   Moments multipolaires

Moments multipolaires

2 2 1

Potentiel électrique dû à une distribution de charge (ou somme de charges ponctuelles)

1 1

2

(loin du centre du noyau, et

( ) ( ) ( )

co (co )

s s

l l l l

r

r r dV

r r

r r r r rr

r r r r

r P 



 















 

  

 

     

  







 

 

 

1 1

1

1

1

) 1

4

2 1

4 1

2 1

4 1

2 1

*

*

( ) (cos )

( ) ( ) ˆ

( ) ( ) (c

ˆ ˆ

( ) ( ) ( )

( ) ˆ

os )

_l

l l

lm lm

l l m

lm

l l

l lm l

l l

lm l l

l

r

r r dV

r

r r Y r

r Y r dV

r l

r r

P P dV

r Y r

l r Y

r l

Y r

r dV

r

 





 

 















  

   

 

 

  

  

     

 

 

 

 



 



 





 



,

*

( ) ˆ

lm lm

r M

l m



moment électrique de rang l m

(valeur moyenne de la charge électrique x r

^l

)

(unités gaussiennes)

r’ à l’intérieur du noyau

Moment Quadrupolaire Électrique

M

_{l m,}

   ( ) r r Y ^{  }

^l _lm

( ) r dV ˆ ^{ }

partie radiale partie angulaire

S’il y a une symétrie azimuthale  pas de dépendance en 

2 1

4

*

,

( ) ˆ

,

( ) ˆ (cos )

l m l m l

m

Y r Y r l P 



  



1

( ) 1

_{l l}

(cos( ))

_l

l

P M

r r



_



 ^  

2

2

( )

^l

(cos( ) ) ; cos( )

l l

M    r r P ^{ }  dV ^ dV ^   r dr d ^{ } 

0

0

( )

0

(cos( )) ( ) charge totale

M    r r P ^{ }  dV ^    r dV ^{ } 

1

( ) (cos( )) ( ) cos( ) 0 dipôle M    r r P ^{ }  dV ^    r ^  dV ^ 

Conservation de parité:

2 2

parité bien définie:

moment électrique d'ordre impair est nul!

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

r r

r r r r

 

   

  

     



 

   



^{2 2}



2

Moment quadrupolaire électrique intrinsèq

0

1

: 2

3

ue M ( )

Q r z r dV

e e  ^{   }

   

2

2 2

2 2

2 2 2

1 3 1 3 2

2

( ) (cos )

( )( )

(cos ) ( cos )

M r r P dV

z r

M r dV

P

 

  



   

         

  



 

unités: cm

²

→ barns

Énergie d’interaction avec champ des électrons

1

1

Densité de charge des électrons:

potentiel électrique à l'intérieur du noyau dû aux électrons:

4

2 1

*

( ) ( ) (cos

( ) : ( )

ˆ ˆ

( ) ( ) )

)

(

e e

l

e l lm lm

m l

e e l l

l

r r dV Ze

r r Y r

r r r P

Y r l

r d r

  V



















  





 

 









 



 



 

l

 dV 

 

 

1

Énergie d'interaction:

densité de charge électrique du noyau

( ) ( ) ; (

( ) (c

)

(

os ) )

l

e l l

l

N N

N

U r dV r

r dV r

r r P dV

r





 











 



 

 









 



0

1 2

monopole (charge ponctuelle) 0 dipole (parité)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) cos

e N e

e N

r r r

U dV dV Z dV

r r

U r r r dV dV

r

  

  

 

 

   

 

 

   



 



  

 

Énergie d’interaction avec champ des électrons

4 2 1

*

, ,

(cos ) ( , ) ( , )

l l m l m

m

P Y Y

l

     ^{ }  

 

r   r 

axe de symétrie du noyau

 ^

 ^

point dans le noyau

2

 

2 3 2 2 0

0

3

2 0

3

5

3 1

quadrupole

2 2

* ,

( ) ( ) (cos ) ( )

( ) cos

e

e N

e

r

U r r r P dV dV e Y dV

r r

e r

r dV Q

Q

 

   

 

    

  

 

     

      

 



  



 

2 2

0

1 3 cos 1

_N

( , )

Q r r dV

e   

  

point dans le nuage électronique

angle entre l'axe du noyau et un électron du nuage

 ^ :

Moment quadrupolaire «observé»



^{2 2}



0

1 ici, coordonnée sur l'axe de s

3

_N

ymétrie du noyau

Q z r dV

e  z

     

0

0 1 0

0

cos sin

sin cos

x x

y y

z z

 

 

     

      

    

      

    



^{2 2}



1 3

obs N

Q z r dV

e 

  

2 2 2 2 2 2 2

0 lorsque intégré

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

3 3 2

3 3 3

3 3 3

2 2

3 3 3

2 2

[ sin cos sin cos ]

cos cos

cos cos

cos cos

z r x z x z r

x x z r

x y x y

z r

r z r z

z r

r

   

 

 

 

   

    

  

   

   

      

       

   

   

      

       

   

 



 

2 2 2

2 2

2

2

3 3 9

2 2 2 2

3 1

3 1

2

cos cos

cos

z r z

z

 



  

  

   

   

 

intégrand



²



⁰

1 3 1

2 cos

Q

obs

   Q

Moment Quadrupolaire Électrique

2 2

2 (ex. 1.33) a,b = axes semi-majeur et semi-mineur d'une ellipsoide

5 ( )

Q  Z a  b

Forme du noyau: Q

⁰

¹  ³ z

²

r

²



N

dV

e 

  

0 2 2

De façon générale, surface de l'ellipsoide:

1

_{m ,m}

( , )

m

R R  ^     a Y   ^{  }  

Moment Quadrupolaire Électrique

2 2 2 2

2 2 20 22

a

_

 a  a  

2 2

2

5 ( )

Q  Z a  b

Moment Quadrupolaire Électrique

2

0 2

0 12

0

1

1 3 1

2

1 3

2 1 1

1

cos ( )

( cos )

( )

m J

m J

J J J

Q Q

J Q

J J

Q J Q

J









 

 

 

      

 



En général, Q = 0 si J < 1

2

0 0

Si le spin du noyau a une composante sur l'axe de symétrie:

3 1 2 1

1 2 3 1 2 3

( ) ( )

( )( ) ( )( )

K J

J K

K J J J J

Q Q Q

J J J J

 





  

   

Preston

Moment Quadrupolaire Électrique

Noyau pair-impair:

- un nucléon de “valence” ou un “trou”

- le coeur a un moment Q = 0

- moment du noyau = moment produit par le nucléon:



^{2 2}



2

3 0

*

, ,

j m j j m j

Q z r dV

z Q r



_

^{ } 

_

^

 

     



3 12

2 2 2

0

2 4 2

0

partie radiale: 1 3

3

3 0 noyau "aplati"

5

R

R

u u r dr u R u

R

Q u r dr R

 

             

  

     





On suppose une fonction radiale normalisée et une fonction d’onde constante

jusqu’à r = R

17

8

O

9

: 1 neutron de valence  Q  0 rotation autour du barycentre... :