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Nom :

_{EPREUVE DE MATHEMATIQUES}

Session Mai 2012

Classe : Durée :

N°1/ A Manet, on organise une course d'orientation. Il y a 124 filles et 93 garçons qui souhaitent participer à cette course.

a) On veut que toutes les équipes contiennent le même nombre de filles et le même nombre de garçons. Combien d'équipes pourra-t-on former au maximum ?

«...contiennent le même nombre de filles et le même nombre de garçons » : ce nombre doit être entier !

« ….contiennent le même nombre de filles et le même nombre de garçons » : ce nombre doit être un diviseur de 124 (pour les filles) et de 93 (pour les garçons) !

«... former au maximum » : ce nombre doit être le plus grand possible ! Donc on cherche le plus grand diviseur commun à 124 et 93.

Méthode des soustractions successives 124 – 93 = 31

93 – 31 = 62 62 – 31 = 31 31 – 31 = 0

Méthode de l'Algorithme d'Euclide 124=93×1+31

93=31×3+0

PCGD(124 ; 93) = 31

On peut donc constituer 31 équipes au maximum. b) Combien y aura-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe ?

On a 31 équipes constitués de filles et de garçons : Pour les filles : 124÷31=4

Pour les garçons : 93÷31=3

Chaque équipe est donc constituée de 4 filles et 3 garçons.

N°2/ Savoir utiliser sa calculatrice : donner une valeur approchée des nombres suivants.

√

√

√

√

Que remarque-t-on ?

Nous avons trois nombres qui sont trois approximations du nombre PI (π). N°3/ Partie 1 :

a) 50 est il solution de l'inéquation : 2,2 x – 71 > 40 ?

Pour cela nous devons vérifier si en remplaçant x par 50, l'inéquation reste vraie :

2,2×50 – 71=39 or 39 < 40 donc 50 n'est pas une solution. b) Résoudre l'inéquation et représenter ses solutions.

2,2 x – 71 > 40 2,2 x – 71+71 > 40 +71 2,2 x > 111 x > 111 2,2 Partie 2 :

est vendue 2,20 euros ,combien doit-il vendre de glaces au minimum pour avoir un bénéfice supérieur à 40 euros ?

Dépense : 71 euros

Gains : 2,2×x avec x le nombre de glaces vendues.

Bénéfice supérieur à 40 euros : lorsque les gains moins les dépenses sont supérieurs à 40 euros. Donc : 2,2 x – 71 > 40

Ainsi il doit vendre au minimum 51 glaces.

N°4/ A/ On donne deux affirmations ci-dessous : Affirmation 1 :

Pour tout nombre a : (2a + 3)2 _{= 4a}2 _{+ 9}

Affirmation 2 :

Augmenter un prix de 20 % puis effectuer une baisse de 20 % sur ce nouveau prix revient à redonner à l'article son prix initial.

Pour chacune des deux affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant votre réponse.

FAUX

(2a + 3)2 _{= 4a}2 _{+ 22a3 + 9}

(2a + 3)2 _{= 4a}2 _{+ 12a + 9}

FAUX

Il suffit de travailler sur un exemple : 100 euros ! Une augmentation de 20 % : 100×20

100 =20

20 euros de plus et on a alors 120 euros. 100 + 20 = 120

Puis une baisse de 20 % sur ce nouveau prix (attention!) :

120×20 100 =24

24 euros en moins et on a alors 96 euros ! 120 – 24 = 96

B/ On donne deux égalités ci-dessous : Égalité 1 :

√

2 =2×

√

Égalité 2 : 105 _{+ 10}-5 _{= 10}0

Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, écrire les étapes des calculs qui permettent de l'obtenir ; Si elle est fausse, la transformer pour qu'elle devienne vraie.

VRAI

√

√

√

√

√

√

√

√

2 =2×

√

N°5/

Activité géométrique

On donne la figure suivante (ATTENTION : elle n'est pas en vraie grandeur)

1) Représenter en vrai grandeur la figure.

Figure géogébra vidéo 2) Quelle est la nature du triangle ABC ?

Il suffit de regarder la figure et son codage : ABC triangle rectangle en B et isocèle de sommet principal B.

3) Calculer la valeur approchée au mm de la longueur AC.

Nous avons un triangle rectangle : on applique la propriété de Pythagore AC2 _{= AB}2 _{+ CB}2

AC2 _{= 2}2 ₊₂2

AC2 _{= 4 + 4 donc AC}2 _{= 8 alors AC=}

_√

_√

√

√

√

ainsi AC≈2,8 cm

4) En déduire la mesure de l'angle ̂BCA puis la mesure de l'angle ̂DCE (justifier en utilisant le vocabulaire approprié).

Dans le triangle rectangle ABC, on peut écrire :

cosinus(̂BCA)=BC AC

(sinon on peut passer par la tangente, moins de risque d'erreurs car les valeurs sont données) tangente (̂BCA)=AB

BC

Ainsi : cosinus(̂BCA)= 2

2

√

Avec la calculatrice (on gardera les valeurs exactes des nombres avec le radical) :

(̂BCA )=arccos( 2

2

√

remarque : on peut noter avant tout calcul que le triangle ABC est un « demi-carré » dont [AC] est une diagonale. Alors cette diagonale est aussi la bissectrice d'un angle de 90° !

Les droites (EA) et (DB) sont sécantes en C alors les angles ̂BCA et ̂DCE sont opposés par le sommet C. Ainsi les deux angles sont de même mesure : ̂BCA=̂DCE = 45°

Autre solution : le triangle est rectangle isocèle donc les angles à la base sont de même mesure. Ils sont aussi complémentaires donc leur somme est égale à 90°.

