Sur la possibilit´ e d’une structure complexe des particules de spin diff´ erent de 1/2
Louis De Broglie
To cite this version:
Louis De Broglie. Sur la possibilit´ e d’une structure complexe des particules de spin diff´ erent de 1/2. J. Phys. Radium, 1951, 12 (4), pp.509-516. <10.1051/jphysrad:01951001204050900>.
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LE JOURNAL DE PHYSIQUE
1 ET
LE RADIUM
SUR LA
POSSIBILITÉ
D’UNE STRUCTURE COMPLEXE DES PARTICULES DE SPINDIFFÉRENT DE I/2
Par LOUIS DE BROGLIE.
TOME 12.
SOMMAIRE. - L’idée que les particules de spin différent
de I/2 ((en
unitéh/203C0)
sont complexes a étéémise par l’auteur dès I933-I934 lorsqu’il a commencé à développer sa Mécanique ondulatoire du photon.
Elle a été reprise récemment, notamment dans un travail de M. Frenkel et dans un article de MM. Fermi et Yang. Nous avons étudié à nouveau cette question depuis quelque temps avec la collaboration de Mme Tonnelat et nous donnons ici un exposé de nos dernières idées à ce sujet.
Après avoir rappelé une tentative assez imparfaite que nous avions faite dans ce sens en I936, nous la reprenons d’une manière qui paraît plus satisfaisante. Raisonnant sur le cas d’une particule de spin I considérée comme formée de deux constituants de spin
I/2, nous
montrons comment on peut séparer lemouvement du centre de gravité de la particule du mouvement « interne » et nous explicitons les solu-
tions relatives au mouvement interne, qui sont étudiées d’autre part avec plus de détails par Mme Ton- nelat. Nous montrons ensuite comment il est possible de transporter sur le centre de gravité les propriétés
de spin de l’ensemble des deux constituants et de retrouver ainsi les équations bien connues qui repré-
sentent le mouvement des particules de spin I considérées comme des unités. On obtient également
ainsi une interprétation de la forme non définie positive de la densité de probabilité de présence dans la théorie de la particule de spin I. Ces considérations, qui sont vraisemblablement susceptibles de géné-
ralisations pour les particules de spin supérieur à I, semblent justifier les idées qui ont servi de points de départ à la Mécanique ondulatoire du photon et qui nous ont permis d’écrire les équations de la parti-
cule de spin I, puis de les généraliser par la même méthode aux cas des particules de spin supérieur à I.
1.
Exposé
de laquestion.
- Dans l’état actuel de nosconnaissances,
il est tentant de supposer que lesparticules
despin 2
telles quel’électron,
leproton,
le neutron, leneutrino,
etc. sont desparti-
cules ou
corpuscules
« élémentaires ».Malgré
la difficultéqu’il
y a àpréciser
exactementl’idée
de corpuscule élémentaire,
il nous semble donc naturel d’admettre que lescorpuscules
élé-mentaires sont
toujours
despin 2 , en
ce sens quetoute
particule
despin
différentde 2
doitpouvoir
se
représenter
comme formée par l’union de cor-puscules
despin 1/2.
Cette idée se trouve renforcée2
par le fait bien connu que les
particules
despin
entier en unité
h
203C0 suivent lastatistique
de Bose-Einstein tandis que les
particules
despin
demi-entier suivent la
statistique
de Fermi-Dirac.Or,
il résulte d’un théorèmeimportant démontré,
il ya
plus
de 20 ans, avecrigueur
par MM.Ehrenfest
et
Oppenheimer, qu’un système
formé d’un nombrepair
de constituants despin 2
doit suivre la statis-tique
deBose-Einstein,
tandisqu’un système
forméd’un nombre
impair
de constituants despin 2
doitobéir à la
statistique
deFermi-Dirac;
ce théorèmea
joué
un rôlecapital
dans l’étude de la consti- tution des noyauxatomiques.
Il vient fortement àl’appui
del’hypothèse
faiteplus
haut sur la com-plexité
desparticules
despin
différent de2.
C’est cette
hypothèse
sur la constitution des par- ticules despin
différentde 2
2qui
m’a amenédès
1933-1934
à tenter de construire sur cette baseune théorie des
photons.
