a l'Universite MATHEMATIQUES

MATHEMATIQUES

,

a l'Universite

et exercices corriges

GEoMETRIE

,, .

DIFFERENTIELLE

MATHEMATIQUES

^A

l'UNIVERSITE

Collection dirigee par Charles-Michel Marie et Philippe Pilibossian

GEoMETRIE

_,,

DIFFERENTIELLE

avec 80 figures

niveau L3-Ml

2e edition

Catherine DOSS-BACHELET

Maitre de conferences a l'universite Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6)

Jean-Pierre FRAN�OISE

Professeur a l'universite Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6)

Claude PIQUET

Maitre de conferences a l'universite Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6)

L'algebre discrete de la transformee de Fourier, G.

Peyre, 2004.

Algebre et theorie des nombres - cryptographie, primalite, S. Al Fakir, 2003.

Algebre et theorie des nombres - theorie de Galois, codes, geometrie et arithmetique, S. Al Fakir, 2004.

Algebre fondamentale -Arithmetique, G. Gras, M.-N. Gras, 2004.

Algebre lineaire, R. Goblot, 2005.

Algebre lineaire, _F. Bories-Longuet, 2000.

Algebre lineaire numerique - cours et exercices, G.

Allaire et S. M. Kaber, 2002.

Analyse complexe, distributions, A. Yger, 2001.

Analyse de Fourier dans Les espaces fonctionnels,

M. El Amrani, 2008.

Analyse fonctionnelle - exercices et problemes corriges, B. Maury, 2004.

Calcul dijferentiel, G. Christo), A. Cot, Ch.-M.

Marie, 1997.

Cours d'algebre, R. Elkik, 2002.

Cours de calcul formel - algorithmes fondamentaux, Ph. Saux Picart, 1999.

Cours de calcul formel - corps finis, systemes polynomiaux, applications, Ph. Saux Picart, E.

Rannou, 2002.

Distributions - espaces de Sobolev, applications,

M.-Th. Lacroix-Sonrier, 1999.

Elements d'algebre commutative, J. Brian�on, Ph.

Maisonobe, 2004.

Elements d'analyse convexe et variationnelle, D.

Aze, 1997.

Elements de geometrie, A. Y ger, A. Henaut, 2004.

Elements de theorie des anneaux - anneaux commutatifs, J. Calais, 2006.

Elements d'integration et d'analyse fonctionnelle,

A. El Kacimi Alaoui, 1999.

Equations aux derivees partielles et leurs approximations, B. Lucquin, 2004.

Extensions de corps - theorie de Galois, J. Calais, 2006.

Geometrie dijferentielle avec 80 figures, C. Doss­

Bachelet, J.-P. Fran�oise, Cl. Piquet, 2011.

Les Groupes finis et leurs representations, G.

Rauch, 2000.

ISBN 978-2-7298-6446-0

Initiation a la topologie generate, D. Lehmann, 2004.

lntegrales curvilignes et de surface, M. Lofficial, D. Tanre, 2006.

Integration et theorie de la mesure - une approche geomerrique, P. Kree, 1997.

Une introduction a la geometrie projective, D.

Lehmann, 2003.

Introduction _a la theorie des groupes de Lie reels,

D. Chevallier, 2006.

Introduction _a Sci/ab - exercices pratiques corriges d'algebre lineaire, G. Allaire, S. M.

Kaber, 2002.

Logique, ensemble, categories - le point de vue constructif, P. Ageron, 2000.

Merhodes algebriques en theorie des nombres,

N. Zinn-Justin, 2010.

Methodes d'approximation, equations

dijferentielles, applications Scilab, S. Guerre­

Delabriere, M. Postel, 2004.

Methodes numeriques directes de l'algebre matricielle, Cl. Brezinski, M. Redivo-Zaglia, 2005.

Methodes numeriques iteratives - algebre lineaire et non lineaire, Cl. Brezinski, M. Redivo­

Zaglia, 2006.

Precis d'analyse reelle - topologie, calcul dijferentiel, methodes d'approximation, vol. 1, V. ^Komomik, 2001.

Precis d 'analyse reelle - analyse fonctionnelle, integrate de Lebesgue, espaces fonctionnels,

vol. 2, V. ^Komomik, 2002.

Probabilites, M. Brancovan, Th. Jeulin, 2006.

Probabilites : variables ateatoires, convergences, conditionnement, _Y. Lacroix, L. Mazliak, 2006.

Quelques aspects des mathematiques actuelles,

ouvrage collectif, 1999.

Systemes dynamiques - une introduction, Ch.-M.

Marie, 2003.

Suites, Series, Integrates, S. Guerre-Delabriere, 2009.

Theorie de Galois, I. Gozard, 1997.

Topologie, G. Christo!, A. Cot, Ch.-M. Marie, 1997.

La Topologie des espaces metriques, E. Burroni, 2005.

©Ellipses Edition Marketing S.A., 2011 32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15

®DANGER

_{PHOTOCOPlllAGE}

TUELEllVRE

Le Code de la propriete intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'anicle L. 122-5.2° et 3°a), d'une pan, que les « copies ou reproductions strictement reservees a l'usage prive du copiste et non destinees a une utilisation collective», et d'autre pan, que les analyses et les counes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute representation ou reproduction integrale ou panielle faite sans le consentement de ('auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (an. L. 122-4).

Cette representation ou reproduction, par quelque procede que ce soit constituerait une contrefa�on sanctionnee par les anicles L. 335-2 et suivants du Code de la propriete intellectuelle.

www.editions-ellipses.fr

Presentation de la collection

"Mathematiques a l'Universite"

Depuis 1997, cette collection se propose de mettre a la disposition des etu­

diants de troisieme, quatrieme et cinquieme annees d'etudes superieures en mathematiques des ouvrages couvrant l'essentiel des programmes actuels des universites franfaises. Certains de ces ouvrages pourront etre utiles aussi aux etudiants qui preparent le CAPES OU l'Agregation, ainsi qu'aux eleves des grandes ecoles et aux ingenieurs desirant actualiser leurs connaissances.

Nous avons voulu rendre ces livres accessibles a tous: Jes sujets traites sont presentes de maniere simple et progressive, tout en respectant scrupuleu­

sement la rigueur mathematique. Chaque volume comporte, en general, un expose du cours avec des demonstrations detaillees de tous Jes resultats es­

sentiels, des enonces d'exercices OU de probJemes.

La mesure de la Terre (sens etymologique du mot geometrie) est une des prin­

cipales sources des mathematiques. Sans remonter jusqu'a l'Egypte ancienne, rappelons par exemple que ce sont des travaux de geodesie qui ont conduit Carl Friedrich Gauss a developper l'etude des surfaces et, notamment, a in­

troduire ]'application qui porte aujourd'hui son nom 1.

