Définitions 1. Définitions 2

(1)

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Terminale – Maths complémentaires Ch 2 : Les suites

Page 1/13 Objectif n° 1 : Différentes manières de définir une suite.

Exercice 1 : Partie A :

Pour tout entier naturel n, on définit la suite (an) par : an = 0,5 n² + n – 1

1. Déterminer a0 , a1 et a2

2. Peut-on calculer "directement " a10 ? Si oui, le calculer.

Sinon, expliquer pourquoi .

3. Utiliser le mode "Suites" de votre calculatrice pour introduire la suite (an) et conjecturer le sens de variations de cette suite.

Partie B :

On définit la suite (bn) par : b0 = 0 et pour tout entier naturel n  1 : bn1 = 0,5 ( bn )² + bn – 1.

4. Déterminer b0 , b1 et b2

5. Peut-on calculer "directement " b10 ? Si oui, le calculer.

Sinon, expliquer pourquoi.

6. Utiliser le mode "Suites" de votre calculatrice pour introduire la suite (bn). Que pouvez vous dire du sens de variations de cette suite ?

Remarque : considérons la fonction f définie par f (x) = 0,5 x² + x – 1.

La suite (an) de l'exercice 1 peut s'écrire an = f (n) . On voit alors qu'on a donné an en fonction de n.

La relation de récurrence de la suite (bn) de l'exercice 1 ci- dessus peut s'écrire bn1 = f (bn ) .

On volt alors qu'on a donné bn1 en fonction de bn . Exercice 2 :

Un club de basketball a suivi sur plusieurs années l’évolution des abonnements annuels de ses supporters.

Il a constaté que d'une année sur l'autre, 20 % de ses adhérents ne se réabonnaient pas mais que s'ajoutaient 150 nouveaux abonnés.

On se propose d’étudier l’évolution du nombre annuel des abonnés du club de basketball à l’aide de ce modèle.

Le nombre d’abonnés au club à la fin de l’année 2015 était 1 000.

On note un le nombre d’abonnés à la fin de l’année 2015 + n. On a donc u0 = 1 000.

1. Estimer le nombre d’abonnés à la fin de l’année 2016.

2. Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel n, on a : un+1 = 0,8 un + 150.

3. Cette suite est-elle définie de manière explicite ou par récurrence ? 4. Utilisation d’un tableur pour avoir les termes successifs de la suite :

* A chaque valeur de l'entier naturel n, on a associé un nombre réel a_n. On dit que l'on a défini une suite de nombres, notée (a_n).

* Dans cet exercice, la suite (a_n) a été définie en donnant an en fonction de n . On peut ainsi calculer directement n'importe quel terme de la suite.

On dit que cette suite est définie

"..."

Définitions 1

* Dans cet exercice, la suite (b_n) a été définie en donnant la valeur du terme initial ( b0 = 0 ) et une relation liant un terme de la suite ( le terme bn1 ) en fonction du terme qui le précède ( le terme bn ).

Ici bn1 = 0,5 ( bn )² + bn – 1 On dit que cette suite est définie

"..."

* Dans ce type de définition, pour calculer un terme de la suite, on a besoin de connaître tous les termes précédents.

La relation bn1 = 0,5 ( bn )² + bn – 1 est appelée la relation de récurrence de la suite.

Définitions 2

(2)

Page 2/13 Quelle formule écrire dans la cellule B3, formule qui sera copiée vers le bas afin de calculer automatiquement les termes successifs de la suite (un ) ?

5. Le président du club souhaite savoir en quelle année le nombre d'abonnés sera pour la 1^ère fois inférieur à 800.

a. Compléter l'algorithme ci-contre pour qu'il réponde à la question que se pose le président.

b. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'année cherchée.

Exercice 3 :

On considère les 4 suites (vn), (wn), (xn) et (yn) définies par : Pour tout entier n :

vn = n + 2 2n + 1

w0 = 5 et pour tout entier naturel n, wn+1 = wn2

10 + 2

Pour tout entier n : xn = 3 × ( 1)ⁿ

y0 = 1 ; y1 = 13 et pour n  2, yn est la moyenne des 2

termes qui le précède.

1. Suite (vn)

a. Cette suite est-elle définie par récurrence ou de manière explicite ? b. Déterminer v0 , v2 , v7 et v1000 sous forme de fraction irréductible.

2. Suite (wn)

a. Cette suite est-elle définie par récurrence ou de manière explicite ?

b. A l'aide de la calculatrice déterminer la valeur des termes w1 , w3 , w6 et w12 ( au besoin, on arrondira au centième ) c. Conjecturer le sens de variations de cette suite.

