PROGRAMMATION LINÉAIRE

Optimisation discrète : Séance 3 (corrigés, indications)

PROGRAMMATION LINÉAIRE

Objectifs Initiation à la programmation linéaire.

1 Engrais chimiques

1.1 Méthode géométrique

Ex 1 Résolution géométrique (Fig. 1) : l’optimum est enP.

Ex 2 Formulation algébrique :

min 3x1+ 5x2

x1+x2 ≤ 8

x2 ≤ 4

2x1+ 3x2 ≤ 19 x1, x2 ≥ 0

Déf 1 Forme standard :

x1 +x2 +y1 = 8

x2 +y2 = 4

2x1 +3x2 +y3 = 19

Ex 3 Sommets(x1, x2, y1, y2, y3)du domaine polygonal : O : (0, 0, 8, 4, 19) M : (8, 0, 0, 4, 3)

T : (5, 3, 0, 1, 0) N : (0, 4, 4, 0, 7) P : (⁷₂, 4, ¹₂, 0, 0)

Ex 4 Si on chemine le long deON, on arrive enN, avec la valeur (tirée de[C2]) : x2= 4−y2

qu’on reporte :

– dans[C ]:y =. . .= 4−x +y

Ex 5 Par un calcul analogue le long deOM :

Φ = 24 + 2x2−3y1

Ex 6 Si on chemine deN àP, on arrive enP avec la valeur (tirée de[C3]) : x1=7

2 +3 2y2−1

2y3

qu’on reporte :

– dans[C1]:y1=. . .= ₂¹−¹₂y2+¹₂y3

– dans[C2]:x2=. . .= 4−y2

– dansΦ:Φ =. . .=⁶¹₂ −¹₂y2−³₂y3

1.2 Méthode des tableaux

Tableaux du Simplexe : Fig. 2.

Ex 7 Chaque tableau est relatif à une étape du cheminement (O→N →P).

Ex 8 On passe d’un tableau au suivant par une combinaison linéaire de lignes.

Ex 9 Sur le dernier tableau, aucune amélioration deΦn’est plus possible.

1.3 Perturbation des données

Ex 10 Avec 10 kg de nitrates, la valeur deΦest inchangée (enP) : Fig. 3.

Ex 11 Avec 6 kg de nitrates, la valeur deΦdiminue (enP⁰) : Fig. 4.

1.4 Autre point de vue

Ex 12 Ce problème, on minimise le prix de vente :

π= 8u1+ 4u2+ 19u3

sous les conditions (écrites ici directement sous forme d’égalités) :

u1 +2u3 −v1 = 3

u1 +u2 +3u3 −v2 = 5

Ex 13 On ne peut pas démarrer avec des valeurs évidentes dev1 etv2 : nous reviendrons sur cette difficulté.

F^IG. 1 – Représentation géométrique

FIG. 2 – Tableaux

1 2 3 4 5

1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 : 8.000 3 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 4 2.000 3.000 0.000 0.000 1.000 : 19.000 5 -3.000 -5.000 0.000 0.000 0.000 : 0.000

1 4 3 4 5

1.000 -1.000 1.000 -1.000 0.000 : 4.000 3 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 2 2.000 -3.000 0.000 -3.000 1.000 : 7.000 5 -3.000 5.000 0.000 5.000 0.000 : 20.000

5 4 3 4 5

-0.500 0.500 1.000 0.500 -0.500 : 0.500 3 -0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 2 0.500 -1.500 0.000 -1.500 0.500 : 3.500 1 1.500 0.500 0.000 0.500 1.500 : 30.500

FIG. 3 – Avec 10 kg . . .

1 2 3 4 5

1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 : 10.000 3 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 4 2.000 3.000 0.000 0.000 1.000 : 19.000 5 -3.000 -5.000 0.000 0.000 0.000 : 0.000

1 4 3 4 5

1.000 -1.000 1.000 -1.000 0.000 : 6.000 3 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 2 2.000 -3.000 0.000 -3.000 1.000 : 7.000 5 -3.000 5.000 0.000 5.000 0.000 : 20.000

5 4 3 4 5

-0.500 0.500 1.000 0.500 -0.500 : 2.500 3 -0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 2 0.500 -1.500 0.000 -1.500 0.500 : 3.500 1 1.500 0.500 0.000 0.500 1.500 : 30.500

F^IG. 4 – Avec 6 kg . . .

1 2 3 4 5

1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 : 6.000 3 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 4 2.000 3.000 0.000 0.000 1.000 : 19.000 5 -3.000 -5.000 0.000 0.000 0.000 : 0.000

1 4 3 4 5

1.000 -1.000 1.000 -1.000 0.000 : 2.000 3 0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 2 2.000 -3.000 0.000 -3.000 1.000 : 7.000 5 -3.000 5.000 0.000 5.000 0.000 : 20.000

3 4 3 4 5

1.000 -1.000 1.000 -1.000 0.000 : 2.000 1 -0.000 1.000 0.000 1.000 0.000 : 4.000 2 -2.000 -1.000 -2.000 -1.000 1.000 : 3.000 5

3.000 2.000 3.000 2.000 0.000 : 26.000

2 Approximation du problème du profil d’une route

– Expression numérique à minimiser : I(U) =h

µ1

2φ(u0−g0) +φ(u1−g1) +· · ·+φ(un−2−gn−2) +1

2φ(un−1−gn−1)

¶

– Contraintes à vérifier :

|ui−ui−1| ≤αh 1≤i≤n−1 Ex 14 On choisitφ(y) =|y|, et on introduit :

zi≥h|ui−gi| On a alors :

umini,zi

1

2z0+z1+...+zn−2+...+1 2zn−1

|ui−ui−1| ≤ αh 1≤i≤n−1

Ex 15 C’est un problème de programmation linéaire où : Φ(u, z) = 1

2z0+z1+...+zn−2+...+1 2zn−1

(qui ne dépend que dez), sous les contraintes :

−αh ≤ ui−ui−1 ≤ αh

−h(ui−gi) ≥ zi ≥ h(ui−gi) Ex 16 Pour le résoudre comme précédemment, noter que :

1. les variablesuine sont pas soumises à la condition de positivité.

On peut poser :ui=u⁺_i −u⁻_i

2. les seconds membres ne sont pas toujours positifs.

Il suffit de changer le sens des inégalités.

Dans tous les cas, on aura des inégalités dans les deux sens, ce qui conduit à résoudre un problème préalable pour démarrer les itérations.