Produit scalaire
Nous allons découvrir une nouvelle opération sur les vecteurs, appelée produit scalaire, dont le résultat est unnombre réel
I- Produit scalaire
1) Définition
On appelle produit scalaire de #»u et#»v le nombre réel noté #»u·#»v et défini par :
#»u ·#»v =
k#»uk × k#»vk ×cos (#»u;#»v) si #»u , #»
0 et #»v ,#»
0
0 si #»u = #»
0 ou #»v =#»
0
Le produit scalaire d’un vecteur#»u par lui-même (#»u ·#»u) est appelé carré scalaire de #»u et se note #»u2. Définition
Exemple 1 :
Sur la figure ci-contre, le triangleOABest équilatéral etOA = 3.
H est le milieu de[OA].
Calculer #»u ·#»v, #»u·#»u,#»v ·(−# »v)et# » HO·# »
HB. O A
B
H −→u
−
→v
2) Vecteurs colinéaires
– Si #»u et #»v sont colinéaires et de même sens alors
u#»·#»v =k#»uk × k#»vk – Si #»u et #»v sont colinéaires et de sens contraires alors
u#»·#»v =−k#»uk × k#»vk Propriété
3) Vecteurs orthogonaux
On dit que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si les droites qu’ils dirigent sont perpendiculaires.
Par convention le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
Définition
Deux vecteurs #»u et#»v sont orthogonaux si et seulement si #»u ·#»v = 0.
Propriété
4) Symétrie
Soient #»u et#»v deux vecteurs alors #»u·#»v = #»v ·#»u Propriété
II- Autres expressions du produit scalaire
1) Avec des projetés orthogonaux
SoitD une droite et M un point. On appelle projeté orthogonal de M surD le point d’intersection deD avec la droite perpendiculaire àD passant par M
Définition
Soient A, B, C et D quatre points du plan.
Si C0 et D0 sont les projeté orthogonaux de C et D sur (AB) alors # » AB·# »
CD = # » AB·# »
C0D0 Propriété
C′ D′
A B
C
D
E
C′
D′
A B
C D
E
Soit E le point tel que # » C0E = # »
CD.
On a alors # » AB·# »
CD = # » AB·# »
C0E = AB×C0E×cos(# » AB;# »
C0E).
– Si l’angle (# » AB;# »
C0E) est droit alors cos(# » AB;# »
C0E) = cos(# » AB;# »
CD) = 0 donc # » AB·# »
CD = # » AB·# »
C0D0 = 0.
– Si l’angle (# » AB;# »
C0E) est aigu alors # »
AB et # »
C0D0 sont colinéaires et de même sens et cos(# » AB;# »
C0E) = C0D0 C0E Ainsi # »
AB·# »
CD = AB×C0E×C0D0
C0E = AB×C0D0 =# » AB·# »
C0D0. – Si l’angle (# »
AB;# »
C0E) est obtus alors # »
AB et # »
C0D0 sont colinéaires et de sens contraires et cos(# » AB;# »
C0E) =
−C0D0 C0E Ainsi # »
AB·# »
CD =−AB×C0E×C0D0
C0E =−AB×C0D0 =# » AB·# »
C0D0. Exemple 2 :
ABCest un triangle isocèle enAtel queAB = 3etBC = 4.
Oest le milieu du segment[BC].
Calculer # » BA·# »
BCet# » CA·# »
BC.
Le projeté orthogonal de A sur (BC) est O donc# » BA·# »
BC =# » BO·# »
BC = BO×BC = 2×4 = 8 4
3
O A
B C
2) Dans un repère
Soit (O ;#»ı , #») un repère orthonormal du plan.
Si#»u x y
!
et#»v x0 y0
!
alorsu#»·#»v =xx0+yy0. Propriété
Démonstration
Soit A le point tel que # »
OA = #»u et B le point tel que # » OB = #»v. 1) Cas des vecteurs colinéaires.
Il existektel que # »
OB =k# »
OA. Ainsi # » OB kx
ky
! . – Si # »
OA et# »
OB sont colinéaires et de même sens alorsk >0 et OB =kOA.
On a alors # » OA·# »
OB = OA×OB =k×OA×OA =kOA2. – Si # »
OA et# »
OB sont colinéaires et de même sens contraire alorsk <0 et OB =−kOA.
On a alors # » OA·# »
OB =−OA×OB =k×OA×OA =kOA2. Ainsi # »
OA·# »
OB =k(x2+y2) =kxx+kyy=xx0+yy0 2) Cas des vecteurs quelconques.
Soit H le projeté orthogonal de B sur (OA).
On a alors, d’après ce qui précède,
# » OA·# »
OB = # » OA·# »
OH =xxH+yyH
En appliquant le théorème de Pythagore dans les tri- angles OBH et ABH rectangles en H, on obtient :
BH2= OB2−OH2= AB2−AH2
O
A B
H
ce qui nous donne :
x02+y02−x2H−yH2 = (x−x0)2+ (y−y0)2−(x−xH)2−(y−yH)2 puis, en simplifiant :
0 =−2xx0−2yy0+ 2xxH+ 2yyH soit :
xxH+yyH=xx0+yy0 On en déduit donc :# »
OA·# »
OB =xx0+yy0. Exemple 3 :
Dans un repère orthonormal(O ;#»ı , #»), #»u 6 3
! , #»v 3
−1
!
etw#» −2 2
!