La geometrie differentielle est a la base des theories physiques le plus ac­

tuelles, comme Jes theories de jauge, Jes theories des cordes et des super­

cordes. Outre son interet purement mathematique, c'est un outil puissant pour la representation du monde physique. Son enseignement a l'universite se developpe actuellement de maniere tres sensible. C'est une heureuse evo­

lution, car tout en developpant ]'imagination, l'etude de la geometrie differen­

tielle permet souvent d'atteindre une comprehension a la fois plus intuitive et plus profonde des grands theoremes d'analyse, comme par exemple le theo­

reme des fonctions implicites. Ilouvrage de Madame Catherine Doss-Bachelet et Messieurs Jean-Pierre Franfoise et Claude Piquet, dont la premiere edition a eu un grand succes, est une excellente introduction a ce domaine riche et passionnant. Le lecteur y trouvera une presentation progressive des concepts essentiels, avec une multitude d'exemples illustres par de remarquables fi­

gures. Nul doute que cet ouvrage suscitera des vocations de geometres.

Charles-Michel Marie Philippe Pilibossian

1. C'est !'application qui associe, a chaque point de la surface du globe terrestre, la direc­

tion de la verticale ascendante en ce point. Le lecteur trouvera la definition generale, pour une surface quelconque, au Chapitre II du present livre.

AVANT-PROPOS

Ce cours a ete donne pendant plusieurs annees a l'UPMC en module optionnel de licence puis comme module du L3. L'idee etait de prolonger le cours optionnel de calcul differentiel du premier semestre par des applications geometriques. Le principe de !'organisation de ce cours est de partir progressivement des courbes, surfaces, systemes differentiels pour aboutir a la definition des varietes, des fi­

bres et des connexions. Il couvre le programme de la geometrie differentielle de l'agregation et propose quelques pistes aux etudiants qui souhaitent approfondir par la suite ( theorie des singularites, equations differentielles, geometrie rieman­

nienne, relativite generale,. .. ) . Il peut etre utile aussi aux etudiants de physique pour lesquels des notions geometriques sont presentees comme modelisations (sys­

temes integrables de particules sur la droite, fl.ots geodesiques integrables,. .. ) . Les progres de l'informatique permettent de soutenir cette approche avec l'imagerie geometrique que nous avons suggeree dans les figures.

La nouvelle edition de notre livre nous permet de proposer au lecteur un texte adapte a l'enseignement au niveau du L3 de la geometrie differentielle et de la geometrie des equations differentielles.

Avec la mise en place du LMD, cet enseignement a connu un developpement qui a confirme les choix pedagogiques que nous avions faits il y a une dizaine d'annees. Dans cette nouvelle edition, nous avons souhaite, en particulier, renforcer le chapitre sur les surfaces.

Nous avons pu ainsi donner explicitement une demonstration complete du

« Theorema Egregium » de Gauss. Nous avons aussi elimine un certain nombre de

« coquilles » que contenait la premiere edition. _A ce propos, nous remercions cha­

leureusement les collegues qui ont bien voulu nous faire part de leurs observations.

Nous exprimons notre reconnaissance particuliere a C.-M. Marle et P. Pilibossian d'avoir accepte ce livre dans leur collection.

TABLE DES MATIERES

I - Courbes I . 1 .

I .2 . I .3 . I .4 . I .5 . I .6 . I .7 . I .8 . I .9 . I . 10 .

Courbes dans ^{JR.n ,} generalites . ^{. . . . . . . . . . .}

Longueur d'un arc de courbe . ^{. . . . . . . . . . . . . .} . . ^. . . _.

Parametrisation par la longueur d'arc . . . .

Courbure des courbes du plan Exemples de courbes du plan

Courbes et isometries du plan . . . ^. Courbes du plan definies par une equation implicite J(x, y) = 0

Courbes : etude locale d'une courbe au voisinage d'un point sin­

gulier et branches infinies . ^{. . . . . . .} . . . . ^. . . .

Courbes dans l'espace ^{JR.3 . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . . . .} Exercices . . .

II _-Surfaces II . 1 .

11 .2 . 11 .3 .

Definition, exemples, plan tangent.

Exemples de surfaces : les quadriques. . . . Courbes tracees sur des surfaces de ^{JR.3• . • • . .}

1

2

3 4

6

7 8

14

15 2⁰

25 26 26

11 .4 . La premiere forme fondamentale. . ^{. . . . .} . . . . ^. . ^. . . ^. 3 2 11.5. La seconde forme fondamentale. . . . . 3 4

II.6. Le ^« Theorema Egregium )) de Gauss ^. . . . . 3 8 II . 7 . Theoreme de Gauss-Bonnet et formule de Girard. . . . . 3 8

11 .8 . Exercices . . . ^{. 3 9}

III - Sous-varietes de JR.n

111 . 1 . Rappels des theoremes fondamentaux du calcul differentiel 45

111 .2 . Sous-varietes de ^{JR.n . . . • . . • . . . • • . . • . . • • . . • • . . . 4} 5

111 .3 . Applications : le theoreme de Lagrange et le lemme de Morse ^{. 4 7}

111 .4 . Exercices . . . . . ^{. . . . . . . . . . . .} . ^. . ^. . ^{. . .} . ^{. . . .} . . ^. 5⁰

Table des matieres

IV ^-Formes differentielles sur un ouvert U ^de R.n

IV.l. Notion de 1-forme differentielle et integrale d'une 1-forme diffe-

rentielle sur un arc de courbe . . . 53

IV.2. Notion de k-forme differentielle . . . 54

IV.3. L'algebre exterieure et la differentielle . . . 55

IV.4. Formes differentielles et changement de coordonnees . . . 56

IV.5. Exercices . . . 57

V ^-Systemes differentiels V.l. Le theoreme fondamental d'existence des solutions des equations differentielles . . . 59

V.2. Systemes newtoniens a un degre de liberte . . . 60

V.3. Champs du plan . . . 61

V.4. Systemes newtoniens a deux degres de liberte . . . 64

V.5. Systemes newtoniens a un nombre quelconque de degres de li- berte . . . 76

V.6. Exercices ... . VI ^- Champs de vecteurs Vl.1. Introduction et notations Vl.2. Le produit interieur d'une forme differentielle par un champ de 77 81 vecteurs . . . 82

Vl.3. Applications du produit interieur : la divergence et le rotationnel 83 Vl.4. Nouvelle interpretation de la notion de forme differentielle . . . 84

Vl.5. La derivee de Lie par rapport a un champ de vecteurs . . . 85

Vl.6. Flot local d'un champ de vecteurs et theoreme fondamental de la derivee de Lie . . . 85

VI. 7. Crochet de deux champs de vecteurs . . . 86

Vl.8. Hypersurfaces dans R.n et champs de vecteurs tangents a des hypersurfaces . . . 87 VI.9. Le lemme de Poincare . . .

Vl.10. Exercices ... .

