Effet Doppler

MP – Physique-chimie. Devoir en temps libre

Jean Le Hir, 10 janvier 2008 Page 1 sur 4

DL n°5-2 : corrigé

Effet Doppler

(concours ECRIN MP 1997)

1. À un instant pris comme origine des temps, la source S se trouve en A₀ et le récepteur R en B₀, distant de de A₀ :A B_{0 0} =. S émet alors une impulsion (impulsion “ zéro ”).

1.a) À quel instant t , cette impulsion atteint-elle R ? _{0 0}

R

t =c v

−

1.b) À l’instant t=T_S, la source émet une nouvelle impulsion (impulsion “ un ”). En quelle position A₁ se trouve à cet instant S et en quelle position B₁ se trouve le récepteur R ?

0 1 S S

A A =v T u_x

, B B_{0 1}=v T u_{R Sx}

et donc ^{A B1 1= +}

(

(

^{vR−v T uS}

)

^S

)

^x

1.c) On choisit comme nouvelle origine des temps l’instant d’émission de l’impulsion “ un ”. On pose ainsi t= +T_S t′. À quel instant t′₁, l’impulsion “ un ” atteint-elle R ? En déduire la durée T entre la _R réception de l’impulsion “ zéro ” et de l’impulsion “ un ”.

(

^{R S}

)

^S R S

1 1

1 0 S

R R R

A B v v T v v

t t T

c v c v c v

+ − −

′ = = = +

− − −

et donc _{R 1 0} ^S _S

R

T t t c v T

c v

= − = −

−

1.d) Donner la relation entre f et _R f . A quelle condition ces deux fréquences sont-elles égales ? _S

R R

R S

R S S S

1 c v 1 c v

f f

T c v T c v

− −

= = =

− − ^{. fR = fS} si et seulement si v_R =v_S

1.e) On suppose que le récepteur est immobile. Préciser si f est plus grande ou plus petite que _R f _S lorsque la source s’éloigne du récepteur (cas α), lorsque la source s’approche du récepteur (cas β).

Cas α : alors v_S <0 et donc f_R < f_S Cas β : alors v_S >0 et donc f_R > f_S

2. On considère à nouveau une source S et un récepteur R mobiles, on ne s’intéresse qu’à l’impulsion

“ zéro ”, émise à l’instant t=0. On suppose qu’à l’instant t , l’impulsion reçue par R est réfléchie ₀ vers S.

2.a) À quel instant τ, S reçoit-il cette impulsion réfléchie ? L’impulsion zéro est reçue à l’instant ₀

R

t =c v

−

. La distance entre le R et S est alors égale à

(

vR v tS

)

0

+ −

. La durée du trajet de retour est donc

(

R S

)

0 S

v v t c v

+ −

+

et donc la source reçoit l’impulsion zéro en retour à l’instant τ tel que

(

R S

)

0

0

S

v v t

t c v

+ −

τ = +

+

, soit :

S R

2 1

1 v 1 v c

c c

τ =  +  − 

 

 

2.b) Dans le cas c>>v_R et c>>v_S, exprimer τ par le premier terme non nul de son développement.

R S

2 1 v v

c c

−

 

τ  + 

 

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Une horloge permet d’obtenir τ : que peut mesurer un tel dispositif ? Quels sont les appareils utilisant ce principe ? Un tel dispositif permet de mesurer la vitesse relative entre la source et le récepteur. Les radars de surveillance du respect de limitation de vitesse fonctionnent sur ce principe.

3. On suppose qu’un signal sinusoïdal de fréquence f est émis par une source S immobile

(

vS =0

)

et reçue par un récepteur R mobile

(

vR =v

)

.

3.a) Donner, en fonction de f, c et v, la fréquence f du signal reçu par R_R . _R 1 v

f f

c

 

= − 

 

3.b) Le récepteur R réfléchit le signal reçu et se comporte ainsi comme une source émettant à la fréquence f . Le dispositif S bascule en mode récepteur et perçoit alors un signal à la fréquence R f′.

3.b.α) Exprimer f′ en fonction de f , c et v. _R 1 _R 1

f f

v c

′ = +

3.b.β) En déduire l’expression de f′ en fonction de f, c et v puis une expression approchée

de f′ si v <<c.