Lesphotons doivent,
eneffet,
être desparticules
despin
1 comme le prouve lasymétrie
de l’ondequi
leur estassociée,
c’est-à-dire de l’ondeélectromagnétique,
car lespropriétés
de
polarisation
de l’onde lumineusepeuvent
êtreconsidérées comme traduisant le fait que le
spin
du
photon
a la valseur 1. J’ai doncessayé
dès cetteLE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. - T. 12. - No 4. - AVRIL 1951.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01951001204050900
510
date de construire une théorie du
photon
en leconsidérant comme une
particule complexe
forméede deux constituants de
spin - Naturellement,
une telle théorie doit conduire à définir un état de laparticule complexe (état pseudo-scalaire)
où lespin
résultant est nul par suite de la
compensation
duspin
des deux constituants et un autre état(état vectoriel)
où il y a addition duspin
des deux cons-tituants et où le
spin
résultant est par suiteégal
à i :le
premier
étatcorrespondrait
à unphoton pseudo- scalaire
despin
oqui
n’est pas actuellement connu, tandis que l’état vectoriel décrit lephoton
usuel,le
photon
de la lumière. Ceci conduit àpréciser
que lesystème
formé de deux constituants despins
forme une
particule
de «spin
maximum » isuscep-
tible de deux
états,
l’un despin
1, l’autre despin
o.Cette remarque se
généralise
pour lesparticules
de( 3 5 )
in maximum n(n ( =
3 5j
spin
maximumn n
=-,
22, -,....
2En
développant
cette théorie àlaquelle j’ai
donnéle nom de «
Mécanique
ondulatoire duphoton
»,j’ai
admis que la masse propre duphoton
n’étaitpas
rigoureusement nulle,
mais seulement extra- ordinairementpetite (par rapport
à celle de l’élec-tron).
Je sais bien que cettehypothèse, qui
amène, à ne
plus
considérer l’invariancede jauge
commerigoureuse,
estrejetée
par laplupart
des théoriciens.Bien que,
personnellement l’hypothèse
d’une massepropre non nulle du
photon
ne meparaisse
pasinadmissible, je
ne veux pas chercher ici à la défendre.Je ferai seulement remarquer
qu’elle
al’avantage
de
permettre,
endéveloppant
la théorie duphoton,
d’être conduit aux
équations générales
de laparti-
cule de
spin
i(avec
termes demasse)
et, si l’on veutensuite attribuer au
photon
une masse proprenulle,
on n’aplus qu’à
poserégale
àzéro,
la masse proprequi figure
dans leséquations
obtenues.C’est parce que
j’ai
suivi cette voie quej’ai
pu obtenir dès1934 (Une
nouvelle théorie de lalumière, Hermann, 1934),
à la fois sous formespinorielle
et sous forme
tensorielle,
leséquations
de laparti-
cule de
spin
Iet,
du même coup, celles de laparti-
cule de
spin
o, avec les termes de masse. Ceséqua-
tions ont été retrouvées deux ans
plus
tard(avec adjonction
de termes decharge)
par M. Alexandre. Proca et elles sont
aujourd’hui
courammentappli-
’
quées
aux mésons considérés comme desparticules
de
spin
iliées
auxchamps
nucléaires.On trouvera des
exposés
de la théorie duphoton
ainsi obtenue dans
plusieurs
ouvrages quej’ai publiés
à ce
sujet depuis 1934 [1].
J’ai montré enparticulier
comment, en introduisant dans cette théorie la seconde
quantification,
l’onpouvait
retrouver lathéorie
quantique
duchamp électromagnétique qui
doit sonorigine
aux travaux de mu.Jordan,
Pauli et
Heisenberg.
Il y acependant quelques
différences entre les résultats que l’on obtient ainsi
et ceux de la théorie
quantique
deschamps
électro-magnétiques
sous sa forme usuelle :j’ai
insisté surces
points
dans un récentOuvrage [2].
On retrouved’ailleurs dans ma
présentation
comme en théoriequantique
deschamps,
lesdifficultés
relatives àl’énergie
d’interaction desparticules
électrisées avec lechamp, énergie qui
est trouvée infinie.Reprenant
récemment une idée que
j’avais émise,
sous une formeimparfaite,
dans une Note auxComptes
rendus de l’Académie des Sciences de
1935 [3], j’ai essayé
de trouver des valeurs finies pourl’énergie
propre des
corpuscules électrisés; je
nepuis parler
ici de cette
tentative,
car cela sortirait du cadre de monexposé [4].
Généralisant l’idée
qui
m’avaitguidé
dans l’édi- fication de la théorie de laparticule
despin
maximum I,
j’ai
montré ensuite dans unOuvrage
intitulé
Théorie générale
des-particules
despin.
quelconque [5]
que l’onpeut
aisément obtenir leséquations
de laparticule
despin
maximum n enla considérant comme une
particule complexe
formée de 2n constituants de
spin ?
et en suivant lamême voie que pour le
photon.
