Date : 10/05/2012 Stanislas Notation sur 40 Durée : 2h Appréciation :

Compétences du socle commun pouvant être évaluées :

1

PARTIE : PARTIE NUMERIQUE

/20

Exercice 1 : On considère le programme de calcul encadré :

a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 2.

………..………

………..………

………..………

b) Quel nombre trouve-t-on si le nombre choisi est -2 ?

………..………..………

………..……….………

………..……….………

c) Quel nombre trouve-t-on si le nombre choisi est 3 ?

………..………..………

………..……….………

……….………..……….………

d) Conjecturer quel est le nombre trouvé si le nombre choisi est x ? (sans justifier)

………..………..………

4

Composition n°3 de Mathématiques 2011-2012 – Sujet1

La calculatrice est autorisée donc les calculs doivent être détaillés !

Date : 10/05/2012 Stanislas Notation sur 40 Durée : 2h Appréciation :

3.1.3. Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer.

3.1.4. Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l'aide d'un langage adapté.

3.2.2. Nombres et calculs : connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et

fractionnaires : mener à bien un calcul mental, à la main, avec calculatrice, avec ordinateur.

3.2.3. Géométrie : connaître et représenter des figures géométriques et des objets de l'espace : utiliser leurs propriétés.

3.2.4. Grandeurs et mesure : réaliser des mesures (longueurs, durées...), calculer des valeurs (volumes, vitesse…) en utilisant différentes unités.

5.5.1. Images – Cartes - Croquis - Textes – Graphiques.

/4

- Choisir un nombre - Enlever 4 à ce nombre - Multiplier le résultat par 3 - A jouter 12

- Puis soustraire le nombre choisi au départ de la ligne précédente.

Exercice 2 :

1) En laissant des traits apparents sur le graphique, répondre aux questions suivantes : a) Quel est le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide ?

………..………..………

b) Quel volume d’eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 10 litres de glace ?

………..………..………

2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume de liquide ? (justifier)

………..………..………

………..………..………

………..………..………

………..………..………

………..………..………

3) On admet que 5 litres d’eau donne 5,4 litres de glace, quel est le pourcentage d’augmentation ?

………..………..………

………..………..………

………..………..………

………..………..………

/5

Exercice 3 : Un planeur quitte Nouméa pour aller à Koné.

a) A l’aide de votre règle graduée et de la carte déterminer, au kilomètre prés, la distance qu’il aura parcourue arrivé à Koné.

………

……….

……….

………

………

b) Sachant qu’il a effectué ce parcours en 2h 18 min. Déterminer sa vitesse moyenne arrondie au kilomètre par heure près.

………..………..………

………..………..………

………..………

Exercice 4 : Mettre sous la forme d’une fraction irréductible.

Chaque étape doit être justifiée, les règles du calcul doivent être mises en évidence ! A = 6

5 - 17 14 : 5

7

……….

……….

………

………

………

B = 6 × 5⁴ 5² × 2 × 5³

………

………

………

………

………

C = 7^-5 × 7⁴ × 4 × 7⁰

………

………

………

………

………

Exercice 5 : Calculer la valeur numérique des expressions algébriques A et B pour x = 3

2 et y = -4.

A = 5x – 3y B = - 2y² + xy A = B =

A = B = A = B = /5

/3

/3

2

PARTIE : ACTIVITES GEOMETRIQUES /20

Exercice 1 :

a) Construire (Construction apparente) un triangle ABC tel que AC = 12 cm, AB = 13 cm et BC = 5 cm.

b) Placer le point R appartenant à [AC] tel que AR = 9 cm.

c) Placer le point T appartenant à [AB] tel que la droite (RT) soit perpendiculaire à la droite (AC).

d) Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

………..………..………

………..………..………

………..………

………..………..………

………..………

e) Que peut-on dire des droites (RT) et (BC) ? (Justifier)

………..………..………

………..………..………

………..………..………

………..………

f) Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [AT].

………..………..………

………..………..………

………..………

………..………..………

………..………..………

/1

/3

/2

/4

Exercice 2 :

a) Déterminer la mesure de aIKJ

………..………..………

………..………..………

………..………

………..………..………

b) Démontrer que (GH) // (KJ)

………..………..………

………..………..………

………..………..………

………..………..………

………..………

c) Démontrer que J est le milieu de [HI].

………..………..………

………..………..………

………..………..………

………..………

………..………

………..………..………

d) On donne GH = 3,2 cm, déterminer KJ.

………..………..………

………..………..………

………..………

………..………..………

………..………..………

/2 /2

/3

/3

1

PARTIE : PARTIE NUMERIQUE

/20

Exercice 1 : On considère le programme de calcul encadré :

a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 2.

1 - 4 = -3 -3×3 = -9 -9 + 12 = 3 3 - 1 = 2

b) Quel nombre trouve-t-on si le nombre choisi est -2 ? -2 - 4 = -6

-6×3 = -18 -18 + 12 = -6 -6 - (-2) = -4

On obtient -4 si le nombre choisi est -2.

c) Quel nombre trouve-t-on si le nombre choisi est 3 ? 3 - 4 = -1

-1×3 = -3 -3 + 12 = 9 9 - 3 = 6

On obtient 6 si le nombre choisi est 3.

d) Conjecturer quel est le nombre trouvé si le nombre choisi est x ? (sans justifier) Il semble qu’on obtient le double du nombre de départ.