1 2

1 1

v c v

f f f

v c

c

−  

′ = ≈ − 

 

+

3.b.γ) Exprimer avec cette approximation, δ = −f f′ f . On précisera le signe de δf si R s’éloigne de S.

f f f 2v f

′ c

δ = − ≈ − . Si R s’éloigne de S, la fréquence diminue et donc δ <f 0

4. Application 1 : la gendarmerie utilise un radar à effet Doppler pour contrôler la vitesse des véhicules.

Un tel radar fonctionne sur le principe précédent du 3) (émission d’un signal de fréquence f, réception et mesure de la fréquence f′ du signal réfléchi). Le signal est une onde électromagnétique hertzienne sinusoïdale de fréquence f =5 GHz. On supposera que la célérité des ondes électromagnétiques dans l’air est celle des ondes électromagnétiques sinusoïdales planes dans le vide.

4.a.α) Préciser la valeur de cette célérité c. c=3, 00 10 m s× ⁸ ⋅ ⁻¹

4.a.β) Donner la vitesse (en km/h) d’un véhicule si une mesure donne δ =f 972 Hz.

1 1

29, 2 m s 105 km h

v= ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻

4.a.γ) On souhaite avoir une précision de 0,5 km/h. Quelle est la précision nécessaire sur δf (on supposera que les incertitudes sur les autres termes sont négligeables) ?

v f

v f

∆ =∆δ

δ et donc ∆δ =f 5 Hz

4.a.δ) Une mesure directe de f′ vous semble-t-elle possible ? Justifier votre réponse.

Certes non. Une mesure directe de f′ devrait alors être réalisée avec une incertitude de 5 Hz pour 5 Ghz, soit une précision de 10⁻⁹ : une telle précision ne peut être atteinte..

Un oscillateur de référence fournit le signal d’émission ^{ue =Uesin 2}

(

^{π f t}

)

. Le signal réfléchi mesuré est noté ^{ur =Ursin 2}

(

^{πf t′ + ϕ}

)

. Les signaux u et _e u sont alors appliqués à l’entrée d’un multiplieur qui _r délivre en sortie le signal u , avec _s u_s =K u u. _e. _r.

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4.b.α) Quelle est l’unité de K. Préciser le spectre de u . (On choisira ϕ =_s 0 pour le calcul).

La constante K se mesure donc en V⁻¹.

( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ) )

s e r e r e r

. . sin 2 sin 2 1 cos 2 cos 2 2

u =K u u =KU U π f t π f t′ + ϕ = 2KU U πδf t − π f + δf t Le spectre de u comprend donc les deux fréquences _s δf et 2 f + δf

4.b.β) Quel filtre doit-on brancher en sortie du multiplieur pour récupérer un signal purement sinusoïdal de fréquence δ =f f′− f ? Proposer le schéma simple d’un tel filtre passif en précisant les conditions de son bon fonctionnement.

Pour récupérer un signal purement sinusoïdal de basse fréquence δf , il faut brancher en sortie du multiplieur un filtre passe-bas. Une simple cellule RC (résistance en tête) conviendra pourvu que la fréquence de coupure 1

2 RCπ soit choisie bien supérieure à δf et bien inférieure à 2 f .

4.b.γ) Pour pouvoir utiliser le signal de sortie de ce filtre, on branche, en sortie du filtre, un amplificateur opérationnel idéal monté en suiveur. Faire le schéma et expliquer les raisons d’un tel montage.

Le suiveur a une impédance d’entrée infinie. Le montage passe-bas fonctionnera idéalement, y compris si l’on ajoute en sortie une impédance de charge.

5. Application 2 : première estimation de la valeur de c, vitesse de la lumière, par Römer. Dans toute cette partie, on considérera que le référentiel défini par le centre du Soleil et trois directions fixes est galiléen. Cela revient à considérer que M_S masse des planètes.

5.a) La Terre et Jupiter tournent autour du soleil sur des orbites pratiquement circulaires en 1 an (Terre) et en 12 ans (Jupiter). Le rayon de l’orbite terrestre est de 150 10⁶ km. Donner le rayon de l’orbite de Jupiter.

