Badminton et probabilités

(1)

Badminton et probabilités

Davy Paindaveine Yvik Swan

Université Libre de Bruxelles Université de Liège

Bruxelles, août 2018

(2)

1 L’actuel scoring et un premier modèle probabiliste

2 Simulations

3 Un modèle probabiliste plus fin

4 Un autre scoring

5 Durée du set

(3)

(4)

Scoring pour un set de badminton (sans tie-break) -Le serveur du premier échange est tiré au sort - Le vainqueur d’un échange marque un point

- Le vainqueur d’un échange sert dans l’échange suivant - Le vainqueur du set est le premier à atteindren=21 points

Echange Score Serveur

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-1 B

... ... ...

39 21-18 A

1 / 29

(5)

Scoring pour un set de badminton (sans tie-break) - Le serveur du premier échange est tiré au sort -Le vainqueur d’un échange marque un point

-Le vainqueur d’un échange sert dans l’échange suivant - Le vainqueur du set est le premier à atteindren=21 points

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-1 B

... ... ...

39 21-18 A

(6)

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-1 B

... ... ...

39 21-18 A

1 / 29

(7)

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-1 B

... ... ...

39 21-18 A

(8)

Scoring pour un set de badminton (sans tie-break) - Le serveur du premier échange est tiré au sort - Le vainqueur d’un échange marque un point

- Le vainqueur d’un échange sert dans l’échange suivant -Le vainqueur du set est le premier à atteindren=21 points

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-1 B

... ... ...

39 21-18 A

1 / 29

(9)

Modèle probabiliste

- La probabilité queAgagne un échange est constante - Les échanges sont indépendants

En d’autres termes,

(10)

P[A gagne l’échange1] =P[A gagne l’échange2] =. . .=:p P[A perd l’échange1] =P[A perd l’échange2] =. . .=:q(=1−p) (endurances égales, sensibilités identiques aux points importants, etc.)

2 / 29

(11)

P[A gagne l’échange1] =P[A gagne l’échange2] =. . .=:p P[A perd l’échange1] =P[A perd l’échange2] =. . .=:q(=1−p) (endurances égales, sensibilités identiques aux points importants, etc.) et

P[A perd l’échange6|A a perdu l’échange5] =P[A perd l’échange6]

(pas de découragement, pas de "main chaude", etc.)

(12)

P[A gagne(n,0)] =p×p×. . .×p

| {z }

nfois

=pⁿ

3 / 29

(13)

P[A gagne(n,1)] =?×pⁿq¹

(14)

P[A gagne(n,1)] =npⁿq

3 / 29

(15)

P[A gagne(n,k)] = ^n+k−1_k

pⁿq^k, où ^m_`

:=_`!(m−`!)^m! (=Cm^`)

(16)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

4 / 29

(17)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

9

E[#points marqués parB] =P20

k=0k P[Agagne(21,k)] +P20

k=021P[Bgagne(k,21)]

(18)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

p=0.6 p=0.5 p=0.4

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

9 13.8 18.4 20.7

k

E[#points marqués parB] =P20

k=0k P[Agagne(21,k)] +P20

k=021P[Bgagne(k,21)]

4 / 29

(19)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

P[Agagne] =P20

k=0P[Agagne(21,k)] =0.996

(20)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p 0.996

P[Agagne] =P20

k=0P[Agagne(21,k)]

5 / 29

(21)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p 0.996

0.903

0.5

0.097

P[Agagne] =P20

k=0P[Agagne(21,k)]

(22)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p

0.903 n=21

P[Agagne] =Pn−1

k=0P[Agagne(n,k)]

5 / 29

(23)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p 0.903

0.949 n=33

n=21

P[Agagne] =Pn−1

k=0P[Agagne(n,k)]

(24)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p 0.903

0.949 0.987

n=61 n=33 n=21

P[Agagne] =Pn−1

k=0P[Agagne(n,k)]

5 / 29

(25)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p 0.903

0.949 0.987

>0.999

n=261 n=61 n=33 n=21

P[Agagne] =Pn−1

k=0P[Agagne(n,k)]

