Instabilités hydrodynamiques dans les écoulements en rotation différentielle

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Instabilités hydrodynamiques dans les écoulements en

rotation différentielle

Denis Richard

To cite this version:

Denis Richard. Instabilités hydrodynamiques dans les écoulements en rotation différentielle.

Astro-physique [astro-ph]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2001. Français. �tel-00001393�

Ecole Doctorale d’Astronomie - Astrophysique d’Ile de France

Universit´e Paris 7 Denis Diderot

THESE

pr´esent´ee pour l’obtention du grade de

Docteur de l’Universit´

e Paris 7

Sp´ecialit´e Astrophysique

par

Denis Richard

Instabilit´es Hydrodynamiques dans les Ecoulements en Rotation Diff´erentielle

Soutenue le 6 d´ecembre 2001 devant le Jury compos´e de

Jacques Le BourlotPr´esident Antonello ProvenzaleRapporteur

Michel RieutordRapporteur Olivier DauchotExaminateur B´ereng`ere Dubrulle Examinateur

Jean HeyvaertsExaminateur Jean-Paul ZahnDirecteur de Th`ese

D´epartement d’Astrophysique Stellaire et Galactique, Observatoire de Paris

———–

Groupe Instabilit´es et Turbulence, Service de Physique de l’Etat Condens´e, Commissariat `a l’´Energie Atomique - Saclay

A Jacques

«Croyez ceux qui cherchent la v´erit´e, doutez de ceux qui la trouvent. » A.Gide

Remerciements

Cette th`ese a ´et´e pr´epar´ee au D´epartement d’Astrophysique Stellaire et Galactique (DASGAL) de l’Observatoire de Paris et au Groupe Instabilit´es et Turbulence (GIT) du Service de Physique de l’Etat Condens´e du CEA. Je tiens a remercier les responsables succesifs de ces deux laboratoires pour m’avoir donn´e les moyens de mener `a bien ce travail. Elle a ´et´e financ´ee en partie par le CEA et le Programme National de Physique Stellaire (PNPS). Je remercie les membres de ce jury et les rapporteurs pour avoir accept´e de prendre de leur temps pour s’interesser `a ce travail.

Dans tout voyage initiatique il y a des guides. Au long de ce chemin, et dans l’ordre de leur apparition, il y aura eu d’abord Jean-Paul Zahn, le directeur de cette th`ese, Jean-Marc Hur´e et B´ereng`ere Dubrulle pour l’Astrophysique, Olivier Dauchot et Francois Daviaud pour l’Hydrodynamique exp´erimentale. Ils ont tous tent´e, parfois en vain, de me transmettre une part de leur exp´erience. Il y a ´egalement les compagnons de route ; Franck Hersant, Arnaud Prigent, Daniel Bonamy, Louis Mari´e, avec qui j’ai partag´e la condition de « Th´esard » ; C´ecile Gasquet et Vincent Padilla, les deux sauveteurs du GIT qui ont pris l’habitude de r´esoudre les probl`emes techniques les plus saugrenus, sans oublier Christian Paris, embl`eme de l’Observatoire de Medon. Il y a ´egalement ceux que l’on croise, les membres et nombreux stagiaires du GIT, du DASGAL et de l’Observatoire. Toutes ces personnes sont devenues mes « proches »dans « ma famille scientifique ».

De cette th`ese, ´ecartel´ee entre deux laboratoires et entre deux disciplines, je retiendrai l’importance de m´elanger les savoirs et le savoir-faire venus de diff´erents horizons. Jean-Paul m’aura appris a ˆetre passion´e tout en restant lucide et objectif, Jean-Marc m’a montr´e un exemple de rigueur et d’honn`etet´e et B´ereng`ere un exemple de vivacit´e d’esprit et d’imagination. Olivier m’a appris la « r´ealit´e »de la Physique, au sortir de mes d´ebuts restreints au monde virtuel de l’Astrophysique et Fran¸cois a tout fait pour me permettre, comme a tous les membres du GIT, de disposer des moyens de travailler, tout en gardant un oeil et une oreille attentifs `a nos r´esultats. Je les remercie tous d’avoir fait de ces quelques ann´ees des moments riches en ´emotions et en exp´erience humaine. Je veux ´egalement remercier Alain Vincent, qui m’a mis le pied `a l’´etrier, bien avant ma th`ese, lors de mon stage de maitrise `a Montr´eal.

A la fin de cette nouvelle ´etape, j’ai ´evidemment une pens´ee pour ma toute ma famille. Mes parents et mon frˆere bien sur, qui m’ont support´e – dans tous les sens du terme – depuis quelques vingt et six ann´ees. Ce qu’ils sont pour moi ne peut pas se r´esumer en quelques lignes. Mes grands-parents Colette et Jacques avec qui j’ai eu la chance de passer de nombreuses semaines au long de mon enfance. Cette th`ese est d´edi´ee `a Jacques, en esp´erant que les heures pass´ees «en arpentant ensemble les lieux si propices `a l’´eclosion de l’“Honnˆete Homme” »aient su porter leurs fruits, et parce que j’ai souvent eu le sentiment au cours de ces ann´ees d’avoir la chance d’accomplir ce dont on n’avait pas voulu lui donner l’opportunit´e.

Finally, there is no words to thanks my beloved “half”, Ana Marie. For everything she means to me I will never thank her enough, but by loving her as well as she loves me. And the very last “thank you” will go to our little fur-ball.

Table des mati`

eres

I

Introduction et G´

en´

eralit´

es

6

1 Introduction 7

1.1 Un Univers Fluide . . . 7

1.1.1 Les Etoiles . . . 8

1.1.2 Les Disques d’Accr´etion. . . 9

1.2 Philosophie. . . 10

2 Hydrodynamique et Turbulence 11 2.1 Les ´Equations de l’Hydrodynamique . . . 11

2.2 Ecoulements et Instabilit´´ es . . . 12

2.2.1 Ecoulements Laminaires et ´´ Ecoulements Turbulents . . . 12

2.2.2 Stabilit´e . . . 13

2.3 Les Effets de la Turbulence . . . 16

2.3.1 La Cascade Turbulente . . . 17

2.3.2 Ecoulement Moyen . . . 18

2.3.3 Diffusion Turbulente. . . 19

2.4 Instabilit´es de Cisaillement . . . 20

2.4.1 Instabilit´es Lin´eaires . . . 21

2.4.2 Instabilit´es Non-Lin´eaires . . . 22

2.5 Cons´equences en Astrophysique. . . 23

II

Instabilit´

es aux Amplitudes Finies dans le Couette-Taylor

24

3.1.1 L’exp´erience . . . 26

3.1.2 Travaux Ant´erieurs . . . 28

3.2 Les Pionniers : F.Wendt & G.I.Taylor. . . 30

3.3 Seuils d’Instabilit´e . . . 33

3.4 Influence sur les profils moyens . . . 35

3.4.1 Instabilit´e Centrifuge . . . 35

3.4.2 Instabilit´e aux Amplitudes Finies . . . 36

TABLE DES MATI `ERES TABLE DES MATI `ERES

3.5.1 Instabilit´e Centrifuge . . . 39

3.5.2 Transition vers la Domination du Cisaillement . . . 43

3.5.3 Instabilit´e aux Amplitudes Finies . . . 43

3.6 Discussion . . . 46

4 Le Laboratoire 52 4.1 Dispositif Exp´erimental . . . 52

4.1.1 Description Technique. . . 52

4.1.2 Conditions aux Limites . . . 54

4.1.3 Mesures Accessibles . . . 54

4.2 Effets de Bords . . . 54

4.3 Stabilit´e . . . 56

4.3.1 Domaine ∂rΩ > 0 . . . 58

4.3.2 Domaine ∂rΩ < 0 . . . 59

4.4 Evolution du Champ Moyen´ . . . 60

4.5 Evolution des Fluctuations´ . . . 63

4.6 Discussion . . . 67

5 Une Tentative d’Interpr´etation 68 5.1 Equations du Transport Turbulent´ . . . 68

5.1.1 Equations G´´ en´erales . . . 68

5.2 Couplage Grandes ´Echelles - Fluctuations . . . 70

5.3 De l’Importance des Termes Non-Lin´eaires . . . 70

5.3.1 Production. . . 70

5.3.2 Contraintes . . . 70

5.4 Crit`ere de Stabilit´e & Amplitude Critique . . . 71

5.5 Discussion . . . 71

5.5.1 Param`etres de Stabilit´e . . . 71

5.5.2 Amplitudes Critiques et Hyst´er´esis . . . 73

5.5.3 Viscosit´e Turbulente. . . 73

5.6 Conclusion . . . 73

III

Une Application aux Disques d’Accr´

etion

74

6.2 Instabilit´es Lin´eaires et D´eveloppement Non-Lin´eaire . . . 76

6.3 Une Autre Viscosit´e pour les Disques . . . 78

TABLE DES MATI `ERES TABLE DES MATI `ERES

Premi`

ere partie

C H A P I T R E

1

Introduction

1.1

Un Univers Fluide

Une grande partie des syst`emes ´etudi´es par les astrophysiciens sont – totalement ou en partie – fluides. Notre plan`ete, la Terre, poss`ede une atmosph`ere, des oc´eans, et sous sa croˆute, un manteau fluide. La plan`ete g´eante Jupiter, en dehors de son cœur solide est elle aussi essentiellement « liquide », et les structures d’´ecoulement tels que la c´el`ebre grande tache rouge visibles `a sa surface sont des sujets d’´etude pour la dynamique des fluides. Les int´erieurs stellaires, les n´ebuleuses plan´etaires, et plus g´en´eralement les disques d’accr´etion, sont des syst`emes essentiellement gazeux. Plus g´en´eralement, l’Univers observable nous pr´esente une vari´et´e de syst`emes dont la composition physique va du vide spatial `a l’´etat solide, en passant par des ´etats tr`es dilu´es ou tr`es denses de la mati`ere. Beaucoup de ces objets sont inhomog`enes et il faut pour les d´ecrire d´evelopper des mod`eles complexes qui font appel `a des connaissances de physique des solides, des milieux continus, des milieux dilu´es, des plasmas, sans mentionner la physique nucl´eaire, la physique des particules, la thermodynamique, le transfert de rayonnement ou encore la chimie. Tr`es souvent, ces objets sont suffisamment « exotiques »pour que les conditions physiques dans lesquelles ils ´evoluent soient impossibles `

a reproduire dans un environnement terrestre.

