Sébastien Verel
vereli3s.unie.fr
www.i3s.unie.fr/
∼
verelUniversitédeNieSophia-Antipolis
13 mars2008
Objetifs de la séane 7
savoir dénirmotet langage.
savoir dénirlangage rationnel
onnaitre les opérationsalgébriquessur leslangages
savoir érireuneexpression régulièresimple
savoir dénirle langagereonnu parun automateni
Question prinipaledujour :
Quellelangue parlez-vous?
Référenes
www-igm.univ-mlv.fr/~Eberstel/Elements/Elements.html
deptinfo.unie.fr/~julia/IT/
www.polyteh.unie.fr/~laudine
Plan
1
Motset langages
2
Langage rationnel
3
Automate déterministe
Quelques exemples de mots...
ulysse
toison
heureux
beau
estuy
voyage
Joahim DUBELLAY(1522-1560)
Quelques exemples de mots...
Ou enore :
0605547781
0492942724
0675389509
0492946666
Ou enore :
as1se
as2e
as3sel
Dénition de mot
Alphabet
Un alphabet
Σ
est unensemble dénombrable.Les élémentsde
Σ
sontappelés leslettres ou symbolesdel'alphabet.
Remarque :très souvent unalphabetseramême unensemble ni.
Dénition de mot
Mot
On appelle motsur
Σ
toute suitenie deΣ
:u
= (
a1,
a2, . . . ,
an)
où n
≥
0,et pour touti∈ [
1..
n]
,ai∈ Σ
.Lorsquen=
0,lemot estappelé le motvide, noté
ǫ
.Notation :
L'ensemble
{
a, . . . , ,
b}
desentiers omprisentre aet b seranoté[
a..
b]
.Exemples et notation
Nous noteronsles mots sansparenthèse, ni virgule.
Parexemple,pour
Σ = {
t,
a,
o,
i}
u
= (
t,
a,
t,
o)
seranotéu=
tato.u est bienunesuitenie où u
1
=
t,u2=
a , u3=
t etu4=
o.Quelques exemplessupplémentaires,
aota , toto,taitoi,ttaaittooti,ootitaota ,
ǫ
,....Notation et longueur
Ensemble desmots
L'ensemble desmotssur
Σ
est notéΣ ∗
.Longueur
La longueurdumotu
= (
a1,
a2, . . . ,
an)
est l'uniqueentier norrespondantau ardinaldudomainede la suiteu.
La longueurdumotest notée
|
u|
.Nombred'ourenes
Le nombred'ourenes d'unelettre
α ∈ Σ
dansunmotu surΣ
senote
|
u| α
.Appliations
Les mots interviennent dansbeauoups de domaines:
langages naturelles (linguistique)
langages artiiels(programmation)
ompressionde texte
protoolesd'éhange
biologie:génme
ryptographie
mahines automatiques
téléphone :numéros, textos,...
...
Produit de onaténation
Produit de onaténation
Soient u
= (
a1,
a2, . . . ,
an)
etv= (
b1,
b2, . . . ,
bp)
deux motssurΣ
.La onaténationde u etv est lemot:
w
= (
a1,
a2, . . . ,
an,
b1,
b2, . . . ,
bp)
La longueurduonaténé est lasommedes longueursde u etv.
On notele onaténé de u et v paruv.
Remarques:
Le produitde onaténationest assoiatif:
u
(
vw) = (
uv)
w=
uvwLe motvideest neutre :
ǫ
u=
uǫ =
uLe produitde onaténationn'est pas ommutatif.
On noteomme larépétition d'un motu paru n
.
Préxe, suxe et fateur
Préxe, suxe
Soient u,v et w desmots sur
Σ
tel quew=
uv.u est unpréxeet v est unsuxe de w.