(26)

2 Simulations

4 Un autre scoring

5 Durée du set

(27)

Si effectuermfois l’expérienceElivremF réalisations de l’événementF, alors P[F] = lim

m→∞

mF

m

avec probabilité 1. Ceci permet d’approximerP[F]par mF

m ·

(28)

m→∞

mF

m

m ·

6 / 29

(29)

m→∞

mF

m

m ·

E:un set de badminton F :"Agagne(21,k)"

(30)

m→∞

mF

m

m ·

E:un set de badminton F :"Agagne(21,k)"

mF :=0

REPEATmtimes

scoreA:=0 et scoreB:=0

WHILE(scoreA<21 et scoreB<21)

IF(uniform(0,1)≤p)THENscoreA:=scoreA+1ELSEscoreB:=scoreB+1

END WHILE

IF(scoreA=21 et scoreB=k)THENmF :=mF +1

END REPEAT

6 / 29

(31)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

p=0.6 p=0.5 p=0.4

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

Sur la base dem=2000 sets

(32)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

p=0.6 p=0.5 p=0.4

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

7 / 29

(33)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

p=0.6 p=0.5 p=0.4

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

(34)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

p=0.6 p=0.5 p=0.4

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

7 / 29

(35)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

p=0.6 p=0.5 p=0.4

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

(36)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

p=0.6 p=0.5 p=0.4

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

7 / 29

(37)

Attention: ces approximations numériques

ne permettront pas d’étudier les probabilités en fonction dep

pourraient se réveler trop lentes pour un usage "en ligne"

pourraient échouer! (voir plus tard)

(38)

ne permettront pas d’étudier les probabilités en fonction dep pourraient se réveler trop lentes pour un usage "en ligne"

8 / 29

(39)

(40)

8 / 29

(41)

(42)

2 Simulations

4 Un autre scoring

5 Durée du set

(43)

Modèle probabiliste 2

- Les échanges sont indépendants

- La probabilité queAgagne un échange sur son service est constante - La probabilité queBgagne un échange sur son service est constante

En d’autre termes,

P[A gagne l’échange1|A sert] =P[A gagne l’échange2|A sert] =. . .=:pA

P[B gagne l’échange1|B sert] =P[B gagne l’échange2|B sert] =. . .=:pB

Tennis!

(44)

Tennis!

9 / 29

(45)

et

P[A perd l’échange1|A sert] =P[A perd l’échange2|A sert] =. . .=:qA(=1−pA) P[B perd l’échange1|B sert] =P[B perd l’échange2|B sert] =. . .=:qB(=1−pB)

Tennis!

(46)

P[A gagne(n,0)] =pⁿ_A

10 / 29

(47)

P[A gagne(n,1)] =npⁿ⁻¹_A qBqA

(48)

P[A gagne(n,k)] = ?

10 / 29

(49)

Définition

Uneinterruptionest une séquence d’échanges dans laquelle B prend le service, marque un ou plusieurs points, puis perd le service.

(50)

Définition

11 / 29

(51)

Définition

Pour le score(n,k),k≥1,

il peut y avoirentrer =1 etr =kinterruptions il y a ⁿ_r k−1

r−1

configurations avecr interruptions

chacune de ces configurations a probabilité(qAqB)^rp^n−r_A p^k_B^−r. Donc

P[A gagne(n,k)] =

k

X

r=1 n r

k−1 r−1

(qAqB)^rp^n−r_A p^k_B^−r.

(52)

Il y a ⁿ_r

façons de placer lesr interruptionsparmi lesnpoints marqués parA

Il y a ^k−1_r−1

façons de distribuerleskpoints marqués parBdans lesr interruptions

12 / 29

(53)

Il y a ⁿ_r

Il y a ^k−1_r−1

(54)

Il y a ⁿ_r

Il y a ^k−1_r−1

12 / 29

(55)

