1reST I Ch04/05 : COMPLEXES, DERIVEES Mardi 27 février 2007
Devoir Surveillé n˚ 5A
EXERCICE no 1
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal(O;−→u;−→v )d’unité graphique1cm (ou1grand carreau).
1. On considère les deux nombres complexeszAde module 4et d’argument π
3 etzB = 2−2i√ 3.
(a) Déterminer la forme algébrique du nombre zA. (b) Déterminer la forme trigonométrique du nombre zB.
(c) Placer dans le plan les points A etB d’affixes respectives zA etzB. 2. On considère les deux nombres complexes zC =−4 etzD =−1 +i√
3.
(a) Calculer le module et un argument de chacun de ces deux nombres complexes.
(b) Placer dans le plan complexe les pointsC etD d’affixes respectives zC et zD. 3. Démontrer que les pointsA, B et C appartiennent à un même cercle de centre O.
4. Démontrer que le triangle BDAest rectangle.
5. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
EXERCICE no 2
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes : 1. f(x) =−5x7+ 3x4−x2+ 2x−π
2. f(x) = (−2x+ 3)2 3. f(x) =x3− 2
x + 4√ x 4. f(x) = 2x+ 3
−4x−1 5. f(x) =− 2
x3
http://nathalie.daval.free.fr -1-
1reST I Ch04/05 : COMPLEXES, DERIVEES Mardi 27 février 2007
Devoir Surveillé n˚ 5B
EXERCICE no 1
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal(O;−→u;−→v )d’unité graphique1cm (ou1grand carreau).
1. On considère les deux nombres complexeszA =−2√
3 + 2i etzB de module4, d’argument π 6 (a) Déterminer la forme trigonométrique du nombre zA.
(b) Déterminer la forme algébrique du nombre zB.
(c) Placer dans le plan les points A etB d’affixes respectives zA etzB. 2. On considère les deux nombres complexes zC =−4i etzD =√
3−i.
(a) Calculer le module et un argument de chacun de ces deux nombres complexes.
(b) Placer dans le plan complexe les pointsC etD d’affixes respectives zC et zD. 3. Démontrer que les pointsA, B et C appartiennent à un même cercle de centre O. 4. Démontrer que le triangle ABD est rectangle.
5. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral.
EXERCICE no 2
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes : 1. f(x) =x4+ 2
x−6√ x 2. f(x) =− 3
x2 3. f(x) = 3x+ 2
−x+ 4
4. f(x) = 2x9−3x3 +x2−4x+π 5. f(x) = (3x−1)2
http://nathalie.daval.free.fr -2-
1reST I Ch04/05 : COMPLEXES, DERIVEES Mardi 27 février 2007
Correction DS n˚ 5A
EXERCICE no 1
1. (a) Par définition, on a : zA= 4
cos π3
+isin π3
= 4
1
2 +i√23
soit zA= 2 + 2i√ 3 (b) Le module dezB est |zB|=
q
22+ (−2√
3)2 =√
4 + 12 soit |zB|= 4 Son argumentθB vérifie les relations :cosθB= 24 = 12 et sinθB =−2√43 =−√23
D’où θB =−π3 +k×2π
On a donc finalement : zB= 4
cos −π3
+isin −π3
2. (a) |zC|=| −4|= 4
θC vérifie les relations :cosθC = −44 =−1 etsinθC = 04 = 0 D’où, un argument dezC est θC =π
|zD|= q
(−1)2+ (√
3)2 =√
1 + 3 = 2
θD vérifie les relations : cosθD =−12 etsinθD = √23 D’où, un argument dezD est θD = 2π3
3. On a|zA|=|zB|=|zC|= 4 donc :OA=OB =OC= 4.
En d’autres termes, les pointsA,B etC sont tous sur le cercle de centre O et de rayon 4 4. On calcule les différentes distances concernées :
AB=|zB−zA|=|(2−2i√
3)−(2 + 2i√
3)|=| −4i√ 3|=√
48 = 4√ 3.
AD=|zD −zA|=|(−1 +i√
3)−(2 + 2i√
3)|=| −3−i√ 3|=√
12 = 2√ 3.
BD=|zD −zB|=|(−1 +i√
3)−(2−2i√
3)|=| −3 + 3i√ 3|=√
36 = 6.
