L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Correction du concours blanc
Exercice 1 : Qualit´ e d’un alcootest
Un laboratoire fabrique un alcootest et les essais montrent que :
• 2% des personnes contrˆol´ees sont en ´etat d’´ebri´et´e ;
• 95 fois sur 100 l’alcootest a donn´e un r´esultat positif alors que la personne ´etait en ´etat d’´ebri´et´e ;
• 95 fois sur 100 l’alcootest a donn´e un r´esultat n´egatif alors que la personne n’´etait pas en ´etat d’´ebri´et´e.
1. On essaie l’appareil sur une personne et on constate que le r´esultat est positif. Quelle est la probabilit´e que cette personne soit en ´etat d’´ebri´et´e ?
2. On essaie l’appareil sur une personne et on constate que le r´esultat est n´egatif. Quelle est la probabilit´e que cette personne soit en fait en ´etat d’´ebri´et´e ?
3. D´eterminer la probabilit´e que le r´esultat donn´e par l’appareil soit faux ? Correction :On introduit les deux ´ev´enements suivants :
E ≪la personne est en ´etat d’´ebri´et´e≫ T+ ≪le test est positif≫
et on ´ecrit les informations contenues dans l’´enonc´e au moyen de ceux-ci :
P(E) = 2 100= 1
50 (1)
P(T+/E) = 95 100= 19
20 (2)
P(T+/E) = 95 100= 19
20. (3)
1. On nous demande de calculer la probabilit´eP(E/T+). D’apr`es la formule de Bayes, on a : P(E/T+) = P(T+/E)P(E)
P(T+) . (4)
D’apr`es la formule des probabilit´es totales, relativement au syst`eme complet d’´ev´enements (E, E), on a : P(T+) =P(T+/E)P(E) +P(T+/E)P(E). (5) D’apr`es la formule liant la probabilit´e d’un ´ev´enement `a celle de son ´ev´enement contraire, et avec (1) et (3), on a :
P(E) = 1−P(E) = 49
50 (6)
et
P(T+/E) = 1−P(T+/E) = 1
20. (7)
De (5), (2), (1), (7), (6) on d´eduit alors : P(T+) =19
20× 1 50+ 1
20×49
50= 19×1
20×50+ 1×49
20×50 = 19 + 49 1000 = 68
1000 = 17
250. (8)
D’apr`es (4), (2), (1), (8), on a alors : P(E/T+) =
19 20×501
17 250
=
19 1000
17 250
= 19
1000×250 17 = 19
68.
2. On nous demande de calculer la probabilit´eP(E/T+). D’apr`es la formule de Bayes, on a : P(E/T+) = P(T+/E)P(E)
P(T+) . (9)
D’apr`es la formule liant la probabilit´e d’un ´ev´enement `a celle de son ´ev´enement contraire, (8) et (2), on a :
P(T+) = 1−P(T+) = 233
250 (10)
et
P(T+/E) = 1−P(T+/E) = 1
20. (11)
De (9), (11), (1), (10), on d´eduit alors que : P(E/T+) =
1 20×501
233 250
=
1 1000
233 250
= 1
1000×250 233 = 1
932.
3. Le r´esultat est faux si et seulement si l’´etat de la personne ne correspond pas au r´esultat du test. Il y a donc deux cas :
la personne est en ´etat d’´ebri´et´e et le test est n´egatif ou
la personne n’est pas en ´etat d’´ebri´et´e et le test est positif.
On a donc l’´egalit´e d’´ev´enements :
≪le r´esultat donn´e par l’appareil est faux≫= (E∩T+) ∪ (E∩T+).
Comme les ´ev´enementsE∩T+ etE∩T+sont incompatibles (disjoints), on a :
P(≪le r´esultat donn´e par l’appareil est faux≫) =P(E∩T+) +P(E∩T+). (12) D’apr`es la d´efinition d’une probabilit´e conditionnelle, (11) et (1), on a :
P(E∩T+) =P(T+/E)×P(E) = 1 20× 1
50 = 1
1000. (13)
D’apr`es la d´efinition d’une probabilit´e conditionnelle, (7) et (6) on a : P(E∩T+) =P(T+/E)×P(E) = 1
20×49 50 = 49
1000. (14)
Grˆace `a (12), (13) et (14), il vient :
P(≪le r´esultat donn´e par l’appareil est faux≫) = 1
1000+ 49 1000 = 1
20. L’appareil donne donc 5% de r´esultats faux.
Exercice 2 : Une preuve probabiliste de X
nk=0
( C
nk)
2= C
2nn, pour n ∈ N
∗Soitn∈N∗. Une assembl´ee se compose de 2n personnes :n hommes etn femmes. On choisitnpersonnes au hasard.