Leséquations
sontirréductiblement du
type spinoriel
pour lesparti-
1 d . d. t . 1 3 5 t d . ,
cules de
spin
demi-entiers1/2, 3/2, 5,
tandisqu’on peut
les ramener au
type
tensoriel pour lesparticules
de
spin’entier (i,
2, 3,... ).
On retrouve ainsi dansl’ensemble les résultats
qui
avaient étédéjà
don-nés dans les beaux travaux de MM.
Dirac,
Pauliet Fierz sur ce
suj et.
Dans toute cette théorie des
particules
despin
différent de i on attribue à la
particule
trois coor-données que
je
nommeraiX, Y,
Z.Que repré-
sentent ces coordonnées si l’on admet que la
parti-
cule est
complexe?
Je dois à M. Jean-Louis Des- couches de m’avoirsuggéré,
presque dès le début de mes recherches à cesujet,
que les coor- donnéesX, Y,
Z doivent être les coordonnées du centre degravité
de laparticule complexe,
cequi
dans le cas d’une
particule
despin
maximum iformée de deux constituants
supposés
de mêmemasse m, conduit à poser
où xi, Yi, zi et x2, y/2’ Z2 sont
respectivement
les coor-données des deux constituants. Partant de
là, j’ai généralement
établi dans mesOuvrages
leséquations
de la
particule
despin
maximum i en écrivant leséquations auxquelles
obéiraientséparément
lesdeux constituants de
spin 2
s’ils étaient sans inter-action, puis
enopérant
une «fusion» des deux consti-tuants, opération qui s’exprime mathématiquement
par une fusion
(verschmelzung)
des matrices a deDirac relatives aux constituants. Cette manière d’obtenir les
équations
de laparticule
despin
maximum i par fusion des deux
constituants, qui peut
segénéraliser
pour laparticule
despin
maximum n, n’est
qu’un procédé heuristique
et n’estpas
logiquement
satisfaisante. Elleimplique
notam-ment que l’on introduise la masse propre
Mode
laparticule complexe
commeégale
à la somme 2 mo des masses des constituants : or la formation de laparticule
stable àpartir
de ses constituants devant êtreexoénergétique,
la masse proprede
cette par- ticule doit être inférieure à la somme des massespropres de ses constituants.
Conscient de l’insuffisance de mes
raisonnements, j’ai essayé
enig36
dans une Notepubliée
dans lesComptes
rendus de l’Académie des Sciences[6]
d’établir une théorie détaillée de la structure
complexe
desparticules
despin
maximum i. Lesidées
qui
m’ontguidé
en écrivant cette Note etque je
croistoujours exactes,
sont les suivantes : -.io Il doit être
possible
deséparer
le mouvementdu centre de
gravité
de laparticule complexe
dumouvement relatif des constituants autour du centre de
gravité,
de tellefaçon
que le mouvement du centre degravité
soit décrit par leséquations
de la
particule
despin
i(du type
deséquations
dela
Mécanique
ondulatoire duphoton)
et defaçon
que soit ainsi réalisé un
trans f ert
sur le mouvementdu centre de
gravité
despropriétés
despin
des consli- tuants.2° Dans le
système
propre de laparticule,
c’est-à-dire dans un
système
de référence où son centre degravité
est au repos, il doit êtrepossible
de trouverune fonction d’onde
qui
décrive l’état interne de laparticule.
30 La
complexité
interne de laparticule
doit pou- voirexpliquer pourquoi
la densité deprobabilité
deprésence qui, pour un corpuscule
despin 2
2 a la formedéfinie
positives 1 W )2,
n’aplus
cette forme pour uneparticule
despin
différentde 2 ,
2 maispeut,
dans le casd’une
particule
despin
maximum I animé d’un mou-vement d’ensemble
rectiligne
et uniforme de vitessegc,
s’écrire 1 (D 12
avecapparition
du facteur decontraction de Lorentz
V i - P2, (D
étant ici la fonc- tion d’ondes.Si les idées
précédentes qui
m’ontguidé
dans maNote de
1936
meparaissent toujours
exactes,je
dois dire que la
façon
dontj’ai
alorsessayé
de lesdévelopper
ne m’ajamais
donné satisfaction. En écrivantl’équation
dusystème
des deux consti-tuants, je
n’avais pas introduit de terme d’inter-action,
cequi
revenait à admettreimplicitement
, j j+ -+ 1),
entre ces constituants une interaction en
6 ( 1- 21 l,
hypothèse
arbitrairequi
conduisait à des difficultés deplus,
la masse propreJB;1 0
de laparticule complexe
était
toujours posée égale
à la somme 2 mo desmasses propres des
constituants,
cequi,
commeje
l’ai dit
déjà,
n’estguère
admissible.Après
être restélongtemps
sansreprendre
ceproblème, j’ai
euconnaissance,
il y a deux ou trois ans, d’un Mémoire de M. Frenkel où il adéveloppé,
sans avoir eu connaissance de mes
travaux,
des idées trèsanalogues
aux miennes[7].