Le d´eveloppement de mod`eles complexes a ´et´e facilit´e dans les derni`eres d´ecennies par l’av`enement des simulations num´eriques. La puissance de calcul permet aujourd’hui d’inclure de plus en plus de processus physiques et chimiques dans ces mod`eles. Loin de vouloir se lancer dans un d´ebat philosophique sur l’utilisation des outils num´eriques, on peut en discerner deux types d’utilisation. La premi`ere est celle d´ecrite pr´ec´edemment, c’est `a dire la mod´elisation de syst`emes complexes `a partir des propri´et´es connues des processus physiques pertinents. La seconde consiste `a choisir des syst`emes physiques simples et `a les explorer pour en tirer une meilleur compr´ehension d’un ph´enom`ene physique particulier. Ces deux approches compl´ementaires sont pr´esentes dans la communaut´e Astrophysique.

Cependant, les limites de la puissance de calcul demeurent, et mˆeme certains ph´enom`enes physiques ne n´ecessitant l’´etude que de syst`emes simples sont encore inaccessibles aux simulations num´eriques. Lorsque la physique fait d´efaut, on utilise en g´en´eral des « recettes », souvent bas´ees sur l’intuition, ou sur des mod`eles simplistes pour lesquels les observations en laboratoire ou astronomiques ne sont pas suffisantes imposer des contraintes fortes. C’est, entre autre, le cas pour la mod´elisation des ´ecoulements turbulents.

La turbulence ´echappe aux tentatives de compr´ehension globale depuis plus d’un si`ecle. Aucune th´eorie compl`ete n’est capable de pr´edire la naissance et le comportement des ´ecoulements turbulents de fa¸con g´en´erale. En Astrophysique,

Introduction 1.1 Un Univers Fluide

Fig. 1.1:Fr´equence de rotation du soleil (en µHz) en fonction du rayon et de la latitude (donn´ees MDI).

les tr`es grandes ´echelles spatiales et les faibles viscosit´es des fluides, par exemple dans les disques d’accr´etion, dans le milieu interstellaire, ou dans les int´erieurs stellaires cr´eent des conditions propices `a la turbulence. Or, grˆace `a la modification des propri´et´es de transport, la turbulence peut modifier sensiblement l’´evolution dynamique – transport de moment, de moment cin´etique – et la composition chimique – transport de masse, concentration des r´eactifs – des syst`emes o`u elle est pr´esente.

1.1.1

Les Etoiles

Les boules de gaz g´eantes que sont les ´etoiles, car elles ont conserv´ees une partie du moment cin´etique du nuage primordial dont elles sont issues par effondrement, sont anim´ees d’une rotation d’ensemble. Cette rotation n’est pas uniforme, comme le montre la figure 1.1 qui repr´esente la fr´equence de rotation du soleil en fonction du rayon et de la latitude. Ces donn´ees sont issues de l’inversion de mesures d’h´eliosismologie (instrument MDI). Elles montrent que la zone convective – au dessus de la ligne pointill´ee sur la figure – du soleil est en rotation diff´erentielle – les pˆoles ayant une fr´equence de rotation inf´erieure a l’´equateur – alors que son cœur radiatif est pratiquement en rotation solide. La transition entre ces deux zones aux r´egimes de rotation diff´erent donne naissance `a une zone de fort cisaillement nomm´ee Tachocline. Pour expliquer la faible ´epaisseur de cette couche, il est n´ecessaire de faire appel `a un champ

Introduction 1.1 Un Univers Fluide

Fig. 1.2:Image de l’´etoile Herbig-Haro 30 (HH 30) prise par le HST. La n´ebuleuse environnante est ´eclair´ee par l’´etoile centrale. Le disque de poussi`eres et de gaz optiquement ´epais la coupe visuellement en deux parties. On discerne ´egalement nettement deux jets, qui font de cette image un parfait exemple de syst`eme accr´etion - ´ejection autour d’une ´etoile jeune.

magn´etique (Gough & Sekii 1997) ou `a un transport de moment anistrope qui serait dˆu `a l’instabilit´e de cisaillement (Spiegel & Zahn 1992).

Pour les rotateurs rapides, la cause de la rotation diff´erentielle est le transport de moment cin´etique par une circulation `

a grande ´echelle. Cette circulation m´eridienne est due a la rotation d’ensemble, qui entraˆıne un ´ecart `a la sph´ericit´e (aplatissement aux pˆoles). Cette « contradiction »entre la g´eom´etrie de l’´etoile et la tendance du flux radiatif `a conser-ver la sym´etrie sph´erique a pour cons´equence un d´es´equilibre thermique qui induit ces mouvements `a grande ´echelle (Talon, 1997).

1.1.2

Les Disques d’Accr´

etion

Sous le terme g´en´erique de disques d’accr´etion se cachent des syst`emes tr`es diff´erents. Leur point commun est l’exis-tence d’un disque de gaz et de poussi`eres, en rotation autour d’un objet massif central, sur lequel la mati`ere est lentement accr´et´ee. Il peut ainsi s’agir des restes d’un nuage mol´eculaire qui s’est contract´e pour former une ´etoile, d’un Noyau Actif de Galaxie o`u le disque est en rotation autour d’un trou noir, ou il peut naˆıtre de l’´echange de masse dˆu aux effets de mar´ees dans un couple d’´etoiles binaires serr´ees. La figure 1.2 est une image d’une ´etoile jeune prise

Introduction 1.2 Philosophie par le t´elescope spatial Hubble. On y distingue le disque de gaz et de poussi`eres ainsi que les jets d’´ejection associ´es `a l’accr´etion de mati`ere sur l’´etoile centrale.

Pour peu que le disque soit assez plat, on peut supposer en premi`ere approximation qu’il est en rotation keplerienne, telle que sa vitesse angulaire d´ecroisse comme la puissance -3/2 de la distance `a l’objet central. Pour permettre `a la mati`ere de chuter vers le corps central en r´egime stationnaire, c’est `a dire en conservant un profil de rotation constant, il est n´ecessaire de faire appel `a un processus dynamique qui puisse ´evacuer le moment angulaire vers l’ext´erieur du disque. Or la viscosit´e mol´eculaire est trop faible pour remplir ce rˆole. On invoque alors g´en´eralement une diffusion turbulente du moment angulaire.

La mod´elisation de cette viscosit´e turbulente est primordiale pour l’´etude de la dynamique des disques, puisqu’elle influe sur leur ´evolution dynamique, thermodynamique, et chimique. Elle est essentielle pour l’explication de certaines sources variables cataclysmiques, et pour une meilleur compr´ehension de la formation des syst`emes plan´etaires.

1.2

Philosophie

Ce manuscrit pr´esente les r´esultats d’une ´etude sur les ´ecoulements en rotation diff´erentielle, en particulier sur leur stabilit´e et les propri´et´es de transport de la turbulence qu’ils peuvent engendrer. La philosophie du pr´esent travail est de les ´etudier d’abord d’une fa¸con g´en´erale, ind´ependamment de leur cadre Astrophysique. Les lois de la physique ´etant « la chose au monde la mieux partag´ee », celles du laboratoire terrestre sont les mˆemes que celles que l’on rencontre au cœur du soleil, ou des disques d’accr´etion. Nous discutons ensuite de la pertinence des r´esultats dans les cas particuliers qui peuvent nous int´eresser.

La premi`ere partie est une ´etude exp´erimentale et th´eorique des instabilit´es dites « aux amplitudes finies », en par-ticulier dans une exp´erience de laboratoire nomm´ee Couette-Taylor. Elle comprend une analyse de donn´ees issues de travaux exp´erimentaux ant´erieurs, qui a permis d’extraire des r´esultats originaux quant aux seuils de stabilit´e et aux propri´et´es de transport de la turbulence pour une classe d’´ecoulements. Nous pr´esentons ´egalement les r´esultats d’une nouvelle exp´erience de laboratoire, ayant pour objectif de compl´eter les donn´ees pr´ec´edentes. Quelques consid´erations analytiques suivent, qui tentent de d´eterminer les param`etres fondamentaux gouvernant les instabilit´es des ´ecoulements en rotation diff´erentielle.

