TS-spe Contrôle : matrices (1 h 15)
.
Contrôle : matrices (1 h 15)
.E 1
.. correctionAetB sont deux matrices. Donner, dans les cas suivants, le format du produit AB lorsque celui-ci est possible.
1. A de format 4x3, B de format 4x3. 2. A de format 2x5, B de format 5x1.
3. A de format 7x3, B de format 7x7. 4. A de format 2x4, B de format 4x4.
E 2
.. correctionEffectuer les produits de matrices suivants et simplifier vos résultats :
1.
1 2
−3 1
1 −2
−1 1
2.
cosb sinb sinb −cosb
cosa sina sina −cosa
3.
cosa −sina sina cosa
cosb −sinb sinb cosb
E 3
.. correction ( point )On considère la suite (un) définie par u0=3,u1=8 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
un+2=5un+1−6un. 1. Calculer u2 et u3.
2. Pour tout entier naturel n⩾2, on souhaite calculerun à l'aide de l'algorithme suivant : Variables : a,betcsont des nombres réels
i etnsont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 Initialisation : aprend la valeur 3
b prend la valeur 8 Traitement : Saisirn
Pouri variant de2ànfaire cprend la valeura a prend la valeurb bprend la valeur … Fin Pour
Sortie : Afficher b
(a) Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :
n 7 8 9 10 11 12 13 14 15
un 4 502 13 378 39 878 119 122 356 342 1 066 978 3 196 838 9 582 322 28 730 582
(b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite (un) ?
3. Pour tout entier naturel n, on note Cn la matrice colonne
un+1
un
. On note A la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n,
Cn+1=ACn.
Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel n, Cn=AnC0. Page 1
TS-spe Contrôle : matrices (1 h 15)
4. Soient P=
2 3 1 1
, D=
2 0 0 3
et Q=
−1 3 1 −2
.
(a) Montrer par récurrence queDn=
2n 0 0 3n
(b) CalculerQP.
(c) On admet que A=PDQ.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, An=PDnQ.
5. À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet.
Pour tout entier naturel non nul n,
An=
−2n+1+3n+1 3×2n+1−2×3n+1
−2n+3n 3×2n−2×3n
.
En déduire une expression de un en fonction de n. La suite (un) a-t-elle une limite ?
Page 2
TS-spe Contrôle : matrices (1 h 15)
.
Correction
.E 1
.. énoncé1. Le produit est impossible.
2. 2x1.
3. Le produit est impossible.
4. 2x4.
E 2
.. énoncé1.
−1 0
−4 7
2.
cos (a−b) sin (a−b)
−sin (a−b) cos (a−b)
3.
cos (a+b) −sin (a+b) sin (a+b) cos (a+b)
E 3
.. énoncé1. u2=5u1−6u0=40−18=22 u3=5u2−6u1=110−48=62
2. (a) « b prend la valeur 5a−6c » (b) La suite semble être croissante.
3. A=
5 −6 1 0
Prouvons par récurrence que Cn=AnC0.
C'est vrai pourn=0, car A0 est la matrice identité.
Supposons que Cn=AnC0, alors
Cn+1=ACn=A(AnC0)=A×AnC0=An+1C0
En conclusion, pour tout entier naturel n, on a Cn=AnC0
4. (a) Par récurrence.
(b) QP=
−1 3 1 −2
2 3 1 1
=
−2+3 −3+3 2−2 3−2
=
1 0 0 1
(c) C'est trivialement vrai pour n=1. Supposons que An=PDnQ, alors :
An+1=An×A=PDnQ(PDQ)=PDn(QP)DQ=PDnDQ=PDn+1Q
En conclusion, pour tout entier naturel n, non nul on a An=PDnQ.
5. Puisque Cn=AnC0, on obtiendra un comme la somme : Page 3
TS-spe Contrôle : matrices (1 h 15)
un=8(−2n+3n)+3(3×2n−2×3n)= −8×2n+8×3n+9×2n−6×3n=2n+2×3n. Les deux suites de terme général2n et3n ayant pour limite +∞, il en résulte que la suite (un) n'a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu'elle diverge vers +∞).
Page 4
