HAL Id: jpa-00207447
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Spectroscopie d’absorption multiphotonique sans effet
Doppler
B. Cagnac, G. Grynberg, F. Biraben
To cite this version:
B. Cagnac, G. Grynberg, F. Biraben. Spectroscopie d’absorption multiphotonique sans effet Doppler.
Journal de Physique, 1973, 34 (10), pp.845-858. �10.1051/jphys:019730034010084500�. �jpa-00207447�
SPECTROSCOPIE
D’AB SORPTION
MULTIPHOTONIQUE
SANS
EFFET DOPPLER
B.
CAGNAC,
G. GRYNBERG et F. BIRABENLaboratoire de
Spectroscopie
Hertzienne del’ENS,
associé auCNRS,
Tour12, 11,
quai Saint-Bernard,
Paris,
France(Reçu
le 30 mars1973,
révisé le 16mai)
Résumé. 2014
Lorsqu’un
atome estporté
dans un état excité parabsorption
deplusieurs photons,
il estpossible
d’éliminer l’effetDoppler
en choisissant unegéométrie particulière
pour les faisceaux Laser. Dans le cas des transitions à deuxphotons,
on étudie la forme de la raie : on montre queles
expériences
sontpossibles
avec despuissances
de Laser relativement faibles de l’ordre du watt et que lesdéplacements
defréquence
causés par l’irradiation lumineuse restentnégligeables.
L’application
essentielle de ces processus semble devoir être laspectroscopie
fine de niveaux très excités d’un atome ainsi que l’étude de certains états métastables.Abstract. 2014 When
an atom passes from the
ground
state to an excited stateby
absorbing
simul-taneously
severalphotons,
it ispossible
to eliminate theDoppler
effectby
apeculiar
choice ofthe geometry of the Laser beams. In the case of two
photon transitions,
westudy
theline-shape :
we show that
experiments
could be done with arelatively
weak power of the Laser(in
theregion
of a fewwatts)
and that thelight-shifts
arenegligeable.
The essentialapplication
of this effect seems to be an accurate method ofSpectroscopy
of very excited levels as well as some metastable levels.Classification Physics Abstracts
5.200
Les transitions
multiphotoniques,
au coursdes-quelles
un même atome absorbe simultanémentplu-sieurs
photons,
ont été observéesexpérimentalement
d’abord dans le domaine des
radiofréquences
[1] ;
ils’agissait
de transitions entre sous-niveaux Zeemandans des
expériences
de résonancemagnétique
utili-sant d’intenses
champs
deradiofréquence.
Dans le domaine del’optique,
l’observation des transitionsmultiphotoniques
a été uneconséquence
dudévelop-pement
desLaser ;
lapuissance
et la finessespectrale
de la source lumineuse sont en effet des facteurs
déter-minants pour la
probabilité
de transition. Lespremiers
Laser n’étaient accordables que sur des intervalles defréquence
relativementétroits ;
et pour cetteraison,
la
plupart
desexpériences
ontporté
sur destransi-tions à
plusieurs
quanta
aboutissant à un continuum d’états(ionisation
d’un gazmonoatomique ;
transi-tions entre bandes d’un solide ou d’une grossemolé-cule) [2].
Lespremières expériences
sur les transitionsoptiques
àplusieurs
quanta
entre niveaux liés d’unatome ont été réalisées en
déplaçant légèrement
lalongueur
d’onde d’un laser à solides[3] ;
mais la récente fabrication des Laser àcolorants,
accordablesen
fréquence,
permet
unplus
grand développement
de cetype
d’études[4].
Nous montronsplus
loinqu’un
des intérêtsmajeurs
de ces transitionsmulti-photoniques
dans le domaineoptique
est lapossi-bilité d’éliminer
l’élargissement
Doppler
enchoisis-sant une
géométrie
particulière
pour les faisceauxlumineux
interagissant
avec l’atome. Ces transitionspermettront
donc d’étudier les niveauxatomiques
à laprécision
de lalargeur
naturelle. Un calculrapide
montre que lesprobabilités
de transition restentimportantes
avec les intensités lumineuses fournies par les Laser à gaz ou à colorant en fonctionnementmonomode : l’effet
proposé
est doncparfaitement
observable. Cette méthode de
spectroscopie
sans effetDoppler,
dont la théorie a été ébauchée parVasilenko,
Chebotaiev et Shishaev[5]
dans le cas destransitions à deux
photons, présente
un certain nombrede
possibilités
nouvelles parrapport
aux autresméthodes de
spectroscopie
sans effetDoppler :
absorption
saturée[6] ;
résonances à trois niveaux de Feld et Javan[7] ;
déflection d’unjet atomique [8].
Nous discuterons de sespossibilités d’application.
1.Principe
de la méthode. - l.l PRINCIPE DESTRANSITIONS DIPOLAIRES
ÉLECTRIQUES
A DEUX QUANTA. - Un courtrappel
nous donnera l’occasion depré-ciser nos notations. Nous nous limitons pour
l’ins-tant au cas de trois niveaux
d’énergie
d’un atome(Fig. 1) :
le niveaufondamental
désigné
par gd’éner-gie
liwg ;
un niveau excitédésigné
par e,d’énergie
liwe ;
un autre niveau excité intermédiairedésigné
par r,FIG. 1.
parce
qu’il
sera utilisé commerelais,
d’énergie nwr.
Nous supposonspermises
les deux transitionsradia-tives suivantes :
1. Entre les niveaux g et r avec
échange
dephotons
d’énergie
2. Entre les niveaux r et e avec
échange
dephotons
d’énergie
Nous nous limitons aux transitions
dipolaires
élec-triques :
le niveau r est deparité
opposée
aux deuxniveaux e et g. La transition directe est donc inter-dite entre les deux niveaux e et g de même
parité.