On a AB2 = 48 et AD2 +BD2 = 12 + 36 = 48 donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BDArectangle en D
5. Il suffit de calculer les deux distances encore inconnues : AC =|zC −zA|=| −4−(2 + 2i√
3)|=| −6−2i√ 3|=√
48 = 4√ 3 BC =|zC −zB|=| −4−(2−2i√
3)|=| −6 + 2i√ 3|=√
48 = 4√ 3 Finalement, on a AC =BC=AB donc, le triangle ABC est équilatéral
EXERCICE no 2
1. f′(x) =−5×7x6+ 3×4x3−2x+ 2−0 = −35x6+ 12x3−2x+ 2 2. f est du typeu2 avec u(x) =−2x+ 3donc :
f′(x) = 2×(−2)×(−2x+ 3) = 8x−12 3. f′(x) = 3x2−2×−1
x2 + 4× 1
2√x = 3x2+ 2 x2 + 2
√x
4. f est du type uv avec u(x) = 2x+ 3etv(x) =−4x−1 donc : f′(x) = 2×(−4x−1) + 4(2x+ 3)
(−4x−1)2 = −8x−2 + 8x+ 12
(−4x−1)2 = 10 (−4x−1)2 5. f(x) =−2
x3 =−2× 1
x3 donc,f est du type−2× 1
v avec v(x) =x3 d’où : f′(x) =−2×−3x2
(x3)2 = 6x2 x6 = 6
x4
http://nathalie.daval.free.fr -3-
1reST I Ch04/05 : COMPLEXES, DERIVEES Mardi 27 février 2007
Correction DS n˚ 5B
EXERCICE no 1
1. (a) Le module dezA est|zA|= q
(−2√
3)2+ 22 =√
12 + 4 soit |zA|= 4 Son argumentθAvérifie les relations : cosθA= −24√3 =−√23 et sinθA= 24 = 12 D’où θA= 5π6 +k×2π
On a donc finalement : zA= 4
cos 5π6
+isin 5π6
(b) Par définition, on a : zB = 4
cos π6
+isin π6
= 4√ 3 2 +12i
soit zB = 2√ 3 + 2i
2. (a) |zC|=| −4i|= 4
θC vérifie les relations :cosθC = 04 = 0 etsinθC = −44 =−1 D’où, un argument dezC est θC =−π2
|zD|= q
(√
3)2+ (−1)2 =√
3 + 1 = 2
θD vérifie les relations : cosθD = √23 etsinθD =−12
D’où, un argument dezD est θD =−π6
3. On a|zA|=|zB|=|zC|= 4 donc :OA=OB =OC= 4.
En d’autres termes, les pointsA,B etC sont tous sur le cercle de centre O et de rayon 4
4. On calcule les différentes distances concernées : AB=|zB−zA|=|(2√
3 + 2i)−(−2√
3 + 2i)|=|4√ 3|=√
48 = 4√ 3.
AD=|zD −zA|=|(√
3−i)−(−2√
3 + 2i)|=|3√
3−3i|=√
36 = 6.
BD=|zD −zB|=|(√
3−i)−(2√
3 + 2i)|=| −√
3−3i|=√
12 = 2√ 3.
On a AB2 = 48 et AD2 +BD2 = 36 + 12 = 48 donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD rectangle en D
5. Il suffit de calculer les deux distances encore inconnues : AC =|zC −zA|=| −4i−(−2√
3 + 2i)|=|2√
3−6i|=√
48 = 4√ 3 BC =|zC −zB|=| −4i−(2√
3 + 2i)|=| −2√
3−6i|=√
48 = 4√ 3 Finalement, on a AC =BC=AB donc, le triangle ABC est équilatéral
EXERCICE no 2
1. f′(x) = 4x3+ 2×−1
x2 −6× 1
2√x = 4x3− 2 x2 − 3
√x 2. f(x) =−3
x2 =−3× 1
x2 donc,f est du type−3× 1
v avec v(x) =x2 d’où : f′(x) =−3× −2x
(x2)2 = 6x x4 = 6
x3
3. f est du type uv avec u(x) = 3x+ 2etv(x) =−x+ 4donc : f′(x) = 3×(−x+ 4) + 1(3x+ 2)
(−x+ 4)2 = −3x+ 12 + 3x+ 2
(−x+ 4)2 = 14 (−x+ 4)2
4. f′(x) = 2×9x8−3×3x2+ 2x−4×1 + 0 = 18x8−9x2+ 2x−4
5. f est du typeu2 avec u(x) = 3x−1 donc : f′(x) = 2×3×(3x−1) = 18x−6
http://nathalie.daval.free.fr -4-