Pour toutk∈ {0,1, . . . , n}, on noteAk l’´ev´enement d´efini par :
Ak : ≪il y a (exactement)kfemmes parmis cesnpersonnes≫. 1. Soitk∈ {0,1, . . . , n}.
(a) De combien de fa¸cons peut-on choisir leskfemmes ? (b) Combien reste-t-il d’hommes `a choisir ?
(c) En d´eduire la probabilit´eP(Ak).
2. Donner la valeur de la somme Xn k=0
P(Ak).
3. D´emontrer que pour toutk∈ {0,1, . . . , n}, on a l’´egalit´e :Cnn−k=Cnk. 4. D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’identit´e :
Xn k=0
(Cnk)2=C2nn . Correction
1. Soitk∈ {0,1, . . . , n}.
(a) Un choix de k femmes parmi n est une combinaison dek parmi n (tirage sans remise dans lequel l’ordre ne compte pas). On a donc Cnk choix possibles.
(b) Une foisk femmes choisies, il faut encore choisir (n−k) hommes pour avoirnpersonnes au total.
(c) L’espace de probabilit´es sous-jacent `a l’exp´erience est (Ω, P), o`u Ω est l’ensemble de tous les choix de npersonnes parmi les 2npersonnes de l’assembl´ee etP est la probabilit´e uniforme. C’est l’expression
≪au hasard≫ dans l’´enonc´e qui nous indique qu’on est en situation d’´equiprobabilit´e.
On a donc :
P(Ak) = ≪nombre de cas favorables≫
≪nombre de cas possibles≫ .
Le nombre de cas possibles est Card(Ω). C’est le nombre de fa¸cons de choisirnpersonnes parmi 2n ou bien encore le nombre de combinaisons den parmi 2n(tirage sans remise dans lequel l’ordre ne compte pas), i.e.C2nn .
Le nombre de cas favorables est le nombre de fa¸cons de choisirkfemmes parmi lesnfemmes et (n−k) hommes parmi lesnhommes, ces choix ´etant ind´ependants. On a doncCnk×Cnn−k cas favorables.
Ainsi a-t-on :P(Ak) = Cnk×Cnn−k C2nn .
2. Dans un choix de npersonnes dans l’assembl´ee, il y ak femmes pour un certaink∈ {0,1, . . . , n}. On a donc :
[n k=0
Ak
| {z }
A0∪A1∪A2∪...∪An
= Ω. (15)
et par suite :
P [n k=0
Ak
!
=P(Ω) = 1. (16)
De plus :
les ´ev´enementsA0, A1, A2, . . . , An sont deux `a deux disjoints. (17) En effet dans un choix denpersonnes de l’assembl´ee, on ne peut pas avoir en mˆeme tempsk femmes etl femmes, sik, l∈ {0,1, . . . , n} sont diff´erents. On a donc :
P [n k=0
Ak
!
=
Xn k=0
P(Ak)
| {z }
P(A0)+P(A1)+P(A2)+...+P(An)
. (18)
De (16) et (18), on d´eduit :
Xn k=0
P(Ak) = 1. (19)
Remarque : De (15) et (16), on d´eduit que(A0, A1, A2, . . . , An)est un syst`eme complet d’´ev´enements. On peut directement ´ecrire (19), apr`es avoir remarqu´e ce fait.
3. Soitk∈ {0,1, . . . , n}. Par d´efinition mˆeme, on a : Cnk= n!
k! (n−k)!
et donc :
Cnn−k = n!
(n−k)! (n−(n−k))! = n!
(n−k)!k!
d’o`u l’´egalit´e demand´ee.