Si l’on irradie l’atome
supposé
immobile avec une ondeélectromagnétique
dont lapulsation
co obéit à la condition de résonance(cf. Fig. 1) :
Un calcul de
perturbation
au second ordre[2]
meten évidence la
possibilité
de transitions de g à e,qui
conserventl’énergie,
avecabsorption
de deuxphotons.
Onpeut
interpréter
ce processus de la manièresui-vante : en
dépit
du défautd’énergie h Aco,
= hcv -hcogr,
l’atome
peut
passer du niveau fondamental au niveaurelais en absorbant un
photon ;
mais letemps
deséjour
At dans ce niveau relais est très court afin derespecter
leprincipe
d’incertitude :At.Ao),
1.Si l’intensité de l’onde est assez forte pour que l’atome absorbe un second
photon
pendant
cetemps
At,
l’atome se retrouvera dans l’état e ; et à l’issue du processus
l’énergie
totale aura été conservée. Ilfaut donc que l’intensité du faisceau lumineux soit d’autant
plus importante
que l’écartAû)r
est lui-mêmeplus important.
1.2 SUPPRESSION DE L’EFFET DOPPLER. -
Consi-dérons un atome
interagissant
avec deux ondesprogressives
de mêmedirection,
mais sepropageant
en sens contraire. On réaliseraexpérimentalement
une telle situation soit en
renvoyant
le faisceau lumineux sur lui-même à l’aide d’unmiroir,
soit enplaçant
la celluled’expérience
à l’intérieur de la cavitéPérot-Fabry
du Laser(cf. Fig. 2a).
L’atome
possède
parrapport
au laboratoire unecertaine vitesse v, dont nous
appelons vx
lacompo-posante
sur la direction depropagation
commune aux deux ondes. Dans sonrepère
propre, l’atome es1immobile,
mais à cause de l’effetDoppler,
il « voit >deux ondes de
pulsations respectives (J)
etabsorbe un
photon
de chacune d’entreelles,
lacondition
de résonance(1)
s’écrit dans leCette condition est vérifiée simultanément par tous les atomes
quelle
que soit lacomposante vx de
leur vitesse. Ils effectueront donc la transition à deuxquanta
pour la même valeur de lapulsation
co.(Dans
la mesure où nous avons
pris
le droit denégliger
l’effet
Doppler
du second ordre en(v’Ic’) ;
cf.Appen-dice
I.)
Si la
polarisation
de l’onde aller estidentique
àcelle de l’onde
retour,
lesrègles
de sélection sont lesmêmes pour
l’absorption
de deuxphotons
sepro-pageant
en sens inverses ou de deuxphotons
sepro-pageant
dans le même sens ; et les deux processussont autorisés simultanément. Mais pour
l’absorption
de deux
photons
de même sens depropagation,
lacondition de résonance
dépend
encore de la vitesse vx. On s’attend donc à ce que la courbereprésentant
l’absorption
en fonction de lapulsation
co ait la formeindiquée
sur lafigure
3a :superposition
d’une courbelarge
de faibleamplitude (ayant
lalargeur
Doppler)
et d’une courbe étroite de
grande amplitude (ayant
lalargeur naturelle).
FIG. 3.
Cette
suppression
d’effetDoppler
peut
encore êtrecomprise
en terme de conservation del’impulsion
dans la collisionatome-photons ;
et de cettemanière,
il est
plus
facile degénéraliser
à un nombrequelconque
de
photons.
Nous supposons donc l’atome soumis àplusieurs
ondesprogressives
numérotées parl’indice i,
et caractérisées par leurs vecteurs d’ondeki.
Nous supposons en outre que ladisposition géométrique
des faisceaux lumineux(Fig. 2b)
rend nullel’impulsion
globale
d’un ensemble dephotons
absorbés simulta-nément par le même atome :Dans ces
conditions, l’impulsion
de l’atome nechange
pas etl’énergie
desphotons
est entièrement utiliséeà modifier
l’énergie
interne del’atome,
quelle
que soit sa vitesse :Tous les atomes effectueront la transition à n
quanta
pour les mêmes valeurs des
fréquences
úJi.(Nous
négligeons
encore ici les termes du second ordre en(v’Ic’) :
cf.Appendice I).
La condition vectorielle
(3)
redonnebien,
dans lecas de deux
photons,
ladisposition
que nous avionsdéjà indiquée :
deux ondes de senscontraires,
paral-lèles à la même direction et de même
fréquence ;
lafréquence
de travail est doncrigoureusement
impo-sée. Dans le cas de trois
photons,
il existe ungrand
choix de valeurs defréquences
úJipermettant
deréa-liser simultanément la condition vectorielle
(3)
et la conditionarithmétique (4) ;
il suffit en effet quel’on
puisse
réaliser untriangle
de côtésproportionnels
à mi, (02 et úJ3, c’est-à-dire que chacune despulsa-tions úJi soit inférieure à la somme des deux autres.
On voit que cette condition est extrêmement
souple.
Bien
qu’elles
nécessitent despuissances
nettementplus grandes
que les transitions à deuxphotons,
lestransitions à trois
photons
peuvent
se révéler avoir unchamp
d’application
plus
vaste.2. Etude de la raie
d’absorption
à deuxphotons.
-L’expression
de laprobabilité
de transition à deuxphotons
est connuedepuis longtemps
[9],
[2] ;
cepen-dant à notre
connaissance,
seul le calcul de la réfé-rence[5] prend
en considération la vitesse des atomes et donne ainsi la forme exacte de la raied’absorption
pour un ensemble d’atomes sedéplaçant
dans uneonde stationnaire. La forme de raie obtenue dans cette
publication
estcependant
limitée au cas où lapolarisation
de l’onde aller estidentique
à cellede l’onde retour, or nous verrons
qu’il
est intéressant d’utiliser despolarisations
différentes,
pour les deuxondes aller et retour. D’autre
part,
aucune indication n’est donnée sur lesdéplacements
des niveauxd’éner-gie
dus à l’interaction des atomes avec les faisceaux lumineux(«
light-shift »
[10])
or cesdéplacements
seront une cause d’erreur
systématique
dans les mesuresspectroscopiques ;
ilimporte
donc de les connaître avecprécision.