89 90

v

VII - Systemes hamiltoniens et geometrie symplectique

VII.1. Formulation des equations de Hamilton, forme symplectique 93

VII.2. Exemples de systemes hamiltoniens . . . 94

1) Exemple du plan . . . 94

2) Le flot geodesique sur la sphere . . . 96

VII.3. Transformations symplectiques, fonction generatrice . . . 97

VII.4. L'equation de Hamilton-Jacobi ... . 99

VII.5. Crochets de Poisson . . . 100

VII.6. Le flot geodesique sur l'ellipsoi'de . . . 100

VII.7. Exercices ... . VIII - Systemes lagrangiens et calcul variationnel VIII.1. Calcul variationnel . . . 103 107 VIII.2. Quelques exemples . . . 108

VIII.3. Systemes hamiltoniens associes aux equations de Lagrange . . 109

VIII.4. Exercices . . . IX - Varietes differentiables IX.1. Definition des varietes a bord IX.2. Application differentiable d'une variete differentiable clans une 110 113 autre . . . 1 14 IX.3. Champs de vecteurs et formes differentielles sur une variete dif­ ferentiable . . . 114

IX.4. Orientation d'une variete differentiable . . . 115

IX.5. Exemples de varietes differentiables : les spheres et les espaces projectifs . . . 1 16 IX.6. Partition de l'unite associee a un atlas d'une variete . . . 117

IX. 7. Integration des formes differentielles sur une variete . . . 118

IX.8. Exercices . . . 120

X - Fibre sur une variete, le fibre tangent et le fibre cotangent X.1. Fibres vectoriels topologiques et differentiables . . . 125

X.2. Le fibre tangent TM et le fibre cotangent T* M . . . 126

X.3. Forme symplectique canonique sur T* _M. Notion de variete riemannienne et definition du flot geodesique sur une variete riemannienne . . . 127

Table des matieres

X .4 .

X .5 . X .6 .

Connexion lineaire, exemple de la connexion de Levi-Civita, transport parallele . . . . . . . . . . . . . . . .

Notion de tenseur, exemples des tenseurs de courbure et du ten- seur de Ricci . . . . . . . . . . . Exercices ... ^.

12 7 13 1 13 2 Solutions des exercices

Chapitre I . . . . 13 5

Chapitre II . . . 14 6

Chapitre ^III Chapitre ^IV

16 3 16 9

Chapitre V . . . 17 0

Chapitre VI . . . 18 0

Chapitre VII . . . 18 4

Chapitre VIII . . . 19 1

Chapitre IX . . . 19 7

Chapitre X . . . 2 0 2 Bibliographie . . . 20 7 Notations . . . 20 9 Index . . . 2 1 1

vii

Chapitre premier Courbes

1 . Courbes dans Rn, generalites

Soit I ⁼]a, b[ un intervalle ouvert de R (fini, semi-infini ou infini) et 'Y : I ^{-+ Rn} une fonction definie sur I. On ecrit :

'Y(t) = {'Y1 (t), . . . ,'Yn(t)).

L'application 'Y est <lite differentiable (de classe eP, p 2: 1) si et seulement si toutes les fonctions 'Yi (j = 1 , _{... 'n}) sont differentiables (de classe eP). Dans la suite du cours, on supposera que p = oo.

Definition 1.1

On appelle courbe ₍parametree) ^{de Rn} la donnee d'une application differentiable 'Y : ]a, b[ -+ Rn . L'image de 'Y· notee e, s'appelle la courbe geometrique associee.

On dit que !'application 'Y definit une parametrisation de la courbe geometrique. La courbe est qualifiee de reguliere si 'Y est une immersion, c'est-a-dire si 'Y' (t) =/:-0 en tout point t de I. On peut aussi dire que 'Y definit une parametrisation reguliere de e.

Un point 'Y(t0 ) dee tel que 'Y' (t0 ) = 0 est appele un point singulier de la courbe e.

Exemples 1.2

a) L'application 'Y : JR. -+ JR.2 definie par 'Y(t) = (t, t2) a pour courbe geometrique associee e la parabole d'equation y = x2• Cette parametrisation est reguliere.

b) L'application 'Y : .R -+ R2 definie par 'Y(t) = (t2, t3) definit une parametrisa­

tion de la courbe e d'equation y2 = x3. Dans cet exemple, la courbe presente un point singulier en (0 , 0 ) . Ce point singulier est appele point de rebroussement de premiere espece ou "cusp" (en anglais).

parabole y = x2 cubique y2 = x3

Figures I.1

Definition 1.3

Soit 'Y(t0) (t0 ^E J) un point de e tel que 'Y'(t0) f:. 0. La tangente au point 'Y(to) a

la courbe e est la droite affine passant par le point 'Y(t0) et de direction le vecteur 'Y'(t0) . Le vecteur 'Y'(t0) s'appelle le vecteur vitesse. Un arc ferme d'une courbe e est l'image d'un intervalle ferme [a, b] ^c I ^par 'Y : I ^{-t JR.n .}

Definition 1.4

Un changement de parametrisation ₍admissible₎ a de la courbe geometrique e est defini par une application differentiable a : I ^{-t J telle que} a'(t) f:. 0 pour tout t ^E J.

Deux parametrisations de la courbe e definissent le meme sens de parcours de e si on passe de l'une _a l'autre par un changement de parametrisation tel que a'(t) ^{> 0 .}

2 . Longueur d'un arc de courbe

Soit 'Y : I ^{-t JR.n} une courbe et A = 'Y([a, bl) un arc ferme de la courbe e.

Definition 1.5

La longueur de _I' arc A ^est

lb

l i'Y'(t)ll dt .

On peut montrer que la longueur ainsi definie est la limite des longueurs de lignes polygonales inscrites dans l'arc lorsque le maximum de la longueur de chaque segment de la ligne polygonale tend vers zero.

Lemme 1.6

La longueur de l'arc A est independante de la parametrisation de cet arc.

Preu.ve : On note a : I = [c, d] ^-t [a, b] = J un changement ₍admissible₎ de la parametrisation et 1/J : 'Yo a la nouvelle parametrisation. La longueur de l'arc de courbe A calculee avec la nouvelle parametrisation est

ld

111/J'(u) ll du =

ld

ll'Y'(a(u)) ll la'(u) i du .

Posons t = a(u) ; d'apres la formule de changement de variable dans les integrat es, on obtient :

ld

111/J'(u)ll du =

lb

l i'Y'(t) il dt

qui est la longueur de l'arc A calculee avec la parametrisation initiat e. D

Exemple 1.7

On considere l'exemple 1.2.a donne precedemment et [a, ^b] = [-1, l] . On obtient 'Y'(t) = (1, 2t), l i'Y'(t)ll = J1 + 4t2 •

r1

¹

La longueur de l'arc A est 2 lo J1 + 4t2 dt = v'5 + 2 t n(2 + /5).