4. De 1.(c) et 3., on d´eduit que :
∀k∈ {0,1, . . . , n} P(Ak) =(Cnk)2 C2nn . On a donc, d’apr`es 2. :
Xn k=0
(Cnk)2 C2nn = 1 soit :
Xn k=0
1
C2nn (Cnk)2= 1. (20)
Comme 1
C2nn ne d´epend pas dek, on a : Xn k=0
1
C2nn (Cnk)2= 1 C2nn
Xn k=0
(Cnk)2. (21)
De (20) et (21), on d´eduit :
1 C2nn
Xn k=0
(Cnk)2= 1.
En multipliant chacun des deux membres de la pr´ec´edente ´egalit´e par C2nn on obtient finalement : Xn
k=0
(Cnk)2=C2nn .
Exercice 3 : Inversibilit´ e d’une matrice et inverse d’une matrice inversible
Pour toutλ∈R, on d´efinit la matriceAλ∈ M3(R) par : Aλ=
1−λ 1 1
0 1−λ 0
1 0 −1−λ
.
1. D´eterminer les valeurs deλpour lesquelles la matriceAλ n’est pasinversible.
2. En d´eduire que la matrice A0=
1 1 1
0 1 0
1 0 −1
est inversible. CalculerA−1. Correction
1. Pour ´etudier l’inversibilit´e (ou la non inversibilit´e) de Aλ, on introduit le syst`eme lin´eaire `a param`etres suivant :
(S) : Aλ
x1
x2
x3
=
y1
y2
y3
de vecteur d’inconnues
x1
x2
x3
∈R3, o`u
y1
y2
y3
est le vecteur des param`etres. Le syst`eme (S) se r´e´ecrit :
(S) :
(1−λ)x1 + x2 + x3 = y1
(1−λ)x2 = y2
x1 + (−1−λ)x3 = y3
On sait que la matriceAλ est inversible si et seulement si le syst`eme (S) (`a 3 ´equations et `a 3 inconnues) est de Cramer, quels que soienty1, y2, y3. Or ˆetre de Cramer ou non pour un syst`eme lin´eaire ne concerne que le premier membre. On peut donc supposer que y1 =y2 =y3 = 0, i.e. que (S) est homog`ene1. On introduit alors le syst`eme
(Sh) :
(1−λ)x1 + x2 + x3 = 0
(1−λ)x2 = 0
x1 + (−1−λ)x3 = 0
et on calcule son rang. Pour cela, on l’´echelonne `a l’aide de la m´ethode du pivot de Gauß. Remarquons que comme 1−λpeut ˆetre nul (pourλ= 1),on ne peut pas choisir 1−λcomme pivot.
(Sh) ⇐⇒
x1 + (−1−λ)x3 = 0
(1−λ)x2 = 0
(1−λ)x1 + x2 + x3 = 0
(L1↔L3)
⇐⇒
x1 + (−1−λ)x3 = 0
(1−λ)x2 = 0
x2 + (1−(1−λ)(−1−λ))
| {z }
2−λ2
x3 = 0
(L3←L3−(1−λ)L1)
⇐⇒
x1 + (−1−λ)x3 = 0 x2 + (2−λ2)x3 = 0
(1−λ)x2 = 0
(L2↔L3)
⇐⇒
x1 + (−1−λ)x3 = 0
x2 + (2−λ2)x3 = 0
−(2−λ2)(1−λ)x3 = 0
(L3←L3−(1−λ)L2)
Comme
−(2−λ2)(1−λ) = 0⇐⇒
λ=√ 2 ou
λ=−√ 2 ou
λ= 1 on d´eduit que le rang de (Sh) est 2 siλ∈ {−√
2,√
2,1} et 3 sinon. En cons´equence, la matriceAλ n’est pas inversible si et seulement siλ∈ {−√
2,√ 2,1}. 2. Comme 0 ∈ {−/ √
2,√
2,1}, on sait que la matriceA0 est inversible. Pour calculer A−10 , on introduit le syst`eme lin´eaire `a param`etres suivant :
(S) : A0
x1
x2
x3
=
y1
y2
y3
de vecteur d’inconnues
x1
x2
x3
∈R3, o`u
y1
y2
y3
est le vecteur des param`etres.
