UNIVERSIT ´E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ee 2014/2015 Master 2 Math´ematiques Introduction `a la g´eom´etrie alg´ebrique
Feuille d’exercices 5
Exercice 1.
a) SoitAun anneau etS ⊂Aun sous-ensemble multiplicatif. Soitf :A→S−1A l’application naturelle. Montrer la propri´et´e universelle de l’anneau localis´e S−1A : si g : A → B est un morphisme d’anneaux tel que g(s) est inversible pour tout s ∈ S, alors il existe un unique morphisme d’anneauxg0:S−1A→B tel que g0◦f =g.
b) SoitAun anneau etS⊂Aun sous-ensemble multiplicatif. Soitf :A→S−1A l’application naturelle. Soitp⊂Aun id´eal premier etS−1p⊂S−1Al’id´eal engendr´e parf(p). Soit ¯S⊂A/p l’image de S par l’application quotient A → A/p. Montrer que ¯S ⊂ A/p est un ensemble multiplicatif et
S¯−1(A/p)'S−1A/S−1p.
Soitkun corps alg´ebriquement clos.
c) SoitA:=k[X1, . . . , Xn] etf ∈Aun polynˆome non-nul. Montrer que l’anneau localis´eAf est isomorphe `a
k[X1, . . . , Xn, T]/(1−T f).
d) SoitX ⊂kn un ensemble alg´ebrique affine et Γ(X) son anneau de fonctions. Soientf1, f2∈ Γ(X) des polynˆomes tels queV(f1) =V(f2). Montrer que
Γ(X)f1 'Γ(X)f2.
Exercice 2.
a) Soientm, n∈N∗ des entiers positifs tels quepgcd(m, n) = 1. Montrer que (Z/mZ)⊗Z(Z/nZ) = 0.
b) SoitAun anneau etI⊂Aun id´eal. SoitM unA-module. Montrer queM/IM est isomorphe
`
aA/I⊗AM. Indication : utiliser l’application surjectiveA⊗AM A/I⊗AM.
c) SoitA un anneau local etM, N des A-modules de type fini (donc engendr´e par un nombre fini d’´el´ements). Montrer queM ⊗AN = 0 si et seulement siM = 0 ouN = 0.
On pourra utiliser la question b) et sans preuve un cas particulier du lemme de Nakayama : Soitm⊂A l’unique id´eal maximal de l’anneau localA. SiM est un A-module de type fini et mM=M, alorsM = 0.
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