Nous
présentons
enAppendice
II un calcul de ces résonances à deuxphotons
basé sur la théorie de l’atome « habillé »[11 ].
Dans cettepartie,
nousutilisons les
principaux
résultats démontrés enpré-cisant les
hypothèses
nécessaires.2.1 FORME DE RAIE. - Les
photons
des deux ondesprogressives
de sensopposés
ont dans lerepère
dulaboratoire la même
énergie
hco ;
et le même moduledu vecteur d’onde k =
wle.
Nousdistinguerons
dans le calcul les deux écarts
d’énergie
suivants(divisés
parh) :
cvr -
w -Cogr
est relativementgrand ;
ilrepré-sente la différence entre
l’énergie
desphotons
incidents etl’énergie
nécessaire pour monter dans un niveaurelais
est relativement
petit
etpeut
s’an-nuler ;
ilreprésente
l’écart à la condition de résonance(1)
ou(4).
Les résultats
présentés
ci-dessous sont valablesdans les conditions suivantes :
1)
La vitesse des atomes est assezpetite
pour nous autoriser ànégliger
les termesquadratiques
de l’effetDoppler
relativiste : v «
c. Dans lerepère
où l’atome estimmobile,
les
deux ondesprogressives
aller et retour ont donc lespulsations
Nous
appellerons respectivement Ri
etJe2
leshamil-toniens,
diviséspar h, représentant
l’interaction entre l’atome et ces deux ondes.2)
Nous supposons que le niveau dedépart 1 g
> et le niveaud’arrivée
e
> sont nondégénérés.
Cettehypothèse
est facile à réaliserexpérimentalement
enappliquant
unchamp magnétique
assez intense pourséparer
les sous-niveauxZeeman ;
mais elle n’est pas essentielle : tous les calculsdéveloppés
dansl’Appen-dice II
s’étendent,
de manièreévidente,
au cas où lehamiltonien d’interaction entre l’atome et l’onde
Laser ne
couple
les sous-niveaux Zeeman du niveaude
départ
à ceux du niveau d’arrivéequ’un
à un.3)
Les transitions à unphoton
sontimpossibles :
toutes les différencesAWr
sont trèsgrandes
devant leslargeurs
naturellesF,
et ledéplacement
Doppler kvx :
4)
L’amplitude
des hamiltoniensH1
etJe2
est sufh-sammentpetite
pour que lapopulation
Ng
du niveaufondamental évolue peu
pendant
la durée de vieIIF,,
du niveaud’arrivée
e
> :5)
Laprojection
de la vitesse de l’atome lelong
de la direction depropagation
des faisceaux est assezgrande
pour que l’atome en interaction avec lerayon-nement, voit
plusieurs
n0153uds et ventres de l’onde stationnaire.Compte
tenu del’hypothèse 4),
énoncéeci-dessus,
cette nouvelle condition sera réalisée si :En
pratique
dans tous les casintéressants,
lalargeur
Doppler
est trèsgrande
devant lalargeur
naturelleet l’on ne fait pas une
grande
erreur en oubliant la contribution des atomes de faible vitesse dans le calcul de la forme de raie. Dans cesconditions,
laprobabilité
de transition par unité detemps
du niveau1
g > vers leniveau
e
> estégale
à(1) :
On
peut
remarquer que,compte
tenu del’hypo-thèse
(5),
chacun des trois termes de cette formulen’est
important
que pour des valeurs de £5úJqui
annulentpratiquement
les deux autres termes.Nous
distinguerons
alors deux cas distincts :(1) Cette formule est identique à la formule (A. 5) démontrée dans l’Appendice
II : g)
représente l’état où l’atome est dans le niveau g, en présence de ni photons du mode 1 et de n2photons du mode
2 : g)
est égal auket
g,
ni, n2 >. De la mêmefaçon,
e)
est égalà
e,
ni - 1, n2 - 1>, r)
peut,selon les cas, remplacer
soit r,
ni, n2 -1 >soit r,
n -1, n2 >, Je 1 ne modifiant pas le nombre de photons du mode 2 (et1 )
Dans le cas où l’onde aller et l’onde retour ont la mêmepolarisation
et la mêmeintensité,
lesélé-ments de matrice de
H1
et deJe2
sontidentiques
et la formule(5)
devient :On retrouve la formule de la référence
[5].
Lepremier
termecorrespond
àl’absorption
de deuxphotons
sepropageant
en sens contraire : ce termeest
indépendant
de la vitesse de l’atome. Les deuxautres termes
correspondent
àl’absorption
de deuxphotons
de la même ondeprogressive,
ilsdépendent
de la vitesse de l’atome. En faisant la moyenne sur ladistribution de vitesse on trouvera donc la
super-position
d’une lorentzienne delargeur
Te j2
et d’unegaussienne
ayant
lalargeur
Doppler
habituelle. Le facteur 4figurant
au numérateur dupremier
terme dela formule
(6)
montre que laprobabilité
de tran-sition « sans effetDoppler »
est en moyenne doublede la
probabilité
« avecélargissement Doppler » ;
enconséquence,
lasurface
de la lorentzienne estdouble de la
surface
de lagaussienne
(cf.
Fig. 3a).
La
plupart
des informationsoriginales
sur lesys-tème étant liées à la
lorentzienne,
les mesures serontd’autant
plus précises
que lerapport
entre lalargeur
Doppler
et lalargeur
naturelle seraplus grand.
Onpeut
donner uneinterprétation physique simple
de ce facteur 4 : alors que lesphotons
d’une mêmeonde
progressive
sontindiscernables,
lesphotons
des ondes
opposées
sont, par contre, discernables(leur énergie
étant différente dans lerepère
del’atome).