3. Suite (xn)

a. Cette suite est-elle définie par récurrence ou de manière explicite ? b. Calculer les 5 premiers termes de la suite (xn).

c. Que pouvez-vous dire du sens de variations de cette suite ? 4. Suite (yn)

a. Calculer y2 , y3 et y4 .

b. Définir la suite en langage mathématique :

 



* ….. = …… et ….. = ……

* …….. = ……….…

c. Cette suite est-elle définie par récurrence ou de manière explicite ? d. Utilisation d’un tableur pour avoir les termes successifs de la suite :

n  ...

u  ...

Tant que u ...

n  ...

u  ...

Fin tant que

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Page 3/13

* Que faut-il écrire dans les cellules B2 et C2 ?

* Quelle formule écrire dans la cellule D2, formule qui sera copiée vers la droite afin de calculer automatiquement les termes successifs de la suite (yn ) ?

e. Utilisation de la calculatrice pour déterminer les termes de la suite (y_n) .

* En utilisant le mode "suite" de la calculatrice ( choisir " suite récurrente d'ordre 2 " ), déterminer la valeur des termes y5 , y9 et y12 ( si nécessaire, on arrondira au millième ).

* Que pouvez-vous dire concernant le sens de variations de cette suite ?

Il existe deux principales façons de définir une suite (un ) :

* de manière explicite, c'est çà dire en donnant un en fonction de n

* par récurrence : c'est-à-dire en donnant le ( ou les ) premier(s) terme(s) et une relation entre un terme et le ( ou les ) terme(s) qui le précède .

En résumé

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Page 4/13 Objectif n° 2 : Suites convergentes – suites divergentes.

Exercice 4 : Reprenons quelques suites rencontrées dans les exercices précédents

1. Reprenons la suite (an) ( exercice 1 partie A ) définie pour tout entier n par : an = 0,5 n² + n – 1 En utilisant le mode "suites" de votre calculatrice :

a. déterminer le plus petit entier k tel que ak > 300 b. déterminer le plus petit entier m tel que am > 4 000

Il semble donc que, lorsque n "devient très grand" ( on dit lorsque n tend vers   ), an devienne aussi grand que l'on veut. On dira alors que an tend vers ... lorsque n tend vers   et on notera : lim

n + an = ...

2. Reprenons la suite (un) ( exercice 2 ) définie par : u0 = 1000 et un+1 = 0,8 un + 150

En utilisant le mode "suites" de votre calculatrice, que semble-t-il se passer pour la suite (un) lorsque n devient

" grand " ?

On dira alors que un tend vers ... lorsque n tend vers   et on notera : lim

n + un = ...

3. Reprenons la suite (vn) ( exercice 3 ) définie par : vn = n + 2 2n + 1 .

A la lecture des termes de la suite ( à la calculatrice ), il semble que lim

...  .... vn = ...

4. Reprenons la suite (xn) ( exercice 3 ) définie par xn = 3 × ( 1)ⁿ

En observant la copie d'écran de calculatrice ci-contre, que peut-on dire pour la limite de cette suite ?

5. Reprenons la suite (yn) ( exercice 3 ) définie par :

y0 = 1 ; y1 = 13 et pour tout entier naturel n, yn+2 = yn+1 + yn 2

Quelle semble être la limite de cette suite ?

Parmi les 5 suites de l'exercice 4, quelles sont celles qui sont convergentes ?

Remarque : Lorsqu'une suite est divergente, elle peut tendre vers + , vers –  ou ne pas avoir de limite.

 Une suite est dite convergente si elle tend vers un réel lorsque n tend vers  .

 Dans tous les autres cas, la suite est dite divergente.

Définitions 3

(5)

Page 5/13 Exercice 5 :

1. A l’aide de la calculatrice, compléter : a. lim

n + 0,7ⁿ = ... b. lim

n + 2,7ⁿ =…… c.

n

n 



 







 9

lim 8 = ...…

d. lim

n +1ⁿ= ... e.

n

n 



 







 8

lim 9 = ... f. lim

n + ( – 0,8)ⁿ =……

Cette question met en évidence la propriété suivante

Remarque : si q  –1 alors ( qⁿ ) n'a pas de limite 2. Quelques calculs de limite

a. On cherche à déterminer





nlim 2 + 3 × 0,8ⁿ ( sans calculatrice ) Comme ….. < ….. < ….. ,





nlim 0,8ⁿ = …. ( propriété 4 ) Donc





nlim 3 × 0,8ⁿ = ... et donc





nlim 2 + 3 × 0,8ⁿ = ...

b. En rédigeant comme dans le a., déterminer les limites suivantes :

*



 n

lim 2  3 × 1,8ⁿ *



 n

lim 5 – 0,5 × 0,92ⁿ *



 n

lim 17 × (–0,6)ⁿ  3 *





nlim 5 – 31,5ⁿ La lettre q désigne une constante réelle.