Il a écrit eneffet,
enparlant
deséquations
d’ondes desparti-
cules de
spin
différentde 2 :
« I believe that equa- tions of thistype
willgive
anadequate description
of
complex particles
treated as materialpoints
withcertain inner
degrees
of freedom ». Mon attentionayant
été ramenée sur cesujet
par la lecture de ceMémoire, j’ai entrepris
alors avec Mme Tonnelatquelques
nouveaux calculsqui
ne nous ont pas donné entière satisfaction et que nous n’avons paspubliés.
Mais tout récemment une tentative
analogue
aété faite par MM. E. Fermi et C. N.
Yang [8] qui
ont calculé la fonction d’onde
représentant
l’étatinterne
pseudo-scalaire
d’un méson considéré comme uneparticule complexe
formée de deux -constituants despin 2.
Nous avonsalors,
Mme Tonnelat etmoi,
repris
de nouveau l’étude de laquestion
et noussommes parvenus à des résultats
qui sont, je crois, beaucoup plus
satisfaisants que les résultats anté- rieurs : on trouvera dans unarticle complémentaire
de Mme Tonnelat
quelques précisions
sur ledétail
des calculs.
2. ’Vérification des trois idées directrices. - Nous
désignerons
par x1, y,, Zl et x2, 92, Z2 les coor- données des deux constituants despin 2
2 que noussupposerons pour
simplifier
avoir la même masse mo.Ces deux constituants ont pour
équation
d’ondes deséquations
de Dirac où nouschoisirons,
suivant notrehabitude,
pour les matrices oc de Dirac les valeurs suivantes :Nous introduirons ensuite les matrices à 16
lignes
et 16 colonnes
qui
sontclassiques
enMécanique
ondulatoire du
photon :
(a?) )ik,lm == (OE j)il
Õkm, >(a;2))¡k,lm == (- I)j (rJ.j)km
ou; J(2)
où les d sont des
symboles
de Kronecker et où tousles indices varient de i à
4.
Nous
prendrons
alors commeéquations
d’ondes ’du
système
des deuxcorpuscules
despin -
formant512
la
particule complexe (comme
dans ma Note de193 6,
mais avec en
plus
un termed’interaction) :
les
Tin (X,,
yi, zl, x2, Y2, -21t)
étant les 16 compo- santes de la fonction d’onde dusystème
des deuxconstituants. Nous avons introduit un terme d’inter- action de la forme
proposée
par M. Fermi dans son récent Mémoire. Onpeut choisir,
à titred’essai,
pour( j+ + j )
la fonction
V (1 il - -;:2 i)
une formesimple
telle quecelle du « trou de
potentiel
».Nous définirons alors les coordonnées
X, Y,
Z du centre degravité
de laparticule complexe
et lescoordonnées relatives
,ç,
n, i par les formulesSi nous
employons
ces nouvellesvariables, l’équation
d’onde
(3)
s’écrit :où
Tin
est maintenantexprimée
à l’aide des variablesX, Y, Z, ç,
A, i.’
Plaçons-nous
maintenant dans lesystème
propre de laparticule,
c’est-à-dire dans unsystème
deréférence où le centre de
gravité
est au repos et où la fonctiond’onde,
que nousdésignerons
par’VBO)
(4 0, Yjo, , to)
en affectant de l’indice o toutce
qui
serapporte
ausystème
propre, nedépend plus
que des variables relatives. Dans lesystème
propre, nous obtenons les
équations suivantes,
pourdéterminer les états internes
quantifiés
de la par- ticulecomplexe :
A l’état interne
d’énergie quantifiée Wo correspond
une masse propre de la
particule complexe égale d’après
leprincipe
de l’inertie del’énergie
àMo
=W° .
c2On trouve ainsi d’abord une série d’états quan- tifiés internes
pseudo-scalaires; puis
on trouve uneautre série d’états
quantifiés
vectoriels. Chacune de cesséries peut
êtrereprésentée
par les solutions trouvéespar
M. Fermi et aussi par des solutionsindépendantes qui, d’après
leurforme, correspondent
à des doublets dont l’axe est
dirigé
suivantOo’
Ono
ouOio.