§ 3. Parametrisation par la longueur d 'arc 3

3. Parametrisation par la longueur d'arc Definition 1.8

On fixe un point c E [a, bJ . La longueur d'arc s comptee _a partir du point 'Y(c) est la fonction

On suppose que 'Y definit une parametrisation reguliere. La fonction s definit un changement (admissible) de parametrisation puisque s'(t) = l h'(t)ll ^{> 0 .} La nou­

velle parametrisation obtenue ainsi s'appelle la parametrisation par la longueur d'arc ou parametrisation normale.

Exemple 1.9

On considere cette fois-ci a nouveau l'exemple I.2.b ou q : JR ---+ IR.2 avec

q(t) = (t2, t3) . Cette parametrisation n'est pas reguliere puisque le point ^{(0 ,0 )} est un point singulier. On se restreint a l'intervalle JO, +oo[. La longueur d'arc comptee a partir de ^{(0 , 0 )} est ^·

s : t H

ht

uJ4 + 9u2 du = ₂₁₇₍₄₊ 9t2)312 - 287 ^·

Cette courbe fut le premier exemple connu (autre que la droite) de courbe alge­

brique dont la longueur d'arc est une fonction algebrique.

Proposition 1.10

Soit 'l/J : s H 'l/J (s) = ^{'Y o}s_-1 (s) la parametrisation par la longueur d'arc. Le vecteur 'l/J' (s) est unitaire.

Preuve : On a :

Reciproquement cette propriete caracterise la parametrisation par la longueur d'arc (au choix pres de l'origine et du sens de parcours) . D

Proposition 1. 1 1

Soit a : Ja, b[---+ Jc, d[ un changement de parametrisation _{admissible₎ de la courbe e tel que 'Y et 'Y o a ont un vecteur vitesse unitaire. Alors necessairement a(t) = ±t+t0•

Preuve : Les egalites

1 = ll'Y' ^oa(t)ll = ll'Y'(s) ll la'(t) I = la'(t) I impliquent a(t) = ±t + to. D

4. Courbure des courbes du plan

Pour les courbes du plan 'Y : I ^-+ JR2 , il est plus commode d'adopter la notation suivante :

'Y(t) = (x(t), y(t)) .

L'equation d'un cercle (x - a)2 + (y - [3)2 -R2 = 0 depend de trois parametres (a, {3, R). On determine ces parametres de sorte que le cercle ait un contact d'ordre

3 au moins au point (x, y) avec la courbe. Ce contact s'exprime par : (x - a)2 + (y - [3)2 - R2 = 0 ,

(x - a)x' ⁺ (y - f3)y' = 0 , (x - a)x" + (y - f3)y" + (x'2 + y'2) = O ^• Des deux dernieres equations on tire (si x'y" - y"x' -::f 0)

y'(x'2 + y'2) x'(x'2 + y'2)

x - a = x'y" - y'x" ' y - - - x'y" - y'x" {3 - ^· En substituant dans la premiere, il vient :

( x'2 + y'2) 3/2 R = ---�-

lx'y" - y'x"I

On determine ainsi le rayon R et les coordonnees (a, [3) de son centre. Ce cercle s'appelle cercle osculateur a la courbe au point (x, y).

O n nomme courbure moyenne d'un arc le rapport de l'angle 'Y forme par les tan­

gentes a la courbe aux extremites de l'arc a la longueur As de cet arc. La courbure en un point (x, y) est la limite vers laquelle tend la courbure moyenne d'un arc commenc;ant en ce point lorsque la longueur de cet arc tend vers zero.

Proposition 1.12

La courbure en un point est egale ₍au signe pres_{) a} !'inverse du rayon du cercle osculateur.

y' y' +Ay'

Preuve : Soit ^/ x le coefficient angulaire de la tangente en (x, y), x ¹ + A x ^/ celui de la tangente au point (x +Ax, y + Ay). On designe par 'Y l'angle de ces deux tangentes. 11 vient

y' + Ay' y'

1 + _{A / /} x' Ay' - y' Ax' tan(ip) ^- x ux x = ___ __;__"---

- 1 + x' +Ax' x' y' + Ay' y' (x' + Ax')x' + (y' ^·- + Ay')y'

Un calcul au premier ordre donne tan( <p) "' <p puis Ay' ⁼ y" dt, Ax' ⁼ x" dt, ^qui donne

x' Ay' -y' Ax' = (x'y" -y'x") dt et (x' +Ax')x' + (y' +Ay')y' = x'2+y'2 . O

§ 4. Courbure des courbes du plan

, , , I

I \

I I

I

I ,

I I

\ \

\

' \ _"

, ,

' '

.. -

,,,.,...

/

I

I

---

-^-... ^,

\ ' I

-^--... ^__

, , , I I ,

5

' ' \

Deu.x cercles tangents (^{en tirete}), et le cercle osculateur (en traits pleins), ont ete traces;

on observe, dans cet exemple, que la courbe traverse le cercle osculateur.

Figure 1.2: Cercle osculateur .

cp x' y" - y' x"

Enfin �s = J x12 + y'2 dt ; la courbure c = lim _A vaut done

t.s-tO lj.s ( x'2 + y'2) 3/2

On verifie par consequent que lei =

�

^·

So it !R :

R.2

^-t

R.2

l' application lineaire definie par !R : ( ^x, y) H ( -y, ^x)^. Cette application est la rotation vectorielle d'angle

�

et definit la structure complexe du plan

R.2•

^{On note}

(u, v)

le produit scalaire usuel de deux vecteurs de Rn . La fonction courbure c peut ainsi s'ecrire :

C

^· . ^{t H c(t)}

=

('Y"(t),!R('Y'(t))) ll'Y'(t) ll3 ^·

Noter qu'elle depend de la parametrisation. Dans la discussion qui suit, on fait explicitement apparaitre la parametrisation dans la notation t ^H c['Y](t).

Proposition 1.13

Soit h : J^c, d[-t ]a, b[ un changement de parametrisation admissible. La courbure c['Y o h](t) exprimee dans la nouvelle parametrisation est egale _a

c['Yo h](t)

=

^{sign(h' (t))} c['YJ (h(t)) .

Preuve : Soit 'ljJ

=

^{'Yo h ;} on obtient de suite :

1/J'

=

( 'Y' 0 h) h', 1/J"

=

^('y" 0 h) h'2 + ('Y' 0 h) h" ' [1/J](t)

=

( 1/J"(t), !R('l/J'(t)))

=

�. ('Y" 0 h, !R.('Y' 0 h))

C

ll 'l/J'(t)ll3 lh'31 11'Y'0hi13

ce qui demontre le resultat. 0

5 . Exemples de courbes du plan

(Voir les figures p. ⁹ et suivantes).

1) L'ellipse 'Y : t H (acost,bsint).