Dans la seconde partie, nous pr´esentons une application aux disques d’accr´etion sous la forme d’une prescription pour leur viscosit´e turbulente, ainsi que la d´etermination du champ d’application de cette viscosit´e dans le cadre d’un mod`ele de disque mince.

C H A P I T R E

2

Hydrodynamique et Turbulence

«As far as the laws of Mathematics refer to reality, they are not certain ; as far as they are certain, they do not refer to reality »A.Einstein

Ce chapitre a pour objectif d’exposer les notions fondamentales de l’hydrodynamique ainsi que les concepts de base de la turbulence. Compte tenu des nombreux mod`eles de description de la turbulence existant, il n’a pas la pr´etention d’ˆetre exhaustif mais simplement de rendre compr´ehensible la suite de ce manuscrit.

2.1

Les ´

Equations de l’Hydrodynamique

Les ´equations de Navier-Stokes expriment les principes de conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement pour un milieu continu. Elles s’´ecrivent – de fa¸con g´en´erale pour une particule fluide :

DtρV~ = ∇.σ + ~f (2.1)

∂tρ + ~∇.ρ~V = 0 (2.2)

o`u ~V est le champ de vitesse de l’´ecoulement, ρ la densit´e du fluide, Dtest la d´eriv´ee Lagrangienne, f repr´esente les

forces ext´erieures et σ est le tenseur des contraintes, qui mod´elise les interactions entre particules fluides :

σij = −P δij+ µ  (∂jVi+ ∂iVj) + 2 3∇.V δij  (2.3)

o`u P est le champ de pression et µ la viscosit´e dynamique du fluide. Pour un ´ecoulement incompressible – pour lequel la densit´e est constante – et Newtonien – dont la viscosit´e ne d´epend que de la temp´erature – ces ´equations deviennent :

∂tV + (~~ V .~∇)~V = −1

ρ∇ ~~P + ν ~∆~V + ~f (2.4) ~

∇.~V = 0 (2.5)

Hydrodynamique et Turbulence 2.2 ´Ecoulements et Instabilit´es

2.2

Ecoulements et Instabilit´es

´

Les ´equations de l’hydrodynamique permettent dans certains cas de d´eriver l’expression analytique d’un ´ecoulement. Ceci est vrai tant que la g´eom´etrie du probl`eme reste simple. Pour les ´ecoulements cisaill´es, les sym´etries naturelles conduisent `a des solutions pour lesquelles les termes non-lin´eaires – (~V .~∇)~V – sont nuls. Pour des for¸cage importants, ces ´ecoulements peuvent ˆetre instables et bifurquer vers des solutions plus complexes, qui ne poss`edent plus les sym´etries de base, et pour lesquelles les non-lin´earit´es sont non-nulles.

On comprend bien ´egalement que la valeur de la viscosit´e qui quantifie les ´echanges de moment entre les particules fluides, qui aplanit les irr´egularit´es de l’´ecoulement, et qui assure la coh´esion du fluide doit ˆetre un param`etre d’im-portance critique.

2.2.1

Ecoulements Laminaires et ´

´

Ecoulements Turbulents

laminaire adj. : 1. Compos´e de lames parall`eles. 2. PHYS ´Ecoulement, r´egime laminaire, dans lequel les diverses couches d’un fluide glissent les unes sur les autres sans se m´elanger (par oppos. `a turbulent ).

turbulence n.f. : 1. Caract`ere d’une personne turbulente. 2. Agitation, d´esordre bruyant. 3. PHYS Irr´egularit´e du mouvement d’un fluide (ayant un ´ecoulement turbulent). —— METEO Turbulence atmosph´erique : agitation de l’at-mosph`ere due aux variations thermiques, aux courants, au relief, etc.

Ces d´efinitions extraites du Dictionnaire Universel Francophone, (HACHETTE/EDICEF)donnent un aper¸cu intuitif des diff´erences qualitatives entre ´ecoulements laminaires et turbulents. On pourra dire qu’un ´ecoulement est turbulent lorsque son champ de vitesse est fortement instationnaire – variations sur des temps courts – et que la dispersion des valeurs instantan´ees par rapport `a la valeur moyenne est importante. De fa¸con plus g´en´erale, la caract´eristique d’un ´ecoulement turbulent est l’existence d’un grand nombre d’´echelles spatiales et temporelles. L’´ecoulement laminaire se d´efinit alors – par opposition – comme ´etant caract´eris´e par de faibles fluctuations de vitesse tant temporelles que spatiales.

L’´etude exp´erimentale de la stabilit´e des ´ecoulements fluides peut ˆetre dat´ee de la fin du XIX´eme si`ecle avec les exp´eriences de Reynolds sur les diff´erents r´egimes d’´ecoulements dans les tuyaux. Reynolds, notant que la nature de l’´ecoulement d´epend de la vitesse V du fluide, de sa viscosit´e ν, et du diam`etre d du tuyau, introduit le nombre sans di-mension – V d/ν – qui porte aujourd’hui son nom. Pour des valeurs proches d’une certaine valeur critique l’´ecoulement montre des « taches »turbulentes pour ensuite devenir pleinement turbulent `a des valeurs sup´erieures de ce nombre. Les quantit´es telles que le nombre de Reynolds sont appel´ees param`etres de contrˆole en ce sens qu’elle d´efinissent de fa¸con univoque le r´egime d’´ecoulement d’un syst`eme fluide.

Ce param`etre peut nous servir `a donner une d´efinition diff´erente de la turbulence. En effet, si l’on reprend l’´equation (2.4), et que l’on estime le terme non-lin´eaire et le terme de diffusion visqueuse `a l’aide de la vitesse V et de la taille d caract´eristiques de l’exp´erience, il s’en suit que :

Hydrodynamique et Turbulence 2.2 ´Ecoulements et Instabilit´es (~V .~∇)~V ∼ V 2 d ν ~∆~V ∼ νV d2 (2.6) et par cons´equent, V d ν ∼ (~V .~∇)~V ν ~∆~V . (2.7)

Ainsi, le nombre sans dimension de Reynolds apparaˆıt comme une estimation du rapport des termes non-lin´eaires sur les termes de dissipation visqueuse. L’´etat turbulent peut alors ˆetre red´efini comme ´etant un ´etat de l’´ecoulement dans lequel les termes non-lin´eaires des ´equations du mouvement sont pr´epond´erants sur les termes de dissipation visqueuse. Les termes non-lin´eaires sont responsables des interactions amenant `a la population du spectre spatial d’un ´ecoulement. Deux modes spatiaux de nombre d’onde k1 et k2interagissent pour former un mode kk1− k2k et un mode kk1+ k2k.

Pour peu que le r´egime le permette – influence de la dissipation visqueuse sur les petites ´echelles, contraintes, comme la rotation, sur les grandes ´echelles – l’interaction des ces deux modes va peupler le spectre `a des ´echelles spatiales `a la fois plus grandes et plus petites. Ce d´eveloppement du spectre va produire deux effets majeurs sur lesquels nous nous attarderons dans le section suivante : 1 - cascade de l’´energie vers l’´echelle de dissipation visqueuse. 2 - modifications de l’´ecoulement moyen `a grande ´echelle. En terme spatial, la turbulence d´evelopp´ee se caract´erise par un spectre large entre les plus grandes ´echelles et l’´echelle de dissipation visqueuse (´echelle de Kolmogorov).

Cependant, si l’on regarde par exemple l’´ecoulement de Taylor – premi`ere instabilit´e lin´eaire de l’´ecoulement de Couette –, la dominance des non-lin´earit´es `a grande ´echelle donne naissance `a un motif toro¨ıdal – les rouleaux de Taylor – lami-naire (cf. Fig. 3.3). Ces rouleaux se d´estabilisent lorsque le nombre de Reynolds augmente, et d´eveloppent des modes spatiaux de plus en plus ´elev´es, de comportement temporel de plus en plus complexe, conduisant progressivement `a la turbulence pleinement d´evelopp´ee. Dans d’autres cas, la transition peut ˆetre beaucoup plus « brutale », passant directement de l’´ecoulement laminaire `a la turbulence. Dans le premier cas le chemin vers l’´etat turbulent se fait de fa¸con continue, grˆace `a une succession de transitions vers des ´etats ´etant chacun stable dans un domaine restreint de l’espace des param`etres de contrˆole. Le spectre se « d´eveloppe »de transition en transition et il est difficile de d´efinir rigoureusement un « seuil de turbulence ».

Ces deux types de transition vers la turbulence sont caract´eristiques des deux familles d’instabilit´es des ´ecoulements fluides : les instabilit´es aux perturbations infinit´esimales – ou instabilit´es « lin´eaires »– et les instabilit´es aux pertur-bations d’amplitude finie – dites ´egalement instabilit´es non-lin´eaires.