* Si –1 < q  1 alors lim

n + qⁿ = ...

* Si q = 1 alors lim

n + 1ⁿ = ...

* Si q  1 alors lim

n + qⁿ = ...

Propriété 4

(6)

Page 6/13 Objectif n° 3 : Suites géométriques

On rappelle les résultats suivants, vus en classe de 1^ère :

 Définition : une suite est géométrique si l'on "passe" d'un terme de la suite au terme suivant en multipliant par un nombre, toujours le même (ce nombre s'appelle la raison de la suite)

 Schéma fondamental : pour une suite (un) géométrique de raison q : un un+1

× q

 Expression de un + 1 en fonction de un : pour une suite (un) géométrique de raison q : un+1 = un × q

 Expression de un + 1 en fonction de un : pour une suite (un) géométrique de raison q :

* si u0 est connu : un = u0 × qⁿ

* si u1 est connu : un = u1 × q^{n  1}

* de façon plus générale, si up est connu : un = up × q^{n  p}

 Limite d'une suite géométrique : pour une suite (un) géométrique de raison q :

* si  1  q  1 lim

n  +  qⁿ = 0

* si q = 1 , lim

n  +  qⁿ = 1

* Dans tous les autres cas qⁿ diverge (si q > 1 : lim

n  +  qⁿ =   et si q   1 : qⁿ n'a pas de limite).

 Somme des termes d'une suite géométrique : pour une suite (un) géométrique de raison q (avec q  1) : u0  u1  .... + un = u0 × 1  q^{n + 1}

1  q On retient ce résultat sous la forme :

La somme S des termes successifs d'une suite géométrique de raison q ≠ 1 vaut :

S = (1^er terme de la somme) × 1  raison nombre de termes de la somme 1  raison

Exercice 6 :

Un échantillon de 100 mL d'eau contient 50 000 bactéries pathogènes, rendant un plan d'eau impropre à la baignade. En temps normal, le nombre de bactéries baisse de 10% par jour.

1. a. Modéliser l'évolution du nombre quotidien de bactéries à l'aide d'une suite (un).

b. Quelle est la nature de cette suite ? c. Déterminer un en fonction de n .

2. Quelle est la limite de la suite (un) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Définitions-Propriétés 5

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Page 7/13 3. La baignade sera autorisée lorsqu'il y aura moins de 10 000 bactéries dans un échantillon de 100 mL.

a. Voici une fonction "seuil" écrite en langage Python qui permet de répondre à la question posée.

Compléter ce programme.

b. En utilisant la calculatrice, déterminer le nombre de jours nécessaires pour que la baignade soit autorisée.

Exercice 7 :

Une société spécialisée dans la fabrication de lampes pour automobiles étudie l'évolution de sa production.

En 2015, elle a acheté une machine pour fabriquer ces lampes. Cette machine pouvait produire 130 000 lampes par an.

Du fait de l'usure de la machine, la production diminue de 2 % par an.

On modélise le nombre total de lampes fabriquées au cours de l'année ( 2012 + n ) par une suite (un).

On a donc u0 = 130 000.

1. Quelle est la nature de cette suite. Donner l'expression de un en fonction de n . 2. Quel sera le nombre de lampes fabriquées en 2022 ?

3. Déterminer le nombre de lampes fabriquées pendant les 15 premières années de fonctionnement ( on arrondira à l'unité )

Exercice 8 :

Un randonneur envisage de parcourir 5000 km à pied. Le premier jour, il peut parcourir 50 km, mais la fatigue

s'accumulant, la distance parcourue, en km, diminue chaque jour de 1% par rapport à celle parcourue le jour précédent.

1. On note dn la distance parcourue, en km, le n-ième jour. On a ainsi d1 = 50. Calculer d2.

2. Pour tout entier n, exprimer dn+1 en fonction de dn puis en déduire l'expression de dn en fonction de n.

3. On note sn la distance totale parcourue, en km, à la fin du n-ième jour.

a. Calculer s10 ( le résultat sera arrondi à l'unité )

b. Justifier que pour tout entier n : sn = 5000 ( 1 – 0,99ⁿ).

c. Déterminer la limite de sn.

d. Le randonneur va-t-il atteindre son objectif ?