La courbure est c['Y](t)

=

(a2 sin2 t + b2 ab cos2 t) 3i2

2 ) La spirale logarithmique 'Y : t H (a ^ebt cos t , a ^ebt sin t) . La courbure est c['Y](t)

=

^{a ebt}v'f+"'b2 1

3 ) Les cyclo'ides 'Y : t H (at - b sin t , a - b cos t)^.

4 ) La cardio'ide 'Y : t H 2 (1 + cos t) (cos t , sin t) .

5 ) La cisso'ide de Diodes 'Y : t H 2a

( ^{�2 , _!_2}

l + t l + t

)

^·

Cette courbe etait utilisee par les Grecs clans les problemes de la duplication du cube et de la trisection de l'angle.

6 ) La tractrice 'Y : t H a

(

sin t , cos t + ln tan

D

^·

7 ) La spirale de Cornu 'Y : t H

( ^lo

^{t sin(}

^{u2) du , lo}

^{t cos(}

^{u2) du} ) ^.

8 ) Les courbes de Lissajous 'Y : t H (asin(nt + ^c)^, bsin mt) .

§ 6. Courbes et isometries du plan

6. Courbes et isometries du plan 1) Rappels sur Jes isometries.

7

On peut donner une definition generale des isometries dans le cadre d'un espace vectoriel euclidien. 11 nous suffit ici de rappeler la definition pour IR.n equipe du produit scalaire usuel.

Definition 1.14

Une transformation lineaire A : IR.n ---+ IR.n conserve !'orientation si det₍A₎ > 0 et renverse !'orientation si det₍A₎ < 0. Une transformation lineaire A : IR.n ^---+ IR.n ^est orthogonale si elle conserve le produit scalaire : (Ap, Aq) = (p, q) .

Une transformation orthogonale A satisfait det A = ± 1 . Si det A = 1 , A est une rotation. Si det A ^{= - 1 ,} et n = 2 , A est une symetrie par rapport a une droite.

Definition 1.15

Une transformation affine F : IR.n ---+ IR.n est une transformation de la forme F(p) = Ap + q, ^ou A est une transformation lineaire. Si A est une rotation, F est appelee deplacement. Si det A = - 1 , c'est un anti-deplacement.

Definition 1.16

Une isometrie de R.n est une application F : IR.n ---+ IR.n qui conserve les distances : llF(p) - F(q) ll = llP - qll ·

Proposition 1.17

Une application F : IR.n ---+ IR.n est une isometrie si. et seulement si c' est la composee d'une translation et d'une transformation orthogonale. L'application F est done affine.

Definition 1.18

Soit F : IR.n ---+ IR.n une application de IR.n dans lui-meme. L'image de la courbe 'Y : ]a, b[ ^---t IR.n par F est la courbe definie par F _o 'Y.

2) Courbes et isometries du plan.

Dans le cas du plan, on demontre le

Theoreme 1.19

La valeur absolue de la courbure et la derivee de la longueur d'arc sont invariantes par les isometries. La courbure change de signe apres un antideplacement et est conservee par les deplacements.

Preuve : Soit F : p ^1--t Ap+ ^F(O₎ une isometrie. L'image de la courbe 'Y : ]a, b[---+ IR.2 par F est donnee par 'ljJ(t) = A-y(t) + ^F{O). Done 'ljl1(t) = A-y'(t), 'ljl11(t) = A-y11(t) et il vient 11'1/J'(t)ll ⁼ 11'Y1(t)ll· De plus, la courbure est

['l/J](t) ⁼ ('l/J11 ( t), 'R 'ljl1 ( t)) ⁼ (A-y11 ( t), 'RA-y' ^{ t)) . c ll 'l/J11(t)ll3 llA'Y11(t)l13

Le theoreme resulte alors du lemme suivant dont on laisse la demonstration en exercice : D

Lemme 1.20

Soit A une transformation orthogonale, alors A '.R = c '.RA, ^{avec c} = <let A.

Theoreme 1.21

Soient _"f, 'ljJ deux courbes regulieres definies sur le meme intervalle ]a, b[. ^Supposons que 'Y ^et 'ljJ ont la meme courbure aux points correspondants _a la meme valeur de l'abscisse curviligne, alors ii existe un deplacement qui transforme une courbe dans l'autre.

Preuve : La proposition ^{1 . 13 .} permet de supposer que ll'Y'(s)ll ⁼ 11'1/J'(s) ll ^{= 1 . On} fixe s0 E ]a, b[ . Il existe une translation qui applique 'Y(so) sur 'lj;(so) et une rotation qui transforme le vecteur 'Y'(s0) en le vecteur 'lj;'(so). Soit done F l'isometrie du plan obtenue en composant les deux ; on obtient

F('Y(so)) = 'l/J(so), F('Y'(so)) = 'l/J'(so) . On va montrer que F o 'Y = 'ljJ. Pour cela on considere la fonction

f (s) =

�II

^{(F o "f} )1 (s) - 'l/J'(s)ll2 . Sa derivee est :

f ^I ( s) = ( ( F ⁰ 'Y) ^II ( s) - 'l/J" ( s) ' ( F ⁰ 'Y) ^I ( s) - 'l/J' ( s))

= -((F o "{11(s)) , 'l/J'(s)) - ( (F o "{1(s)) , 'l/J"(s)

)

⁾

= -(c['YJ (F o '.R 'Y'(s)) , 'l/J'(s)) - (c['l/Jl (F o "{'(s)) , '.R 'l/J'(s))

= -c['Y]((F o '.R + '.Rt o F)'Y'(s) , 'lj;'(s)) = 0

car F commute avec '.R et '.R + '.Rt = 0 ( '.Rt est la transposee de '.R). La fonction f est done constante ; etant nulle en s0, elle est nulle sur ]a, b[. On en deduit que st-+ F o "{(s) - 'ljJ(s) est constante, done nulle puisque F('Y(so)) = 'ljJ(s0), ce qui acheve la demonstration. 0

7. Courbes du plan deftnies par une equation implicite /(x , y) = 0 Considerons !'ensemble des points (x, y) d'un ouvert U de IR2 tels que f(x, y) = 0

OU f : u---+ JR est une fonction de classe e00 sur l'ouvert u. Supposons de plus que la differentielle df ne s'annule pas en un point (x0, y0). L'une au moins des deux derivees partielles ne s'annule pas. Supposons par exemple que

��

^{(x0, y0) =fa 0. Par}

continuite, il existe un voisinage V de (x0, y0) sur lequel

��

^{(x, y) =fa} 0. Le theoreme des fonctions implicites (l'enonce general est donne en ^{111 .2 )} assure }'existence d'un voisinage V' c V de (xo, Yo) tel qu'il existe une fonction 'Y de classe e00 telle que :

{(x, y) EV' I f(x, y) = o} = {(x, y) EV' /y = 'Y(x)}.