1. Cette remarque va permettre d’all´eger les calculs dans la phase d’´echelonnement. Les op´erations ´el´ementaires ne modifieront pas le second membre, qui sera toujours nul. Si l’on avait gard´ey1, y2, y3 quelconques, on aurait modifi´e le second membre en effectuant les op´erations ´el´ementaires. En passant, un petit rappel : les op´erations ´el´ementaires s’appliquent aussi au second membre.
• Etape 1 : on ´echelonne le syst`eme´ (S) On a :
(S) ⇐⇒
x1 + x2 + x3 = y1
x2 = y2
x1 − x3 = y3
⇐⇒
x1 + x2 + x3 = y1
x2 = y2
− x2 − 2x3 = y3−y1
(L3←L3−L1)
⇐⇒
x1 + x2 + x3 = y1
x2 = y2
− 2x3 = y3−y1+y2
(L3←L3+L2)
• Etape 2 : on exprime les inconnues´ x1,x2 etx3 en fonction des param`etresy1,y2 ety3
De la ligne L3 du dernier syst`eme, on d´eduit que : x3=1
2y1−1 2y2−1
2y3 (22)
De la ligne L2 du dernier syst`eme, on d´eduit que :
x2=y2. (23)
De la ligne L1 du dernier syst`eme, de (22) et de (23), on d´eduit que : x1+y2+1
2y1−1 2y2−1
2y3=y1. On a donc :
x1=1 2y1−1
2y2+1
2y3. (24)
• Etape 3 : on pr´esente les r´esultats obtenus `´ a l’´etape 2 sous forme d’un tableau et on donne A−01 On rassemble les r´esultats (22), (23) et (24) :
x1 = 1
2y1 − 1
2y2 + 1 2y3
x2 = y2
x3 = 1
2y1 − 1
2y2 − 1 2y3
On a donc
A−10 =
1 2 −1
2 1 2
0 1 0
1 2 −1
2 −1 2
.
• Etape 4 : on v´erifie que le produit´ A0A−01 donne la matrice identit´e
A−10
z }| {
1 2 −1
2 1 2
0 1 0
1 2 −1
2 −1 2
1 1 1
0 1 0
1 0 −1
| {z }
A0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
| {z }
A0A−10 =I3
Exercice 4 : R´ esolution de l’´ equation 2
−x= x sur R
1. Justifier que ln(2)>0.
2. Soitf la fonction d´efinie par :
f:R→R; x7→2−x=e−xln(2). (a) Calculerf(0) etf(1).
(b) Justifier que la fonctionf est continue surR.
(c) ´Etudier les limites ´eventuelles de f en−∞et en +∞.
(d) Montrer que pour toutx, y∈Rtels quex < y, on af(x)> f(y). Que peut-on en d´eduire pourf? 3. Soitg la fonction d´efinie par :
g:R→R; x7→2−x−x.
(a) Justifier que la fonctiong est continue surR. (b) D´eterminer les variations de la fonctiong surR.
(c) ´Etudier les limites ´eventuelles de gen−∞et en +∞.
(d) D´emontrer que l’´equation 2−x =x poss`ede une unique solution surR. On notera α cette solution dans la suite.
4. Soit R un rep`ere du plan, soit Cf la courbe repr´esentative de f dans R et soit ∆ la droite d’´equation y=xdansR. Quelle est la position relative deCf par rapport `a ∆ ?
5. Soitaun nombre r´eel fix´e. Pour toutx∈R\ {a}, on pose : τa(x) = f(x)−f(a)
x−a . (a) Soitx∈R\ {a}. Interpr´eter g´eom´etriquement le nombreτa(x).
(b) ´Etudier la limite ´eventuelle de τa(x) quandxtend versa.
Correction
1. On a 1<2. Comme la fonction ln est strictement croissante sur ]0,+∞[, on en d´eduit : 0 = ln(1)<ln(2).
2. (a) f(0) =e−0×ln(2)=e0= 1 etf(1) =e−1×ln(2)=eln(2−1)= 2−1= 1 2.
(b) On af = exp◦u, o`u exp d´esigne la fonction exponentielle et o`u la fonction uest d´efinie par : u:R→R; x7→ −ln(2)x.