Justification (non demandée) : Soit x le nombre de départ.

Le programme de calcul donne :

(x - 4)×3 + 12 - x = 3x - 12 +12 - x = 2x Et 2x est bien le double de x.

- Choisir un nombre - Enlever 4 à ce nombre - Multiplier le résultat par 3 - A jouter 12

- Puis soustraire le nombre choisi au départ de la ligne précédente.

CORRECTION Exercice 2 :

1) En laissant des traits apparents sur le graphique, répondre aux questions suivantes : a) Quel est le volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide ?

Avec 6 litres d’eau liquide, on obtient environ 6,5 litres de glace.

b) Quel volume d’eau liquide faut-il mettre à geler pour obtenir 10 litres de glace ? Pour obtenir 10 litres de glace, il faut environ 9,2 litres d’eau liquide.

2) Le volume de glace est-il proportionnel au volume de liquide ? (justifier) La représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère.

Donc le volume de glace est bien proportionnel au volume de liquide.

3) On admet que 5 litres d’eau donne 5,4 litres de glace, quel est le pourcentage d’augmentation ?

Le pourcentage d’augmentation est : 5,4 - 5

5 ×100 = 8 soit 8 %.

/5

Exercice 3 : Un planeur quitte Nouméa pour aller à Koné.

a) A l’aide de votre règle graduée et de la carte déterminer, au kilomètre prés, la distance qu’il aura parcourue arrivé à Koné.

On lit sur la carte 3,5 cm entre Nouméa et Koné.

2 cm représentent 100 km

Donc 3,5 cm représentent 100×3,5

2 = 175 km

b) Sachant qu’il a effectué ce parcours en 2h 18 min. Déterminer sa vitesse moyenne arrondie au kilomètre par heure près.

2h18min = 2 + 18

60 = 2,3 h v = d

t = 175

2,3 ≈ 76 km/h

Exercice 4 : Mettre sous la forme d’une fraction irréductible.

Chaque étape doit être justifiée, les règles du calcul doivent être mises en évidence ! A = 6

5 - 17 14 : 5

7 A = 6

5 - 17 14×7

5

A = 6

5 - 17×7 7×2×5

A = 12 10 - 17

10 = 12 - 17 10 = - 5

10

A = - 1 2

B = 6 × 5⁴ 5² × 2 × 5³

B = 6 2× 5⁴

5²⁺³

B = 3×5^4-5 = 3×5^-1 = 3 5

C = 7^-5 × 7⁴ × 4 × 7⁰ C = 7^-5+4+0 × 4 C = 4×7^-1 C = 4

7

Exercice 5 : Calculer la valeur numérique des expressions algébriques A et B pour x = 3

2 et y = -4.

A = 5x – 3y B = - 2y² + xy A = 5×3

2 - 3×(-4) B = -2×(-4)² + 3

2×(-4) A = 15

2 + 12 B = = -2×16 - 6 = - 32 - 6 = - 38

A = 15 + 24 2 = 39

2

/5

/3

CORRECTION

2

PARTIE : ACTIVITES GEOMETRIQUES /20

Exercice 1 :

a) Construire (Construction apparente) un triangle ABC tel que AC = 12 cm, AB = 13 cm et BC = 5 cm.

b) Placer le point R appartenant à [AC] tel que AR = 9 cm.

c) Placer le point T appartenant à [AB] tel que la droite (RT) soit perpendiculaire à la droite (AC).

d) Démontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

AB² = 13² = 169

AC² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169

L’égalité de Pythagore AB² = AC² + BC² étant vérifiée, le triangle ABC est donc rectangle en C.

e) Que peut-on dire des droites (RT) et (BC) ? (Justifier)

Les droites (RT) et (BC) étant perpendiculaires à la même droite (AC) sont donc parallèles.

f) Calculer la valeur exacte de la longueur du segment [AT].

Les droites (RT) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles ART et ACB :

AR AC = AT

AB = RT CB Soit : 9

12 = AT 13 D’où AT = 13×9

12 = 9,75 cm

/1

/3

/2

/4

Exercice 2 :

a) Déterminer la mesure de aIKJ

La somme des mesures des angles du triangle IJK est égale à 180°.

Donc aIKJ = 180° - aIJK - aJIK = 180° - 79° - 27° = 74°

b) Démontrer que (GH) // (KJ)

Les angles correspondants aIGH et aIKJ déterminés par les droites (GH) et (KJ) et la sécante (IG) sont de même mesure.

Donc les droites (GH) et (KJ) sont parallèles.

c) Démontrer que J est le milieu de [HI].

Dans le triangle IGH, la droite (KJ) qui passe par le milieu K du côté [IG] et qui est parallèle au côté [GH] coupe le côté [HI] en son milieu.

Donc J est le milieu de [HI].

d) On donne GH = 3,2 cm, déterminer KJ.

Dans le triangle IGH, la longueur du segment [KJ] qui joint les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Donc KJ = GH 2 = 3,2

2 = 1,6 cm

/2

/3