1 DIVERS ASPECTS DU FILTRAGE D UNE TENSION PÉ- RIODIQUE

DS n°1 CCINP - e3a Samedi 18/09/2021 - Durée 4h

1 DIVERS ASPECTS DU FILTRAGE D’UNE TENSION PÉ- RIODIQUE

On se propose d’étudier différentes propriétés d’un filtre. Dans tout le problème la représen- tation complexe d’un signale(t) sera notéee(t). Les diagrammes demandés seront directement tracés sur la copie, toutefois le plus grand soin sera apporté à leurs réalisations.

A − Étude préliminaire

On dispose d’un générateur BF (basse fréquence) ; on utilisera ainsi deux tensions u₁(t) et u₂(t) de période T et de fréquence f = 1/T, définies comme suit : u₁(t) = U₁sin(2πf t) avec U1 = 2 V et :

0 t u₂(t) U₂

T/2 T

u₂(t) =

ß U₂ si 0< t6T /2 0 si T /2< t6T

avec U2 = 2 V.

On montre que u₂(t) est décomposable en série de Fourier selon : u₂(t) = U2

2 +

+∞

X

p=0

2U2

π(2p+ 1)sin[ (2p+ 1)2π f t] A1) Déterminer les valeurs moyennes< u₁> et< u₂ >.

A2) Rappeler la définition de la valeur efficace. Quelles sont les valeurs efficaces de u₁(t) et de u₂(t) ? Application numérique.

B − Étude d’un filtre en régime sinusoïdal forcé

On se propose de réaliser un filtre simple permettant d’isoler les diverses composantes si- nusoïdales d’une tension périodique comme vérification expérimentale du théorème de Fourier.

Un dipôle est constitué par une bobine (inductance L et résistance interne R_L en série), un condensateur de capacité C et une résistance R en série. Il est alimenté par la tension sinusoïdaleu₁(t).

L RL

C

u1(t) R u(t)

On étudie en régime sinusoïdal forcé la réponse u(t), d’amplitude Um, entre les bornes de la résistance R. On posera :

LCω₀² = 1 ; R⁰ =R+RL ; Q= Lω₀ R⁰ B1) Établir la fonction de transfert H(jω) = u

u₁.

B2) On définit le gain G = U_m/U₁ et G_dB = 20 log(G). Pour quelle valeur de ω, G est-il maximal ? Quelle est alors la valeur de Gmax?

A.N. : calculerω0 et la fréquence associéef0 siL= 100 mH,RL= 32 Ω etC = 0,25µF.

B3) Pour réaliser le filtre on utilise une capacité de précision 5%. Quelle est alors l’incertitude surω0 si on suppose une valeur exacte pour l’inductance ?

B4) Déterminer la largeur ∆ω de la bande passante à −3 dB en fonction deQ et deω0. Un calcul précis est attendu. On désire pouvoir laisser passer un signal de pulsation ω₀ tout en atténuant au mieux un signal de pulsation 2ω₀. Dans quel domaine faut-il choisir R pour qu’il en soit ainsi ?

B5) On choisitR = 20 Ω. Donner les valeurs numériques deQet de ∆ω

ω₀ . Que vaut le rapport G/G_maxlorsqueω= 1,1ω₀;ω= 1,5ω₀;ω= 2,0ω₀? Quelle est la nature de ce filtre ? Sa qualité ?

B6) Lors d’une étude expérimentale, on applique les tensions u1(t) etu(t) sur les deux voies d’un oscilloscope. La fréquence de u1 est f = 1,1f0. La base de temps de l’oscilloscope est réglée sur 0,1 ms/div et le gain vertical de chaque voie est de 0,5 V/div.

Représenter l’allure des signaux sur l’écran de l’oscilloscope en adoptant l’échelle : 1 div = 1 cm et en supposant que l’origine de temps (instant t = 0) est au centre de l’écran.

C− Séparation des composantes de Fourier de u₂(t)

On utilise le filtre étudié dans la partie B avec L = 100 mH ; R_L = 32 Ω ; R = 20 Ω et C ajustable. Ce filtre est alimenté avec la tensionu2(t) réglée sur la fréquence f = 1,0 kHz.

C1) On pose ω = 2π f. Quelles sont les pulsations ω1, ω2, ω3 et ω4 des quatre premières harmoniques non nulles de u2(t), ainsi que leurs amplitudes associées ?

C2) On désire observer entre les bornes de R une tension u(t) sinusoïdale de pulsation ω Quelle valeur C₁ de C faut-il choisir ? Quelle est alors l’amplitude A₁ de la tension u observée ? Application numérique : calculer A1.