§ ^1. Courbes du plan deftnies par une equation implicite f ( ^x, y) ⁼ 0

ellipse : (a cos t , b sin t)

spirale logarithmique : (a ^{ebt cos t ,} a ^{ebt sin t})

Figures I.3 : Exemples de courbes planes .

9

cy cloi:de :

cy cloi:de :

cy cloi:de :

(at - b sin t , a - b cos t)

(at - b sin t , a - b cos t)

(at - b sin t , a - b cos t)

Figures I.4 : Cy cloi:des .

(b = 3a)

(b = a)

(2b = a)

§7. Courbes du plan deftnies par une equation implicite f(x,y) = 0 ^{1 1}

cardio'ide : 2a(l + cos t) (cos t , sin t)

courbe de Lissajous : (^{asin(nt + c) ,} b sin mt) (n=5, m=4, c=27r/5) Figures I.5 : Exemples de courbes planes .

cissolde de Diodes : _2a

(i

--,-­^{+ t2} t2 ^{1 + t2} t3

)

tractrice : a

(

^{sin t ,} cos t + In tan

�)

Figures I.6 : Exemples de courbes planes .

§ 7. Courbes du plan definies par une equation implicite f (x, y) = 0

Figure I. 7 : Spirale de Cornu ,

13

On a utilise, pour tracer la courbe, la representation parametrique indiquee, en calculant numeriquement les integrales pour 0 :::; t :::; 2, 5 (par la methode de Romberg) ^{et en} remplac;ant les fonctions x et y par leurs valeurs asymptotiques pour t > 2, 5 :

Sur ce voisinage V' !'ensemble {(x, y) ^{E V' /} f(x, y) ⁼ O} est done une courbe parametree au sens de la definition des paragraphes precedents.

af -(x, ')'(x))

Rappelons que 'Y'(x) = -

gj

^· Dans ce type de situation, on dit qu'on a ay (x, ')'(x))

defini une courbe par une equation implicite f (x, y) = 0.

Exemples 1.22

a) Etudier f(x, y) = x2 + y2 - ^1.

b) La lemniscate est donnee par !'equation implicite : f(x, y) = (x2 + y2)2 - a2(x2 - y2) = 0 .

Peut-on appliquer la construction de I. ⁷ au voisinage de to us les points ?

8. Courbes : etude locale d'une courbe du plan au voisinage d'un point singulier et branches infinies.

1 ) :Etude locale d'une courbe plane par rapport a la tangente.

On a jusqu'ici procede au voisinage d'un point regulier 'Y(t0) tel que 'Y'(t0) f 0. On donne, dans ce paragraphe, une classification grossiere des points singuliers d'une courbe plane.

Soit vp ⁼ 'Y(P)(to) la premiere des derivees successives de 'Y qui est differente de 0 et vq = 'Y(q)(t0) la premiere derivee d'ordre q > p qui ne soit pas colineaire a 'Y(P)(t0).

La formule de Taylor appliquee a 'Y au voisinage de t ⁼ to ^conduit a distinguer quatre cas :

p impair

q pair ^p impair

q impair

point d'inflexion

p pair

q impair

point de rebroussement de premiere espece Figures I.8 : Forme locale d'une courbe .

p pair

q pair

point de rebroussement de seconde espece

§ 9. Courbes dans l'espace JR3 ¹⁵ Un dernier element doit etre mentionne pour l'etude des courbes. II s'agit des branches infinies des courbes planes :

2) Branches infinies et asymptotes des courbes planes.

Si la norme du vecteur 'Y(t) tend vers l'infini lorsque t ^-t to (to pouvant, ici, etre infini), on dit que la courbe presente une branche infinie. Si, ayant choisi une origine 0, le vecteur tend vers une limite L, cette limite ne depend pas de 0 et on dit que la courbe a la direction L comme direction asymptotique. Si de plus il existe une droite affine du plan de direction L telle que la distance entre la courbe et la droite tend vers zero lorsque t ^-t t0, cette droite est appelee une asymptote a la courbe.

9. Courbes dans l'espace JR3 Soient

x = 'Y1(t) ^{' y =} 'Y2(t) ^{' z =} 'Y3(t) les equations d'une courbe dans JR3 . Les equations d'une droite :

y -ax -b = 0, z - a'x - b ' = 0

dependent de quatre parametres que l'on peut choisir pour avoir un contact double avec la courbe. Ceci conduit aux equations :

y - ax - b = 0, z - a' x - b ' = 0, y ' - ax ' = 0, z ' -a' x ' = 0 . En eliminant a et a', on obtient des equations de la tangente :

Definition 1.23

La tangente en un point regulier (x, y, z) (c'est-a-dire tel que (x ', y ', z ') f. 0) est donnee par les equations

y '(X -x) = x '( Y -y) z ' ( Y -y) = y ' ( Z ^{- z) .}

Definition 1.24

Le plan perpendiculaire a la tangente en un point regulier est appele plan norma.1 et a pour equation :

x ' ( X -x) + y ' (Y -y) + z ' ( Z - z) = 0 .

On appelle longueur d'un arc de courbe la limite de la longueur d'un polygone inscrit. De fa11on analogue a ce que l'on a etabli dans le plan, on montre que la longueur infinitesimale est

ds ⁼ J x '2 + y '2 + z '2 dt .

L'equation d'un plan Ax + By + Cz + D = 0 peut etre choisie de maniere a avoir un contact d'ordre trois avec la courbe. Ce choix conduit au pla.n oscula.teur. Pour cela, on a les trois equations :

Ax + By + Cz + D = O , Ax '+ By '+ Cz ' = 0 , Ax" + By" + Cz" = O .

L'elimination des parametres conduit a la

Definition 1.25

X - x Y - y Z - z Le plan osculateur est donne par !'equation x' y' z' = ^{0 .}

x" y" z"

La tangente a la courbe appartient, bien siir, au plan osculateur.

Les equations d'un cercle de centre (a, (3, 'Y) et de plan perpendiculaire au vecteur (m, n, p) sont :

{

^(X - a)2 + (Y - (3)2 + (Z - 'Y)2 - R2 = ^{0 ,} m(X - a)+ n(Y - (3) + p(Z - 'Y) = ^{0 .}

Comme dans le cas de l'etude d'une courbe plane, si on cherche a realiser un contact d'ordre trois avec la courbe, il vient :

(1) (x - a)2 + (y - (3)2 + (z - 'Y)2 - R2 = ⁰

(2) x'(x - a)+ y'(y - (3) + z'(z - 'Y) = ⁰ (3)

(4) (5)

�� - aj+�� - �+�� - �+�+�+� = 0 m(x - a)+ n(y - (3) + p(z - 'Y) = ⁰

mx' +ny' +pz' = ⁰

(6) mx" + ny" + pz" = ^{0 .}

Des trois dernieres equations on deduit l'egalite :

(7 )

x - a y - /3 Z - 'Y x" x' y'

y" z' = ⁰ z"

qui montre que le centre (a, /3, 'Y) du cercle osculateur est dans le plan osculateur.

