Pluralité des densités moyennes de moments multipolaires dans un milieu matériel. Application à un milieu diélectrique

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Pluralité des densités moyennes de moments

multipolaires dans un milieu matériel. Application à un milieu diélectrique

B. Blaive, Jean-Marc Metzger

To cite this version:

B. Blaive, Jean-Marc Metzger. Pluralité des densités moyennes de moments multipolaires dans un

milieu matériel. Application à un milieu diélectrique. Journal de Physique, 1981, 42 (11), pp.1533-

1543. �10.1051/jphys:0198100420110153300�. �jpa-00209346�

Pluralité des densités _moyennes de moments multipolaires

dans un milieu matériel.

Application ^{à un milieu} diélectrique

B. Blaive et J. Metzger

IPSOI, Faculté des Sciences d’Aix-Marseille III, ^rue Henri-Poincaré, ¹³⁰¹³ Marseille, France

(Reçu le 2 avril 1981, accepté ^le 3 juillet 1981)

Résumé.

Le fait de considérer, pour ^un milieu matériel, ^{tantôt une} représentation microscopique simplifiée,

tantôt une autre, apporte ^{une certaine} souplesse dans les démonstrations. Comme on utilise généralement ^{un seul}

modèle à la fois, ^{tous les résultats} tendent à être considérés comme absolus ; ^{il en est en} particulier ainsi de la valeur des densités moyennes de ^moments multipolaires.

Le caractère relatif des densités moyennes de ^moments par rapport ^{aux modèles} considérés, peut d’ailleurs diffi- cilement être soupçonné ^a priori, puisque ^{la densité} moyenne d’un moment multipolaire ^{est le moment total dans}

un volume unité macroscopique, ^et que les moments sont additifs quand ^on réunit les particules. Pourtant, ^l’étude présente ^{met en évidence dans un milieu} diélectrique ^la dépendance ^{des densités} moyennes vis-à-vis du modèle,

en même temps qu’elle ^{montre leur} relative stabilité lorsqu’on change ^la définition précise du passage à la moyenne.

La pluralité des densités moyennes de ^moments concilie certaines appréciations contradictoires concernant la densité de charge ^{dans un} diélectrique ; surtout, la comparaison ^de plusieurs modèles bien formalisés montre le

danger ^de manipuler ^{sur un même} plan ^{des densités} macroscopiques ^{de moments} qui ^sont issues de modèles diffé- rents, et incite à définir impartialement des distributions moyennes intrinsèques.

Abstract.

Demonstration are often easier when more than one simplified ^{model are} taken into consideration

separately. ^Since only ^one model is used at a time, all the results tend to be considered as absolute ; ^this applies specially ^to the values of the mean densities of multipolar ^moments.

The relativity ^{of mean} densities of moments compared ^to the models considered may hardly ^be expected a priori,

since the mean density ^{of a} multipolar ^moment consists of the total moment within a macroscopic volume-unit,

and furthermore moments are additive when particles ^are gathered. Nevertheless, ^the present study ^{shows that}

the dependence ^{of the mean densities on the} model, is evident in a dielectric médium ; ^{at the same} time their stabi-

lity ^{is observed, when} spatial averaging ^{is varied.}

The existence of many ^{mean densities for a} given moment, reconciliates ^some contradictory points of views, ^about

the charge density in dielectrics. Moreover, ^the comparison of several well formalized models shows the danger ^of using ^{on the same term} macroscopic densities of moments that are issued from different models ; ^{this also induces}

one to define intrinsic mean distributions in an impartial ^manner.

Classification

Physics ^Abstracts

03.20

77.00

1. Introduction.

L’essentiel des résultats _pra-

tiques concernant les densités _moyennes de moments

multipolaires ^{dans un} diélectrique polarisé ^{est connu} depuis longtemps [1-3]. ^La formalisation de ces notions elle-même est très avancée [4-8]. Cependant ^nous

désirons développer ^{ici un} point ^{de vue} général, ^dont

certains aspects ^ont déjà ^été partiellement perçus, mais qui permet de mieux situer les uns par rapport

aux autres des résultats différents acquis ^{dans des} approches différentes.

Dans une approche donnée, ^{on considère} générale-

ment une seule représentation simplifiée du diélectri-

que à la fois, ^{et les} concepts ^{définis sont} implicitement

considérés comme absolus : ainsi ^en est-il _pour la densité de charge, la densité de moment dipolaire, ^etc.

Comparons maintenant des approches différentes.

Il ne paraît ^{en ressortir} qu’une ^{seule et} même notion de densité de moment dipolaire ; ^au contraire, ^{en ce} qui ^concerne la densité de charge, différents auteurs semblent admettre des valeurs diverses, puisque ^la

même densité est qualifiée tantôt de réelle ou effec-

tive [9-12], ^{et tantôt de} fictive ^{ou apparente} [1, 2,13-15].