C3) En toute rigueur, avec cette valeur de C₁,u(t) est la somme de tensions sinusoïdales de pulsations ω2,ω3, ω4, etc... Calculer l’amplitude A2 de la tension de pulsation ω2 et le rapport A₂/A₁. Que dire sans calculs des amplitudes associées aux autres pulsations ? C4) On règle C de façon à observer successivement entre les bornes de R la manifestation

des trois harmoniques suivantes de u(t). Quelles valeurs successives C₂, C₃ et C₄ faut- il choisir ? Quelles sont dans chaque cas les amplitudes et les fréquences des tensions observées ? Application numérique : calculer les amplitudes des tensions observées.

2 CIRCUITS RC COUPLÉS PAR UNE INDUCTANCE

On considère le circuit ci-dessous dans lequel les deux condensateurs, de même capacité C, ne sont pas chargés lorsque les deux interrupteurs sont ouverts. Les deux résistors ont la même résistancer. La bobine est supposée idéale, d’inductance L. Ce circuit est alimenté par un générateur assimilé à une source idéale de tension de fém constanteE.

r

K₁ C C

r L

i

K₂ E

q₁ q₂

•

•

1) K₂ restant ouvert, on fermeK₁. Déterminer les charges des deux condensateurs au bout d’un temps très long. On pourra commencer par montrer queq1=q2 à tout instant.

2) Quelle est alors l’énergieW emmagasinée dans les deux condensateurs ? Application nu- mérique :C = 1,0µF etE = 10 V. Calculer W.

3) Le régime permanent étant atteint (K₁ restant fermé), on ferme maintenant K₂ et on prend cette date comme nouvelle origine des temps.

a) Modéliser le circuit lorsque le régime permanent sera de nouveau atteint.

b) Quelles seront alors les nouvelles charges des condensateurs au bout d’un temps très long ? Quelle sera l’énergie W⁰ emmagasinée dans les deux condensateurs dans ces conditions ?

Dans toute la suite on poseraλ= r

2L etω₀ = 1

√2LC.

c) Montrer que, après la fermeture deK2, les chargesq1etq2obéissent à deux équations différentielles de la forme :

q¨₁−q¨₂+aq˙₁+b q₁= E

L et q¨₂−q¨₁+aq˙₂+b q₂ = 0 et identifier les deux constantes aetben fonction de λetω0.

4) On pose Q = q₁ +q₂ et q = q₁ −q₂. Ce changement de variables fait apparaître ce que l’on nomme parfois des variables normales, qui permettent de découpler le système d’équations différentielles précédent.

Établir les équations différentielles vérifiées séparément parQetq.

Dans la suite du problème, on utilisera pour les différents éléments les valeurs numériques suivantes :C = 1,0 µF,L= 5,0 mH, r = 200 Ω.

5) a) Résoudre l’équation différentielle vérifiée par Q et montrer que cette charge reste constante dans le temps.

b) Compte-tenu des valeurs numériques proposées, déterminer l’expression littérale de q(t) en fonction du temps et des paramètres C,λetE.

6) Déterminer l’expression littérale du couranti(t) qui traverse l’inductance L.

7) Calculer explicitement l’énergieWg fournie par le générateur au reste du circuit pendant cette opération en fonction deC etE. En déduire à l’aide d’un bilan énergétique l’énergie W_J dissipée par effet Joule dans le circuit.

3 Analyse d’un circuit

On alimente le circuit ci-dessous avec une tension sinusoïdale e(t) =Emcos(2πf t) délivrée par un GBF (générateur basse fréquence) et on note u(t) = U_mcos(2πf t+ϕ) la tension aux bornes de la résistanceR. On branche la voie 1 de l’oscilloscope aux bornes du GBF et la voie 2 aux bornes de R. Les courbes observées sont données ci-dessous. Dans l’expérience réalisée, on a prisR = 90 Ω.

L etr représentent respectivement l’inductance et la résistance d’une bobine réelle.

L r

R i(t)

e(t) u(t)

CH₂ CH₁

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 t(ms)

Divisions

e(t) : 2V/div u(t) : 1V/div

1) Déterminer à partir des courbes la fréquencef ainsi que les amplitudesEmetUm. Quelle est l’amplitude Im de l’intensité i(t) qui traverse le circuit ?

2) À l’aide de l’oscillogramme déterminerϕ. On donnera sa valeur en radians ainsi que son signe.

3) Déterminer les expressions de Lω etr en fonction de R,E_m/U_m et de ϕ. A.N. : calculer Let r.

4) Peut-on visualiser directement la tensionu_L aux bornes de la bobine sur l’oscilloscope à l’aide ce ce montage ? Justifier.

FIN