Fateur
u
∈ Σ ∗
est unfateurde w∈ Σ ∗
s'ilexiste v et v′
tels quew
=
v′
uvRemarque :
Larelationde préxe déni unordresur l'ensemblede mots
Exemples
Soit
Σ = {
p,
o,
a}
po estun préxe de popoa
oa est unsuxe de popoa
opo est unfateurde popoa
ǫ
estun préxe etun suxede tout motdeΣ ∗
.Ordre lexiographique
On supposeraqu'il existeunordresurl'ensemble deslettres
Σ
noté≤
Ordre lexiographique
L'ordre lexiographique sur
Σ ∗
,noté≺
,estdéni par:base:
ǫ ≺ ǫ
pourtout
(
a,
a′ ) ∈ Σ
2 telquea≤
a′
,a≺
a′
.indution :
siu
≺
v et|
v| ≤ |
u|
alors∀
a∈ Σ
,ua≺
vsiu
≺
v alors∀
a∈ Σ
,ua≺
va etu≺
vaCardinalité de l'ensemble des mots
Cardinalitéde l'ensembledes mots
L'ensemble desmotssur unalphabet
Σ
estdénombrable.Démonstration :
Pour démontrerqu'un ensembleest dénombrable, ilsutde
démontrer qu'ilexiste unebijetion avel'ensembledesentiers
naturels IN.
On trieles motsde
Σ ∗
parordrelexiographiqueOn peut alorsnuméroter haquemots par unentiernaturel.
Σ ∗ = (
u0,
u1,
u2, . . .)
Cequiprouvel'existene d'unebijetion entreINet
Σ ∗
.C.Q.F.D.
Langage
Langage
Un langage est unsous-ensemblede l'ensembledesmots
Σ ∗
.Exemples :
Soit
Σ = {
p,
l,
d}
L'ensemble
{
pl,
dl,
pdpl,
ldl} ⊂ Σ ∗
estunlangage.Opérations sur les langages
Soient deux langages Let M respetivementsur lesalphabets
Σ
L etΣ
M.L etM sontdesensembles,ilestpossibled'appliquer les opérations
ensemblistes.
union, intersetion, omplémentaire:
L
∪
M,L∩
M ,L= Σ ∗ −
L.produit :
LM
= {
uv|
u∈
L,
v∈
M}
LM est unlangagesur l'alphabet
Σ
L∪ Σ
M puissane:L 0
= {ǫ}
pouri
>
0,Li=
L.
Li−
1étoile :
L
∗ = ∪
i≥
0Li
Exemples
Soient L
= {
pl,
dl,
pdpl,
ldl}
et M= {ǫ,
ai,
ia}
L
∪
M= {
pl,
dl,
pdpl,
ldl, ǫ,
ai,
ia}
L
∩
M= ∅
L
= Σ ∗ −
L:trop long....LM
= {
pl,
dl,
pdpl,
ldl,
plai
,
dlai,
pdplai,
ldlai,
plia
,
dlia,
pdplia,
ldlia, }
M
2
= {ǫ,
ai,
ia,
aiai,
iaia,
aiia,
iaai}
étoile :
M
∗ = ∪
i≥
0Mi
...
Cardinalité des langages
Rappel :l'ensembledes motssur unalphabet
Σ
estdénombrable.Cardinalitéde l'ensembledes langages
L'ensemble deslangages surunalphabet
Σ
est nondénombrable.Démonstration :
Utilisation duproédédiagonal de Cantor.
Langage rationnel
Dénition indutive de l'ensembledeslangages rationnels (ou
réguliers) :
Langages rationnels (ouréguliers)
L'ensemble deslangages rationnelsR estdéni par:
base:
∅ ∈
R{ǫ} ∈
Rpourtouta
∈ Σ
,{
a} ∈
R.indution : SiL
∈
R et M∈
R alors:L
∪
M∈
RL
.
M∈
RL
∗ ∈
R.Remarque :
∗
Expressions régulières
(Rappel semestre1)
Les expressionsrégulières sontlesexpressionsquel'on peut
onstruire àpartirde
+
,.
et∗
Une expressionrégulièredérivent quidérivent unlangage.