La fonctionuest affine donc continue surR. D’autre part, d’apr`es le cours, la fonction exp est conti- nue surR. La fonctionf est donc continue surR, comme compos´ee de fonctions continues.
(c) • Etude de la limite de´ f en−∞
Xlim→+∞eX= +∞ (limite usuelle)
x→−∞lim −ln(2)x= +∞ (ln(2)>0)
composition
=⇒
de limites lim
x→−∞e−ln(2)x= +∞.
• Etude de la limite de´ f en +∞
X→−∞lim eX= 0 (limite usuelle)
x→lim+∞−ln(2)x=−∞ (ln(2)>0)
composition
=⇒
de limites lim
x→+∞e−ln(2)x= 0.
(d) Soientx, y∈Rtels quex < y. Notons que comme ln(2)>0, on a :−ln(2)<0.
x < y =⇒ −ln(2)x >−ln(2)y (multiplication par −ln(2)<0 de chacun des membres)
=⇒ e−ln(2)x
| {z }
f(x)
> e−ln(2)y
| {z }
f(y)
(exp est strictement croissante surR)
On d´eduit de cette ´etude que la fonctionf est strictement d´ecroissante surR. 3. (a) On a g=f +v, o`uv est la fonction d´efinie par :
v:R→R, x7→ −x.
La fonctionf est continue surR(cf. 2.(b)). D’autre part, la fonctionv est affine donc continue sur R. La fonctiongest donc continue surR, comme somme de deux fonctions continues surR.
(b) La fonction f est strictement d´ecroissante sur R(cf. 2.(d)). La fonctionv est elle aussi strictement d´ecroissante surR(cf. cours sur les fonctions affines). La fonctiongest donc strictement d´ecroissante surR, comme somme de deux fonctions strictement d´ecroissantes surR.
(c) • Etude de la limite de´ g en−∞
On a :
x→−∞lim −x= +∞ et lim
x→−∞f(x) = +∞ (cf. 2.(c)).
On en d´eduit que :
x→−∞lim g(x) = +∞ (op´erations sur les limites).
• Etude de la limite de´ g en +∞ On a :
x→+∞lim −x=−∞ et lim
x→+∞f(x) = 0 (cf. 2.(c)).
On en d´eduit que :
x→lim+∞g(x) =−∞ (op´erations sur les limites).
(d) On a les ´equivalences suivantes :
2−x=x ⇐⇒ 2−x−x= 0
⇐⇒ g(x) = 0.
Les ´equations 2−x = x et g(x) = 0 poss`edent donc le mˆeme ensemble solution. Ainsi l’´equation 2−x=xposs`ede une unique solution surRsi et seulement si l’´equationg(x) = 0 poss`ede une unique solution surR.
La fonctiong est continue et strictement d´ecroissante surR. D’apr`es le th´eor`eme de la bijection, la fonctiong r´ealise une bijection deR=]− ∞,+∞[ sur
g(R) =
x→+∞lim g(x), lim
x→−∞g(x)
=]− ∞,+∞[.
Par cons´equent, pour toutλ∈g(R) =R, l’´equationg(x) =λposs`ede une unique solution surR. En particulier, pourλ= 0, on a : l’´equationg(x) = 0 admet une unique solution surR.
4. Soitα∈Rl’unique solution de l’´equationg(x) = 0.
Pour ´etudier la la position relative de la courbe Cf et de la droite ∆ d’´equationy=xdans le rep`ereR, on ´etudie le signe de
f(x)−x
| {z }
g(x)
pour toutx∈R.
La fonction g est strictement d´ecroissante surRet s’annule une unique fois, en x=α. On en d´eduit le tableau de signes suivant.
x −∞ α +∞
Signe deg(x) + 0 −
De ce tableau de signes, on d´eduit :
• la courbeCf est au-dessus de la droite ∆ au-dessus de ]− ∞, α[ ;
• la courbe Cf et la droite ∆ se coupent au point d’abscisseα;
• la courbe Cf est en-dessous de la droite ∆ au-dessus de ]α,+∞[.
On peut v´erifier ces r´esultats graphiquement.
