Les mots mathématiques
«Un mot à la place d'un autre (...) : ça n'a l'air de rien. C'est pourtant ainsi que la philosophie procède. Il suffit d'un mot nouveau pour dégager l'espace d'une question, celle qui n'avait pas été posée. Le mot nouveau bouscule les anciens, et fait le vide pour la nouvelle question. La nouvelle question met en question les anciennnes réponses, et les vieilles questions endormies sous elles. On y gagne des vues nouvelles sur les choses.»
écrit Louis Althusser dans Philosophie et philosophie spontanée des savants. Ce qu’il dit de la philosophie vaut aussi pour sa sœur pythagoricienne, les mathématiques.
On sait que la plupart des mots de la langue mathématique sont issus du langage courant. Mais quand et par qui ont-ils été créés, c’est-à-dire introduits dans la langue mathématique ? Cette question soulève des problèmes importants, tant historiques (la datation n’est pas toujours facile) qu’épistémologiques. En effet, certains mots ont été inventés avant le concept qu’ils ont fini par désigner, et donc jouaient un rôle de métaphore, d’autres ont été créés après le concept qu’ils désignaient, d’autres enfin ont été modifiés à mesure que le concept qu’ils désignaient se précisait. Ainsi, en 1684, Leibniz substitue les mots algébrique et transcendant aux mots géométrique et mécanique utilisés par Descartes à la suite des grecs pour classifier les courbes : ce faisant, il modifie leur compréhension. Lorsqu’il introduit le mot fonction en 1692, Leibniz entend des portions de lignes droites dépendant de points variables sur une courbe, comme la tangente ou la normale ; si le mot est resté, la notion qu’il désigne a beaucoup évolué depuis1. Aux nombres impossibles du XVIème siècle, Descartes a substitué les nombres imaginaires, signifiant par là que ces nombres n’avaient plus rien d’impossible. Aux nombres imaginaires de Descartes, Gauss a substitué les nombres complexes, signifiant que ces nombres n’avaient plus rien d’imaginaire, qu’ils n’étaient plus des intermédiaires formels d’un calcul réel à un autre, mais qu’ils accédaient au statut de nombres à part entière, bien connus et domestiqués.
Certains mots ne se sont pas imposés, et ont été remplacés par d’autres. Les touchantes sont devenues des tangentes. Les fluxions de Newton s’appellent aujourd’hui dérivées, et les fonctions synectiques de Cauchy furent rebaptisées holomorphes par Briot et Bouquet.
Plus récemment, le géomètre Jacques Tits, à l’imagination plutôt macabre, inventa les notions importantes de squelette, de cimetière, et d’ossuaire, qui sont devenues plus prosaïquement des murs, des appartements et des immeubles... Charles Ehresmann, autre inventeur des mots : fibre, jet, germe, tige, avait quant à lui l’imagination plus botanique.
On est surpris de la création tardive de certains mots d’usage courant : le mot injection apparaît en 1950 sous la plume de S. MacLane, l’adjectif injectif en 1952 dans les Foundations of algebraic topology d’Eilenberg et Steenrod, l’adjectif surjectif apparaît en 1956 sous la plume de Chevalley, le mot surjection en 1964 dans les Foundations of algebraic topology de Pervin. Et c’est sans doute à cette époque que le mot bijection s’est substitué à l’adjectif biunivoque.
Enfin les dénominations, parfois fort arbitraires, des théorèmes ont elles aussi une histoire. Le triangle "de Pascal" était connu en Occident plus d’un siècle avant lui : on le trouve chez l’allemand Stifel (1486-1567) et l’italien Tartaglia (1500-1557), mais Arabes, Indiens et Chinois le connaissaient bien avant. Le théorème dit "de Bézout", est en réalité dû à Bachet de Méziriac, un siècle plus tôt : Bézout ne fit que l’étendre aux polynômes à
1Lire à ce sujet l’article Notion de fonction, dans le Thésaurus de l'E.U.
une indéterminée. Le théorème dit "de Gauss", qui énonce que si a divise bc et est premier avec b, alors a divise c, est dû à Jean Prestet (1675), mais Gauss montra que l’anneau des polynômes à plusieurs indéterminées sur un corps vérifie cette propriété sans être euclidien.