2.2.2

Stabilit´

e

L’objectif de l’analyse de stabilit´e est de d´eterminer dans quel domaine de param`etres une solution particuli`ere des ´equations de Navier-Stokes est effectivement observable. Un ´ecoulement est dit stable si et seulement s’il est stable

Hydrodynamique et Turbulence 2.2 ´Ecoulements et Instabilit´es vis `a vis de toute perturbation. Certains ´ecoulements sont instables vis `a vis de perturbations infinit´esimales. Dans la pratique, il existe toujours un « bruit de fond »et ce type de solution bifurque toujours vers un autre ´etat. D’autres ´ecoulements stables vis `a vis de toute perturbation infinit´esimale sont instables pourvu que l’amplitude de ces pertur-bations soit sup´erieure `a un certain seuil. Dans ce cas, pour un mˆeme domaine de param`etres, il existe deux solutions diff´erentes observables. Le « choix »fait par le syst`eme entre les deux ´etats possibles sera alors conditionn´e par son histoire. Pour le premier type d’´ecoulement, on dira qu’il est instable aux perturbations infinit´esimales ou encore lin´eairement instable. Pour le second type, on parlera d’instabilit´e aux amplitudes finies, ou bien d’instabilit´e non-lin´eaire.

Analyses Lin´eaires et Non-Lin´eaires

Connaissant un ´etat stationnaire nous pouvons y superposer des perturbations et ´etudier leur ´evolution temporelle grˆace aux ´equations du mouvement. Sachant que la stabilit´e s’entend pour toutes les perturbations possibles, l’analyse doit ˆetre faite sur une base compl`ete de modes normaux. Par exemple, sur la base des modes de Fourier, on ´etudie la stabilit´e d’un mode arbitraire (k, σ), k ´etant le nombre d’onde spatial de la perturbation, et σ son taux de croissance temporel. Si l’on suppose que l’amplitude ǫ de la perturbation est infinit´esimale, on peut alors se contenter d’un d´eveloppement au premier ordre et n´egliger les termes non-lin´eaires en ǫ. Les ´equations du mouvement fournissent alors une relation de dispersion entre k et σ permettant de d´eduire dans tous les r´egimes pour quels modes spatiaux il y aura croissance de la perturbation. L’hypoth`ese forte de l’analyse lin´eaire est donc que les perturbations doivent ˆetre d’amplitude infinit´esimale.

Mais l’analyse lin´eaire ne suffit pas `a d´ecrire grand nombre d’instabilit´es observ´ees en laboratoire ou dans la nature. Leur ´etude n´ecessite de prendre en compte les termes non-lin´eaires pr´ec´edemment n´eglig´es. L’analyse devient beaucoup plus complexe et il n’existe pas aujourd’hui de th´eorie g´en´erale de la stabilit´e non-lin´eaire.

Transitions Sous-Critiques, Super-Critiques et Ecoulements M´etastables

Ces deux types d’instabilit´es conduisent en pratique `a des comportements diff´erents lors de la transition vers la turbu-lence. On peut diff´erencier grossi`erement deux familles de transitions : les transitions super-critiques et les transitions sous-critiques.

La figure 2.1 pr´esente le sch´ema de principe d’un transition supercritique. Elle repr´esente la stabilit´e des solutions dans un diagramme amplitude - Re. L’axe A = 0 repr´esente l’´etat de base – fluctuations nulles. En dessous d’une valeur critique du param`etre de contrˆole Rec, l’´ecoulement est inconditionnellement stable (stable vis-`a-vis de toute

perturbation). Au dessus de cette valeur, il inconditionnellement instable (instable vis-`a-vis de toute perturbation). Dans ce cas, l’analyse lin´eaire d´ecrira correctement la stabilit´e.

Le principe d’une transition sous-critique est illustr´e sur la figure 2.2. Comme dans le cas d’une transition super-critique, il existe une valeur du param`etre de contrˆole au dessus de laquelle l’´ecoulement de base est inconditionnellement

in-Hydrodynamique et Turbulence 2.2 ´Ecoulements et Instabilit´es

Fig. 2.1:Transition super-critique. Branches stables et instables dans un diagramme (A,Re) ; A est l’amplitude des fluctuations par rapport `a l’´etat de base ; Re est le param`etre de contrˆole.

Fig. 2.2:Transition sous-critique.

stable. Cependant, en-dessous de cette valeur, il existe une plage de stabilit´e conditionnelle dans laquelle il peut ˆetre d´estabilis´e par des perturbations d’amplitude finie mais reste stable aux perturbations infinit´esimales : l’´ecoulement est m´etastable. En dessous de la limite dite de stabilit´e conditionnelle – not´ee Reg Fig.2.2) – l’´ecoulement est incondition-nellement stable. Une analyse de stabilit´e lin´eaire ne sera capable que de pr´edire la limite d’instabilit´e inconditionnelle.

Enfin, la figure 2.3 s’attarde sur une transition globalement critique. L’unique diff´erence avec une transition sous-critique simple est l’absence de r´egime d’instabilit´e inconditionnelle. L’´ecoulement est m´etastable partout au dessus du seuil de stabilit´e conditionnelle. Dans ce dernier cas de figure, l’analyse lin´eaire pr´edira la valeur infinie du param`etre critique.

La stabilit´e non-lin´eaire introduit une nouvelle variable, l’amplitude de la perturbation. Alors que dans le cas d’une instabilit´e lin´eaire le seuil est d´efini seulement par le nombre de Reynolds (ou un autre param`etre de contrˆole perti-nent), le seuil d’une instabilit´e d’amplitude finie est donn´e par le couple amplitude-Reynolds. Plus pr´ecis´ement, pour toute valeur du Reynolds, il existe une amplitude critique en dessous de laquelle les perturbations seront amorties. Au dessus de cette amplitude critique, les perturbations seront amplifi´ees.

Hydrodynamique et Turbulence 2.3 Les Effets de la Turbulence

Fig. 2.3:Transition globalement sous-critique.

Fig. 2.4:Hyst´er´esis dans une transition sous-critique

Lorsque les perturbations ne sont pas contrˆol´ees, il faut s’en remettre aux fluctuations « naturelles »de l’´ecoulement – ou en laboratoire, au bruit exp´erimental – pour d´eclencher la transition. Suivant le niveau de fluctuations dans l’´etat de base, la turbulence apparaˆıtra pour des valeurs diff´erentes du param`etre de contrˆole (cf Fig.2.4). Cependant, si l’on suit un chemin provenant d’un ´etat turbulent pour atteindre l’´etat laminaire, la turbulence disparaˆıtra `a la limite de stabilit´e conditionnelle. Exp´erimentalement, ce ph´enom`ene d’hyst´er´esis – existence de deux ´etats possibles pour un mˆeme r´egime – est la signature des instabilit´es sous-critiques.

2.3

Les Effets de la Turbulence

Apr`es avoir survol´e quelques m´ecanismes et manifestations de la turbulence, nous nous int´eressons maintenant aux propri´et´es dynamiques d’un ´ecoulement turbulent, en particulier en comparaison avec son ´ecoulement de base.

Hydrodynamique et Turbulence 2.3 Les Effets de la Turbulence

2.3.1

La Cascade Turbulente

´

Echelles Caract´eristiques

La th´eorie de la turbulence d´evelopp´ee – introduite par Kolmogorov en 1941 (REF) – d´efinit deux ´echelles spatiales fondamentales ; l’´echelle int´egrale – ou d’injection L – est l’´echelle `a laquelle l’´energie est inject´ee dans l’´ecoulement ; l’´echelle de Kolmogorov – ou de dissipation visqueuse, λk – est l’´echelle `a laquelle l’´energie est dissip´ee par frottement

visqueux. Ce sont les bornes inf´erieures et sup´erieures de l’extension en nombres d’ondes du domaine inertiel du spectre de l’´ecoulement, L ´etant la plus grande et λ la plus petite ´echelle de cette plage.

L’hypoth`ese forte de la th´eorie de Kolmogorov est que, dans le domaine inertiel, le taux de transfert d’´energie cin´etique des grandes ´echelles aux petites est ind´ependant du nombre d’onde. Il est d´efini comme :

ǫ = v

3

l . (2.8)

Or ce taux de transfert est impos´e `a l’´echelle int´egrale par le taux d’injection d’´energie cin´etique. Comme il est ind´ependant d’´echelle, il est donc aussi ´egal au taux de dissipation visqueuse `a l’´echelle de Kolmogorov :

ǫ = U 3 L = v3 k λk = cste (2.9) o`u U3 et v3

k sont les vitesses caract´eristiques aux ´echelles int´egrales et de Kolmogorov respectivement. On d´efinit un

nombre Reynolds localement dans le spectre de l’´ecoulement `a toute ´echelle, tel que Rei = vi/νki = vi.li/ν pour le

mode ki. L’´echelle de Kolmogorov ´etant celle `a partir de laquelle les termes visqueux dominent la dynamique, il s’en

suit que :

Rek =

vkλk

ν = 1. (2.10)

Le nombre de Reynolds global de l’´ecoulement est quant `a lui d´efini par l’´echelle int´egrale :

Re = U L

ν . (2.11)

Nous pouvons maintenant estimer le rapport des deux ´echelles fondamentales. En utilisant les ´equations (2.9),(2.10) et(2.11) il vient :

L λk

= Re3/4. (2.12)

Cette relation exprime que plus le nombre de Reynolds est grand, plus l’´echelle de dissipation est petite, et plus le spectre de la turbulence sera ´etendu. La densit´e spectrale d’´energie dans le cas de la turbulence homog`ene isotrope tri-dimensionnelle est, `a partir de la relation (2.8),

Hydrodynamique et Turbulence 2.3 Les Effets de la Turbulence

E(k) = Ckǫ2/3k−5/3 (2.13)

o`u Ck est la constante universelle de Kolmogorov. La cons´equence imm´ediate est que, pour un mode k donn´e, la

densit´e d’´energie est fix´ee par le taux d’injection ǫ. Intuitivement, pour que la turbulence se d´eveloppe il faut que l’injection `a grandes ´echelles soit suffisante pour que le taux d’´energie cascadant vers les petites ´echelles domine le taux de dissipation visqueuse.

