Fiche de cours de terminale STG : Programmation linéaire.
M. Duffaud Franck
Programmation linéaire.
Sommaire : Définition, recherche d’un bénéfice maximal, recherche d’un coût minimal.
Pré requis : Régionnement du plan.
Remarque : Dans tout ce qui suit, on se place dans le repère .
1. Définition.
La programmation linéaire est une méthode permettant d’optimiser, c'est-à-dire rendre le plus grand ou le plus petit possible, une fonction linéaire à deux inconnues x et y, cela sous certaines contraintes définies par des inégalités.
Les exemples habituels d’optimisation sont la recherche d’un bénéfice maximal ou d’un coût minimal.
Remarque : C’est grâce à cette méthode que les problèmes de ravitaillement étaient résolus pendant la seconde guerre mondiale.
2. Méthode à partir d’un exemple : recherche d’un bénéfice maximal.
Un artisan fabrique des tables en chêne et en hêtre. On a les contraintes suivantes :
(C1) : La fabrication d’une table en hêtre dure 2 heures et nécessite 2 m3 de bois.
(C2) : La fabrication d’une table en chêne dure 3 heures et nécessite 1 m3 de bois.
(C3) : L’artisan ne travaille pas plus de 36 heures par semaine, et ne peut entreposer plus de 24 m3 de bois.
(C4) : L’artisan fait un bénéfice de 30 euros par table en chêne et 40 euros par table en hêtre.
L’idée est de déterminer le nombre de tables de chaque type réalisant le bénéfice maximal.
Etape 1 : On construit le polygone des contraintes.
Pour cela on traduit les contraintes par des inéquations puis comme dans la fiche
« Régionnement du plan », on détermine la partie du plan associée aux inéquations.
On note y le nombre de tables en chêne et x le nombre de tables en hêtre Les contraintes impliquent que :
2x + 3y 36 car l’artisan ne travaille pas plus de 36 heures et la fabrication d’une table en hêtre dure 2 heures et celle d’une table en chêne dure 3 heures.
2x + y 24 car l’artisan ne peut entreposer plus de 24 m3 de bois et la fabrication d’une table en hêtre nécessite 2 m3 de bois et celle d’une table en chêne
nécessite 1 m3 de bois.
Le domaine de contraintes est donc l’ensemble des point M(x ;y), à coordonnées entières, qui vérifient :
On obtient le domaine suivant (Pour la méthode, c.f. fiche « Régionnement du plan »).
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Remarque : Il est souvent demandé de calculer les coordonnées du points d’intersection de deux des droites limites. Les droite (AB) et (CD) se coupent en I(9 ;6). Ce point
d’intersection est souvent capital.
Etape 2 : On détermine la fonction économique (la droite des bénéfices ou droite des coûts).
Pour cela on traduit les contraintes liées aux bénéfices réalisés par une équation de la forme : ax + by = B
Ici, on sait que l’artisan fait un bénéfice de 300 euros par table en chêne et 400 euros par table en hêtre donc : 40x + 30y = B.
On veut que B prenne la valeur la plus grande possible car il s’agit d’un bénéfice.
On considère les droites associées à la fonction bénéfice. On trace une droite particulière (d) (souvent ax + by = 0) et on s’intéresse aux droites parallèles à la droite (d).
En effet d’après le cours on sait que les droites d’équation ax + by = B, quand le nombre B varie, sont toutes parallèle car elles ont même coefficient directeur.
On trace donc la droite d’équation 40x + 30y = 0 par exemple, soit y = - x.
Etape 3 : Détermination du point optimal.
Puis graphiquement, à l’aide d’une règle posée sur la droite (d), on cherche la parallèle à (d), traversant le polygone des contraintes et coupant l’axe (Oy) au plus haut lorsqu’on cherche le bénéfice maximal.
Ici la droite coupant (Oy) au point le plus haut et traversant le polygone des contraintes coupe ce dernier en I(9 ;6).
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On peut alors conclure :
Le bénéfice maximal est atteint pour une production de x = 9 tables en hêtre et y = 6 tables en chêne.
Il est de 409 + 306 = 540 euros.
3. Recherche d’un coût minimal.
La méthode est identique et seule l’étape 3 est modifiée.
En effet on cherche alors graphiquement, à l’aide d’une règle posée sur la droite (d), la parallèle à (d), traversant le polygone des contraintes et coupant l’axe (Oy) au plus bas puisque l’on veut déterminer un coût minimal.
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