Lorsqu’on
étudiel’amplitude
deprobabilité
pourqu’un
atome absorbe deuxphotons
sepropageant
en sensopposés,
il faut sommer lesamplitudes
corres-pondant
aux processus« photon
1 absorbépuis
photon
2 » et« photon
2 absorbépuis photon
1 ». Chacune de cesamplitudes
estégale
àl’amplitude
d’absorber deux
photons
d’une même ondeprogres-sive.
Lorsqu’on
passe auxprobabilités,
on retrouve le facteur 4.2)
Etudions maintenant ce que devient la formule(6)
quand
lespolarisations
des ondes aller et retour sontdifférentes.
Plusprécisément,
nous choisissons despolarisations
E1 et E2 telles que si(g
H1
r)
estdifférent de
zéro,
alors(r
H1
e)
esttoujours
nul(et
ceci pour toutr),
la mêmepropriété
étant vraiepour
Je2.
On aura unexemple
d’une telle situationlorsque
les niveaux dedépart
et d’arrivée auront même nombrequantique magnétique
(Mg =
Me),
lespolarisations
des faisceaux aller et retour étantrespectivement
Q+ et u- : il est alors évident que l’atome nepeut
absorber que deuxphotons
sepro-pageant
en sensopposés ;
les termesdépendant
de vx disparaissent
dans la formule(6).
La raied’ab-sorption
se réduit à la courbe lorentzienne(cf. Fig. 3b).
Il est donc
possible
en choisissant astucieusement lespolarisations
d’éliminer le fondgaussien.
2. 2 CALCUL EFFECTIF DE LA PROBABILITÉ DE
TRAN-SITION. - Les
expériences
seront réalisées avec desLaser en
fonctionnement monomode,
en sorte que,dans le
repère
dulaboratoire,
lesphotons
aient tous la mêmepulsation
w avec uneprécision
biensupé-rieure à la
largeur
naturellere
du niveau excité. Nous calculons dans ces conditions laprobabilité
de transition maximum
jTg(O),
obtenue à la résonance exacte, bro =0 ;
nous ne nous intéressonsqu’à
la seule raiefine,
c’est-à-dire que nous considéronsseulement le
premier
terme del’expression (5), qui
devient :
Nous utilisons le hamiltonien d’interaction
R = -
E. D/h (cf. Appendice II), exprimé
àpartir
dudipôle électrique
de l’atomeD = L
qr, et duchamp électrique
de l’ondeE,
parallèle
au vecteurunitaire E
qui
caractérise sapolarisation.
Nous devons
préciser
les nombresquantiques
caractéristiques
des différents niveauxatomiques :
le niveau de
départ
g,
J,
M >, le niveau d’arrivée1
e,J’,
M’ > et les niveauxintermédiaires 1 r, jr’ m
>.en introduisant l’élément de matrice réduit de
l’opéra-teur vectoriel D et le coefficient de Clebsch-Gordan
(l’indice
ql 1exprime
lapolarisation
de l’onde1 ;
ilvaut
respectivement
+1,
- 1ou 0 pour les
polari-sationsu’,
(1- oun).
n,IV représente
le nombre dephotons
du mode 1 par unité de volume. Connaissant la section S dufaisceau Laser et la
puissance
Pi
transportée
parl’onde
progressive
numéro 1 nous pouvons calculerla densité
d’énergie
par unité de volumeNous
remplaçons
les éléments de matrice réduitspar les forces
d’oscillateurs,
définies enabsorption
(cf.
parexemple
[12]),
etqui
sontgénéralement
don-nées dans les tables de constantes :(q
et m sont lacharge
et la masse del’électron).
Il est commode de rassemblerplusieurs
constantes fondamentales dans le rayonclassique
de l’électronet nous obtenons pour le carré de l’élément de matrice les deux
expressions
suivantes :en introduisant la
longueur
d’ondeÀgr
= 2n clcog,.
Pour calculernumériquement
r g(O),
noussimpli-fierons
l’expression
(7)
en faisant deuxhypothèses
supplémentaires :
a)
Les ondes aller et retour ont la mêmepola-risation Ceci
permet
de ramener à un. , , ,
seul terme le numérateur de la formule
(7),
et deréduire la sommation sur les états r à un seul sous-niveau Zeeman pour
chaque
niveauj,
b)
Il existe un seulniveau jr correspondant
à un écartarithmétique
1 AWr
1
beaucoup plus
petit
quetous les autres ; et à ce
niveau jr correspondent
desforces d’oscillateur
fgr
etrelativement
importantes.
Cette situation se rencontrera effectivement pour certaines transitions AJ = J’ - J = 2. Dans les
cas de
couplage
LS,
eneffet,
on trouverafréquemment
un niveau de résonance
(L, S) qui
tombe à peuprès
à mi-distance du fondamental et d’un niveau trèsexcité ;
les divers niveaux de structure finejr
corres-pondant
à cettemultiplicité (L, S) correspondront
à des écartsAco,
du même ordre degrandeur ;
mais unseul d’entre eux
7r =
(J
+J’)/2
peut
servir de niveaurelais dans une transition AJ = 2.
Avec ces
hypothèses
simplificatives
la sommationsur r se réduit à un seul terme et nous obtenons :
Nous sommes dans des conditions où
AúJr/úJ
est faible devant l’unité et où il y a peu de différenceentre les diverses
longueurs
d’ondeAgr Are
A= 2 úJ ne ;
cequi
permet
d’écrire en admettant encore que lesfaisceaux aller et retour ont la même intensité
(Pi - P2 = P) :
Nous faisons un calcul d’ordre de
grandeur
enadmettant que la carré du
produit
des coefficients de Clebsch-Gordan est de l’ordre de1/10
et enadop-tant les valeurs
numériques
suivantes :On obtient
rg(0) N
50 s-1. Ils’agit
d’unphénomène
tout à fait observable. Sans
doute,
notre calculnumérique
est-il fait avec des forces d’oscillateurmaximum ;
mais nousdisposons
d’une réserve depuissance puisque
des Laser à colorant fonctionnanten
impulsion
fournissent unepuissance
d’environ 1 kW dans un seul mode. Il est facile d’autrepart
defoca-liser le faisceau Laser pour diminuer sa section S :
le nombre d’atomes irradiés diminue comme
S ;
mais laprobabilité
de transitionaugmente
comme1/S2,
de telle sorte que le nombre total de transitionsRemarque.