Il est int´eressant de noter que le raisonnement conduisant `a cette cascade est valable pour tout ´ecoulement. Il serait na¨ıf de penser qu’elle n’est pr´esente que dans les ´ecoulements turbulents. Un ´ecoulement laminaire poss`ede bien sˆur des fluctuations autour de sa vitesse moyenne, et ces fluctuations ob´eissent aux ´equations du mouvement. La diff´erence essentielle est que pour un ´ecoulement laminaire, l’´energie cin´etique des modes introduits soit par un for¸cage ext´erieur soit cr´e´es par les termes non-lin´eaires est dissip´ee trop vite pour permettre le d´eveloppement du r´egime inertiel d´efinie par l’´equation (2.13) pour la turbulence homog`ene isotrope.

2.3.2

Ecoulement Moyen

Quand le petit mange le plus grand

La cascade turbulente prend l’´energie `a grande ´echelle pour nourrir les plus petites jusqu’`a l’´echelle de dissipation. L’effet r´esultant est la modification de l’´ecoulement moyen. Une r`egle g´en´erale est que la turbulence agit de mani`ere a r´eduire la cause de l’instabilit´e. Dans les ´ecoulements cisaill´es, la turbulence r´eduit les gradients de vitesse ; dans le cas de l’instabilit´e centrifuge dans le Couette-Taylor, elle annule le gradient de moment cin´etique (cf Fig.2.5). Le syst`eme tend `a minimiser son ´energie totale en la prenant l`a o`u elle est disponible pour aller la dissiper.

Dans le cas de l’instabilit´e centrifuge, le syst`eme poss`ede une solution simple qui consiste `a advecter le moment cin´etique pour annihiler le gradient ´energ´etiquement instable. Le moment cin´etique ´etant la quantit´e conserv´ee par advection axisym´etrique, l’´ecoulement d´eveloppe l’instabilit´e des rouleaux de Taylor d`es que le nombre de Reynolds est suffisant pour permettre aux grandes ´echelles de survivre. Or pour les petits modes, il suffit de Reynolds mod´er´es (cf. Eq. (2.12)) ce qui explique intuitivement que l’instabilit´e naisse `a bas nombre de Reynolds.

Les couches limites : l’œuf ou la poule ?

Etant donn´ee la dissipation de l’´energie cin´etique en chaleur par la viscosit´e, il n’existe pas d’´ecoulement stationnaire – turbulent ou non – qui ne soit pas forc´e d’une mani`ere ou d’un autre. Au laboratoire le for¸cage prend la forme d’un gradient de pression ou bien d’une vitesse impos´ee aux bords. Dans des situations « naturelles »il peut s’agir de gradients de temp´erature – atmosph`ere terrestre, int´erieurs stellaires – ou encore du champ gravitationnel – rivi`eres, disques d’accr´etion.

Hydrodynamique et Turbulence 2.3 Les Effets de la Turbulence 0.035 0.040 0.045 0.050 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r (m) rV Laminaire Théorique Expérimental Turbulent Re=70500

Fig. 2.5:Profil turbulent de moment cin´etique en fonction du rayon dans le cas de l’instabilit´e centrifuge dans l’exp´erience de Couette-Taylor. Pointill´e : profil laminaire th´eorique ; Cercles : mesures exp´erimentales.

conditions limites impos´ees. Il se d´eveloppe alors des couches limites qui assurent la transition entre le profil alt´er´e par la turbulence au centre de l’´ecoulement et la couche visqueuse proche des parois. Au sein de ces couches limites, le fluide est g´en´eralement soumis `a de forts gradients de vitesse et de la turbulence de cisaillement se d´eveloppe. On parle alors de couches limites turbulentes.

On peut distinguer deux types de couches limites turbulentes. Les premi`eres sont celles ´evoqu´ees ci-dessus, qui se d´eveloppent parce que le cœur de l’´ecoulement est turbulent. Le second type de couche limite se rencontre par exemple dans l’´ecoulement d’un fluide au dessus d’une paroi fixe. Dans ce cas, la couche limite se cr´ee au voisinage de la surface immobile, se d´estabilise et rend le reste de l’´ecoulement turbulent. Dans le premier cas, la couche limite est la cons´equence de l’instabilit´e du cœur de l’´ecoulement, dans le second elle est la cause de la turbulence.

2.3.3

Diffusion Turbulente

Hormis l’´etude de la stabilit´e, le probl`eme du physicien est de d´ecrire les propri´et´es de transport dans un ´ecoulement turbulent. Les structures `a petite ´echelle – tout comme l’´ecoulement moyen – advectent les quantit´es vectorielles comme la quantit´e de mouvement ou le moment angulaire ainsi que les scalaires tels que des colorants, des r´eactifs chimiques ou encore la chaleur. La turbulence agit ainsi sur l’´evolution dynamique et chimique des syst`emes fluides.

Le probl`eme pos´e est de d´ecrire l’advection par un champ de vitesse complexe dont on ne connaˆıt pas d’expression analytique. Pour cela, on utilise des mod´elisations du transport turbulent qui font appel aux propri´et´es statistiques

Hydrodynamique et Turbulence 2.4 Instabilit´es de Cisaillement de l’´ecoulement. On le s´epare en deux composantes, l’´ecoulement moyen auquel se superposent des fluctuations tur-bulentes. Les moyennes des quantit´es lin´eaires en fluctuations ´etant nulles, les ´equations du mouvement r´esultantes de cette d´ecomposition sont identiques aux ´equations de Navier-Stokes pour le champ moyen auxquelles s’ajoute une contribution suppl´ementaire que l’on inclut dans le tenseur des contraintes. Il s’´ecrit alors pour un ´ecoulement incompressible : σij = −P δij+ µ(∂jVi+ ∂iVj) − ρ u′iu ′ j (2.14) o`u u′ iu ′

j sont les produits de corr´elation d’ordre deux des fluctuations et sont les composantes du tenseur de Reynolds.

Cette description permet de ne consid´erer que l’´ecoulement moyen et de d´ecrire son ´evolution pour peu que l’on connaisse les propri´et´es statistiques du champ turbulent. La mod´elisation du produit de corr´elation u′

iu

′

j est connue

sous le nom du probl`eme de fermeture des ´equations de la turbulence. Une mod´elisation classique consiste `a approximer le tenseur de Reynolds par une viscosit´e turbulente, telle que

µt= ρ u′ iu ′ j ∂jVi+ ∂iVj (2.15)

le tenseur des contraintes s’´ecrivant alors :

σij = −P δij+ (µ + µt)(∂jVi+ ∂iVj). (2.16)

Dans les mod`eles les plus simples, la viscosit´e est estim´ee `a l’aide d’un raisonnement type longueur de m´elange :

µt= ρvtlt (2.17)

o`u vt est une vitesse caract´eristique des fluctuations turbulentes et lt est une longueur « effective »de diffusion

g´en´eralement associ´ee `a la taille des plus grandes structures participant au transport turbulent. Ces deux grandeurs sont les analogues de la vitesse d’agitation et du libre parcours moyen de la th´eorie cin´etique des gaz. Tout comme la viscosit´e mol´eculaire perd son sens lorsque l’on regarde le mouvement `a l’´echelle microscopique, il en est de mˆeme pour la viscosit´e turbulente. Les ´echelles turbulentes qu’elle mod´elise doivent ˆetre petites devant l’extension spatiale de l’´ecoulement moyen. Si cette condition n’est pas remplie, l’approximation diffusive n’est plus valable et la description dynamique doit se faire en terme d’advection. On notera que puisqu’elle d´epend explicitement du champs de vitesse, µtest une fonction des coordonn´ees spatiales.

2.4

Instabilit´es de Cisaillement

Les ´ecoulements cisaill´es ont ´et´e et sont toujours l’objet d’´etudes intensives, la raison principale ´etant qu’ils sont ana-lytiquement simples mais que leur propri´et´es sont non-triviales. Il s’agit g´en´eralement d’´ecoulements en couche dont le profil ne d´epend que d’une coordonn´ee spatiale. Bien que les termes non-lin´eaires d’advection soient nuls, l’existence

Hydrodynamique et Turbulence 2.4 Instabilit´es de Cisaillement de gradients de vitesse due au cisaillement permet de coupler efficacement l’´ecoulement de base aux fluctuations des champs, et donc le d´eveloppement de la turbulence.

2.4.1

Instabilit´

es Lin´

eaires

Certains ´ecoulements cisaill´es subissent `a des instabilit´es aux perturbations infinit´esimales. Le th´eor`eme du point d’inflexionde Rayleigh (1880) fournit un crit`ere g´en´eral d’instabilit´e lin´eaire :

Pour un ´ecoulement non-visqueux, une condition suffisante d’instabilit´e est l’existence d’un point d’inflexion dans le profil de vitesse de base.

