Exercice 1 (5 points

Faculté de Mathématiques 2^eme Lic, ST-GP, Section F Examen …nal - 13 janvier 2013. Durée : 90 minutes

Nom :... Matricule :...

Prénom :... Groupe :...

========================================================

Exercice 1 (5 points) : Quelle est la nature des séries numériques suivantes :

1)

+1

X

n=1

1

2 ⁿ+ 1 2)

+1

X

n=0

nⁿ n! 3)

+1

X

n=0

ne ⁿ

========================================================

Réponse.

1) On a u_n = 1

2 ⁿ+ 1 et lim

n!+1u_n = lim

n!+1

1

2 ⁿ+ 1 = 1 6= 0. La condition nécessaire de convergence lim

n!+1u_n= 0 pour les séries numériques n’est pas satisfaite.

Alors la série

+1

X

n=1

1

2 ⁿ+ 1 est divergente (grossièrement).

2)Le terme général u_n = nⁿ

n! est strictement positif. En utilisant le critère de D’Alembert l= lim

n!+1

u_n+1 un

= lim

n!+1 u_n+1 1 un

= lim

n!+1

(n+ 1)ⁿ⁺¹ (n+ 1)!

n!

nⁿ

!

= lim

n!+1

(n+ 1)ⁿ⁺¹ (n+ 1)n!

n!

nⁿ

!

= lim

n!+1

(n+ 1)ⁿ

nⁿ = lim

n!+1

n+ 1 n

n

=e'2;72>1:

Commel > 1, alors la série

+1

X

n=0

nⁿ

n! est divergente.

3)Le terme général u_n =ne ⁿ>0pour n 1. En appliquant le critère de D’Alembert l = lim

n!+1

u_n+1

u_n = lim

n!+1

(n+ 1)e ⁽ⁿ⁺¹⁾

ne ⁿ = lim

n!+1

(n+ 1)e ¹

n =e ¹ '0;37<1:

Commel < 1, alors la série

+1

X

n=0

ne ⁿ est convergente.

========================================================

Exercice 2 (5 points) :

a)Calculer le rayon de convergenceRde

+1

X

n=0

(n²+ 1) 2ⁿ⁺¹xⁿet étudier sa convergence enx= R.

b) On pose f(x) =

+1

X

n=0

(n²+ 1) 2ⁿ⁺¹xⁿ et g(x) =

+1

X

n=0

xⁿ, x2] R; R[.

Montrer que f(x) = 8x²g⁰⁰(2x) + 4xg⁰(2x) + 2g(2x).

c) En déduire la somme

+1

X

n=0

(n² + 1) 2ⁿ⁺¹xⁿ. Indication. Noter que g(x) =

+1

X

n=0

xⁿ = 1 1 x.

========================================================

Réponse.

a) On a an= (n²+ 1) 2ⁿ⁺¹ et 1

R = lim

n!+1

a_n+1

a_n = lim

n!+1

(n+ 1)² + 1 2ⁿ⁺¹⁺¹

(n²+ 1) 2ⁿ⁺¹ = lim

n!+1

(n²+ 2n+ 2) 2 (n²+ 1) = 2;

donc R= 1 2. Pour x=R = 1

2;on a

+1

X

n=0

(n²+ 1) 2ⁿ⁺¹xⁿ =

+1

X

n=0

2 (n²+ 1) qu’est divergente car

n!lim+12 n²+ 1 = +1 6= 0:

Pour x= R = 1 2;on a

+1

X

n=0

(n²+ 1) 2ⁿ⁺¹xⁿ =

+1

X

n=0

2 (n² + 1) ( 1)ⁿ qu’est divergente car

n!lim+12 n²+ 1 ( 1)ⁿ n’existe pas.

b) On a g⁰(x) = X1 n=1

nx^{n 1}; g⁰⁰(x) = X1 n=2

n(n 1)x^{n 2}. Alors

8x²g⁰⁰(2x) + 4xg⁰(2x) + 2g(2x) = 8x²

+1

X

n=2

n(n 1) (2x)^{n 2}+ 4x

+1

X

n=1

n(2x)^{n 1}+ 2

+1

X

n=0

(2x)ⁿ

=

+1

X

n=0

n(n 1) 2ⁿ⁺¹xⁿ+

+1

X

n=0

n2ⁿ⁺¹xⁿ+

+1

X

n=0

2ⁿ⁺¹xⁿ

=

+1

X

n=0

n(n 1) 2ⁿ⁺¹xⁿ+n2ⁿ⁺¹xⁿ+ 2ⁿ⁺¹xⁿ :

En factorisant2ⁿ⁺¹xⁿ, il vient

8x²g⁰⁰(2x) + 4xg⁰(2x) + 2g(2x) =

+1

X

n=0

[n(n 1) +n+ 1] 2ⁿ⁺¹xⁿ

=

+1

X n²+ 1 2ⁿ⁺¹xⁿ =f(x):

1 x

+1

X

n=0

n²+ 1 2ⁿ⁺¹xⁿ=f(x) = 8x² 1 1 x

00

(2x) + 4x 1 1 x

0

(2x) + 2 1 2x

=

= 8x² 2

(1 2x)³ + 4x 1

(1 2x)² + 2 1 2x

= 16x²+ 4x(1 2x) + 2 (1 2x)² (1 2x)³

= 16x² 4x+ 2 (1 x)³ :

========================================================

Exercice 3 (5 points) : On considère la fonctionf :R !Rdé…nie par f(x) = e^xsinx:

a) Montrer que la dérivée n^ieme de f est f⁽ⁿ⁾(x) = p

2 ⁿe^xsin x+n

4 ,n 1.

