Terminales générales – Mathématiques expertes mai 2021
Devoir à la maison n
◦7
À rendre le lundi 10 mai 2021
Exercice 1. — Dans le graphe Γ ci-dessous, les sommets représentent différentes zones de résidence ou d’activités d’une municipalité. Une arête reliant deux de ces sommets indique l’existence d’une voie de circulation à double sens entre deux lieux correspondants.
A
B
C
D
E F
G
1. Déterminer les degrés des sommets du graphe Γ. On présentera les résultats sous forme d’un tableau.
2. Citer une chaîne simple passant par tous les sommets de Γ.
3. Citer un cycle de longueur 4.
4. a. Le graphe Γ est-il simple ? Est-il complet ? Est-il connexe ? (Justifier.)
b. Donner la matrice d’adjacence M (les sommets seront pris dans l’ordre alphabétique).
c. Déterminer, en justifiant en détail sa démarche, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner leur liste.
d. Combien y a-t-il de chemins de longueur 3 partant de A et qui ne sont pas des cycles ? (Justifier.)
e. Combien y a-t-il de cycles de longueurs 3 partant de A ? (Justifier.)
5. La municipalité souhaite construire un centre de traitement des déchets de telle façon que les camions de collecte partent du centre et reviennent au centre après avoir emprunté chaque voie de circulation une fois et une seule (car celles-ci sont jalonnées de poubelles publiques qu’il faut relever).
a. Expliquer pourquoi une telle implantation n’est pas possible dans l’un des lieux identifiés par le graphe.
b. Proposer un lieu d’implantation ainsi que de nouvelles voies de circulation qui ren- draient le projet possible.
On reproduira le graphe ci-dessus en ajoutant le sommet H correspondant au lieu d’implantation ainsi que les arêtes correspondant aux nouvelles voies de circulation.
c. Proposer un trajet dans le nouveau graphe qui réponde à la volonté de la municipalité.
Exercice 2 (facultatif). — Étant donné un graphe non orientéG, on définit le graphe de ligne deG, noté L(G), de la manière suivante :
• un sommet de L(G) représente une arête deG ; si a est une arête deG, on notera L(a) le sommet deL(G) représentant a;
• il existe une arête entre deux sommets L(a) etL(b) dans L(G) si et seulement si les arêtes a etb sont incidentes à un même sommet dans G.
1. Représenter le graphe de ligne du graphe suivant :
A B
C D
E a
c b d
e
f g
2. Soit G un graphe non orienté.
a. Montrer que si G est connexe alors L(G) l’est aussi.
b. Que penser de la réciproque ? 3. Soit G un graphe simple non orienté.
a. Si G admet un cycle eulérien, est-ce aussi le cas du graphe L(G) ? b. Si L(G) admet un cycle eulérien, est-ce aussi le cas deG ?