(8)

Page 8/13 Objectif n° 4 : Suites arithmético-géométriques

Exercice 9 :

En 2016, Nino a planté 60 orchidées sous serre pour approvisionner son magasin. Il constate que, chaque année, 20 % des orchidées existantes ne fleurissent plus. Il décide donc de les éliminer et d'en planter 17 nouvelles chaque année. Il voudrait savoir comment va évoluer, à long terme, le nombre d'orchidées sous la serre.

On note pn le nombre d'orchidées l'année 2016 + n avec n entier naturel. Ainsi p0 = 60.

1. Expliquer pourquoi on a : pn+1 = 0,8 dn + 17 2. Calculer p1 puis p2

3. La suite (pn) est-elle géométrique ? Justifier votre réponse.

4. Considérons une suite constante (an) ( c'est-à-dire une suite telle que pour tout entier n, an = k avec k réel ).

Déterminer la valeur de k pour que la suite (an) vérifie la même relation de récurrence que la suite (pn) ( c'est-à-dire que an+1 = 0,8 an + 17 )

5. On définit la suite (vn) par, pour tout entier naturel n, vn = pn  85.

a. Calculer v0.

b. On va démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,8. Pour cela, on va utiliser la méthode suivante :

Compléter alors : vn1 = ………. ( avec 3 ) vn1 = ………. ( avec 1 ) vn1 = ………. ( avec 4 ) vn1 = ……….

Conclusion : la suite (vn) est ………. de raison q = ………. avec v0 = ………

c. Exprimer vn en fonction de n

Pour démontrer la suite (vn) est géométrique de raison 0,8, on doit prouver que vn1 = 0,8 vn Formules à disposition : (1) : pn1 = 0,8 pn  17

(2) : vn = pn  85 ce qui entraîne (3) : vn1 = ………….

et (4) : pn = ………..

Méthode à utiliser

Cette suite est appelée une suite arithmético-géométrique.

Une suite arithmético-géométrique est une suite (un) définie par la donnée de u0 et d'une relation de récurrence de la forme un+1 = a  un + b ( a et b étant des réels donnés )

Définition 6

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Page 9/13 d. En déduire que, pour tout entier naturel n, pn = – 25  0,8ⁿ + 85

e. Déterminer la limite de la suite (pn) et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

Remarque : la méthode vue à la question 5.b, permettant de démontrer qu'une suite est géométrique est importante.

Elle est utilisée dans beaucoup d'exercices concernant les suites.

Exercice 10 :

On considère la suite (un) définie par : u0 = 26 et pour tout n entier : un+1 = 0,5un + 4 1. Calcule u1 puis u2 .

Partie A : On va construire graphiquement les termes successifs de la suite (un). Toute cette construction sera faite en noir. Dans cette partie, il est interdit de faire des calculs

On a tracé la droite D1 d'équation y = 0,5 x + 4

2. Placer u0 sur l'axe des abscisses ( u0 = 26 ). A0 est le point de D1 d'abscisse u0. Que représente l'ordonnée de A0 ? ...

3. a. Tracer la droite (d) d'équation y = x.

b. Utiliser la droite (d) pour placer u1 sur l'axe des abscisses.

4. Recommencer la construction pour placer u2, u3, .... sur l'axe des abscisses.

5. Graphiquement, conjecturer le sens de variations de la suite (un) et la convergence de cette suite (un) :

...

Partie B : On considère maintenant la suite (vn) définie par v0 = 1 et pour tout n entier : vn+1 = 0,5 vn + 4

6. En procédant comme pour la suite (un) construire en rouge les termes successifs de la suite (vn) sur le graphique précédent.

7 Graphiquement, conjecturer le sens de variations de la suite (vn) et la convergence de cette suite (vn) :

(10)

Page 10/13 Exercice 11 : On considère la suite (un) définie par :



u0 = 0 un+1 = 0,7 un + 4,5 1 ) On veut construire graphiquement les termes successifs de cette suite.

a ) Quelles sont les équations des deux droites (D1) et (D2) tracées ci-dessous et qui vont servir à cette construction ?

b ) Construis graphiquement les 6 premiers termes de cette suite.

2 ) a ) Quel semble être le sens de variations de cette suite ? ...

b ) Quelle semble être la limite de cette suite ? ...

La méthode de construction vue dans les parties A et B va nous permettre de construire graphiquement, sans aucun calculs, les termes successifs des suites arithmético-géométriques et d’émettre une conjecture sur leurs variations et leur convergence.