La formule du binôme partout dite "de Newton" donnant (a + b)n fut trouvée bien avant ; Newton la généralisa en 1676, en donnant le développement de la série du binôme 1+x, résultat qui fut démontré bien plus tard par Abel (1826). Le théorème dit "de Cesàro"
remonte à Cauchy, mais Cesàro en fit une relecture à la lumière des procédés sommatoires.
La formule "de Grassmann" donnant la dimension d’une somme de sous-espaces vectoriels est un hommage à ce précurseur de l’algèbre linéaire, dont l’œuvre dut redécouverte longtemps après. Le théorème "de Hamilton-Cayley" fut bien énoncé par ces deux anglais, en 1857, mais ne fut démontré qu’en 1878 par Frobenius. Les premiers exemples systématiques de matrices "de Hadamard" sont dus à Sylvester. La formule "de Parseval", en théorie des séries de Fourier, fut en réalité démontrée par Fatou en 1906, Parseval s’étant contenté de la vérifier pour les polynômes trigonométriques un siècle plus tôt. A ces dénominations traditionnelles s’ajoutent des différences nationales, et des querelles d’attribution. Le théorème de réduction "de Jordan" est dit "de Weierstrass" en Allemagne, Jordan et Weierstrass l’ayant démontré à peu près au même moment. L’ensemble dit "de Julia" devrait plutôt s’appeler ensemble "de Fatou-Montel-Julia". Tout cela est résumé par une loi, dite loi de Stigler (1980) : « Une découverte scientifique ne porte jamais le nom de son inventeur » (Il en est de même de mainte bataille.) 2
Voici quelques mathématiciens et les mots qu’ils ont créés. Pour plus de détails, je renvoie au site Internet http://members.aol.com/jeff570/mathword.html
En tout bien tout honneur... Tout commence avec :
Pythagore (580-520 av. J C) : mathématiques, philosophie, hypoténuse, cosmos.
Pythagoriciens : classification des nombres : nombres pairs, impairs, impair-pair3, nombres pairement pairs (puissances de 2), pair-impair (i.e. de la forme 2(2m+1)), impair- pair (i.e. de la forme 2n+1(2m+1)), nombres premiers (ou rectilinéaires) et composés, nombres parfaits, abondants, déficients, amis, nombres figurés : triangulaires, carrés et gnomons, oblongs, polygonaux, nombres irrationnels.
Hippocrate de Chio (Vème siècle av. JC) : puissance (pour désigner le carré construit sur un segment donné) ; le mot s'est ensuite généralisé (carré, cube, puissance 4) avec Diophante (IIIè siècle ap. JC).
Xénocrate de Chalcédon (396-314 av JC) : logique.
Euclide (365-300 av. J C) : cône, cube, οπερ εδει δεικσαι (mots par lesquels Euclide concluait ses preuves, et que les géomètres médiévaux traduisirent par q.e.d., abréviation de quod erat demonstrandum, ancêtre de notre cqfd).
Archimède (287-212 av JC) : arbelos.
2 Stephen Stigler énonça cette loi en 1980 à l’occasion d’un festchrift en l’honneur du sociologue américain Robert Merton, lequel, d’après Stigler, est l’inventeur de cette loi.
3Pour Pythagore, Un (ou monade) n’était ni pair ni impair, mais impair-pair, car un n’était pas un nombre, mais le principe du nombre : il ne pouvait pas être d’une espèce particulière. Deux (ou dyade) n’était pas non plus un nombre, et n’était pas pair : peut-on séparer un couple? Les nombres ne commençaient donc qu’à Trois, et le premier nombre pair était Quatre. Ce n’est que par la suite que Deux fut considéré comme un nombre pair, par exception, puis Un comme un nombre (Archytas de Tarente). Tout cela est parfaitement logique : Adam était-il masculin avant la création d’Ève ?
Apollonios de Perge (262-190 av JC) : ellipse, parabole et hyperbole, cylindre, asymptote (probablement).
Al Khowarizmi (790-850) : algèbre (~ 825), racine.
Gherardo de Cremona (env. 1114-1187) : sinus.
Fibonacci (1170-1250) : addition, extraction (1201, pour soustraction).