- Sinous avions utilisé les éléments de matrice du hamiltonien d’interaction sous la
forme 3£= -(q/m) p.Aj/1,
nous aurions obtenu uneexpression
un peu différente de la formule(11),
etqui
s’en déduit en lamultipliant
par le facteursuivant,
voisin de l’unité :Les deux hamiltoniens conduisent
rigoureusement
au même résultat
lorsqu’on
effectue correctement la sommation sur tous les niveaux r[13].
L’écart de ce facteur parrapport
à l’unitépeut
donner une idéede
l’importance
de l’erreur commise en réduisant la sommation à un seul terme.2.3 RÈGLES DE SÉLECTION. -
L’intensité de la raie
d’absorption
à deuxphotons
est propor-tionnelle à laquantité (cf. Appendice
II,
formuleA.11).
(Pour
simplifier,
nous avons choisicog
=0.)
Cette
quantité
Ipeut
se mettre sous une formebeaucoup
plus
condensée en introduisantl’opérateur
Q 12
défini par :X,
est le hamiltonien de l’atomeseul,
en l’absencede
rayonnement,
divisépar h ;
D est unopérateur
vectoriel,
et1/(co - Jeo)
est unopérateur
scalaire(2) ;
donc lesQ12
forment un ensembled’opérateurs
ten-soriels de rang 2. De
plus,
lesQ12
sont desopérateurs
symétriques,
ils sedécomposent
doncuniquement
sur desopérateurs
tensoriels irréductibles de rang 2et 0.
Nous supposons que les vecteurs
polarisations E1
et E2
correspondent
auxpolarisations
a’,
(1- ou n ; dans cesconditions,
Q12 s’exprime (13)
en fonction descomposantes
standardDql
etDq2
del’opérateur
vectoriel
D,
les indices ql et q2 valantrespectivement
+1,
- 1 ou 0pour les
polarisations
(1 +,
(1- ou n.Il est clair que tout
opérateur
Tq
construit àpartir
de
Dql
etDq2
vérifie nécessairement :q = q1 + q2 .
(14 bis)
Supposons
que l’atome est dans un état decou-plage
LS : étudions s’il y a desrègles
de sélectionplus sophistiquées
que larègle
de sélection évidente :(2) Dans la suite de l’article, nous supposons implicitement
que
m - mr
est
très grand devant la structure fine du niveau r :il s’ensuit que le commutateur
[11(co
-H0),
L]
est pratiquementnul.
Si
cv - (or est
de l’ordre de grandeur de la structure fine du niveau r, on n’a plus le droit de considérer indépendammentles variables orbitales et les variables de spin : 1/(cv - âco)
n’est invariant que dans une rotation d’ensemble. Dans ces
conditions 1/(úJ - ico) est un opérateur scalaire seulement
vis-à-vis de J, mais non plus vis-à-vis de L.
4L
2(cette
condition est liée au rang desQij).
Nousenvisagerons
successivement les cas AL =1,
2et AL = 0.
2. 3.1
Règles
de sélection sur les transitions AL = 2et AL = 1. - L’élément de matrice d’un
opérateur
scalaire
T’
est nul entre deux niveaux de Ldifférents ;
donc,
pour les transitions AL = 1 et AL =2,
Q
estproportionnel
à unopérateur
tensoriel irréductiblede rang 2.
Soit F le moment
cinétique
total(en
tenantcompte
duspin électronique
et éventuellement duspin
nucléaire)
(3) ;
d’après
le théorème deWigner-Eckart,
l’élément de matrice de laq-ième
composante
stan-dard d’un
opérateur
tensoriel irréductibleTq2
entredeux
états
gFMF
>et
eF’ MF
> estproportionnel
au coefficient de Clebsch-Gordan
Les
propriétés classiques
des Clebsch-Gordanimpliquent
lesrègles
de sélection suivantes :Il y a d’autres transitions
plus particularisées
qui
sont
interdites,
parexemple :
(3) Les règles de sélection démontrées ci-dessous sont évi-demment valables aussi bien pour J que pour F.
2.3.2
Règles
de sélection sur les transitions AL = 0.- Si L est
nul,
il faut engénéral
conserver les deuxopérateurs
To
etT2.
Mais cetterègle
admet deuxexceptions
et cecipermet
dedistinguer
trois cas :a)
Si l’on étudie des transitions telles queMF - MF :0 0 ;
alorsTo
nepeut
pascoupler
le niveau fondamental au niveau excité et lesrègles (15)
et(15 ter)
sont exactes.b)
Si le niveau fondamental et le niveau excité ont un momentcinétique
orbital nul(L
=0).
Eneffet,
dans ce dernier cas seull’opérateur
scalaireT°
peut
coupler
les deuxniveaux ;
il s’ensuit que l’on ales
règles
de sélection suivantes :Il ne
peut
y avoir de transitionsqu’entre
des niveaux de même F et de mêmeMp.
c)
Dans les autres cas,c’est-à-dire L #
0 etMF -
MF
=0,
lesrègles
de sélection sont :En effet ni
TO,
niT2
nepeuvent
coupler
F = 0 àF’ = 1.
3.
Applications.
- Leseffets que nous avons décrits
ci-dessus trouveront des
applications
immédiatesdans des études
spectroscopiques
de haute résolution.On
peut
en effet observer des raies très finesayant
lalargeur
naturelle ;
et nous avons montré d’autrepart
que lesignal
attendu doit être assezimportant
avec une intensité du faisceau Laser tout à faitrai-sonnable. Pour que ces mesures aient un sens, il
importe
que lesdéplacements
defréquence provoqués
par l’irradiation
lumineuse,
oulight-shifts [10],
restent
négligeables ;
et c’estpourquoi
nous les cal-culons dansl’Appendice
II : dans le cas des transitions à deuxphotons
tant que l’intensité du faisceau Lasern’est pas
trop
forte etrespecte
la condition de validitéde tous nos calculs
(probabilité
de transitionrg(O) «
r e largeur
naturelle),
on montre que lelight-shift
du niveau fondamental est trèspetit
devant lalargeur
naturelleTe.
