TS1-TS2 : contrôle commun n
o1 (3 heures)
I
On considère la suite numérique (un) définie surNpar :
u0=2 et pour tout entier natureln, un+1= −1
2u2n+3un−3 2. Partie A : Conjecture
1. Calculer les valeurs exactes, données en fractions irréductibles, deu1etu2. 2. Donner une valeur approchée à 10−5près des termesu3etu4.
3. Conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (un).
Partie B : Validation des conjectures
On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier natureln, par :vn=un−3.
1. Montrer que, pour tout entier natureln
vn+1= −1 2v2n. 2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,
−1ÉvnÉ0.
3. (a) Démontrer que, pour tout entier natureln,
vn+1−vn= −vn µ1
2vn+1
¶ . (b) En déduire le sens de variation de la suite (vn).
4. Pourquoi peut-on alors affirmer que la suite (vn) converge ? 5. On noteℓla limite de la suite (vn).
On admet queℓappartient à l’intervalle [−1 ; 0] et vérifie l’égalité :ℓ= −1 2ℓ2. Déterminer la valeur deℓ.
6. Les conjectures faites dans lapartie Asont-elles validées ?
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II
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f(x)=5− 4
x+2. On admettra quef est dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞[.
On a tracé enannexe 1dans un repère orthonormé la courbeC représentative de f ainsi que la droiteD d’équationy=x.
1. Démontrer que f est croissante sur l’intervalle [0 ;+∞[.
2. Résoudre l’équation f(x)=xsur l’intervalle [0 ;+∞[. On noteαla solution.
On donnera la valeur exacte deαpuis on en donnera une valeur approchée à 10−2près.
3. On considère la suite (un) définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, un+1=f (un).
Sur la figure deannexe 1, en utilisant la courbeC et la droiteD, placer les pointsM0,M1etM2d’ordon- née nulle et d’abscisses respectivesu0,u1etu2.
Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite (un) ? 4. (a) Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier natureln,
0ÉunÉun+1Éα oùαest le réel défini dans la question 2.
(b) Peut-on affirmer que la suite (un) est convergente ? On justifiera la réponse.
5. Pour tout entier natureln, on définit la suite (Sn) par Sn=
n
X
k=0
uk=u0+u1+ · · · +un. (a) CalculerS0,S1etS2.
Donner une valeur approchée des résultats à 10−2près.
(b) Compléter l’algorithme donné enannexe 2pour qu’il affiche la sommeSnpour la valeur de l’entier ndemandée à l’utilisateur.
(c) Montrer que la suite (Sn) diverge vers+∞.
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III
Partie A
Soit (un) la suite définie par son premier tenueu0et, pour tout entier natureln, par la relation un+1=aun+b (aetbréels non nuls tels que a6=1).
On pose, pour tout entier natureln, vn=un− b 1−a. 1. Démontrer que, la suite (vn) est géométrique de raisona.
2. En déduire que siaappartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un) a pour limite b 1−a.
Partie B
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.
1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
2. Pour tout entier natureln, on notehnla hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l’année (2015+ n).
(a) Justifier que, pour tout entier natureln, hn+1=0, 75hn+30.
(b) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le sens de variations de la suite (hn).
Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
(c) La suite (hn) est-elle convergente ? Justifier la réponse.
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Feuille à rendre avec la copie Annexe 1 l’exercice II
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
O
Annexe 2 de l’exercice II
Entrée : nun entier naturel
Variables : uetssont des variables réelles neti sont des variables entières Initialisation : uprend la valeur 1
sprend la valeuru i prend la valeur 0 Demander la valeur den Traitement : Tant que . . .
Affecter ài la valeuri+1 Affecter àula valeur . . . Affecter àsla valeur . . . Fin Tant que
Sortie : Affichers.
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