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
Cf
∆
b
α
5. Soitaun nombre r´eel fix´e.
(a) Pour toutx∈R, on noteMx le point d’abscissexde la courbeCf.
Soitx∈R\ {a}. Les coordonn´ees du pointMa sont (a, f(a)). Celles du pointMxsont (x, f(x)).
Le nombre τa(x) = f(x)−f(a)
x−a est donc le coefficient directeur de la droite (MaMx). Cette droite est aussi appel´ee corde de la courbeCf joignant les points d’abscissesaet x.
(b) Soitx∈R\ {a}. Pour ´etudier la limite deτa(x) quandxtend versa, on posex=a+het on ´etudie la limite deτa(a+h) quandhtend vers 0. Soith∈R∗. Alorsa+h6=aet on a :
τa(a+h) = f(a+h)−f(a) a+h−a
= e−(a+h) ln(2)−e−aln(2) h
= e−aln(2)−hln(2)−e−aln(2) h
= e−aln(2)×e−hln(2)−e−aln(2)
h (∀A, B∈R eA+B=eA×eB)
= e−aln(2)× e−hln(2)−1 h
On a donc :
τa(a+h) =e−aln(2)×e−hln(2)−1
h =e−aln(2)
| {z }
f(a)
×(−ln(2))×e−hln(2)−1
−hln(2) (25)
De plus on a :
Xlim→0
eX−1
X = 1 (limite usuelle)
hlim→0−ln(2)h= 0
composition
=⇒
de limites lim
h→0
e−hln(2)−1
−hln(2) = 1.
De ce calcul de limite et de (25), on d´eduit que :
hlim→0τa(a+h) =−ln(2)f(a) et par suite que :
xlim→aτa(x) =−ln(2)f(a).
Remarque : Ce calcul montre que la fonction f est d´erivable sur R et que pour tout a∈ R, on a : f′(a) = −ln(2)f(a). Ceci est en accord avec le cours de calcul diff´erentiel (cf. ≪formule (eu)′ = u′×eu≫.)
Probl` eme : Matrices et suites r´ ecurrentes lin´ eaires d’ordre 2
1. Soient AetJ les matrices carr´ees d’ordre 2 d´efinies par : A=
1 3 3 1
; J =
1 1 1 1
. (a) D´eterminer deux r´eelsaet btels que :A=aJ+bI2.
(b) CalculerJ2 en fonction deJ.
(c) Montrer queAet J commutent et exprimerAJ en fonction deJ.
(d) `A l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, ´etablir pour toutn∈N∗, la relation suivante : An= (−2)nI2+1
2(4n−(−2)n)J.
(e) Donner l’expression explicite deAn sous forme d’une matrice d’ordre 2, pour toutn∈N∗.
2. On note (vn)n∈N et (wn)n∈Nles deux suites d´efinies parv0= 3,w0= 1 et les relations suivantes, valables pour tout entiern∈N:
vn+1 = vn + 3wn
wn+1 = 3vn + wn . On consid`ere pour tout n∈N, le vecteur colonneXn d´efini par :Xn =
vn
wn
. (a) D´eterminerX0.
(b) Soitn∈N. Reconnaˆıtre le produitAXn.
(c) ´Etablir par r´ecurrence que pour tout n∈N, on a :Xn=AnX0. (d) Calculer les valeurs devn et dewn en fonction den, pour toutn∈N.
3. On consid`ere la suite (un)n∈N d´efinie paru0= 3 et la relation suivante, valable pour toutn∈N: un+1= un+ 3
3un+ 1.
(a) `A l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, ´etablir pour toutn∈N∗, l’´egalit´e suivante :un= vn
wn
. (b) Donner une expression deun en fonction de n, pour toutn∈N.
(c) ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N. Correction
1. (a) Soita, b∈R.