Parexemple,
ab
(
a+
b+
)
estl'ensemble{
aba,
abb,
ab} (
ab)
3 est l'ensemble{
ababab}
(
ab) ∗
:tousles motsquirépétentunnombreni de foisab(voir nul)
{ǫ,
ab,
abab,
ababab, . . .}
ab
(
a+
b+
) ∗
:tousles mots quiommentparabEquivalene expression régulière et langage rationnel
Théorème(admis)
Un langage estrationnel(ourégullier)siet seulementsiilest dérit
paruneexpressionrégulière.
d'où le nom de langagerégulier...
Introdution
Spéierun langageL :
donner unedesriptiondes motsquisontdansL,
ou, de façon équivalente :
donner unalgorithmepermettantde déidersi unmot
quelonque est,ou n'est pas dansL.
Les automates sontdesmahinesabstraites quipermettent de
reonnaitre si unmotappartient, ou non, àunlangage L.
Ilsexistent dansde nombreuses mahinesonrétes(mahine à
afé, robots,...)
Exemple
Les sores autennis sont:15-0,0-15, 30-0, 0-30, 40-0,..., puis
égalité,avantage A, avantage B,jeu A, jeuB.
Soit l'alphabet
Σ = {
a,
b}
quisignie quele joueurAou Bamarqué unpoint.
Quelssontles motsquireprésenteunesuessionvalidedespoints?
Il estpossibled'assoieràhaque sorepossibleunétat, puisilfaut
alorsonstruire unetablede transition enfontion dupoint marqué
('est-à-dire de lalettrelue)
T
:
Q× Σ →
QL'ensemble desétatset les transitionsonstituent leoeur de
Dénition
Automate nidéterministe
Un automate nidéterministeest unquintuplet
(
Q, Σ,
T,
q0,
A)
où :
Σ
estl'alphabet de l'automate,Q unensemble niappelé ensemble desétats del'automate,
T estuneappliation de Q
× Σ
dansQ,appeléelafontiondetransition
q
0
est unélémentde Q,appelé l'étatinitial
Aest unsous-ensemblede Q,appelél'ensembledes états
aeptants.
Exemples
Σ = {
a,
b}
, Q= {
1,
2,
3,
4}
,l'état 1est l'état initialet A= {
3}
est des étatsaeptants.
a b
→
1 2 12 3 4
3 4 1
4 4 4
a
1 2
3 4 b
a
b b a
a,b
Calul sur automate : Leture
fontion de transitionitérée
La fontionde transitionitéréeest l'appliationT
∗ :
Q× Σ ∗ →
Qdénie par:
base: siw
= ǫ
alorsT∗ (
q,
w) =
qindution : siw
=
w0x avex
∈ Σ
alorsT
∗ (
q,
w) =
T(
T∗ (
q,
w0),
x)
Lafontion de transitionitéréedonne l'étatnalaprèslaleture du
w parl'automate.
Exemples
Σ = {
a,
b}
, Q= {
1,
2,
3,
4}
,l'état 1est l'état initialet A= {
3}
est des étatsaeptants.
a b
→
1 2 12 3 4
3 4 1
4 4 4
a
1 2
3 4 b
a
b b a
a,b
leture de baabbbaa
Langage déidé
Mot aepté
On dit quele motw
∈ Σ ∗
est aeptéparl'automateM
= (
Q, Σ,
T,
q0,
A)
siet seulementsil'étatT∗ (
q0,
w)
est dansA.w estréfusédans leas ontraire.
Langage déidé
Si M estun automated'alphabet
Σ
et Lunlangage surΣ
,on ditque M déideL siLest l'ensembledesmots aeptés parM.
Exemples
Σ = {
a,
b}
, Q= {
1,
2,
3,
4}
,l'état 1est l'état initialet A= {
3}
est des étatsaeptants.
a b
→
1 2 12 3 4
3 4 1
4 4 4
a
1 2
3 4 b
a
b b a
a,b
Objetifs de la séane 7
savoir dénirmotet langage.
savoir dénirlanguage rationnel
onnaitre les opérationsalgébriquessur leslangages
savoir érireuneexpression régulièresimple
savoir dénirle langagereonnu parun automateni
Question prinipaledujour :
Quellelangue parlez-vous?