II est commode de poser :

A = (y'z" - z'y") , B = (z'x" - x'z") , C = (x'y" - y'x") . La resolution des equations (2), (3) et ^{(7 )} conduit ₍si (A, B, C) =/:-0) a :

(Cy' - Bz') (x'2 + y'2 + z'2)

x - a = A 2 + B2 + c2 '

(Az' - Cx') (x'2 + y12 + z'2)

y - /3 = A 2 + B2 + c2 '

(Bx' - Ay') (x'2 + y'2 + z'2)

z - 'Y = A2 + B2 + c2 '

qui determinent les coordonnees (a, {3, 'Y) du centre du cercle osculateur. Son rayon R s'obtient alors facilement :

R2 = (x - a)2 + (y - /3)2 + (z - 'Y)2 ' soit

§ 9. Courbes dans l'espace R.3 ¹⁷ Comme dans l'etude des courbes planes, la courbure se definit geometriquement comme la limite du rapport de l'angle de deux tangentes aux extremites d'un arc a la longueur de cet arc quand cette derniere tend vers zero. De maniere analogue au paragraphe I.9, on a

Proposition 1.26

La courbure c ^{est egale} (au signe pres) ^a !'inverse du rayon du cercle osculateur.

Preuve : L'angle cp de deux droites dont les cosinus directeurs sont proportionnels a (a, b, c) et a (a', b', c') est donne par

aa' + bb' + cc'

cos cp ⁼ Ja2 + b2 + c2 Va'2 + b'2 + c'2 ^· On applique cette formule a

(a, b, c) ⁼ (x', y', z') et (a', b', c') ⁼ (x' + !ix', y' + !:iy', z' + !:iz') , ce qui donne _{sin2 cp} A2+B2+c2

= (x'2 + y'2 + z'2) 2 (dt)2 et conduit a . cp 'I/ A2 + B2 + C2 ¹

c⁼ hm ^{-= =- ·} D

ds-+O ds (x'2 + y'2 + z'2)3/2 R

Soit 'Y : ]a, b[ ---+ R.n une courbe reguliere de l'espace. Quitte a faire un changement admissible de parametre, on peut, comme dans le plan, supposer que il"f'(t)ll ^{= 1 .}

Proposition 1.27

La valeur absolue de la courbure est egale _a lc['Y](t)I ⁼ ll'Y"(t) ll .

Preuve : Dans le cas ou ll'Y'(t)ll ^{= 1 ,} les vecteurs "(1 et "(11 sont orthogonaux et ic["(](t)I ⁼ ll'Y' "'Y"(t)ll ⁼ il'Y"(t)ll ^{· o}

Definition 1.28

Le vecteur T(t) ⁼ 'Y'(t) est appele le vecteur tangent unitaire _a la courbe au point 'Y( t).

On suppose dans la suite que le vecteur 'Y"(t) est lineairement independant de 'Y'(t). Dans ce cas on introduit les donnees suivantes :

Definition 1.29

Le vecteur N(t) ⁼ T'(t)/ c(t) est appele le vecteur normal principal et le vecteur B ⁼ T

/\

^N le vecteur binormal. Le triedre direct (T, N, B) est appele le triedre de Frenet. Le plan affine passant par 'Y(t) de direction vectorielle le plan engendre par T et N est le plan osculateur.

Proposition 1.30

Le vecteur B' est colineaire _a N.

On designe par r et on appelle torsion de la eourbe la fonetion definie par : B'=-rN .

On a de plus :

Ces deux relations jointes a

N'=-cT+rB . T' = cN sont appelees les formules de Frenet.

Preuve : Le veeteur B est unitaire et done (B', B) = ^0. On a de plus (B', T) = -(B, T') = -c(B, N) = ^{0 .}

Le veeteur B' est done proportionnel a N et on peut definir la torsion ^T par B' = -rN.

Pour etablir la derniere relation de Frenet, on eerit

N' = (N', T)T + (N', N)N + (N', B)B,

puis (N', T) = -(N, T') = -c(N, N) = -k, (N', N) = ⁰

et (N', B) = -(N, B') = -(N, -rN) = r. D

Remarque :

On a done

Exemples 1.31 (Voir les figures I.9.)

L'helice eireulaire est definie par : _{-y : s H}

(

a eos v'a2 + b2 ' asm v'a2 + b2 ' v'a2 + b2 . ^{s . s s}

)

Le ealcul de la eourbure et de la torsion donne

Proposition 1.32

a b

c[-y] = a2 + b2 et r[-y] = _{a2 + b2}

La courbure et la valeur absolue de la torsion sont invariantes par les isometries de R.3 . La torsion change de signe par les anti-deplacements.

Preuve : Soit ^'Y : ]a, b[ ^� R.3 une eourbe de l'espaee et F : p H Ap + F(O) une isometrie. Soit _'1jJ : F o -y, il vient :

'1/J'(t) = A-y'(t), 'ljJ"(t) = A-y"(t), 'ljJ111(t) = A-y"'(t) . On peut supposer que 11'1/J'(t) ll = 1, done aussi il'"Y'(t)ll = 1 et il s'ensuit

c['ljJ](t) = 11'1/J"(t)ll = ll'"Y"(t) ll = c['"Y](t) . De la deuxieme relation de Frenet, il resulte que

r = (B, N') = (T

/\

N, N') = (T, N, N') (le produit mixte) done c2 r['"Y](t) = ( -y', -y", -y"'), ( r n'existe que si c ^{> 0)} d'ou :

c2 r['ljJ](t) = ( '1/J', '1/J", '1/J"') = ^(<let A) ( -y', -y", 7111) = ± c2 r[-y](t) .

§ 9. Courbes dans l'espace !R3

z

y

fenetre de Viviani : {sin2 t , sin t cos t , cos t)

z

helice circulaire : (a cos t , a sin t , b t)

Figures 1.9: Exemples de courbes gauches et de triedres de Frenet .

19

Theoreme 1.33

Soient 'Y ^et 'ljJ deux courbes regulieres definies sur le meme intervalle telles que ll'Y'(t)ll ⁼ 117/J'(t)ll ⁼ 1. Supposons que 'Y ^et 'ljJ ont les memes courbure et torsion aux points correspondants _a la meme abscisse curviligne et que la courbure ne s'an­

nule jamais. Alors ii existe une isometrie de JR3 qui envoie une courbe sur l'autre.