Pour les ´ecoulements en rotation, Rayleigh encore d´erive en 1916 le crit`ere sur la circulationqui porte son nom :

Pour un ´ecoulement non-visqueux en rotation une condition suffisante d’instabilit´e est la d´ecroissance de la circula-tion : 1

r3

d dr(r

2_Ω)2_{> 0 en un point quelconque.}

Les ´ecoulements qui violent cette condition sont soumis `a une instabilit´e dite centrifuge. Ce crit`ere a l’´el´egance de pouvoir ˆetre montr´e par des arguments physiques simples. Consid´erons le cas d’un ´ecoulement cylindrique non-visqueux axisym´etrique (u = (ur, uθ= Ωr, uz)). Les ´equations du mouvement se r´eduisent `a :

∂ur ∂t + ur ∂ur ∂r + uz ∂ur ∂z = u2 θ r − ∂ ∂r(P/ρ) (2.18) ∂uθ ∂t + ur ∂uθ ∂r + uz ∂uθ ∂z + uruθ r = 0 (2.19) ∂uz ∂t + ur ∂uz ∂r + uz ∂uz ∂z = − ∂ ∂z(P/ρ) (2.20)

L’´equation (2.19) peut ˆetre ´ecrite,

d dt(ruθ) = d dt(r 2 Ω) ≡ _dtdL = 0 (2.21)

et exprime la conservation lagrangienne du moment cin´etique azimutal. Les ´equation (2.18) et (2.20) montrent que, pour les mouvements radiaux et axiaux, la composante azimutale n’est pr´esente que sous la forme d’une acc´el´eration centrifuge que l’on peut formellement interpr´eter comme une force radiale ext´erieure u2θ

r = L

2_/r3 _{. Etant donn´e que}

L est une constante du mouvement, on peut associer `a cette force une ´energie potentielle d´efinie par unit´e de masse comme Epc = L2/2r2. Imaginons maintenant deux anneaux fluides de mˆeme masse, initialement situ´es en r1 et r2

(r2 > r1) et poss´edant les moments cin´etiques L1 et L2. Si l’on ´echange leurs positions, la variation de l’´energie

Hydrodynamique et Turbulence 2.4 Instabilit´es de Cisaillement

Fig. 2.6:Amplitude critique de perturbation en fonction de l’´ecart au seuil de stabilit´e inconditionnelle dans une exp´erience de Couette plan. (Dauchot & Daviaud 1994)

∆Epc = (L22/r 2 1+ L 2 1/r 2 2) − (L 2 1/r 2 1+ L 2 2/r 2 2) = (L 2 2− L 2 1) 1 r2 1 − 1 r2 2  . (2.22)

La variation d’´energie lors d’un tel ´echange est donc n´egative (instabilit´e) si L2 < L1 et positive si L2 > L1. Pour

la stabilit´e globale de l’´ecoulement, cette variation doit ˆetre positive partout dans l’´ecoulement. On retrouve ainsi le crit`ere de stabilit´e de Rayleigh : la distribution du moment cin´etique L = Ωr2

doit ˆetre monotone croissante. L’effet de la viscosit´e est de stabiliser l’´ecoulement, de sorte qu’il faille atteindre une valeur seuil du gradient de moment cin´etique non-infinit´esimale pour d´eclencher l’instabilit´e.

2.4.2

Instabilit´

es Non-Lin´

eaires

L’exp´erience de Couette est un fluide cisaill´e entre deux plaques parall`eles en mouvement. L’´ecoulement de base a un profil de vitesse lin´eaire Vx(y) si x est la direction parall`ele aux plaques et y la direction perpendiculaire (cf.

Fig.3.1). L’analyse lin´eaire montre que cet ´ecoulement est stable aux perturbations infinit´esimales. Cependant, en laboratoire, il devient turbulent spontan´ement pour des nombres de Reynolds (Re = V.∆y/ν) de l’ordre de 2000 (Le Reynolds pour cette exp´erience est souvent d´efini par la demi-vitesse de cisaillement et la demi-distance entre les plaques, et prends donc une valeur critique de l’ordre de 500.). Le travail exp´erimental de Dauchot & Daviaud (1994) met en ´evidence le caract`ere non-lin´eaire de cette instabilit´e en ´etudiant son d´eclenchement grˆace `a des perturbations contrˆol´ees d’amplitude finie. La figure 2.6 montre la d´ependance de l’amplitude critique en fonction du nombre de Reynolds.

L’´ecoulement d´eveloppe pr`es du seuil de stabilit´e inconditionnelle des « tˆaches »turbulentes dont la structure a fait l’objet d’une ´etude d´etaill´ee par S.Bottin (1998).

Hydrodynamique et Turbulence 2.5 Cons´equences en Astrophysique

2.5

Cons´equences en Astrophysique

Les ´ecoulements astrophysiques en rotation diff´erentielle tels que les disques d’accr´etion ou les int´erieurs stellaires sont stable vis-`a-vis du crit`ere de Rayleigh sur la circulation. Les instabilit´es centrifuges ne sont donc pas pertinentes pour ces syst`emes. Il sont ´egalement stables du point de vue du th´eor`eme du point d’inflexion. Il faut se tourner vers l’´etude des instabilit´es non-lin´eaires, ou bien inclure d’autres ingr´edients tels le champ magn´etique (Chandrasekhar 1960 ; Balbus & Hawley 1991) ou encore la stratification en densit´e qui sont susceptibles de rendre lin´eairement instables des ´ecoulements « Rayleigh-stable ».

Deuxi`

eme partie

Instabilit´

es aux Amplitudes Finies dans

C H A P I T R E

3

´

Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures

«Its seems doubtful whether we can expect to understand fully the instability of fluid flow without obtaining a mathe-matical representation of the motion of a fluid in some particular case in which instability can actually be observed, so that a detailed comparison can be made between the results of analysis and those of experiment. »G.I.Taylor (1923)

Dans le chapitre pr´ec´edent nous avons vu dans les grandes lignes les m´ecanismes de base qui conduisent d’un ´ecoulement laminaire `a un ´ecoulement turbulent. Si ces m´ecanismes sont de mieux en mieux compris, il manque toujours une th´eorie analytique capable de fournir les domaines de stabilit´e et les propri´et´es statistiques de tout ´ecoulement turbulent.

Les mod`eles num´eriques sont donc une aide pr´ecieuse pour l’ exploration des comportements de la turbulence. Cepen-dant, elles ont ´egalement leurs limitations. Deux grands types de mod`eles existent : les simulations « directes »(DNS) et les simulations « grandes ´echelles »(LES). Les premi`eres simulent les ´equations de la dynamique des fluides sans approximation, des plus grandes ´echelles jusqu’`a l’´echelle de dissipation visqueuse. Les simulations directes sont tr`es coˆuteuses en terme de ressources informatiques, tant en terme d’espace m´emoire qu’en temps de calcul. ´Etant donn´ees les caract´eristiques techniques des ordinateurs disponibles `a ce jour, elles sont limit´ees `a des nombres de Reynolds de l’ordre de 5000 `a 10000 (pour une simulation 10003

). Les secondes ne calculent que les plus grandes ´echelles spatiales de l’´ecoulement `a l’aide d’une mod´elisation de l’impact des structures « sous-maille ». Ces simulations LES n´ecessitent l’ajustement de param`etres libres qui sont susceptibles de polluer les r´esultats.

L’´etude des ´ecoulements turbulents reste donc encore le domaine privil´egi´e des exp´eriences de laboratoire dans les-quelles on peut atteindre des nombres de Reynolds sup´erieurs `a ceux des simulations num´eriques par de nombreux ordres de grandeur.

Dans ce chapitre nous nous attacherons `a d´ecrire les travaux de laboratoire ant´erieurs et `a en extraire les informations concernant la stabilit´e des ´ecoulements en rotation diff´erentielle ainsi que les propri´et´es de transport de la turbulence.

3.1

L’´ecoulement de Couette-Taylor

L’´ecoulement de Couette-Taylor est un ´ecoulement azimutal axisym´etrique et cisaill´e. C’est le prototype de laboratoire pour l’´etude de la rotation diff´erentielle. Il a fait l’objet d’´etude intensives, mais essentiellement dans les r´egimes de rotation instables du point de vue du crit`ere de Rayleigh sur la circulation. Quelques r´esultats d’exp´eriences dans

´

Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.1 L’´ecoulement de Couette-Taylor les r´egimes lin´eairement stables ont ´et´e publi´ees. Les deux r´ef´erences les plus compl`etes demeurent Taylor (1936) et Wendt (1933).

3.1.1

L’exp´

erience

L’´ecoulement de Couette-Taylor est la version cylindrique de l’´ecoulement plan cisaill´e de Couette – fluide entre deux plaques en mouvement (Fig.3.1). L’appareil exp´erimental se compose de deux cylindres coaxiaux mobiles, le fluide ´etant contenu dans l’intervalle qui les s´epare. On d´efinit Ri et Roles rayons respectifs des cylindres interne et externe,

Ωi et Ωo leur vitesse angulaire. On notera d l’intervalle Ro− Ri et h leur hauteur – g´en´eralement h >> d. La figure

3.2 est un sch´ema de ce protocole exp´erimental.