Nicolas Oresme (1325-1382)
Cet évêque de Lisieux, contemporain et ami de Charles V, fait confidence à ses lecteurs, dans son Traité sur la sphère, de ses embarras philologiques, et s'excuse de transcrire du latin nombre de mots abstraits, qu'il introduit dans la langue française. En voici quelques-uns :
abstraire, antécédant, concentrique, circonscrire, circuler, commensurable, communiquer, concave, configuration, courbure, cubique, démonstration, dénominateur, discontinu, divisible, économie, énoncer, équidistant, équivalent, excentrique, extension, facteur, harmonique, identité, inertie, irrationnel, latitude, longitude, métaphysicien, numérateur, pallier, période, poème, prédicat, principe, probabilité, proportionnalité, quatrième dimension, rectiligne, scientifique, sphérique, transparent, unanimité.
Christoff Rudolff (1499-1545) : introduit le symbole pour désigner la racine carrée.
Robert Recorde (1510-1558) : introduit en 1557 le symbole = , qui ne fut couramment utilisé qu’à la fin du XVIIème siècle.
François Viète (1540-1603) : polynôme.
John Napier (1550-1617) : logarithme (1614).
Bartolomeo Pitiscus (1561-1613) : trigonométrie (1595).
Thomas Fincke (1561-1646) : tangente (1583).
Galileo Galilei (1564-1642) : cycloïde.
Johannes Kepler (1571-1630) : foyers (optique et coniques).
Aguilon : projection stéréographique (1613).
Edmund Gunter (1581-1626) : cotangente et l’abréviation sin (1620).
Albert Girard (1595-1632) : on lui doit l’ abréviation sec, cos, tan, sec (1626).
René Descartes (1596-1650) : nombre réel, nombre imaginaire (1637).
Gilles Personne de Roberval (1602-1675) : trochoïde, limaçon (1650).
John Wallis (1616-1703) : induction ("per modum inductionis", 1656), interpolation, fraction continue4, mantisse, série hypergéométrique, notation ∞.
Blaise Pascal (1623-1662) : roulette (auj. cycloïde), antobole (auj. ellipse).
Christian Huygens (1629-1695) : infiniment petit, tractrice, probabilité (1657), caténaire (1690).
Christopher Wren (1632-1723) : hyperboloïde.
James Gregory (1638-1675) : convergent (1667) apparaît dans le terme series convergens, divergent (mais ce dernier mot est aussi attribué à Nicolas I Bernoulli, 1713).
Isaac Newton (1642-1727) : limite, fluxion, conjecture.
4 Rappelons que les fractions continues ont été étudiées par Pietro Cataldi (1548-1626) en 1613, mais ont été nommées ainsi par Wallis : on s’intéresse ici aux créateurs de terminologies plus qu’aux découvreurs.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) : algébrique et transcendant (1684), algorithme (1684), notation
∫
f )(x dx pour désigner une primitive de f (1686), variable, constante, fonction (1692), coordonnées, abscisse, paramètre, combinatoire, point d’inflexion (1684), osculant (1686), différentiable (1692) et peut-être dérivée (aussi attribué à Lagrange).Jacob Bernoulli (1654-1705) : intégrale (mai 1690), permutation, lemniscate.
Johann Bernoulli (1667-1748) : calcul intégral.
Giulio Carlo Fagnano dei Toschi (1682-1764) : intégrale elliptique.
Vincenzo Riccati (1707-1775) 5 : sinus et cosinus hyperboliques sh et ch.
Leonhard Euler (1707-1783) : calcul des variations, analyse infinitésimale (1748), résidu quadratique (1754), racine primitive de l’unité, nombres de Bernoulli (ou A. de Moivre).
Giovanni Castillon (1709-1791) : cardioïde (1741).
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) : fonction rationnelle.
Gaspard Monge (1746-1818) : géométrie descriptive.
Simon L'Huillier (1750-1840) : série de Taylor, notation lim.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) : lignes géodésiques (1787), intégrales eulériennes, fonctions elliptiques et hyperelliptiques, fonction Γ, méthode des moindres carrés (1805).
Johann Pfaff (1765-1825) : équation différentielle et série hypergéométrique.
Sylvestre Lacroix (1765-1843) : fonction primitive, intégrale définie, fonctions logarith- miques et exponentielles.
