On exprime : c=ae−iπ3 = 8 cos −π3 +isin −π3 = 8(12 −i √ 3 2

(1)

LYCÉE ALFRED KASTLER TS 2016–2017 Devoir maison n^o14 – mathématiques

Correction Exercice 1

1. On exprime : c=ae⁻ⁱ^π³ = 8 cos −^π₃

+isin −^π₃

= 8(¹₂ −i

√ 3

2 ) = 4−4i√ 3 et d=be²ⁱ^π³ = 8i cos ^2π₃

+isin ^2π₃

= 8i(−¹₂ +i

√ 3

2 ) =−4√ 3−4i 2. on a |a|=|8|= 8,|b|=|8i|= 8,|c|=|a| ×

e⁻ⁱ^π³

= 8×1 = 8 et|d|=|b| × e²ⁱ^π³

= 8×1 = 8.

Ainsi, OA = OB = OC = OD = 8, les quatre points A, B, C et D appartiennent donc au cercle de centre O et de rayon 8.

3. (a) On a z₂ =d−b=−4√

3−4i−8i=−4√

3−12i.

Or z₁√

3 = (4−4i√

3−8)√

3 = (−4−4i√ 3)√

3 =−4√

3−12i.

Ainsiz₂ =z₁√ 3.

(b) |z₃|=|8i−8|= 8√

2(calculs à détailler) et (de même) :

|z₄|=|4−4i√

3−(−4√

3−4i)|=|(4 + 4√

3) + (4−4√

3)i|=√

2×4²+ 2×4²×3 = 8√ 2.

(c) z1 étant non nul on a, d’après la question 3a, z2

z₁ =√ 2.

Soit Z = z₂

z₁ = z_D −z_B

z_C −z_A. Alors, |Z|= BD AC =√

26= 0 et arg(Z) = (−→

AC;−−→

BD) = 0.

On en déduit que les côtés [AC] et [BD] sont parallèles (et de même orientation) mais pas de même longueur.

De plus, de la question 3b on déduit que AB = DC, donc que les deux autres côtés de ABDC sont de même longueur.

On en déduit que ABDC est un trapèze isocèle, soit une figure ressemblant à cela :

B D

C – A

–

Exercice 2

Avant tout, supposons qu’il existe deux nombres ai etai qui sont distincts. Soit S =

n

X

k=1

ak. On sait que S−a_i etS−a_j sont des entiers relatifs.

Leur différence, (S−a_i)−(S−a_j) = a_j−a_i est donc aussi un entier relatif.

Or −1

2 6a_i 6 1

2 et −1

2 6a_j 6 1 2.

Donc −16aj−ai 61. Comme ai 6=aj, on en déduit que leur différence vaut −1 ou1.

Alors ceci n’est possible que si a_i =−1

2 et a_j = 1

2 ou si a_i = 1

2 eta_j =−1 2.

Ainsi on vient de montrer que si l’on suppose que tous les nombres a_i ne sont pas égaux, seulement deux valeurs apparaissent dans l’ensemble des nombres ai : −1

2 et 1 2. 1. Supposons n pair. Supposons que tous les a_i ne sont pas égaux.

Alors d’après ce que nous venons de montrer, tous les nombres valent soit −1

2, soit 1 2. Si l’on retire l’un de ces nombres, leur somme est égale à un nombre entier impair de fois 1

2, et ne peut donc pas être un entier relatif : ceci est contradictoire avec l’énoncé.

Donc nécessairement, a₁ =a₂ =· · ·=a_n.

(2)

2. Pour n = 3, on peut choisir a₁ = 1

2, a₂ = 1

2 eta₃ =−1 2.

Alors les sommes obtenues en retirant un des trois nombres sont 1 et 0 et sont bien entières.

Donc il n’est pas nécessaire que a₁ =a₂ =· · ·=a_n.