Lelight-shift
du niveau excitésera
également
négligeable
sauf s’il existe uneabsorp-tion
quasi
résonnante à unphoton
àpartir
du niveauexcité e. Encore faut-il remarquer que si cette
réso-nance conduit à un état du continuum
éloigné
duseuil
d’ionisation,
lelight-shift
sera encoregénérale-ment
petit
[14],
c’est seulement dans le cas oùl’ab-sorption
à unphoton
àpartir
du niveau excité conduitvers des niveaux
(discrets
oucontinus)
voisins duseuil
d’ionisation
qu’une
étudeapprofondie s’impose.
Par
rapport
aux autres méthodes despectroscopie
sanslargeur Doppler [6],
[7],
[8],
la méthodeproposée
présente
l’inconvénientd’exiger
despuissances
lumi-neuses nettement
supérieures,
mais elle ouvre denouvelles
possibilités
(4) :
a) L’énergie acquise
par l’atome étant la somme desénergies
deplusieurs photons optiques,
l’état finalsera très souvent un état
d’énergie
élevé. La méthodepeut
se révélerparticulièrement
intéressante pour l’étude de niveauxproches
du seuild’ionisation,
dontles intervalles sont inférieurs à la
largeur
Doppler
et que l’on pourra ainsi
séparer.
b)
Les transitions à deuxphotons
permettent
d’atteindre certains niveaux métastables de même
parité
que le niveau fondamental. C’est le casqui
estreprésenté
sur lafigure
4 : il n’existe entre les deux niveaux g et e aucun autre niveau deparité opposée ;
iln’y
a donc pas de transition radiativepossible
entree et g et le niveau e est métastable. Mais il pourra
être atteint en utilisant comme relais les niveaux
d’énergie supérieure
à e et deparité opposée.
Ainsi,
l’étude de la transition vers le niveau 2 S de l’atomed’hydrogène pourrait
se révélerextrême-ment intéressante
lorsqu’on
aura mis aupoint
des(4) La méthode proposée présente aussi des avantages techni-ques, qui devraient conduire à un meilleur rapport Signal/ Bruit que la méthode d’absorption saturée :
1) La totalité des atomes est concernée par l’expérience et
non pas seulement la faible fraction d’entre eux dont la vitesse
est voisine de zéro.
2) On détecte les photons réémis spontanément à partir
du niveau e sur une longueur d’onde Àre différente de la
sources accordables cohérentes dans l’ultraviolet
(Â -
2 430Á) :
eneffet,
la mesure de la transition 1 S - 2 Spermettrait
sans doute d’améliorer defaçon
notable laprécision
aveclaquelle
est connue la constante deRydberg.
La formule
simplifiée (11)
donnant laprobabilité
de transitionTg(0)
n’est pas valable dans le cas d’un état excitémétastable,
parcequ’il
existeplusieurs
niveaux relais
correspondant
à des écartsénergétiques
du même ordre degrandeur wr >
w, et il faut som-mer effectivement les contributions de ces différentsniveaux. La formule
(11)
restecependant
utilisablepour une évaluation
grossière
de laprobabilité
detransition ;
appliquée
à la transition 1 S --+ 2 S del’hydrogène,
elle redonne bien l’ordre degrandeur
obtenu àpartir
du calcul exact de Gontier etTrahin
[15].
On voit sur la formule
(11)
quel’importance
de l’écarténergétique dwr
des niveaux relais est très défavorable à laproduction
des états métastables. Enrevanche leur faible
largeur
naturelleTe
favoriseleur
production ;
mais on ne pourra bénéficier de cefacteur favorable que dans la mesure où la
pureté
spectrale
et la stabilité du Laser utilisé lepermettront.
Au
total,
onpeut
espérer
que ces deuxfacteurs,
favorable etdéfavorable,
secompensent,
et obtenir uneprobabilité
de transition notable pour une intensité de 1W/mm2.
Nous avons montré que les transitions à deux
pho-tons ne nécessitaient pas une
puissance
considérable duLaser,
il estpossible
de faire un calculanalogue
dans le cas des transitions à trois
photons (cf.
Appen-dice
II).
Avec des valeurs raisonnables pour les forces d’oscillateurs et les écartsd’énergie,
on trouve uneprobabilité
d’environ 1 transition par seconde avecdes
puissances
de Laser de l’ordre d’une dizaine de kW. Onpeut
encore remarquer que, même avec cespuissances,
lesdéplacements
de niveaux seront souvent assezpetits
devant lalargeur
du niveauexcité. Ces remarques démontrent que des
expériences
de
spectroscopie
parabsorption
de troisphotons
nesont pas
utopiques.
En ce
qui
concerne les processus à troisphotons,
remarquons-le,
il n’est pas nécessaire que les troisphotons
soient absorbés pour éliminer l’effetDoppler :
on
peut,
eneffet,
imaginer
uneexpérience
où deuxphotons
de vecteur d’ondek,
etk2
seraient absorbéset un
photon
de vecteur d’ondek3
seraitémis,
cetteémission
pouvant
être stimulée ouspontanée.
Siles deux conditions
suivantes,
qui correspondent
à la conservation de
l’énergie
et del’impulsion,
sontréalisées :
l’effet
Doppler
est éliminé.En ce
qui
concerne le processus où lephoton k3
est émis
spontanément
laprobabilité
d’émissionpourra être assez
importante
si parabsorption
desphotons k1
etk2
on atteint un niveau résonnant :d’autre
part,
on remarque que l’effetDoppler
n’estéliminé que dans une direction
particulière ;
si l’ons’écarte de cette
direction,
l’influence de la vitessedes atomes sur la forme de la raie d’émission deviendra de
plus
enplus importante.