Joseph Fourier (1768-1830) : notation
∫
abf ).(x dx pour l'intégrale de f entre a et b.François Servois (1768-1847) : commutatif, distributif (1814), pôle (en géométrie projective).
André-Marie Ampère (1775-1836) : philosophie des sciences.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : entiers congrus modulo n (1801), nombres complexes, norme (1832).
Louis-Augustin Cauchy (1789-1857) : déterminant, permanent (1812), équation caractéristique (d'une matrice, 1840).
Peter-Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) : Schubfachprinzip (en français : principe des tiroirs, en anglais : chest-of-drawers principle, ou pigeon-hole principle, terme qui apparaît sous la plume d'Erdös et Rado).
William Rowan Hamilton (1805-1865) : vecteur, scalaire, tenseur, associatif, quaternion.
Johann Listing (1808-1872) : topologie (1847).
Ernst Kummer (1810-1893) : nombres idéaux (1846) (voir Dedekind).
Évariste Galois (1811-1832) : groupe, groupe d’une équation algébrique.
James Joseph Sylvester (1814-1897) : matrice (1850), discriminant (1852), invariant, totient (ou indicateur d’Euler, 1879), jacobien (1852), hessien, mineur (1850), hyperplan (1863), anallag-matique, cyclotomique (1879), arbre (en théorie des graphes).
Karl Weierstrass (1815-1897) : fonctions analytiques (au sens actuel).
Arthur Cayley (1821-1895) : groupe abstrait (1854), groupe cyclique, graphe.
Bernhard Riemann (1826-1866) : variété (Mannigfaltigkeit).
Paul Du Bois-Reymond (1831-1889) : équation intégrale.
5 Il s'agit du fils du grand mathématicien Jacopo Riccati.
Richard Dedekind (1831-1916) : idéaux (1871).
Charles Méray (1835-1911) : rayon de convergence (1872).
Camille Jordan (1838-1921) : groupe abélien (1870).
Édouard Lucas (1842-1891) : suite de Fibonacci, nombres de Mersenne.
Heinrich Weber (1842-1913) : théorie de Galois (1893).
Ludwig Boltzmann (1844-1906) : ergodique.
Thomas Muir (1844-1934) : wronskien.
William Clifford (1845-1879) : produit scalaire, produit vectoriel (1878).
Georg Cantor (1845-1918) : ensemble partout dense (1879), puissance d’un ensemble (1879) 6, théorie des ensembles (1883), ensemble bien ordonné (1883), ensemble fermé, parfait (1884), notation ℵ0, ℵ1, etc. (1893), nombres cardinaux et ordinaux (1895), transfini (1895).
Georg Ferdinand Frobenius (1849-1917) : groupe résoluble, rang (d'une matrice, 1878).
Felix Klein (1849-1925) : géométries hyperbolique, elliptique, parabolique.
Henri Poincaré (1854-1912) : isomorphie (1905).
Thomas Jan Stieltjes (1856-1894) : problème des moments.
Luigi Bianchi (1856-1928) : géométrie différentielle (1894).
Giuseppe Peano (1858-1932) : logique mathématique.
David Hilbert (1862-1943) : anneau (de nombres algébriques, voir Fraenkel), valeurs propres (eigenwert, 1904).
William Henry Young (1863-1942) : intégrale de Lebesgue.
Felix Hausdorff (1868-1942) : espace topologique, espace métrique (1914), notations ⊂ et ⊆ .
Élie Cartan (1869-1951) : groupes de Lie.
René Baire (1874-1932) : fonctions semi-continues inférieurement et supérieurement (1897), convergence normale (1908).
Henri Lebesgue (1875-1941) : déterminant de Vandermonde, intégrale de Stieltjes (1910).
Godfrey Harold Hardy (1877-1947) : théorème taubérien (i.e. généralisation du théorème de Tauber, et plus généralement théorème réciproque d'un procédé sommatoire).
Pierre Fatou (1878-1929) : formule de Parseval (1906).
Maurice Fréchet (1878-1973) : ensemble compact 7(1906), espace de Banach (1928).
Albert Einstein (1879-1955) : analyse tensorielle.
John Maynard Keynes (1883-1946) : équiprobable.