Nous fixerons
notre
attention exclusivement surles états « normaux o, c’est-à-dire sur ceux
qui,
dans le cas vectoriel comme dans le cas
pseudo- scalaire, correspondent
à laplus petite
valeur propre, Soit alorsl’un de ces états normaux
(la
valeur deMo peut
varier suivant que l’état considéré est l’état normal vectoriel ou l’état normal
pseudo-scalaire
et la formedes
cpi2)
varie suivant que l’état considéré est l’état normalpseudo-scalaire,
ou l’un ou l’autre des étatstriplets
vectorielsnormaux).
Il
s’agit
maintenant de retrouver pour le mouve- ment du centre degravité
de laparticule complexes,
les
équations
de laparticule
despin
maximum ide telle
façon
que lespin
des constituants se trouvereporté
sur le centre degravité.
Pour cela nous remarquerons que,
d’après
lesrésultats connus de la
Mécanique
ondulatoire duphoton,
pour une ondeplane monochromatique
décrivant un mouvement d’ensemble
rectiligne
etuniforme de la
particule,
il y aquatre
indicespri- vilégiés,
queje désignerai
pari k,
tels que les compo- santeswir (to)
de cette onde dans lesystème
propre soient les seulescomposantes
non nulles(quand
onprend
dans lesystème
propre l’axe des z dans la direction de lapropagation
initiale del’onde).
Avec la
représentation (7) adoptée
ici pour les oc, l’indice i nepeut prendre
que les valeurs 3 et4
etl’indice k que les valeurs i et 2. D’autre
part,
nousvenons de voir
qu’il
existequatre
étatsquantifiés
normaux de la
particule,
l’un àsymétrie sphérique,
les trois autres
correspondant
à un doublet.Il est alors aisé de voir que l’on
peut
faire corres-pondre
chacune de cesquatre
solutions à uncouple
d’indices
privilégiés (1)
et par suite lareprésenter
par
cplZi.
La fonction d’onde dusystème pouvant (1)
En réalité, ceci n’est pas tout à fait exact, parce que, tandis que les deux états vectoriels de composantes de spinle long de Oz égales à + I correspondent respectivement aux couples d’indices i = 3, k = I et i = 4, k = 2, l’état pseudo-
scalaire et le troisième état vectoriel intéressent à la fois les
couples d’indices i = 3, k = 2 et i = 4, k = I , ce qui oblige
à compliquer un peu la démonstration qui suit sans rien y
changer d’essentiel (voir Appendice).
correspondre
à unesuperposition
d’étatsquantifiés
normaux, nous poserons
où (r )l’S
est lacomposante
rs de la fonction?))>.
°Les fonctions
indépendantes p)%;> représentant
lesdifférents états de
spin
sontorthogonales
entreelles : nous les normerons de
façon
à avoiroù
d!’o
=dod-ri,d,
et oii à est ledéterminant jacobien (égal
à- 8)
des variables xi, y1, Z1’ X2, y,, Z2 parrapport
aux variablesX, Y, Z,
-ri, i. Nous défi- nirons les seulescomposantes
non nulles de lafonction
(D)II(I,) qui
décrit le mouvement du centre degravité
dans lesystème
propre par la formulec’est-à-dire que
03A6(0)ik
est laprojection
de U"1 " sur~(0)ik.
On trouve
alors, d’après (8),
On a ainsi défini dans le
système
propre la fonction d’onde du centre degravité,
c’est-à-dire la fonction d’onde de laparticule complexe
considérée comme une unité. Si l’on passe alors dusystème
propre àun autre
système galiléen
par une transformation de Lorentz avec vitesse relative lelong
de l’axe oz(qui
a servi à classer les états normaux dans le sys- tèmepropre),
la fonction (D(X, Y, Z, t)
obtenue par cette transformation àpartir
de(D",(10)
satisfaitaux
équations
de laparticule
despin
i ou despin
oet admet par suite les solutions vectorielles et
pseudo-
scalaires
bien
connues enMécanique
ondulatoire duphoton.
"Finalement nous sommes donc parvenus à décrire les états
quantifiés
internes de laparticule
et àreporter,
d’unefaçon qui
meparaît satisfaisante,
lespin
des constituants sur le centre degravité.
Les deux
premiers points
du programme tracé dans notre Note de1936
se trouvent ainsiremplis;
ilreste à examiner le troisième
point
enreprenant,
avec nos nouvelles
définitions,
le raisonnementesquissé
en1 g36.