A=aJ+bI2 ⇐⇒
1 3 3 1
=a
1 1 1 1
+b
1 0 0 1
⇐⇒
1 3 3 1
=
a+b a a a+b
(cf. d´efinition des op´erations sur les matrices)
⇐⇒
a+b= 1
a= 3 (deux matrices sont ´egales ssi elles ont mˆemes coefficients)
⇐⇒ a= 3 etb=−2 On a donc :
A= 3J−2I2. (b) On a :
J
z }| { 1 1
1 1
1 1 1 1
| {z }
J
2 2 2 2
.
| {z }
J2
On en d´eduit queJ2= 2J. (c) On a :
J
z }| { 1 1
1 1
1 3 3 1
| {z }
A
4 4 4 4
| {z }
AJ
et
A
z }| { 1 3
3 1
1 1 1 1
| {z }
J
4 4 4 4
.
| {z }
JA
On a doncAJ =JA, i.e. les matricesAetJ commutent. En outre,AJ = 4J.
(d) Pour toutn∈N∗, on d´efinit la propri´et´ePn par : Pn : An= (−2)nI2+1
2(4n−(−2)n)J.
• Initialisation `an= 1
Commex1=xpour toutx∈R, la propri´et´eP1 s’´ecrit : A=−2I2+ 3J.
D’apr`es la question 1.(a), la propri´et´eP1 est vraie.
• H´er´edit´e
Supposons la propri´et´ePn vraie pour un entiern∈N∗ fix´e, i.e. :
An= (−2)nI2+1
2(4n−(−2)n)J. (26)
Montrons alors la propri´et´ePn+1, i.e. :
An+1= (−2)n+1I2+1
2(4n+1−(−2)n+1)J.
An+1 = A An
= A
(−2)nI2+1
2(4n−(−2)n)J
(d’apr`es (26))
= (−2)n A I2
|{z}
A=3J−2I2
+1
2(4n−(−2)n) AJ
|{z}
4J
(cf. 1.(a) et 1.(c))
= 3(−2)nJ+ (−2)n+1I2+ 2(4n−(−2)n)J
= (−2)n+1I2+ (3(−2)n+ 2(4n−(−2)n))
| {z }
3(−2)n+2×4n−2(−2)n
J
= (−2)n+1I2+ (2×4n+ (−2)n)J Pour achever la preuve de l’h´er´edit´e, il reste `a montrer que :
2×4n+ (−2)n =1
2(4n+1−(−2)n+1).
On le v´erifie ci-dessous : 1
2(4n+1−(−2)n+1) = 1
2(4×4n−(−2)×(−2)n) = 1
2(4×4n+ 2×(−2)n) = 2×4n+ (−2)n.
• Conclusion
De l’initialisation `an= 1, de l’h´er´edit´e et de l’axiome de r´ecurrence, on d´eduit que : An= (−2)nI2+1
2(4n−(−2)n)J pour toutn∈N∗.
Remarque : La formule pr´ec´edente vaut aussi pour n= 0. En effet, commex0= 1pour toutx∈R∗, en repla¸cant npar0 dans la formule ci-dessus, on obtientA0=I2.
(e) Soitn∈N. D’apr`es la question pr´ec´edente, on a : An = (−2)nI2+1
2(4n−(−2)n)J
= (−2)n 1 0
0 1
+1
2(4n−(−2)n) 1 1
1 1
=
(−2)n+1
2(4n−(−2)n) 1
2(4n−(−2)n) 1
2(4n−(−2)n) (−2)n+1
2(4n−(−2)n)
=
1
2(4n+ (−2)n) 1
2(4n−(−2)n) 1
2(4n−(−2)n) 1
2(4n+ (−2)n)
.
2. (a) On a X0= v0
w0
= 3
1
. (b) Soitn∈N.
Xn
z }| { vn
wn
1 3 3 1
| {z }
A
vn+ 3wn
3vn+wn
.
| {z }
AXn
Or, par d´efinition,vn+1=vn+ 3wn et wn+1= 3vn+wn. On a donc : AXn=
vn+1
wn+1
=Xn+1. (27)
(c) Pour toutn∈N, on d´efinit la propri´et´ePn par :
Pn : Xn=AnX0.
• Initialisation `an= 0 La propri´et´eP0 s’´ecrit :
X0= A0
|{z}
I2
X0.
La propri´et´eP0 est vraie.