Le profil de rotation de base dans une exp´erience du type Couette-Taylor se d´erive en cherchant une solution azimutale et axisym´etrique (V = (0, Vθ= r.Ω(r), 0)) des ´equations de Navier-Stokes, qui dans ce cas se r´eduisent simplement `a :

V2 θ

r = −∂rP ν

r∂r(r∂rVθ) = 0 (3.1)

ce qui conduit `a des solutions de la forme g´en´erale : Vθ

r = Ω(r) = A + B/r

2

(3.2) o`u A et B sont dict´es par les conditions aux bords :

Ω(Ri) = Ωi Ω(Ro) = Ωo . Soit, A = −1−µ/η 2 1−η2  Ωiη2 B = _1−η1−µ2  ΩiRi2 (3.3)

o`u µ = Ωi/Ωoest la rapport des vitesses angulaires et η = Ri/Ro est le rapport d’aspect radial.

Dans le chapitre pr´ec´edent nous avons vu qu’une condition n´ecessaire pour la stabilit´e lin´eaire d’un fluide en rotation est donn´ee par la condition :

1 r3 d dr(r 2 Ω)2 > 0 (3.4)

partout dans l’´ecoulement. Dans le cas des profils donn´es par (3.2) et (3.3) ce crit`ere se r´eduit `a :

ΩoR 2 o> ΩiR

2

´

Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.1 L’´ecoulement de Couette-Taylor

V

Fig. 3.1:Exp´erience de Couette plan : le fluide est cisaill´e entre deux plaques de vitesse diff´erentielle V. Le profil de vitesse laminaire de l’´ecoulement r´esultant est lin´eaire.

Fig. 3.2:Exp´erience de Couette-Taylor : le fluide est cisaill´e entre deux cylindres coaxiaux. Le profil de rotation laminaire de l’´ecoulement est de la forme V = Vθ(r) = A.r + B/r.

´

Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.1 L’´ecoulement de Couette-Taylor Une analyse de stabilit´e lin´eaire permet de calculer le nombre de Reynolds critique (Re = ΩiRid/ν) pour un fluide

visqueux lorsque le rapport des rayons est proche de 1 (d << R) :

Rec= 41, 2pR/d (3.6)

lorsque le cylindre ext´erieur est au repos (Ωo= 0). l’instabilit´e centrifuge est caract´eris´ee par l’apparition de rouleaux

axisym´etriques – dits rouleaux de Taylor – dont l’extension radiale est ´egale `a l’´ecartement des cylindres d. Ces structures sont semblables `a celles qui apparaissent dans le cas de la convection thermique. Il existe une analogie formelle entre ces deux instabilit´es, dans laquelle la force centrifuge du syst`eme en rotation est l’´equivalent de la force d’Archim`ede dans un fluide stratifi´e en densit´e.

Lorsque le nombre de Reynolds augmente, l’´ecoulement subit une s´erie de transitions au cours desquelles les modes non-axisym´etriques se d´eveloppent jusqu’`a ce qu’il devienne totalement turbulent. C’est sur cette suite d’instabilit´es que s’est focalis´e l’essentiel des exp´eriences de laboratoire, puisqu’elle conduit progressivement par ´etapes identifiables d’un ´ecoulement simple et ordonn´e `a un ´ecoulement chaotique.

3.1.2

Travaux Ant´

erieurs

Le Couette-Taylor tient une place importante dans l’histoire de la dynamique des fluides. C’est en effet le premier cas d’´ecoulement pour lequel l’analyse de stabilit´e fut confirm´ee par l’exp´erience de laboratoire (Taylor 1923). L’article de revue de Tagg (1994) est l’une des r´ef´erences les plus exhaustives concernant l’historique et les avanc´ees de la recherche sur ce sujet. Depuis l’´epoque des travaux fondateurs de Taylor, plus de 2000 publications scientifiques sont parues concernant le Couette-Taylor. On notera ´egalement l’existence d’un colloque bi-annuel enti`erement consacr´e `a cette exp´erience – « Couette-Taylor Workshop »– dont la 12`eme ´edition s’est tenue cette ann´ee `a Chicago.

En raison de la richesse et de la complexit´e de leurs structures, la tr`es grande majorit´e de ces articles se concentre sur la description des diff´erentes bifurcations qui suivent la premi`ere instabilit´e, dans les r´egimes lin´eairement instables (Fig. 3.4). L’´etude exp´erimentale de Coles – maintenant classique – explore une large gamme de r´egimes de rotation dans le plan (Ωi, Ωo). La publication centrale de ce travail (Coles, 1965) qui consiste essentiellement en une description

des nombreux ´ecoulements observables dans le syst`eme, est extrˆemement riche en photographies. Pour une exploration semblable, on pourra ´egalement se reporter `a Boubnov et al. (1995). De la mˆeme fa¸con, les simulations num´eriques, pour lesquelles on se reportera `a Marcus (1984), Hua et al. (1997), ou encore Fazel et al. (1984), ne s’´ecartent pas du domaine Rayleigh-instable. La structure de la premi`ere instabilit´e est ´etudi´ee dans Barcilon et al.(1979) et Barcilon et al. (1984). Pour les analyses de stabilit´e, on consultera Riley (1976, 1977), Esser et al. (1996), ou bien Johnson (1963). Il existe ´egalement de nombreuses r´ef´erences traitant du cas o`u les cylindres sont en contre-rotation comme Andereck et al. (1986), ou Wang et al. (1970) qui contient de nombreuses mesures exp´erimentales. On notera ´egalement les tra-vaux de Lathrop et al. (1992), qui se sont pench´es sur le comportement des propri´et´es de transport du cas lin´eairement instable `a haut Reynolds et ont montr´e une transition vers un r´egime caract´eristique des instabilit´es de cisaillement . D’autres ´etudes concernent des ´ecoulements de Couette modifi´es, soit par l’utilisation de fluides « exotiques »– par exemple visco´elastiques – ou plus directement en imposant un gradient de temp´erature, un ´ecoulement axial, ou bien encore des oscillations harmoniques des cylindres le long de leur axe.

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.1 L’´ecoulement de Couette-Taylor

Fig. 3.3:Instabilit´e centrifuge : Rouleaux de Taylor. Les zones les plus sombres correspondent `a des parties de l’´ecoulement dans lesquelles la composante radiale de la vitesse est nulle ; les plus claires indiquent les endroits o`u les mouvements radiaux sont les plus intenses. Sur cette image, la totalit´e de la circonf´erence de l’exp´erience est visible grˆace `a un jeux de miroirs (Image : Arnaud Prigent.)

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.2 Les Pionniers : F.Wendt & G.I.Taylor

Fig. 3.4: ´Ecoulements observables dans une exp´erience de Couette-Taylor (Andereck et al. 1986), dans un diagramme Ri, o = Ωi,oR2_i,o/ν

Si les domaines lin´eairement instables ont fait l’objet d’´etudes intensives, il n’en va pas de mˆeme pour les autres r´egimes de rotation. La majorit´e des travaux sur les instabilit´es aux amplitudes finies se sont port´ees sur les ´ecoulements de type Poiseuille ou Couette plan, le premier poss´edant un r´egime de transition sous-critique, et le second ´etant lin´eairement stable quel que soit le nombre de Reynolds. Pourtant, parmi les mesures exp´erimentales de Taylor (1933 et 1936) et de Wendt (1936), des instabilit´es non-lin´eaires ´etaient d´ej`a clairement identifi´es. Mais depuis cette ´epoque, aucune exp´erience ne s’est int´eress´ee a ce probl`eme.

3.2

Les Pionniers : F.Wendt & G.I.Taylor

Sans doute car elles se situent historiquement aux d´ebuts de l’exploration exp´erimentale du Couette-Taylor, les deux r´ef´erences cit´ees ci-dessus contiennent des informations sur une gamme de r´egimes de rotation bien plus large que la majorit´e des travaux plus r´ecents.

Les travaux fondateurs de Taylor contiennent de pr´ecieuses mesures dans une grande gamme de rapports d’aspects Ri/Ro. Dans sa publications de 1936, il utilise onze diff´erentes tailles pour le cylindre int´erieur et se focalise sur la

mesure du couple exerc´e par le fluide (Fig. 3.5). Cependant, la technique utilis´ee ne permet l’acc`es `a cette quantit´e qu’avec un seul des cylindres en rotation. En effet, le couple est mesur´e grˆace `a un syst`eme de contre-poids qui main-tient le second cylindre au repos.

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.2 Les Pionniers : F.Wendt & G.I.Taylor

Fig. 3.5:Couple appliqu´e au cylindre au repos, normalis´e par la densit´e du fluide et la fr´equence de rotation, en fonction du nombre de Reynolds, pour deux valeurs du rayon du cylindre int´erieur ; en haut, Ri = 3, 89cm et en bas Ri = 3, 83cm (Ro = 4, 05cm) d’apr`es Taylor (1936). Ligne continue : valeur du couple th´eorique pour un ´ecoulement de Couette azimutal. Points : mesures avec diff´erents fluides de viscosit´es variables. Les mesures sup´erieures sont faites avec cylindre ext´erieur au repos, celles inf´erieures avec cylindre int´erieur au repos.