Or, comme nous le _verrons, le problème ^{de l’exis-}

tence de plusieurs définitions concurrentes se pose

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198100420110153300

aussi bien _pour chacune des autres densités _moyennes de moments multipolaires, que pour la densité de

charge, ^{et ne} peut être abordé séparément.

On peut envisager ^que l’existence simultanée de

plusieurs ^densités concurrentes ait son origine ^dans

le choix de définitions différentes _{pour les} grandeurs

moyennes, mais on peut ^aussi remarquer que c’est

en partant de modèles dissemblables _que des résul-

tats différents sont obtenus pour la densité de charge ;

on peut donc soupçonner la notion de distribution moyenne macroscopique ^{de moment de} dépendre

des modèles considérés, ^{même si} intuitivement on

comprend ^{mal comment} des modèles qui ^{ne se dis-} tinguent que microscopiquement peuvent ^conduire à des résultats différents une fois que des moyennes

macroscopiques ^{ont été} prises.

Remarquons que la question, ^telle qu’elle ^vient

d’être finalement posée, ne concerne plus spécifique-

ment un milieu diélectrique, ^{mais un corps matériel} quelconque. ^C’est pourquoi ^{dans une} première partie,

nous raisonnerons le plus longtemps possible (et

d’abord d’un point ^{de vue} microscopique) ^{sur un} corps absolument quelconque. Ces considérations géné-

rales permettront ^d’aborder impartialement l’applica-

tion à un milieu spécifiquement diélectrique, qui

constituera la seconde partie. ^{Alors, en même} temps que la question de l’existence d’une ou plusieurs

densités de moments canoniques (c’est-à-dire ^ne

faisant _pas intervenir de choix arbitraire), pourront être posées plusieurs ^autres questions qui ^{lui sont}

liées indirectement, par exemple ^sur la validité de la

relation p

^{V.P au bord d’un} diélectrique, ^etc.

2. Modèles d’un _corps. Compatibilité.

^D’un

même _corps, on peut ^{souvent donner} différentes

descriptions, plus ^ou moins détaillées. Ainsi _pour un

matériau donné, ^et suivant l’étude qui ^{en est} faite, peut-on ^{se limiter} par exemple ^à distinguer ^tantôt

les molécules, tantôt les atomes, ^{tantôt encore les}

noyaux ^et les électrons.

Pour la définition d’une grandeur physique ^donnée

attachée au corps, il est fréquent que l’on puisse

considérer alternativement indifféremment plusieurs descriptions ^ou modèles, présentant ^{tous une finesse}

suffisante. Il est naturel alors de ne pas préciser ^la description du corps, ^ce qui revient à concevoir celui- ci intuitivement comme une sorte de superposition

de ses différents modèles, ^de plus ^en plus fins, ^et

« emboîtés » les uns dans les autres. Cependant chaque grandeur physique (et par exemple ^{les densités}

moyennes de moments multipolaires que ^nous consi- dérerons plus spécifiquement plus loin) ^{est définie}

en toute rigueur d’abord dans un modèle donné,

dont elle dépend a priori. Un tel modèle est une repré-

sentation formalisée du corps, qui, dans les raisonne- ments où l’on s’intéresse à un corps ^{M en tant} qu’en-

semble de charges électromagnétiques, peut ^être

conçue conformément à la définition suivante : nous

appellerons ^{modèle de M un} ensemble fini de parti-

cules ponctuelles ^{i, ayant à un} instant donné une

position ^{i dans} l’espace (1), ^et dont chacune i a des moments multipolaires ^internes X1) ^{de tous ordres m.}

On appellera distribution de moment 2m-polaire (microscopique) ^{du corps M} dans le modèle considéré la distribution tensorielle

nous écrirons en abrégé

distribution de charge, qui ^est scalaire,

la distribution de moment dipolaire, qui est vecto-

rielle, ^et QM ^la distribution de moment quadrupo- laire, qui ^{est 3 x} 3-tensorielle, ^etc.

On pourrait ^{admettre une} définition plus générale

d’un modèle d’un _corps, avec un nombre infini de

particules ^{et des} distributions de moments qui ^ne

soient _pas des sommes de distributions de Dirac,

mais ce ne sera pas utile _pour la suite.

Ce concept de ’modèle étant admis, ^{nous allons}

maintenant chercher à préciser simplement ^cette

notion _{que, pour} un même _corps, les modèles moins fins doivent pouvoir être dérivés des modèles plus fins, ^{et à définir une} condition de compatibilité ^de

deux modèles Mi ^{et M d’un même} corps; puis ^nous

chercherons la relation qui ^lie justement les suites

(P 1, Pi, Q1,... ) ^et (p, P, Q, ...) ^des distributions de moments de deux modèles compatibles.

