Exercice 1 : Qualit´ e d’un alcootest

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Concours blanc

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice 1 : Qualit´ e d’un alcootest

Un laboratoire fabrique un alcootest et les essais montrent que :

• 2% des personnes contrˆol´ees sont en ´etat d’´ebri´et´e ;

• 95 fois sur 100 l’alcootest a donn´e un r´esultat positif alors que la personne ´etait en ´etat d’´ebri´et´e ;

• 95 fois sur 100 l’alcootest a donn´e un r´esultat n´egatif alors que la personne n’´etait pas en

´etat d’´ebri´et´e.

1. On essaie l’appareil sur une personne et on constate que le r´esultat est positif. Quelle est la probabilit´e que cette personne soit en ´etat d’´ebri´et´e ?

2. On essaie l’appareil sur une personne et on constate que le r´esultat est n´egatif. Quelle est la probabilit´e que cette personne soit en fait en ´etat d’´ebri´et´e ?

3. D´eterminer la probabilit´e que le r´esultat donn´e par l’appareil soit faux.

Pour r´epondre `a ces questions, on prendra soin de d´efinir des ´ev´enements pertinents et on citera chaque formule du cours que l’on appliquera. Les r´esultats seront donn´es sous forme de fractions irr´eductibles.

Exercice 2 : Une preuve probabiliste de

n

X

k=0

(C

)

= C

, pour n ∈ N

Soit n ∈N^∗. Une assembl´ee se compose de 2n personnes : n hommes et n femmes. On choisit n personnes au hasard dans cette assembl´ee.

Pour tout k∈ {0,1, . . . , n}, on note A_k l’´ev´enement d´efini par :

A_k : il y a (exactement) k femmes parmi ces n personnes. 1. Soitk ∈ {0,1, . . . , n}.

(a) De combien de fa¸cons peut-on choisir les k femmes ? 1

(b) Combien reste-t-il d’hommes `a choisir ? (c) En d´eduire la probabilit´e P(A_k).

2. Donner la valeur de la somme

n

X

k=0

P(A_k).

3. D´emontrer que pour tout k ∈ {0,1, . . . , n}, on a l’´egalit´e : C_n^n−k =C_n^k. 4. D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’identit´e :

n

X

k=0

(C_n^k)² =C_2nⁿ .

Exercice 3 : Inversibilit´ e d’une matrice et inverse d’une matrice in- versible

Pour tout λ∈R, on d´efinit la matrice A_λ ∈ M₃(R) par :

A_λ =





1−λ 1 1

0 1−λ 0

1 0 −1−λ



.

1. D´eterminer les valeurs de λ pour lesquelles la matrice A_λ n’est pas inversible.

2. En d´eduire que la matrice A₀ =





1 1 1

0 1 0

1 0 −1



 est inversible. Calculer A⁻¹₀ .

Exercice 4 : R´ esolution de l’´ equation 2

= x sur R

1. Justifier que ln(2)>0.

2. Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R; x7→2^−x=e^−xln(2). (a) Calculer f(0) et f(1).

(b) Justifier que la fonction f est continue sur R.

(c) ´Etudier les limites ´eventuelles de f en−∞ et en +∞.

(d) Montrer que pour tout x, y ∈ R tels que x < y, on a f(x) > f(y). Que peut-on en d´eduire pour f?

3. Soitg la fonction d´efinie par :

g: R→R; x7→2^−x−x.

(a) Justifier que la fonction g est continue sur R. (b) D´eterminer les variations de la fonction g surR.

(c) ´Etudier les limites ´eventuelles de g en−∞ et en +∞.

(d) D´emontrer que l’´equation 2^−x =x poss`ede une unique solution sur R. On notera α cette solution dans la suite.

2

4. SoitR un rep`ere du plan, soitC<sub>f</sub> la courbe repr´esentative def dansR et soit ∆ la droite d’´equationy=x dans R. Quelle est la position relative de C<sub>f</sub> par rapport `a ∆ ?

5. Soita un nombre r´eel fix´e. Pour tout x∈R\ {a}, on pose : τa(x) = f(x)−f(a)

x−a .

(a) Soit x∈R\ {a}. Interpr´eter g´eom´etriquement le nombre τ_a(x).

(b) ´Etudier la limite ´eventuelle de τ_a(x) quand x tend vers a.

Probl` eme : Matrices et suites r´ ecurrentes lin´ eaires d’ordre 2

1. SoientA et J les matrices carr´ees d’ordre 2 d´efinies par : A=

1 3 3 1

; J =

1 1 1 1

. (a) D´eterminer deux r´eels a etb tels que : A=aJ+bI₂. (b) Calculer J² en fonction de J.

(c) Montrer que A etJ commutent et exprimer AJ en fonction de J.

(d) `A l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, ´etablir pour tout n ∈ N^∗, la relation suivante :

Aⁿ = (−2)ⁿI2+ 1

2(4ⁿ−(−2)ⁿ)J.

(e) Donner l’expression explicite de Aⁿ sous forme d’une matrice d’ordre 2, pour tout n∈N^∗.

2. On note (vn)n∈N et (wn)n∈N les deux suites d´efinies par v0 = 3, w0 = 1 et les relations suivantes, valables pour tout entier n∈N :

v_n+1 = v_n + 3w_n w_n+1 = 3v_n + w_n .

On consid`ere pour tout n∈N, le vecteur colonne X_n d´efini par : X_n= v_n

wn

. (a) D´eterminer X₀.

(b) Soit n∈N. Reconnaˆıtre le produit AX_n.

(c) ´Etablir par r´ecurrence que pour tout n∈N, on a :Xn=AⁿX0. (d) Calculer les valeurs de v_n et de w_n en fonction de n, pour tout n∈N.

3. On consid`ere la suite (u_n)n∈N d´efinie paru₀ = 3 et la relation suivante, valable pour tout n∈N :

u_n+1 = u_n+ 3 3u_n+ 1.

(a) `A l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, ´etablir pour tout n ∈ N^∗, l’´egalit´e sui- vante :un = vn

w_n.

(b) Donner une expression de un en fonction de n, pour tout n∈N. (c) ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (u_n)n∈N.

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