Solomon Lefschetz (1884-1972) : topologie algébrique (1942).
Arnaud Denjoy (1884-1974) : fonction mesurable.
6 Deux ensembles ont même puissance s’il existe une bijection de l’un sur l’autre (d’où l’adjectif équipotent).
7Le mot compact fut introduit en 1906 par Maurice Fréchet, en ces termes : « Nous dirons qu'un ensemble est compact lorsqu'il ne comprend qu'un nombre fini d'éléments ou lorsque toute infinité de ses éléments donne lieu à au moins un élement limite. » Interrogé à la fin de sa longue vie sur l'invention de ce terme, il déclara : « J'ai voulu sans doute éviter qu'on puisse appeler compact un noyau solide dense qui n'est agrémenté que d'un fil allant jusqu'à l'infini. C'est une supposition car j'ai complètement oublié les raisons de mon choix ! ».
Paul Lévy (1886-1971) : analyse fonctionnelle.
Adolf Fraenkel (1891-1965) : anneau (1914).
Pavel Alexandrov (1896-1983) : noyau (d’un morphisme).
Emil Post (1897-1954) : table de vérité.
David van Dantzig (1900-1959) : algèbre topologique, groupe topologique.
Henri Cartan (1904-2008) : filtre (1937).
Rosza Péter (1905-1977) : fonctions récursives primitives.
Charles Ehresmann (1905-1979) : fibre, jet, germe, tige, connexion.
Kurt Gödel (1906-1978) : indécidable (1931).
Jean Dieudonné (1906-1992) : transvection (1943), espaces paracompacts (1944).
André Weil (1906-1998) : espaces uniformes (1937), et la notation ∅ pour désigner l'ensemble vide.
Stephen C. Kleene (1909-1994) : machine de Turing (1937).
Laurent Schwartz (1915-2002) : distributions.
John M. Hammersley (1920-2004) : percolation (1957).
Alexandre Grothendieck (1928-2014) : schémas, topos, motifs.
Jacques Tits (1930) : squelette, cimetière, ossuaire (voir ci-dessus).
Nicolas Bourbaki (1935) : injection, surjection, bijection, inductif, projectif, boule, pavé, filtre, ultrafiltre, recouvrement, revêtement, espace séparé, tonneaux, espaces tonnelés, espaces polonais, clan, tribu 8.
Ajoutons que certains noms ont été attribués en hommage à des personnages connus :
− Le nombre d’or ( 1+ 5 )/2 a été noté φ en hommage au sculpteur Phidias, par W.
Schooling en 1914, dans l’annexe mathématique du livre de Th. A. Cook, The curves of life.
− Le langage informatique Ada a été ainsi dénommé en hommage à Ada Augusta Byron, comtesse Lovelace (1815-1852), fille du poète Byron, qui fut mathématicienne, et fit des travaux sur la machine de Charles Babbage, ancêtre des actuels ordinateurs.
− En physique quantique, les « quarks » ont été dénommés en hommage au romancier irlandais James Joyce, qui inventa ce mot dans son roman Finnegan's Wake.
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8«Bourbaki a été toujours guidé dans son choix des mots par leur sens "intuitif" et "naturel". Ainsi, les mots clan (division ethnique de la tribu) et tribu (groupe fondé sur une certaine parenté) invoquent une certaine "stabilité", en particulier pour la "réunion" ("finie" pour le clan,
"dénombrable" pour la tribu)», écrit Pierre Dugac. Et si Jean Dieudonné, interrogé sur ce sujet, écrit
«Pourquoi avoir choisi "tribu" plutôt que "σ-ring", c'est ce que je serais bien incapable de dire», je crois néanmoins que Dugac a raison. «Nous faisions d'énormes efforts pour trouver les bonnes dénominations, pour que chaque nouveau terme ait son subtantif, son adjectif, etc.» se souvient Michel Demazure. Sur l’insistance d’André Weil, les Bourbakis poussaient la pureté linguistique jusqu’à bannir les hybrides de racines latines et de racines grecques, s’interdisant des mots comme, mettons, "isojection" ou "équimorphe" (cf. Pierre Cartier, et le n° spécial de Pour la science consacré à Bourbaki en février 2000).