Preuve : Introduisons les triedres de Frenet (T"f,N.r, B"f) et (Tt/J, Nt/J, B'l/J) associes a 'Y et a 7/J. Fixons t0 ^E ]a, b[ et la translation qui envoie 'Y(t0) sur '1jJ(t0). 11 existe une transformation orthogonale qui envoie le triedre de Frenet associe a 'Y sur celui associe a 7/J. Soit F la composee des deux. On considere alors la fonction :

J(t) ⁼ ll(F o T"f) (t) - F1/J(t)ll2 + llF o N"f(t) - N1/J(t)2 + ll(F o B"f)(t) - Bt/J(t)ll2•

Un calcul analogue a celui fait dans la demonstration du theoreme 1.1 8 conduit a f'(t) ⁼ 0 et done J(t) ⁼ 0.

On en deduit que (F o 'Y)'(t) ⁼ 'ljJ'(t) et que F o 'Y(t) ⁼ 'ljJ(t) . 0

Remarque :

11 est necessaire de supposer que la courbure ne s'annule pas. L'exemple suivant donne un contre-exemple dans le cas ou la courbure s'annule :

{ ^{O sit=O}

'Y : ti--t (t, ^{0, 5 exp(-}t2 )) 1 si t -f; 0

{

^{(t, 5 exp(-t}

�

^),

o)

si t < 0

'ljJ : ti--t 0 ₁

sit=O

(t, 0, 5 exp(- t2 ))

sit>O

Par la suite, on va utiliser une notion plus generale d'isometrie. 11 est utile, pour preparer cette extension, d'ajouter le theoreme suivant qui se demontre en calcul diff erentiel :

Theoreme 1.34

Soit U, V deux ouverts de R.n ^{et F :} U -+ V une application differentiable de classe e2 telle que la differentielle est, en tout point, une isometrie, alors F est une isometrie.

Enonces des exercices Exercice 1.1

Etude de la lemniscate d'equation (x2 + y2)2 - a2(x2 - y2) ⁼

O.

1) Donner la parametrisation de la courbe en coordonnees polaires.

2) Tracer son graphe.

3) Montrer qu'elle est le lieu des points M tel que MA. MB = !a2 ^ou

A=

(

^-

�·o),

^B=

(�·O)·

Exercices 21

Exercice 1.2

Etude de la courbe d'equation x2 + y2 + xy + x + y = 1 .

1) Donner une parametrisation de la courbe en coordonnees cartesiennes.

2) En deduire sa nature et calculer la courbure en chacun de ses points.

Exercice 1.3

Etude de la courbe de Lissajous definie par la parametrisation x(t) = sin 4t, y(t) = cos 6t . 1) Etudier le tableau de variation de x(t) et y(t) . 2) Expliciter ses points doubles.

3) Tracer son graphe.

Exercice 1.4

Etude de la cardiolde definie par Ia parametrisation

x(t) =

�

(2 cos t - cos 2t), y(t) =

�

(2 sin t - sin 2t) . 1) Tracer son graphe.

2) Calculer sa courbure.

3) Trouver le groupe des rotations et le groupe des isometries qui la laisse inva­

riante.

Exercice 1.5 (Loxodromies)

1) Soit une courbe plane de representation parametrique X(cp) = r(cp)U(cp), ou U( cp) est le vecteur unitaire (^cos cp, sin cp) et r une fonction aussi reguliere que necessaire.

Montrer que la courbe coupe les demi-droites issues de l'origine a angle constant

a si et seulement si elle est portee par une spirale logarithmique r(cp) ^{= a em'P ; on} precisera le lien entre m et a.

2) On effectue, dans JR3 , !'inversion (t) de centre (0, 0, -1) et de puissance 2 qui envoie le plan z = 0 sur la sphere unite privee du pole sud. Expliciter les coordon­

nees de l'image d'un point (x, y, 0) et verifier que l'image, par !'inversion, d'une spirale logarithmique est une courbe de la sphere unite qui coupe les meridiens a angle constant ( une loxodromie).

3) On envoie le plan initial prive du demi-axe negatif (c'est-a-dire r ^> 0 et lcpl < ^7r sur la bande B = JRx J ^{-7r, 7r}[ par la fonction ^: ( r, cp) ^{f-t (ln} r, cp). Verifier que c'est une bijection et que l'image d'une partie r de spirale logarithmique comprise dans le plan coupe est un segment de droite. Quel angle fait-elle avec les droites horizontales ? Que representent ces droites ? Preciser les proprietes de la carte de la sphere unite ainsi obtenue (carte de Mercator).

(t) Voir l'exercice 11.15 pour un rappel de la definition

Exercice 1.6

1) So it X ( ^s) la parametrisation d'une courbe plane r par l'abscisse curviligne, T( ^s) le vecteur tangent unitaire, a(s) ^!'angle

(61,

^T(s)

)

^{, c(s)} la courbure. Montrer

da(s) que c(s) = dS ^·

2) Application a l'arc de cycloi:de r, defini par la parametrisation x(t) ⁼ (^{t - sin t})^{, y}(^t) ^{= (1 - cos t}) ^{pour t E} [O, 2rr] .

Precisez la longueur de l'arc r, l'abscisse curviligne s, !'angle a et la courbure c.

Exercice I. 7

La developpee d'une courbe plane r de parametrisation X(^s) est le lieu de ses centres de courbure et admet la parametrisation Y(s) = X(^s) ⁺ _c

t

^{s)N(s), ou}

N(^s) designe le vecteur normal unitaire a r en X(^s) (s est l'abscisse curviligne sur r)^.

1) Montrer que la tangente en Y ( s) a la developpee est portee par la normale en X(^s) a la courbe.

2) Montrer que la developpee de la parabole d'equation y ⁼

�

^a 2 est la courbe, dite de Neil, d'equation 27ax2 ⁼ 8(^{y -}a)3•

Exercice 1.8

Soit X(^s) la parametrisation d'une courbe gauche r par l'abscisse curviligne, c(s) la courbure et r( ^s) la torsion.

1) En utilisant les formules de Frenet montrer que : a) c(s) ⁼ 0 si et seulement si r est une droite,

b) ^si c(s) ^> 0, pour tout s, alors r(^s) ⁼ 0 si et seulement si r est une courbe plane.

2) En deduire qu'une courbe gauche r est un arc de cercle si et seulement si c(s) est une constante positive et r(^s) ^{= 0 .}

Exercice 1.9

Une Mlice est une courbe dont la tangente fait un angle constant avec une direction fixe determinee par un vecteur unitaire K. Soit X(^s) la parametrisation d'une courbe gauche r par l'abscisse curviligne, c(s) (^{resp. r}(^s)) sa courbure (^{resp. sa} torsion)^.

1) Montrer que r est une Mlice si et seulement si le rapport _� est constant.

1'

2) On examine une Mlice tracee sur la sphere unite de IR.3.

On note, pour toute fonction vectorielle de l'abscisse curviligne s, X la derivee par rapport a s de la fonction X ^: _X =

��

^{· Appelant a} !'angle de la tangente a