Reprenons
laquestion.
Si 6bdésigne
la fonction d’onde d’uneparticule
despin
i, laquantité
1 (D 12 =1 1 (Dik 12 représente
la densitéd’énergie
etik
non pas la densité de
probabilité
deprésence.
Pour obtenir une
quantité qui puisse, dans
unecertaine mesure,
jouer
le rôle deprobabilité
deprésence,
il faut considérer lagrandeur
Or si l’onde C est une onde
plane monochromatique
décrivant un mouvement
rectiligne
et uniforme devitesse
[3c
de laparticule,
on trouve que p a lavaleurs ’’k 12 B/ 1 - [32,
où l’on voitapparaître
leik
-
facteur V
1 -p2
de la contraction de Lorentz.D’où cela
provient-il ?
Pour essayer de le
comprendre,
remarquons d’abord que siT(x,,
Yll zl, x2, y2, Z2’t)
est la fonction d’onde dusystème
formé par les deuxconstituants,
la
quantité
sera la
probabilité
deprésence
dupoint figuratif
dans l’élément
dX1 dg, dZ1 d;r2 dY2 dz2
del’espace
deconfiguration
à l’instant t. Nous devons donc normer 117 enposant
4 étant le déterminant fonctionnel
déjà
rencontréplus
haut. Dans lesystème
propre, on doit aussi avoir demême
Or la contraction de Lorentz nous donne
et le fait
que 1 T’i2 et 1 Ti,) 2 ne dépendent
pas deX, Y,
Z et deXo, Yo, Zo permet
de voir queD’autre
part, d’après
lafaçon
dont nous avonsdéfini les
amplitudes
de la fonction d’onde 6b du centre degravité
de manière àreporter
sur lui lespin
desconstituants,
on voit que,lorsqu’on passe’
du
système
propre à un autresystème galiléen,
latransformation des
a2)
en aik est la même que la transformation desT21
enWik.
Onpeut
donc écrireencore la
relation (16)
en yremplaçant
lesT par
514
les a, ce
qui, d’après
la seconde relation(15), donne, puisquelles a
sont desconstante,
car,
parmi
lesa,’.’S),
seuls lesa(’)
sont différents de zéro.Maintenant il est évident que l’on doit obtenir la
probabilité
deprésence
du centre degravité
de la par- ticulecomplexe
dans l’élément de volume dXdYdZen
intégrant sur ’, -n, l’expression
de la
probabilité
deprésence
dansl’espace
de confi-guration.
Laprobabilité
deprésence
de laparticule complexe
considérée comme une unité est doncOr,
avec les définitionsadoptées
et la normali-sation
(9)
des~(0)ik,
nous avonsD’où
ce
qui
est bien la formule que l’on voulait retrouver.Nous avons donc
maintenant justifié
les trois idées essentielles de la Notede 1936.
Nous l’avons faiten nous bornant à considérer une
particule
despin
maximum i dont les deux constituants de
spin (
auraient la même masse propre. On
pourrait généraliser
en considérant uneparticule
despin
maximum
n en unité h
formée de 2 n cons-203C0
tituants de
spin I/2 toujours supposés
avoir la mêmemasse propre. On retrouverait alors pour le mouve- ment du centre de
gravité
leséquations
d’ondede
la
particule
despin
maximum n et l’onparviendrait
à
justifier l’expression correspondante
de laproba-
bilité de
présence qui
pour une ondeplane
mono-chromatique
estet contient
(2 n - 1)
fois le facteur de contraction de Lorentz par suite des( 2 n -1 ) intégrations
surles
(2 n - I)
variables relatives i. Ilserait probable-
ment assez aisé de
généraliser
cequi précède
enattribuant des masses propres différentes aux divers constituants de la
particule complexe.
3. Conclusions. - Avant de
conclure,
nous voulonsprésenter
deux remarquesqui
nousparaissent
intéressantes.
D’abord, nous
noterons que nous n’avons pas, àproprement parler,
donné une déduction deséquations
de laparticule
despin
i àpartir
deséquations (5)
dusystème
des deux constituants.Nous avons seulement montré
qu’il
estpossible d’opérer,
par unprocédé qui paraît naturel,
le trans-port
despropriétés
despin
des constituants sur le mouvement du centre degravité :
cefaisant,
nousavons
obtenu,
pour le mouvement d’ensemble de laparticule complexe
considérée comme uneunité,
deséquations
d’ondequi
« reflètent » pour ainsi dire lespropriétés
desymétrie de
son étatinterne,
etces
équations
d’ondes sontprécisément
leséquations
d’ondes de la
particule
despin
i. Ainsi bien délimité le résultat obtenu nousapparaît
comme constituant néanmoins unprogrès important.