(11)

Partie A : observation d’une suite de nombres.

1. On donne en Annexe 1 ( page suivante ) la représentation graphique des premiers termes d’une suite (un).

Conjecturer les variations et la convergence de la suite (un).

2. Les quatre premiers termes de la suite ont été calculés avec un tableur.

La suite peut-elle être géométrique ? Justifier.

Partie B : étude de la suite.

La suite (un) observée dans la partie A est la suite définie par : u0 = 600 et pour tout entier n , un+1 = 0,9 un  200.

3. Retrouver par un calcul la valeur de u1.

4. Dans la feuille de tableur de la question 2, quelle formule a été entrée en C2 ( formule qui a été recopiée vers la droite ) ?

5. On considère la suite (vn) définie par pour tout entier n, vn = un  2000.

a. Calculer v0 et v1.

b. Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison 0,9.

Exprimer vn en fonction de n

c. En déduire que pour tout entier n, un = 2000  14000,9ⁿ d. Donner une valeur approchée de u10 arrondie à 10^-2 près e. Déterminer la limite de la suite (un) lorsque n tend vers l'infini.

6. On considère l'algorithme donné ci-contre.

a. Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice, autant que nécessaire, le tableau suivant ( les résultats seront arrondis à l'unité ).

Valeur de n 0 1 ...

Valeur de u 600 ...

Condition u  1250 Vraie ...

b. Quelle sera la valeur de la variable n à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C : mise en situation.

Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, 10 % de ses abonnés ne renouvellent pas leur abonnement mais que s'ajoutent 200 nouveaux abonnés. Le nombre d'abonnés en 2015 était de 600.

7. Démontrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un) de la partie B.

8. Que signifie la réponse à la question 6.b. de la partie B ?

u  600 n  0

Tant que u  1250, * n  n  1

* u  0,9 × u  200 Fin tant que

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Page 12/13 Annexe 1 ( exercice 12 )

Exercice 13 :

Le directeur d'une réserve marine a recensé 3000 cétacés dans cette réserve au 1^er juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en "réserve marine" ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés devient inférieur à 2000. Dans ce cas, il sera obligé de fermer cette réserve. Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

 entre le 1^er juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;

 entre le 1^er novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l'évolution du nombre de cétacés dans la réserve par une suite (un). On notera un le nombre de cétacés au 1^er juin de l'année 2017 + n. Ainsi u0 = 3000

1. Justifier que u1 = 2926.

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, un1 = 0,95 un  76

3. A l'aide de la calculatrice, conjecturer les variations et la limite de la suite (un).

4. Déterminer une suite constante vérifiant la relation de récurrence de la suite (un).

5. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un – 1520

a. Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison 0,95 et préciser son 1^er terme.

b. Exprimer vn en fonction de n.

c. En déduire que pour tout entier naturel n, un = 1480 × 0,95ⁿ  1520

d. Déterminer la limite de la suite (un) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

6. Voici une fonction "seuil" écrite en langage Python qui permet de déterminer la 1^ère année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve sera inférieur à m.

a. Quelle valeur faut-il donner au paramètre m pour savoir si la réserve marine fermera un jour ?

b. Compléter ce programme.

c. En utilisant la calculatrice, déterminer en quelle année la réserve fermera.

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La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la température d’un corps est proportionnelle à la différence entre la température de ce corps et de celle du milieu environnant.

Une tasse de café est servie à une température initiale de 80° C dans un milieu dont la température est supposée constante et égale à 20°C.

L'objectif est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton.

Pour tout entier naturel n, on note Tn la température du café à l'instant n, avec Tn en degré Celsius et n en minutes.

Ainsi T0 = 80.

On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n + 1 par l'égalité : Tn+1 – Tn = – 0,2 ( Tn – 20 ).

1. D'après le contexte, conjecturer le sens de variations de la suite (Tn).

2. Montrer que pour tout entier naturel n, Tn+1 = 0,8 Tn + 4.

3. Pour tout entier naturel n, on considère la suite (un) définie par un = Tn – 20.

a. Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1^er terme.

b. En déduire que pour tout entier naturel n : Tn = 60  0,8ⁿ + 20

c. Déterminer la limite de la suite (Tn). Interpréter ce résultat dans le contexte de cette situation.

4. Pour ne pas se brûler, Théo veut boire son café lorsque sa température sera inférieure à 30° C.

On considère l'algorithme ci-contre.

a. Pour la valeur A = 30, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant :

b. En déduire la valeur de n à la fin de l'exécution de l'algorithme.

c. Interpréter cette valeur dans le contexte de cette situation.