Une autre
application possible
de ces transitions àplusieurs photons
est lagénéralisation
desexpériences
de double résonance
[16]
à des niveauxqui
nepeuvent
pas être atteints parl’absorption
d’une raie deréso-nance. En
effet,
la méthode que nous proposonspermet
depeupler
sélectivement certains sous-niveaux Zeeman de l’état excité non seulement par lejeu
despolarisations
comme dans lesexpériences
de doublerésonance
classiques,
maiségalement
du fait que dansun
champ magnétique d’importance
moyenne un seul sous-niveau Zeemanpeut
être atteint parabsorp-tion de
plusieurs photons.
APPENDICE 1
1. Calcul exact de l’effet
Doppler
résiduel dans le cas de transitions à deuxphotons.
- Dans nosesti-mations de l’effet
Doppler
nous n’avons tenucompte
que des termes du
premier
ordre env/c ;
mais la théo-rie relativisteimplique
des termes du second ordre en(v2/c2)
dont nous recherchons maintenant les effetslorsque
l’atome absorbe deuxphotons
de mêmeénergie
et de sens depropagation
opposés.
Nousraisonnerons en termes de conservation de
l’impulsion.
Plaçons-nous
d’abord dans lerepère
dulaboratoire :
l’impulsion
de l’atome est conservéepuisque
l’impul-sionglobale
des deuxphotons
absorbés est nulle.Mais l’atome excité est
légèrement plus
lourd quel’atome à l’état
fondamental ;
et àimpulsion
cons-tante,
sa vitesse estlégèrement
inférieure. C’est-à-direqu’une
faiblepart
del’énergie cinétique
de l’atomes’ajoute
àl’énergie
desphotons
pourpermettre
latransition,
modifiant ainsilégèrement
la conditionde résonance
(4).
Le calcul est
plus simple
enpassant
dans lerepère
lié à l’atome. Nousappliquons
la transformationde Lorentz au
quadrivecteur impulsion-énergie
del’ensemble des deux
photons
(en
appelant
z la directionde la vitesse v de
l’atome) :
dans lerepère
du laboratoireL’impulsion
des deuxphotons
n’estplus
exacte-mentcompensée
dans le référentiel de l’atome.Lorsque
l’atome absorbe les deuxphotons,
lequadri-vecteur
impulsion-énergie
dusystème
global
« atome +
photons »
étantconservé,
il en résulte quel’atome
acquiert
une vitesse finie ôv dans leréférentiel
où il était intialement immobile.(ôv
=pi/M
a lesigne opposé
à v ;
cecicorrespond
bien à unralentis-sement de l’atome dans le
repère
dulaboratoire.)
Mais l’effet leplus important
réside dans lamodifi-cation de
l’énergie
de E à E’.Ecrivons la conservation de
l’énergie
dans la transition :Le second terme du
crochet,
calculé àpartir
de(c5V)2,
représente
un faible résidu de l’effet derecul ;
compte
tenu durapport
liwjMc2
10-9,
il est totalementnégligeable.
Et la formulepeut
se réduire à :Le terme correctif en
v’12
e2
vaut environ10-11
pour les éléments
légers
àtempérature
ambiante ;
cerapport
diminuelorsque
la masse de l’élémentaugmente.
Il est doncjustifié
denégliger,
dans l’im-mensemajorité
des cas, cet effetDoppler
du second ordre.Cependant,
si l’on étudie une transition entreun niveau fondamental et un niveau métastable ce
terme
peut
modifier la forme de la raied’absorption :
compte
tenu de la distribution desvitesses,
il conduiten effet à une raie décentrée et
asymétrique.
APPENDICE II
1. Calcul de l’interaction d’un atome avec deux ondes
monochromatiques
sepropageant
en sens inverse.-Les calculs que nous
développons
ci-dessous sontinspirés
de la théorie de l’atome habillé[11 ]
etplus
particulièrement
del’application
de cette théorie au pompageoptique qui
estexposé
dans la thèse de J.Dupont-Roc [17].
Beaucoup
des résultats que nousretrouvons ainsi sont tout à fait
classiques [2], [9], [10];
mais ceci nous
permet
de lespréciser
dans notre casparticulier
et dejustifier
leshypothèses qui
ont été énumérées dans leparagraphe
2. 1.1.1 RAPPELS SUR L’ATOME HABILLÉ. - Nous
appelons
JC’ 0
le hamiltonien durayonnement
divisépar h. Ses états propres sont les
états ! ni
n2 > oùn1 et n2
désignent
les nombres dephotons
apparte-nant aux modes 1 et 2 :
3C’ 0
ne tientcompte
que des modes« remplis »
durayonnement.
Pour tenir
compte
des modes vides duchamp
électromagnétique,
qui
sontresponsables
de la durée de vie finie des niveaux excités et que nous n’avons pas conservé dans le hamiltonienX’o,
nousajoutons
àl’énergie liwr
d’un niveau excité unepartie
ima-ginaire iliTr/2.
F,
est l’inverse de la durée de vie naturelle du niveau r. Nousappelons Jeo
le hamil-tonien de l’atome libre divisépar h;
son action surles états propres de
Jeo
+R§
sont les états1
r>
ni
n2 > que nous noteronsplus simplement
1 r, nb n2 >.
En
fait,
le hamiltonien dusystème
total« atome +
photons
optiques »
est la somme de(Je 0
+Ho)
et d’un hamiltonien d’interaction entre l’atome et lechamp ;
ce dernierest,
lui-même la somme de deux termesJCI
etJe2 : H1 (ou Je2)
est unopérateur qui couple
les niveaux g et e à des niveaux r deparité
différente avecabsorption
ou émission d’unphoton
du mode 1(ou
du mode2).