Pour
développer
notre seconde remarque, nouspartirons
de l’observation suivante. Dans la Méca-nique
ondulatoire sansspin
et dans laMécanique
ondulatoire de la
particule
despin 1/2 (théorie
deDirac),
onpeut toujours envisager
sur unpied
deparfaite égalité
« lareprésentation q
» liée auxlocalisations dans
l’espace
et la «représentation
p ) liée aux états de mouvement(ondes planes
mono-chromatiques quand
iln’y
a pas dechamp).
Ces deuxreprésentations
décrivent les deux «aspects complé-
mentaires » sous
lesquels
onpeut toujours d’après
Bohr
envisager
uneparticule. Or,
enMécanique
ondulatoire du
photon
ou en théoriequantique
deschamps (théories qui
sont presqueéquivalentes),
onintroduit
toujours
dans toutes lesformules, qu’elles
soient ou non
superquantifiées,
ledéveloppement
des fonctions d’onde ou des
grandeurs
électro-magnétiques
en ondesplanes monochromatiques,
comme si la
représentation
pprésentait
ici unevéritable
supériorité
sur lareprésentation
q.Rap- pelons qu’en Mécanique
ondulatoire duphoton,
nous avons été amenés à
adopter
une densité de a’ -4- a’2)probabilité
deprésence
p==.p* a! (1) -:- a (2) 4 4», qui
estdéfinie
positive (et égale à 1 (f) i2 yi 1 - 2)
dans lecas d’une onde
plane monochromatique,
maisqui
ne l’est pas dans le cas
général;
cecisouligne
bienles difficultés de la
représentation
q dans ces théories.Les idées
exposées
dans leprésent
article semblentpermettre
d’entrevoirl’origine
de lasupériorité
queprend
ici lareprésentation
p sur lareprésentation
q.En
effet,
pour définir d’onde + de laparticule
despin
1 considérée comme uneunité,
nous sommespartis
de ladescription
de l’état interne dans lesystème
de référence propre du centre degravité :
éor ce
système
n’est défini que si laparticule complexe
a un mouvement d’ensemble
rectiligne
etuniforme,
donc
représenté
par une ondeplane
monochro-matique.
En considérant une «superposition»
detels mouvements, on arrive à une définition de la fonction
qui
est essentiellement liée à sadécompo-
sition en ondes
planes monochromatiques,
c’est-à-dire à sa
représentation
pet,
en yréfléchissant,
on
comprend
d’où vient la difficulté de larepré-
sentation q.
En
résumé,
les considérationsexposées
ci-dessusparaissent apporter
une confirmation de la concep- tion suivantlaquelle
lesparticules
despin
diff èrentde -
seraient desparticules complexes
formées de2
constituants
despin --
Ellessemblent justifier
lesidées
qui
ont servi depoints
dedépart
pour laMécanique
ondulatoire duphoton
et de sesgénéra-
lisations pour les
particules
despin
total maximumsupérieur
à I et elles doiventpermettre
d’établirsur une base
plus
solide que dans mesexposés
antérieurs la déduction des
équations
d’ondes duphoton
et de toutes cellesqu’on
en déduit pargénéralisation,
APPENDICE.
Dans cet
Appendice,
nous voulonsreprendre plus rigoureusement
les démonstrationsesquissées
dansle texte. Nous
représenterons
parv§°§, q)?], p)f), qj%i
les fonctions d’onde
qui,
dans lesystème
propre,représentent respectivement
l’état àsymétrie sphé- rique
et les trois étatscorrespondant
à un doublet.A
partir
de cesquatre
fonctions d’ondeorthogonales
et
supposées
normées(en m)’
, nous pouvonsdéfinir les
quatre
fonctions orthonormales suivantes :Supposons
d’abord que la masse propre de l’étatpseudo-scalaire
ait la même valeurMoque
la massepropre des états vectoriels. On pourra alors
désigner zx,, ,
par P le facteur de
phase e IL qui
sera le même pour les deux sortes d’états et l’on poserasimplement
La définition
donne
et le
transport
duspin
sur le centre degravité
setrouve ainsi effectué tout à fait correctement.