Indication. Noter que sina+ cosa=p

2 sin a+ 4 .

b)En déduire le développement en séries entières def et donner son domaine de convergence.

========================================================

Réponse.

a) Montrons par récurrence que f⁽ⁿ⁾(x) = p

2 ⁿe^xsin x+n

4 ,n 1.

Pour n= 1, on af⁰(x) = (e^xsinx)⁰ = (cosx+ sinx)e^x =p

2e^xsin x+ ₄ : Supposons que f^(k)(x) = p

2 ^ke^xsin x+k

4 ; k= 1;2; :::n:On a alors f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = f^{(n) 0}(x) = p

2

n

e^xsin x+n 4

0

= p

2

n

e^xh

cos x+n

4 + sin x+n 4

i

= p

2

n

e^xp

2 sin x+n 4 +

4 = p

2

n+1

e^xsin x+ (n+ 1) 4 : D’après l’hypothèse de récurrence f⁽ⁿ⁾(x) = p

2 ⁿe^xsin x+n

4 ,n 1.

b) En utilisant la formule de Taylor f(x) =

+1

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ, il vient

f(x) =

+1

X

n=0

p2 ⁿe⁰sin 0 +n 4

n! xⁿ=

+1

X

n=0

p2 ⁿsin n₄ n! xⁿ:

========================================================

Exercice 4 (5 points) : Soit f la fonction2 -périodique dé…nie par

f(x) = 8>

<

>:

2 si x2] ;0]; 2 si x2]0; ]:

a) Tracer le graphe de la fonction f pour x2[ 3 ;3 ].

b) Écrire la série de Fourier f associée à f et étudier sa convergence sur ] ; [.

c) En déduire la somme de la série numérique

+1

X

n=0

( 1)ⁿ 2n+ 1: d)En appliquant l’égalité de Parseval a²₀

2+

+1

X

n=1

(a²_n+b²_n) = 1Z

(f(x))²dx, calculer

+1

X

n=0

1 (2n+ 1)²:

========================================================

Réponse.

a)

x

2 3

2 3

y 2

2 0

b) La fonction2 -périodique f est impaire car f( x) = 2 = f(x); x2]0; [.

Alors les coe¢ cients de Fourier sont donnés par a₀ =a_n= 0; n 1

b_n= 2Z

0

f(x) sin (nx)dx= 2Z

0

2 sin (nx)dx= 4

n cos (nx)

0

= 4 (1 cos (n ))

n = 4 (1 ( 1)ⁿ)

n :

On remarque queb_2n = 0 etb_2n+1 = 8

(2n+ 1): La série de Fourier f associée àf est f(x) = a0

2 +

+1

X

n=1

[a_ncos (nx) +b_nsin (nx)] =

+1

X

n=1

b_nsin (nx)

=

+1

Xb2nsin (2nx) +

+1

Xb2n+1sin ((2n+ 1)x):

f(x) =

+1

X

n=0

b_2n+1sin ((2n+ 1)x) =

+1

X

n=0

8

(2n+ 1)sin ((2n+ 1)x):

Le seul point de discontinuité sur ] ; [ estx= 0 et on a f(0 + 0) = 2; f (0 0) = 2.

La fonctionf est partout dérivable sur ] ; [ sauf en x= 0. En ce point on a : lim

x!0

f(x) f(0 0)

x 0 = 0 et lim

x!0⁺

f(x) f(0 + 0)

x 0 = 0:

La fonction f véri…e les conditions de Dirichlet, donc sa série de Fourier associée est conver- gente. De plus

f(x) =

+1

X

n=0

8

(2n+ 1)sin ((2n+ 1)x) = 8>

>>

><

>>

>>

:

2 si x2] ;0[; 0 si x= 0;

2 si x2]0; [:

c) Pourx=

2, on a f

2 =

+1

X

n=0

8

(2n+ 1)sin (2n+ 1)₂ = 2.

Commesin (2n+ 1) ₂ = ( 1)ⁿ, il vient

+1

X

n=0

8 ( 1)ⁿ (2n+ 1) = 2:

On en déduit

+1

X

n=0

( 1)ⁿ 2n+ 1 =

4:

d) En appliquant l’égalité de Parseval a²₀ 2 +

+1

X

n=1

(a²_n+b²_n) = 1Z

(f(x))²dx, il vient

+1

X

n=0

(b_2n+1)² = 1Z

(f(x))²dx= 1Z

4dx= 1

(8 ) = 8:

en remplaçant b2n+1 par sa valeur, on obtient

+1

X

n=0

64

2(2n+ 1)² = 8;

d’où

+1

X

n=0

1

(2n+ 1)² =

2

8 :