• H´er´edit´e
Supposons la propri´et´ePn vraie pour un entiern∈Nfix´e, i.e. :
Xn=AnX0. (28)
Montrons alors la propri´et´ePn+1, i.e. :
Xn+1=An+1X0. Xn+1 = AXn (cf. (27))
= AAnX0 (cf. (28))
= An+1X0.
• Conclusion
De l’initialisation `an= 0, de l’h´er´edit´e et de l’axiome de r´ecurrence, on d´eduit que : Xn=AnX0
pour toutn∈N.
(d) Soitn∈N. D’apr`es la question pr´ec´edente, on a :
Xn=AnX0. (29)
Comme
Xn= vn
wn
An=
1
2(4n+ (−2)n) 1
2(4n−(−2)n) 1
2(4n−(−2)n) 1
2(4n+ (−2)n)
(cf. 1.(e))
X0= 3
1
(cf. 2.(a))
on d´eduit de (29) que : vn
wn
=
1
2(4n+ (−2)n) 1
2(4n−(−2)n) 1
2(4n−(−2)n) 1
2(4n+ (−2)n)
3
1
.
En calculant le produit matriciel du membre de droite de l’´egalit´e pr´ec´edente, il vient : vn
wn
=
3
2(4n+ (−2)n) +1
2(4n−(−2)n) 3
2(4n−(−2)n) +1
2(4n+ (−2)n)
=
2×4n+ (−2)n 2×4n−(−2)n
.
Comme deux vecteurs sont ´egaux si et seulement si ils sont ´egaux composante par composante, on a :
vn= 2×4n+ (−2)n et wn= 2×4n−(−2)n.
3. (a) Pour toutn∈N∗, on d´efinit la propri´et´ePn par : Pn : un= vn
wn
.
• Initialisation `an= 1 La propri´et´eP1 s’´ecrit :
u1= v1
w1
.
On calcule :
u1= u0+ 3
3u0+ 1 = 3 + 3 3×3 + 1 = 3
5 (cf. d´efinition de la suite (un)n∈N∗) v1= 2×41+ (−2)1= 6 (cf. 2.(d))
w1= 2×41−(−2)1= 10 (cf. 2.(d)) La propri´et´eP1 donc est vraie.
• H´er´edit´e
Supposons la propri´et´ePn vraie pour un entiern∈N∗ fix´e, i.e. : un= vn
wn
. (30)
Montrons alors la propri´et´ePn+1, i.e. :
un+1= vn+1
wn+1
. Par d´efinition mˆeme des suites (vn)n∈Net (wn)n∈N, on a :
vn+1=vn+ 3wn et wn+1 = 3vn+wn
et donc :
vn+1
wn+1
= vn+ 3wn
3vn+wn
. (31)
D’autre part :
un+1 = un+ 3
3un+ 1 (cf. d´efinition de la suite (un)n∈N∗)
= vn
wn
+ 3 3vn
wn
+ 1 (cf. 30)
=
vn+ 3wn
wn
3vn+wn
wn
= vn+ 3wn
3vn+wn
.
D’o`u :
un+1= vn+ 3wn
3vn+wn
. (32)
De (31) et (32), on d´eduit que :un+1= vn+1
wn+1
.
• Conclusion
De l’initialisation `an= 1, de l’h´er´edit´e et de l’axiome de r´ecurrence, on d´eduit que : un= vn
wn
pour toutn∈N∗.
Remarque : Comme u0= 3,v0= 3 etw0= 1, la formule pr´ec´edente vaut encore pourn= 0.
(b) Soitn∈N. De 2.(d) et 3.(a), on d´eduit que :
un= 2×4n+ (−2)n 2×4n−(−2)n.
(c) On observe que la suite (4n)n∈N est pr´epond´erante devant la suite ((−2)n)n∈N. En effet, pour tout n∈N:
(−2)n 4n =
−2 4
n
=
−1 2
n
et comme−1<−1
2 <1, on a :
−1 2
n
n→+∞→ 0 (cf. cours sur les suites g´eom´etriques) (33)
On a :
un = 2×4n+ (−2)n 2×4n−(−2)n
= 4n
2 +(−2)n 4n
4n
2−(−2)n 4n
= 2 +
−1 2
n
2−
−1 2
n.
De ce calcul et de (33), on d´eduit que :
un →
n→+∞1.