C’est parce queH1
+X2
peut
au second ordremélanger !
g,
ni,n2 >
avec, par
exemple,
e,
n 1 -1,
n2 - 1 > que le niveau fondamentalacquiert
une durée de vie finie. C’est le calcul de cette durée de vie du niveaufon-damental
perturbé
par lechamp électromagnétique
que nousprésentons
maintenant.1.2 DURÉE DE VIE DU NIVEAU FONDAMENTAL PER-TURBÉ PAR LE CHAMP
ÉLECTROMAGNÉTIQUE.
-Cal-culons les états propres de
Je,
dans les conditionsdéfinies
précédemment,
enemployant
la théorie desperturbations appliquée
à un niveau nondégénéré
(Ro
+H’0
étant le hamiltonienprincipal, H1
+JC2
la
perturbation).
Ilpeut
semblerparadoxal
deconsi-dérer
g,
nl, n2 >et
e,
nl -1,
n2 - 1 > comme étant nondégénérés
alors que ces niveaux ont mêmesénergies
réelleslorsque
c5w = 0. Enfait,
lesénergies
complexes
de ces deux états sont différentes parce que l’un contient unepartie imaginaire
ir,,i2
et l’autre pas ;comme cela a été
remarqué
par W. E. Lamb[18],
tant que lecouplage
entre deux niveaux de mêmeénergie (réelle)
est inférieur à la différence de leurslargeurs
naturelles,
les fonctions d’onde des niveauxperturbés
ne sont pascomplètement mélangées,
et il estjustifié
de leurappliquer
la théorie desperturba-tions de la même
façon
qu’à
un niveau nondégénéré.
L’étatpropre
( g,
nb n2 > de Je a pourexpression
en se limitant au deuxième ordre de la série de per-turbations :Les divers
symboles, al(r),
R12,
etc...,apparaissant
dans cette formule sont tout à faitclassiques,
et sontdétaillés dans le tableau I. Dans l’ensemble des termes du second ordre nous avons
négligé
ceuxqui
ne sont pas résonnants ouquasi
résonnants ;
et c’est la raison pourlaquelle,
compte
tenu del’hypothèse
(2),
n’apparaît
que le seul état e pourlequel
ôcv = 0) -(Oge
2est voisin de zéro.
Le
champ électromagnétique mélange
la fonctiond’onde du
niveau
g,
n1, n2 > à celles de divers autres états : lecouplage
avec les niveaux1 r, n 1 - 1,n2>
etr, n,, n2 - 1 >
estresponsable
dulight-shift [10].
Lecouplage
avec lesniveaux ! e,
nl -2,
n2>, e,
nl -1,
n2 - 1
>,
1
e, n1,n2 - 2
> introduit une durée de vie finie du niveaufondamental ;
en effet laprobabilité,
le sys-tème étant dansl’état
g,
ni, n2 >, de se trouver dans l’étatatomique
e estégale
à :La
probabilité
pour unsystème
se trouvant dans l’état de edisparaître
estégale
àre
pour une unitéTABLEAU 1
Coefficients apparaissant
dans lesformules
(A. 4)
et(A. 5) ;
on aremplacé
les dénominateursd’énergie
co +kvz -
cogr
-’Frl2
par OJ - cogr, cequi
estjustifié
parl’hypothèse (3).
Remarquons
que cetteformule,
tout comme ledéveloppement (A. 4)
n’est valable que si les divers1
Rij
(i, j =
1 ou2)
sont trèspetits
devant la lar-geurl’e
du niveau excité. On retrouve ainsi la condition de Lamb et notrehypothèse (4) :
1 Rij
1
« F,, , Fg « F,,
(A. 6)
On
peut
noterégalement
que lechamp
électro-magnétique couple
g,
ni,n2 >
à
g, n, - 1, n2
+1 > ;
cecicorrespond
à un processus Raman stimulé où l’atome absorbe unphoton
sepropageant
dans un sens et émet unphoton
sepropageant
en sens inverse.Puisque
la durée de vie de ces deux niveaux estiden-tique,
lecouplage mélange complètement
les niveauxlorsqu’ils
ont mêmeénergie,
c’est-à-direquand vx
est voisin de zéro. On vérifie aisément que ledévelop-pement
(A.4)
n’est pas valable dans ce cas. C’est cequi
nécessitel’hypothèse (5).
On retrouve
l’expression (A. 5)
d’une autre manièredans le
paragraphe
suivant,
en mêmetemps
que l’oncalcule les
déplacements
de niveauxd’énergie provoqués
par la lumière oulight-shifts.
1.3 LIGHT-SHIFT. - Pour connaître les
déplace-ments de
niveaux,
nous
calculonsl’énergie
du niveauperturbés g,
ni, n2 >. Le résultatprésenté
ci-dessousprovient
d’undéveloppement
au 4eordre ;
en fait le calcul est relativementsimplifié
par des considé-rations évidentes deparité,
montrantque
seuls les termes d’ordrepairs
sont non nuls. Soithcog
l’énergie
du niveauperturbé :
-
. F( 4)
5Wg=Wg+nl
Wl +n2
w2+LBE(2)-lT
+,AE(4)
(5)
(A. 7)
AE(2)
est obtenu au second ordre deperturbation.
C’est ledéplacement
de niveau calculé habituelle-ment[10] :
Ce
déplacement AE(2)
est donné par uneexpres-sion
analogue
à celle des coefficientsRij
(cf.
TableauI) ;
et il sera
généralement
du même ordre degrandeur.
Compte
tenu de la condition(A. 6),
on voit que dans le cadre de nosapproximations
cedéplacement
reste(S) Le terme imaginaire du second ordre iT(2)/2 est nul
parce que nous avons négligé la partie imaginaire au
dénomi-nateur des coefficients ai(r) et a2(r) (cf. Tableau I). Si nous
tenions compte de cette partie imaginaire, nous obtiendrions un terme l’(2) différent de zéro, exprimant l’effet Raman spon-tané.