Ainsi : ̂BCA=̂BAC et ̂BCA+̂BAC=90 donc ̂BCA×2=90 alors ̂_BCA=90 2 =45

5) Calculer la valeur approchée au mm de la longueur DE.

Le triangle DEC est rectangle en E. On va utiliser le sinus de l'angle en E.

sinus(̂DCE)=DE

DC alors sinus(45°)= DE

6 d'où sinus(45°)×6=DE

conséquence : DE≈4,2 mn

6) Où se trouve le centre du cercle circonscrit au triangle DCE ? Tracer ce cercle.

Le triangle DCE est rectangle en E donc le centre du cercle circonscrit au triangle est le milieu de l'hypoténuse c'est à dire [DC].

N°6/ Sur la figure ci-contre qui n'est pas à l'échelle : • (AB) // (CD) ;

• les points A, O, C, E alignés ; • les points B, D, O, F alignés ;

(On ne demande pas de faire le dessin) De plus, on donne les longueurs suivantes :

CO = 6 cm AO = 7 cm OB = 9,8 cm

CD = 3,6 cm OF = 5,6cm OE = 4 cm

1) Calculer (en justifiant) les longueurs AB, OD et DF.

Les triplets B, D, O et A, C, O sont alignés dans le même ordre. (AB) // (CD)

Nous sommes dans la configuration du théorème de Thalès, on peut écrire :

OD OB= OC OA= DC AB OD 9,8= 6 7= 3,6 AB On a donc : OD 9,8= 6 7 et 6 7= 3,6 AB alors : OD=9,8×6 7 et AB= 3,6×7 6 alors : OD = 8,4 cm et AB = 4,2 cm

Les points D, O et F sont alignés avec O∈[DF] donc DO + OF = DF conséquence : 8,4 + 5,6 = DF c'est à dire DF = 14 cm

2) Prouver que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.

Les triplets B, O, F et A, O, E sont alignés dans le même ordre.

OA OE= 7 4 et OB OF= 9,8 5,6= 98 56= 14×7 14×4= 7 4 donc on a : OA OE= OB OF

Nous avons les conditions de la réciproque de la propriété de Thalès : (AB) // (EF)

Problème

Dans une entreprise de fabrication de meubles 3 employés sont payés différemment :

● Hichem reçoit un salaire fixe de 1000 euros par mois et 20 euros par meuble fabriqué ; ● Cédric est payé 60 euros par meuble fabriqué ;

● Amandine touche un salaire fixe de 1500 euros quelque soit le nombre de meubles fabriqués ; 1. Dans cette question x représente le nombre de meubles de rangement fabriqués en un mois par

B F A C D E O

Hichem, Cédric et Amandine qui touchent alors respectivement des salaires désignés par h(x), c(x) et a(x).

Compléter le tableau suivant :

x 10 20 30

h(x) _{1 200 =1 000 + 1020 1 400=1 000 + 2020 1 600=1 000 + 3020} c(x) 600 = 10  60 1 200 = 20  60 1 800 = 30  60

a(x) 1 500 1 500 1 500

2. Exprimer en fonction de x les salaires respectifs d'Hichem et de Cédric ainsi que celui d'amandine

h(x) = 1 000 + x20 c(x) = x60 a(x) = 1 500

3. Le plan est muni d'un repère orthogonal (O ; I ; J). On prendra les unités suivantes : ● sur l'axe des abscisses 2 cm représente 5 meubles.

● sur l'axe des ordonnées 1 cm représente 100 euros.

Tracer les graphiques des fonctions h, c et a sur la feuille jointe au sujet.

4. Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique et en rédigeant votre réponse (laisser des traces graphiques) :

a) Combien de meubles Hichem doit-il réaliser pour gagner 1500 euros ?

Il doit réaliser 25 meubles.

b) Quel est le salaire de Cédric pour 15 meubles fabriqués ?

On donne un nombre de meubles, on doit déterminer son image par la fonction c.

Le salaire est de 900 euros.

c) Combien de meubles Amandine, Cédric et Hichem doivent-ils fabriquer pour avoir le même salaire ? Quel est alors leur salaire ? comment le repère-t-on sur le graphique ?

Qu'importe pour Amandine, elle aura toujours 1 500 euros.

Pour avoir ce salaire, Cédric devra fabriquer 25 meubles. Pour avoir ce salaire, Hichem devra fabriquer 25 meubles.

Sur le graphique, c'est le point d'intersection des droites représentatives des fonctions c et h avec la droite représentative de la fonction a.

5. Répondre aux questions suivantes par le calcul :

a) Combien de meubles Hichem doit-il réaliser pour gagner 1600 euros ?

L'inconnue est x le nombre de meubles et on a pour Hichem h(x) son salaire correspondant. On veut que son salaire soit de 1 600 euros donc : h(x) = 1 600

Ainsi : 1 600 = 1 000 + x20 Donc : 1 600 – 1 000 = x20 Alors : 600 = x20

Ainsi : 600

20 =x c'est à dire x = 30

Alors Hichem doit réaliser 30 meubles pour avoir un salaire de 1 600 euros. b) Combien de meubles Cédric doit-il réaliser pour gagner 1800 euros ?

L'inconnue est x le nombre de meubles et on a pour Cédric c(x) son salaire correspondant. On veut que son salaire soit de 1 800 euros donc : c(x) = 1 800

Ainsi : 1 800 = x60

Ainsi : 1 800₆₀ =x c'est à dire x = 30