Calculer #»u ·#»v, #»u·w#»et#»v ·w.#»
#»u·#»v = 6×3 + 3×(−1) = 18−3 = 15
#»u·w#»= 6×(−2) + 3×2 =−12 + 6 =−6
#»v ·w#»= 3×(−2) + (−1)×2 =−6−2 =−8 Exemple 4 :
SoientA(2; 3),B(−1; 1)etC(3;−5). Calculer # » BA·# »
BC. Que peut-on en conclure ?
III- Régles de calculs
Quels que soient #»u , #»v etw#»3 vecteurs etkun nombre réel alors :
• #»u ·(#»v +w) =#» #»u ·#»v +#»u·w#»
• (#»u+#»v)·w#»=#»u ·w#»+#»v ·w#»
• #»u ·(k#»v) =k×(#»u ·#»v)
• (k#»u)·#»v =k×(#»u ·#»v) Propriété
Démonstration
On se place dans un repère orthonormal du plan et on pose #»u x y
! , #»v x0
y0
!
etw#» x00 y00
!
Les coordonnées de #»v +w#»sont x0+x00 y0+y00
! .
On a ainsi, #»u ·(#»v +w) =#» x(x0+x00) +y(y0+y00) =xx0+xx00+yy0+yy00. De plus #»u·#»v +#»u ·w#»=xx0+yy0+xx00+yy00.
Conclusion :#»u ·(#»v +w) =#» #»u ·#»v +#»u·w#»
Les coordonnées dek#»v sont kx0 ky0
! .
On a ainsi #»u ·(k#»v) =x(kx0) +y(ky0) =kxx0+kyy0. De plusk×(#»u ·#»v) =k(xx0+yy0) =kxx0+kyy0 Conclusion #»u·(k#»v) =k×(#»u ·#»v)
Exemple 5 :
#»u et #»v sont deux vecteurs, simplifier(#»u+#»v)2,(#»u −#»v)2et(#»u+#»v)·(#»u −#»v).
(#»u +#»v)2= (#»u+#»v)·(#»u +#»v) = (#»u +#»v)·#»u + (#»u+#»v)·#»v
=#»u2+#»v ·#»u +#»v ·#»u+#»v2=#»u2+ 2#»u ·#»v +#»v2 (#»u−#»v)2= (#»u−#»v)·(#»u −#»v) = (#»u−#»v)·#»u −(#»u−#»v)·#»v
=#»u2−#»v ·#»u −#»v ·#»u +#»v2=#»u2−2#»u ·#»v +#»v2 (#»u+#»v)·(#»u −#»v) =#»u2−#»u·#»v +#»v ·u#»−#»v2=#»u2−#»v2
(#»u +#»v)2=#»u2+ 2#»u ·#»v +#»v2 (#»u −#»v)2=#»u2−2u#»·#»v +#»v2 (#»u +#»v)·(#»u−#»v) =#»u2−#»v2
#»u ·#»v =12
k#»u+#»vk2− k#»uk2− k#»vk2 . Propriété
Remarque :
Le produit scalaire obéit aux même règles de calcul que le produit sur les réels sauf :#»u ·#»v = 0 n’implique pas#»u = 0 ou #»v = 0, on ne peut pas simplifier.
IV- Droite et produit scalaire
1) Vecteur normal à une droite
Un vecteur normal à une droiteD est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur deD. Définition
SoitD une droite, A un point deD et#»n un vecteur normal àD. Alors la droiteD est l’ensemble des points M du plan tels que # »
AM·#»n = 0.
C’est à dire M∈D si et seulement si # »
AM·#»n = 0.
Propriété
2) Equation cartésienne d’une droite SoitD une droite et A(xA;yA)∈D. Soit #»n a
b
!
un vecteur normal àD et M(x;y) un point du plan.
M∈D ⇐⇒ # » AM·#»n = 0
⇐⇒ (x−xA)a+ (y−yA)b= 0
⇐⇒ ax+by+ (−axA−byA) = 0
⇐⇒ ax+by+c= 0 en posant c=−axA−byA
Soit (O ;#»ı , #») un repère orthonormal du plan.
• Si une droiteD admet#»n a b
!
pour vecteur normal alorsD a une équation de la formeax+by+c= 0, oucest un réel.
• Réciproquement : l’ensemble des points M(x;y) du plan vérifiant l’équation ax+by+c = 0 où (a;b),(0; 0) est une droite de vecteur normal #»n a
b
! . Théorème
Exemple 6 :
Déterminer une équation cartésienne de la droiteD pasant parA(1; 5)et de vecteur normal #»n 4
−2
! .
Exemple 7 :
SoitA(−2;−1)etB(3; 3). Déterminer l’équation de la médiatrice de[AB].
3) Parallélisme et orthogonalité
SoitD une droite de vecteur normal#»n. SoitD0 une droite de vecteur normal #»
n0.
AlorsD etD0sont parallèles si et seulement si #»n et#»
n0 sont colinéaires.
D etD0 sont perpendiculaires si et seulement si #»n et#»
n0sont orthogonaux.
Propriété
Exemple 8 :
SoientD1,D2etD3les droites d’équations cartésiennes : D1: 5x−2y+ 4 = 0,D2:−10x+ 4y−3 = 0etD3: 2x+ 5y−7 = 0. Ces droites sont-elles parallèles ? perpendiculaires ?