Il s’agit ici simplement d’appliquer la troisième loi de Kepler : La Terre et Jupiter gravitant autour de la même étoile, les rapports des cubes de grands axes au carrés des périodes est le même pour les deux planètes :

3 3

J T

2 2

T J

a a

T =T et donc

2 3 2

6 6

J 3

J T

T

150 10 12 786 10 km a a T

T

 

=   = × × = ×

 

On peut mesurer sur terre la période T de révolution de Io, satellite de Jupiter (orbite pratiquement circulaire). On constate que cette période T fluctue autour d’une valeur moyenne T (amplitude 10 à 20 s ₀ avec T₀ ≈42 h). Ces fluctuations s’expliquent par un effet Doppler. La formule établie en 1) avec v et _R

v constant s’écrit alors dans un cas plus général (sous réserve que S v_R <<c et v_S <<c) :

0

1 1dr

T T

c dt

 

=  + 

  avec r distance variable observateur terrestre - Jupiter.

R C

us

− +

ue

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5.b) Justifier cette formule et vérifier le signe de la différence T−T₀ en s’aidant des résultats du 1).

La source étant Jupiter et le récepteur étant la Terre, la formule ci-dessus n’est que la transcription de la formule précédemment démontrée : _R ^S _S ^{R S} _S

R

c v 1 v v

T T T

c v c

−  − 

= − ≈ + 

R S

v −v représente la vitesse radiale de Jupiter par rapport à la Terre, soit _{R S} dr

v v

− ≈ dt

Lorsque le Soleil, la Terre et Jupiter sont alignés dans cet ordre (conjonction opposition), r est minimum

(

r=rc

)

. On note t l’instant d’une telle conjonction opposition. _c

Note : Dans cet ordre, il s’agit d’une opposition et non pas d’une conjonction.

5.c) À quel instant t′_c se produit une nouvelle conjonction opposition (on exprimera, en mois la durée

c c

t′ −t ) ? Approximativement, à quel instant t , (on exprimera ₀ t₀−t_c), peut-on alors considérer que r est maximum (opposition conjonction r=r₀) ?

Il nous suffit d’écrire que la Terre a fait un tour de plus que Jupiter entre deux conjonctions, soit :

(

^{ω − ωT J}

)(

^tc′−tc

)

^{= π2} ou encore _{c c}

T J

T J

2 1

13 mois

1 1

t t

T T

′ − = π = ≈

ω − ω −

Dans l’hypothèse d’orbites circulaires, nous aurons donc _{0 c} ^{c c} 6, 5 mois 2

t t t − =t ′ − ≈

5.d) Quelle est la valeur de la vitesse de la Terre sur son orbite ? _{T T T} ^{T 1}

T

2 a 30 km s

v a

T π −

= ω = ≈ ⋅

Quelle est la valeur maximale de dr/dt ? La valeur maximale de dr/dt est obtenue lorsque la Terre s’éloigne de Jupiter, au moment d’une quadrature. dr/dt à ce moment, a une valeur voisine de v (en _T bonne approximation, Jupiter peut être considéré comme immobile).

Donner numériquement l’écart maximal T−T₀ et tracer l’allure de T− =T₀ f t( ) entre t et _c t . ₀

T

0 0 0

1dr v 28 s

T T T T

c dt c

− = ≈ =

Aux oppositions et aux conjonctions, la distance Terre-Jupiter est stationnaire et l’on a donc T =T₀

Entre les instants t et _c t , Roemer notait ₀ aux instants t (environ toutes les 42 h) _i l’écart Ti− =T0 f t

( )

i . Il calculait alors

(

i 0

)

i

T T

τ =

∑

− ^.

5.e) Montrer alors que comme

( )

0 0 c

T t −t , on peut assimiler τ au

temps mis par la lumière pour parcourir le diamètre de l’orbite terrestre. Donner sa valeur.

c c

o o

0 max min T

0

2

1 15 min

t t

t t

T T dr r r a

dt dt

T c dt c c

− −

τ ≈

∫

=

∫

≈ =

( )

r t

T −T0

opposition conjonction quadrature

t t