Il y a ⁿ_r

Il y a ^k−1_r−1

(56)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

pA p_B=0.4

p_B=0.5 p_B=0.6 p_B=0.7

Sur la base de 200 sets pourp=.005,.010,.015, . . . , .995

13 / 29

(57)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p_A p_B=0.4

p_B=0.5 p_B=0.6 p_B=0.7

(58)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p_A p_B=0.4

p_B=0.5 p_B=0.6 p_B=0.7

13 / 29

(59)

2 Simulations

4 Un autre scoring

(60)

Un autre scoring (encore sans tie-break) - Le serveur du premier échange est tiré au sort

- Le vainqueur d’un échange marque un point si il/elle sert - Le vainqueur d’un échange sert dans l’échange suivant - Le vainqueur du set est le premier à atteindre n=15 points

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

14 / 29

(61)

Un autre scoring (encore sans tie-break) -Le serveur du premier échange est tiré au sort

- Le vainqueur d’un échange marque un point si il/elle sert - Le vainqueur d’un échange sert dans l’échange suivant - Le vainqueur du set est le premier à atteindre n=15 points

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

(62)

-Le vainqueur d’un échange marque un point si il/elle sert -Le vainqueur d’un échange sert dans l’échange suivant - Le vainqueur du set est le premier à atteindre n=15 points

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

14 / 29

(63)

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

(64)

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

14 / 29

(65)

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

(66)

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

14 / 29

(67)

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

(68)

- Le vainqueur d’un échange marque un point si il/elle sert - Le vainqueur d’un échange sert dans l’échange suivant -Le vainqueur du set est le premier à atteindre n=15 points

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

15-12 A

14 / 29

(69)

Ici, un échange ne mène pas toujours à un point, mais un "super-échange" bien

pA=P[Amarque|Asert]

pB=P[Bmarque|Bsert]

(70)

15 / 29

(71)

Ici, un échange ne mène pas toujours à un point, mais un "super-échange" bien

p˜A=P[Amarque|Asert] =pA+ (qAqB)pA+ (qAqB)²pA+. . .= pA

1−qAqB

˜pB=P[Bmarque|Bsert] =pB+ (qBqA)pB+ (qBqA)²pB+. . .= pB

1−qAqB

(72)

il en découle que

P[A gagne(n,0)] = ˜pAⁿ= pA

1−qAqB

n

.

Plus généralement, en posantq˜A:=1−p˜Aetq˜B:=1−p˜B, on a

P[A gagne(n,k)] =

k

X

r=1 n r

k−1 r−1

(˜qAq˜B)^r˜p_A^n−rp˜^k−r_B

= pⁿ_Ap^k_B (1−qAqB)^n+k

k

X

r=1 n r

k−1 r−1

(qAqB)^r.

16 / 29

(73)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p

(74)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p Scoring 1 Scoring 2

17 / 29

(75)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p Scoring 1 Scoring 2 0.946

0.903

(76)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

P[A gagne]

p Scoring 1 Scoring 2 0.946

0.903 0.946 0.903

17 / 29

(77)

2 Simulations

4 Un autre scoring

(78)

NotonsDle nombre d’échanges du set.

La distribution deDest d’intérêt pour les joueurs

(le joueur peu endurant s’intéressera àP[D>35]) pour les organisateurs de tournoi

(parce queE[D]permettra d’estimer la durée du tournoi) pour les chaînes de télévision / les annonceurs

(parce queVar[D]permettra d’apprécier l’incertitude sur l’heure à laquelle on pourra diffuser la publicité entre deux sets)

...

18 / 29

(79)

Dans le premier scoring,

P[D=n+k] = P[D=n+k|Agagne(n,k)]P[Agagne(n,k)]

+P[D=n+k|Bgagne(k,n)]P[Bgagne(k,n)]

+P[D=n+k|un autre score]P[un autre score]

(80)

Le premier scoring

- Le serveur du premier échange est tiré au sort - Le vainqueur d’un échange marque un point

- Le vainqueur d’un échange sert dans l’échange suivant - Le vainqueur du set est le premier à atteindren=21 points

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-1 B

... ... ...