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.2 Les Pionniers : F.Wendt & G.I.Taylor

Fig. 3.6:Profils de vitesse azimutale entre les deux cylindres en fonction du rayon publi´es par Wendt (1933). L’axe des ordonn´es de gauche indique la vitesse lin´eaire du cylindre int´erieur ; l’axe de droite celle du cylindre ext´erieur. Courbes pointill´ees : profils th´eoriques laminaires. Les points repr´esentent les valeurs mesur´ees. Les lignes continues servent a guider l’œil. Pour cette exp´erience, Ri= 10cm et Ro= 14, 6cm.

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.3 Seuils d’Instabilit´e

−2.00 −1.50 −1.00 −0.50 0.00 log(∆R/R) 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 log( ∆Ω R ∆ R/ ν) Re = 2000 (plane shear flow )

Re*=10

5.8

Fig. 3.7:Nombre de Reynolds critique en fonction du rapport d’aspect ∆R/R ; cercles pleints d’apr`es les mesures de Taylor (1936), cercles blanc d’apr`es les mesures de Wendt (1933). Ligne pointill´ee : Reynolds critique d’un ´ecoulement de Couette plan. ; ligne discontinue : Reynolds de cisaillement critique dans la limite grand ´ecartement des cylindres.

La publication de Wendt (1933) est compl´ementaire de celle de Taylor. S’il n’utilise « que »3 rapports d’aspect, Wendt mesure, en plus des couples, les profils de rotation (Fig. 3.6) grˆace a une ing´enieuse technique de mesure de l’´el´evation du m´enisque de la surface – laiss´ee libre – du fluide. Il explore ´egalement des r´egimes o`u les deux cylindres sont en mouvement.

3.3

Seuils d’Instabilit´e

La comparaison des couples mesur´es au couple th´eorique pr´edit pour un ´ecoulement de Couette azimutal permet de discerner les seuils d’instabilit´es, comme illustr´e par la figure 3.5. On y identifie clairement le r´egime pour lequel la mesure s’´ecarte sensiblement de la valeur pr´edite. Il apparaˆıt clairement que dans le cas lin´eairement stable (cylindre

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.3 Seuils d’Instabilit´e

−2.00 −1.50 −1.00 −0.50 0.00 log(∆R/R) 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 log( ∆Ω R ∆ R/ ν ) Re = 2000 (plane shear flow )

Re*=10

5.8

Fig. 3.8:Nombre de Reynolds critique en fonction du rapport d’aspect ∆R/R pour les trois mesures d’´ecoulements «neutre »tir´ees de Wendt. Les points noirs correspondent a des ´ecoulements identifi´es comme ´etant turbulents. Le point blanc correspond a un ´ecoulement laminaire. Les deux courbes de Reynolds critiques de la figure 3.7 sont report´ees pour comparaison

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.4 Influence sur les profils moyens int´erieur au repos), le seuil d’apparition de la turbulence est beaucoup plus ´elev´e que dans le cas de l’instabilit´e cen-trifuge. La lecture de ces seuils, `a la fois dans les mesures de Wendt et de Taylor, a permis de tracer la courbe de stabilit´e de l’´ecoulement. Elle est pr´esent´ee en figure 3.7 sous la forme du Reynolds critique en fonction du rapport d’aspect d/R de l’exp´erience, o`u R est le rayon moyen entre les cylindres. La premi`ere constatation est la concordance dans le comportement des seuils pour les deux s´eries d’exp´eriences.

Pour les petits rapports d’aspect d/R, le nombre de Reynolds classique Re = ∆Ω.∆R.R/ν apparaˆıt comme ´etant le param`etre de contrˆole pertinent. De plus sa valeur critique est proche de celle rencontr´ee dans les exp´eriences de Couette plan. Pour les valeurs de d/R sup´erieures `a environ 1/20, le Reynolds ainsi d´efini n’est plus constant sur la courbe de stabilit´e. Il varie en fonction du rapport d’aspect avec une loi de puissance proche de 2. ´Ecrivons alors Re, sous la forme Re = R 3 ν ∆Ω ∆R  ∆R R 2 = Re∗ ∆R R 2 , (3.7)

et le param`etre de contrˆole pertinent – c’est `a dire constant le long de la courbe de stabilit´e – semble donc ˆetre

Re∗₌ R 3

ν ∆Ω

∆R. (3.8)

La valeur critique de ce nombre de Reynolds bas´e sur le cisaillement impos´e au fluide est d’apr`es les donn´ees exp´erimentales

Re∗ c ≃ 6 10

5

. (3.9)

Les points report´es sur la figure 3.7 sont associ´es `a des exp´eriences pour lesquels le cylindre int´erieur est maintenu au repos, de sorte que l’on ne puisse pas discerner Ωide ∆Ω. Heureusement, Wendt mesura 3 profils de vitesse proches de la

courbe de stabilit´e marginale de l’instabilit´e centrifuge (ΩiR2i = ΩoR2o). Sur ces trois profils, il en identifie deux comme

´etant turbulents et le troisi`eme comme ´etant laminaire. L’emplacement de ces trois points dans le plan (d/R, Re) est visible figure 3.8. Les deux ´ecoulements turbulents se situent au dessus de la courbe d´efinie par Re∗

c = 6 10 5

, alors que le troisi`eme – laminaire – se place au dessous. En conclusion, le Re∗<sub>parait ˆetre la param`etre pertinent ´egalement dans</sub>

les cas o`u les deux cylindres sont en rotation, avec la mˆeme valeur critique.

3.4

Influence sur les profils moyens

3.4.1

Instabilit´

e Centrifuge

L’effet de l’instabilit´e centrifuge sur le profil de rotation moyen – visible sur les figures 3.6 et 2.5 – est le d´eveloppement de couches limites aux parois des cylindres et l’aplatissement du profil de moment cin´etique. Le cœur de l’´ecoulement se trouve ainsi dans une configuration marginalement stable d’apr`es le crit`ere de Rayleigh, l’instabilit´e ´etant entretenue par le for¸cage impos´e par les cylindres qui se traduit par l’apparition des deux couches limites. On notera la similarit´e avec l’´evolution du profil de temp´erature dans une exp´erience de convection thermique entre deux plaques maintenues

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.4 Influence sur les profils moyens

0 10 20 30 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 ∂rΩ ∂r ( Ω R 2) L -∂r (Ω R 2) T ∂r (Ω R 2) L

Fig. 3.9: ´Egalisation du moment cin´etique au cœur de l’´ecoulement par l’instabilit´e de Taylor (d’apr`es les donn´ees de Wendt (1936) ) : ´ecart relatif du gradient de moment cin´etique au cœur de l’´ecoulement turbulent par rapport au mˆeme gradient dans le r´egime laminaire th´eorique , en fonction du diff´erentiel de rotation impos´e aux cylindres.

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a temp´erature constante.

Les mesures de Wendt ont ´et´e trait´ees pour extraire l’´evolution du moment cin´etique . La figure 3.9 montre la r´eduction relative du gradient de moment cin´etique au centre de l’´ecoulement ((∂rΩr2)L−(∂rΩr2)T)/(∆Ωr2)L, – o`u les quantit´es

indic´ees par L se rapportent aux valeurs laminaires th´eoriques et celles par T aux valeurs mesur´ees pour les ´ecoulements turbulents – en fonction du cisaillement laminaire th´eorique. Ces quantit´es sont ´evalu´ees au centre de l’´ecoulement. La valeur 1 indique un gradient de moment cin´etique nul. Pr´es du seuil de l’instabilit´e on observe un renversement du gradient de moment cin´etique qui devient positif au cœur de l’´ecoulement. A plus hauts r´egimes, il demeure toujours positif.

3.4.2

Instabilit´

e aux Amplitudes Finies

Les profils turbulents dans les r´egimes lin´eairement stables ne montrent pas d’´evolution aussi violente (figures 3.6 et 3.10), mais au contraire une r´eduction progressive du cisaillement. Comme dans le cas Rayleigh-instable, on pourrait intuitivement s’attendre `a ce que le cisaillement responsable de l’instabilit´e converge vers une valeur asymptotique pour les grands nombres de Reynolds (saturation). La figure 3.11 montre l’´evolution du cisaillement r´esiduel en fonction du cisaillement th´eorique au cœur de l’´ecoulement. On observe effectivement une r´eduction du gradient de vitesse angulaire mais sans atteindre de valeur de saturation.

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.4 Influence sur les profils moyens

Fig. 3.10:Profils de rotation (Taylor, 1936) `a cylindre int´erieur fixe, pour diff´erentes valeurs de la fr´equence de rotation du cylindre ext´erieur N ; triangles, N=33,0 Hz ; points barr´es, N=30,0 Hz ; points, N= 26,7 Hz ; cercles, N= 23,0 Hz.

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Etat des Lieux et Exploitation des Exp´eriences Ant´erieures 3.4 Influence sur les profils moyens

4 8 12 16 2 4 6 [S / r ] th [ S / r ]

Fig. 3.11:Effet de la turbulence sur le profil de vitesse angulaire ; Cisaillement S/r = ∂rΩ au centre de l’´ecoulement en fonction de la mˆeme quantit´e calcul´ee pour l’´ecoulement laminaire th´eorique (d’apr`es les donn´ees de Wendt (1936) . Ligne discontinue : bissectrice.