc, on a ler´egime ap´eriodique: il n’y a pas d’oscillations et l’amortissement est tr`es grand.
Lapseudo-p´eriode Todes oscillations libres du dipˆole RLC a pour expression :
T o2π
?
LC
Si on observe la tension aux bornes de R’, on observe l’intensit´e du courant i du circuit.
En effet, d’apr`es laloi d’Ohm, UR’ = R’.i et R’ est une constante.
On constate que UR’ est en avance de T o
4 par rapport `auC
q C. Donci dq
dt est en avance de T o
4 par rapport `a q.
II. ´ Etude analytique d’un circuit oscillant
1. ´ Equation diff´erentielle du circuit RLC
R = r´esistance totale du circuit.
Le condensateur est initialement charg´e.
D’apr`es la loi des mailles: UL + UR + UC= 0ðñLdi
dt Ri q C 0 maisidq
dt donc di
dt d2q dt2 AinsiLd2q
dt2 Rdq dt
q C 0.
Durant les oscillations libres amorties d’un circuit RLC, la charge q du condensateur ob´eit `a l’´equation diff´erentielle Ld2q
dt2 Rdq dt
q C 0 . Rdq
dt est le terme d’amortissement.
2. ´ Equation diff´erentielle d’un circuit LC
Le circuit LC est un oscillateur id´eal de r´esistance nulle.
Le condensateur est initialement charg´e(dans la pratique, on enregistre la tension uCaux bornes d’un condensateur d’un circuit RLC entretenu).
AvecR = 0, l’´equation diff´erentielle estLd2q dt2
q C 0.
Durant les oscillations libres non amorties d’un circuit LC, la charge q du condensateur ob´eit `a l’´equation diff´erentielle d2q
dt2 1
LCq0 .
3. Solution de l’´equation diff´erentielle du 2
`emeordre d’un dipˆole LC
L’´equation diff´erentielle d2q dt2
1
LCq 0 admet une solution sinuso¨ıdale de la forme qQmax.cospω0t φq.
V´erifions qu’une telle fonction est solution de l’´equation diff´erentielle : qQmax.cospω0t φq
iptqdq
dt ω0Qmax.sinpω0t φq(par d´erivation d’une fonction compos´ee de la forme f(t)= K.cos(at+b)).
di dt
d2q
dt2 ω02Qmax.cospω0t φq donc d2q
dt2 ω02qðñ d2q
dt2 ω02q0
mais l’´equation diff´erentielle du circuit LC s’´ecrit aussi d2q dt2
1 LCq0.
Donc, par comparaison, on peut ´ecrire que ω20 1 LC
ω0
1
?
LC est la pulsation propre de l’oscillateur.
T0
2π ω0
2π
?
LC est la p´eriode propre de l’oscillateur.
f0
1 T0
1 2π
?
LC est la fr´equence propre de l’oscillateur.
Qmax est l’amplitude de q.
φest la phase `a l’origine des dates etpω0t φqla phase `a la date t.
Qmax etφne d´ependent que des conditions initiales (`at00).
Latension aux bornes du condensateurest uC
q C
Qmax
C .cospω0t φqumax.cospω0t φq.
L’intensit´e du courant est idq
dt ω0Qmax.sinpω0t φqImax.sinpω0t φq maissinpω0t φqcospω0t φ π
2q et 2πω0T0ñ
π 2 ω0
T0
4 donciImax.cospω0pt T0
4 q φq: i est en avance de T0
4 par rapport `a q.
III. ´ Energie d’un circuit oscillant
1. ´ Energie d’un circuit LC
Dans ce cas id´eal, il n’y a pas d’amortissements, doncl’´energie totale du circuit est constante.
L’´energie ´electrique emmagasin´ee dans le condensateur est Eelec
1 2
q2 C
1 2Cu2C .
L’´energie magn´etique emmagasin´ee dans la bobine est Emagn
1 2Li2 .
L’´energie totale du circuit (´energie ´electromagn´etique) est EtotaleEelec Emagnconstante.
Il y a´echange d’´energie entre le condensateur et la bobine.
Quand Eelec croˆıt, Emagn d´ecroˆıt et vice-versa.
Emagn est toujours positive ou nulle, Emagn croˆıt quand —i— croˆıt.
Eelec est toujours positive ou nulle, Eelec croˆıt quand —q— croˆıt.
EtotaleEelec`a t0 = 0 = 1 2
Q2max C ;
2. ´ Energie d’un circuit RLC
Lors des oscillations d’un circuit RLC, l’amplitude des oscillations diminue.
Le circuit perd de l’´energie dissip´ee pareffet Joule.
IV. Oscillations libres entretenues (voir TP)
L’oscillateur puise `a son rythme, `a sa fr´equence propref0, de l’´energie dans le dispositif r´esistance n´egative pour compenser l’´energie dissip´ee par effet Joule dans la r´esistance R du circuit oscillant.
V. D´emarrage et entretien des oscillations ´electriques dans un circuit RLC (sans G.B.F)avec un ”g´en´erateur r´esistance n´egative” ou bien oscillations
´electriques auto-entretenues
Quand Ro r + R’ : il n’y a pas d’oscillations.
Quand Ro = r + R’ : des oscillations s’amorcent, s’amplifient puis se stabilisent.
On a des oscillations sinuso¨ıdales ´electriques.
Quand Ro¡¡r + R’, les oscillations ´electriques ne sont pas sinuso¨ıdales (oscillations en dents de scie).
