TS : exercices divers
I
Pourr toutn∈N∗, on considère la fonction définie sur [0 ; 3∞[ parfn(x)=2x−2+ px
n . 1. Étudier les variations de fnsur [0 ;+∞[/
2. Montrer que l’équation fn(x)=0 admet une solution uniqueαn. 3. Montrer que 0<αn<1.
4. Montrer que fn(αn
+1)>0.
II
Soitf la fonction définie surRpar
f(x)=x− 2 x2+1. 1. Déterminer la fonction dérivée f′puis la dérivée seconde f′′. 2. (a) Étudier le signe de f′′suivant les valeurs dex.
(b) En déduire le sens de variation def′.
(c) Montrer que la dérivée s’annule deux fois : en -1 et enαavec−0,3ÉαÉ −0,2.
3. En déduire le signe de f′puis les variations de f.
III D’après bac Pondichéry avril 2015
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.
1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
2. Pour tout entier natureln, on notehnla hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015+ n).
(a) Justifier que, pour tout entier natureln,hn+l=0,75hn+30.
(b) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
(c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.