D’autre
part,
la démonstration du « théorème de la contraction de Lorentz » donnée dans le texte reposeuniquement
sur la relationqui
est ici tout à fait évidentepuisque
lesQ} 1)
etles
’c k)
coïncident.Le raisonnement est un peu
plus
délicat dans lecas où la masse propre
M(jf>
de l’étatpseudo-scalaire
n’est pas
égale
à la masse propreM
des étatsvectoriels. Il faut alors
distinguer
le facteur de1t i l1(S) .>
phase Ps
= ehÍM 0 °
de l’état
pseudo-scalaire
du_>illllc2t facteur de
phase PV =
e 2 1t Ili i11 ( 0 V)c2
°
0 des états vecto- riels. Les formules de la
Mécanique
ondulatoire duphoton
conduisent à poser à laplace
de(2).
La définition
(3)
que nous conservons nous donneavec
Si,
dans les formules(6), (7)
et(8),
on faitPS = PV = P,
onretombe,
comme cela doitêtre,
sur les formules
(2)
et(4).
Les formules(7)
et(8)
réalisent correctement le
transport
duspin
sur lecentre de
gravité.
Pour que le (( théorème de la contraction de Lorentz »
puisse
ici encore êtredémontré,
il fauttoujours
que la formule(5)
soit vérifiée. Or ontrouve aisément
516
et les relations
(8), qui
montrent la nullité du der- niercrochet, permettent
de vérifier aisément larelation
(5).
Manuscrit reçu lue 7 novembre 1950.
BIBLIOGRAPHIE.
[1] BROGLIE L. DE - Une nouvelle théorie de la lumière.
Actualités scientifiques, n° 181, Hermann, Paris, I934.
Nouvelles recherches sur la théorie de la lumière.
Actualités scientifiques, n° 411, Hermann, Paris, I936. Une
nouvelle théorie de la lumière : la Mécanique ondulatoire du photon, Hermann, Paris, 2 volumes, I940-I942.
[2] BROGLIE L. DE. - La Mécanique ondulatoire du photon
et la théorie quantique des champs électromagné- tiques, Gauthiers-Villars, Paris, I949.
[3] BROGLIE L. DE. - C. R. Acad. Sc., I935, 200, 36I.
]4] BROGLIE L. DE. - C. R. Acad. Sc., I949, 229, I57; I949, 229, 269; I949, 229, 40I; I949, 229, 640; Portugaliae Mathematica, I949, 8, 37.
[5] BROGLIE L. DE. - Théorie générale des particules de spin quelconque, Gauthier-Villars, Paris, I943.
[6] BROGLIE L. DE. - C. R. Acad. Sc., I936, 203, 473.
[7] FPENKEL J. - J. Phys. U. R. S. S., I945, 9, I943.
[8] FERMI E. et YANG C. N. - Phys. Rev., I949, 76, I739.
ÉTUDE
DUSYSTÈME FORMÉ
PAR LARÉUNION
DE DEUX CORPUSCULES DEDIRAC. (1)
Par MARIE-ANTOINETTE TONNELAT.
SOMMAIRE. - Après avoir formé l’équation que vérifie le système constitué par deux particules de
. Dirac, nous déterminons les solutions possibles dans le système propre. L’une des solutions décrit un
état « singulet », l’autre un état «triplet». On peut rattachèr leur ensemble au cas de spin total o et I.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME
12,
ARVIL1951,
Considérons à l’instant 1 deux
particules
deDirac de même masse mo localisées en xi, yi, z, et
en x2, y2, zz. La fonction d’ondes
’fik(XI’
yi, zi, x2, y2, z2,t)
dusystème
formé par l’ensemble de ces deuxparticules
obéit àl’équation
suivante :Les Cy sont des constantes
qui
introduisent les différentstypes
d’interaction : scalaire(co),
vec-torielle
(c1),
tensorielle(c,), pseudovectorielle (C3)
et
pseudoscalaire (c4).
On pose en effet :avec
Les a[L
modifient les indices des fonctions d’ondesrfik
suivant le schéma bien connu.
°
les am de Dirac
ayant
la forme habituelle. On retrouve naturellementl’hypothèse
de Fermi(2) (interaction vectorielle)
en annulant tous les cià
l’exception
de CI.Le
changement
de variables :avec
(1) Depuis
la rédaction de ce travail, nous avons eu connaissance de l’article de H. M. Moseley and N. Rosen« The Mesons as a composite particle » Phys. Rev., 195 o, 80, p. 177. Avec des notations et des préoccupations différentes des nôtres les auteurs partent de conceptions analogues à l’idée de base de ce travail. Le développement en est toute- fois assez différent. L’article de MM. Moseley et Rosen possède bien entendu une large antériorité sur celui-ci.
(Note ajoutée à la correction des épreuves).
(2) E. FERMI et C. N. YANG, Phys. Rev.,