39 21-18 A

(81)

P[D=n+k] = P[D=n+k|Agagne(n,k)]

| {z }

=1

P[Agagne(n,k)]

+P[D=n+k|Bgagne(k,n)]

| {z }

=1

P[Bgagne(k,n)]

+P[D=n+k|un autre score]

| {z }

=0

P[un autre score]

(82)

| {z }

=1

P[Agagne(n,k)]

| {z }

=1

P[Bgagne(k,n)]

| {z }

=0

P[un autre score]

= P[Agagne(n,k)] +P[Bgagne(k,n)].

19 / 29

(83)

0 5 10 15 20

0.000.020.040.060.080.10

A gagne

P[A gagne (21,k)]

k p=0.7

0.000.020.040.060.080.10

20 15 10 5 0

B gagne

P[B gagne (k,21)]

k

(84)

| {z }

=1

P[Agagne(n,k)]

| {z }

=1

P[Bgagne(k,n)]

| {z }

=0

P[un autre score]

= P[Agagne(n,k)] +P[Bgagne(k,n)].

Ceci fixe la distribution deD, qui permet entre autres de calculerE[D]etVar[D].

19 / 29

(85)

(86)

20 / 29

(87)

Dans l’autre scoring,D|[Agagne(n,k)]reste aléatoire...

0-0 A

1 1-0 A

2 2-0 A

3 2-0 B

4 2-1 B

5 2-1 A

6 2-1 B

... ... ...

? 15-12 A

(88)

Définition

Uneinterruptionest une séquence d’échanges dans laquelle B prend le service à A, marque un ou plusieurs points, puis perd le service au profit de A qui marque au moins un point.

Unbrolest une séquence de deux échanges dans laquelle un joueur prend le service à l’autre et le perd aussitôt.

Pour le score(n,k), il peut y avoir au pluskinterruptions le nombre debrolsest arbitraire Chaquebrolse produit avec probabilitéqaqb

22 / 29

(89)

Lemme

SoitFj,r(n,k) :="Agagne(n,k)avec exactementjbrolsetr interruptions". Alors P[Fj,r(n,k)] = ^n+k^+j−1_j n

r

k−1 r−1

pⁿAp^kB(qAqB)^j+r

pour tout tout natureljet toutr ∈ {min(k,1), . . . ,k}.

(1) Ceci permet de confirmer les probabilités de score déjà obtenues.

Théorème

P[Agagne(n,k)] =X

j,r

P[Fj,r(n,k)] = pⁿ_Ap_B^k (1−qAqB)^n+k

k

X

r=min(k,1) n r

k−1 r−1

(qAqB)^r

(90)

(2) CommeFj,r(n,k)mène toujours àn+k+2r+2jéchanges, cela livre aussi P[D=n+k+2`|Agagne(n,k)]

=X

j,r

P[D=n+k+2`|Fj,r(n,k)]

| {z }

=1sij+r=`,0sinon

P[Fj,r(n,k)]

= X

j+r=`

P[Fj,r(n,k)].

Les probabilitésP[D=n+k+2`]découlent donc des probabilités totales...

24 / 29

(91)

(92)

25 / 29

(93)

Supposons que vous ayez remporté un set contre Lin Dan.

Comment le set s’est-il déroulé?

(94)

Cas 1: Lin Dan est B

27 / 29

(95)

Approximer par simulations cette valeur est impossible

(96)

Le miracle qui prédomine est une victoire(15,0)

27 / 29

(97)

Dans le scoring 2, Le miracle qui prédomine est une victoire(15,0) Dans le scoring 1, le set est très serré (et de score incertain)

(98)

Cas 2: Lin Dan est A

28 / 29

(99)

Cas 2: Lin Dan est A

Les miracles qui prédominent sont ceux (équiprobables) qui correspondent à des victoires(`,15),`=0, . . . ,14, en exactement 15+`+1 échanges

(100)

Recherches futures

Définir un modèle probabiliste qui prend en comptela motivation / la fatigue.

Comment faire ceci de façon naturelle?

Déterminer des méthodes pour laprévision en lignedu vainqueur (à la Klaassen and Magnus (2003) pour le tennis) et de la durée restante Estimer(pa,pb)en se fondant sur(n,k)... ou sur(n,k,d)

29 / 29

(101)

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