La notion de modèle M2 ^dérivé d’un modèle Mi

est plus facile à formuler d’abord dans le cas parti-

culier où les particules ^de M1 1 ont seulement une

charge (c’est-à-dire pas de moments d’ordre > 1 ; qualifions ^un tel modèle Mi d’étémentaire) : ^on peut dire _que le modèle M2 ^est dérivé du modèle élémen- taire M ^{1 du même} corps, ^ou indifféremment _que M ¹

est plus ^{fin ou} plus ^détaillé que M2, ^si

-

d’une part chaque particule ^de M2 ^« regroupe » diverses particules ^de M1 1 (en ^étant plus précis, ^l’en-

semble des particules ^de M2 ^{est en} bijection ^{avec une} partition choisie de M 1, ^{de sorte} que chaque particule ⁱ

de Mi ¹ appartient ^{à une} particule k

k(i) ^de M2 ;

on écrira i E k) ;

-

d’autre part ^{le moment} 2’"-polaire interne de la

particule k ^de M2 ^{est défini comme le moment 2"’-} polaire ^total, par rapport ^{à la} position ^{k de k, des} particules ^{i de k.}

Ainsi _par exemple, pour ^un mélange chimique,

partant du modèle élémentaire constitué _par les noyaux ^et les électrons (vus classiquement), ^{on cons-}

e) ^Pour simplifier, ^{seul un} point ^{de vue} classique, c’est-à-dire

non quantique, ^est présenté ^ici [6] ; ^{mais on verra} clairement dans la suite _que des problèmes identiques ^{à ceux} abordés, existent pour des densités de présence définies instantanément ou quasi ^instanta-

nément.

titue un modèle dérivé M2 ^en choisissant comme

particules ^{les centres de masse} (par exemple) k ^des molécules, ^{et en} définissant xk(n) ^{comme le moment} 2"-polaire ^total par rapport à k, ^des noyaux ^et des électrons de la molécule k.

Autre exemple : pour ^un corps quelconque, ^en par- tant d’un modèle élémentaire Ml, ^{on constitue un}

modèle dérivé M2 ^{à une seule} particule k, ^{en choisis-}

sant un point quelconque ^{k de} l’espace, ^{et en définis-}

sant les moments internes de k comme ceux, par rapport ^à k, ^de M tout ^entier.

Restreignons-nous ^aux modèles à nombre fini de

particules, ^{et admettons} alors, qu’étant ^{donné un}

modèle M2, il existe au plus ^un modèle élémentaire

plus ^fin que lui; par ailleurs nous considérerons

uniquement ^désormais des modèles M2 qui ^admet-

tent effectivement un modèle élémentaire plus ^fin (on pourrait éviter de faire directement cette restric-

tion, ^{mais ce serait au} prix de certaines complications).

Il est alors naturel de choisir de qualifier ^de compati- bles deux modèles d’un même _corps s’ils sont dérivés d’un même modèle élémentaire.

Grâce à l’unicité du modèle élémentaire plus ^fin

que M2, ^il n’y ^a pas de difficulté _pour définir, plus généralement que précédemment, ^{un modèle} M3

dérivé d’un modèle non nécessairement élémentaire

M2 : étant donné un modèle M2, ^et étant choisie la

façon ^de regrouper les particules ^de M2 ^en particu-

les k de M 3, ^{et les} positions ^{k dans} l’espace ^des parti-

cules k de M3, il existe en effet un choix et un seul des moments internes des particules k, qui ^rende M 3 compatible ^avec M2. ^La dérivation des modèles est d’ailleurs bien ainsi transitive.

Ces notions de compatibilité et’ de modèle dérivé peuvent ^{donc être} exprimées ^très simplement, ^{et sont}

de plus, bien sensibles intuitivement, par exemple

entre les deux modèles non élémentaires M2 ^et M3

d’un milieu matériel, ^{dont les} particules ^sont respec- tivement les atomes et les molécules. Pourtant, ^la relation entre les moments internes des particules ^de M2 ^et M3 ^est déjà complexe, puisque par définition,

le moment 2"-polaire interne d’une particule k ^de M 3 ^{est le moment} 2"-polaire ^{total, par} rapport ^à k,

des particules ^de M qui appartiennent ^{à k par l’inter-}

médiaire de particules ^de M2. ^{Si, dans le} principe, M2 détermine entièrement les ^moments internes des particules ^de M3, ^en pratique ^{aussi, on} peut,

sans passer par l’intermédiaire de M 1, exprimer ^les

moments internes des particules k ^de M 3 ^{en fonction}

de ceux des particules ^de M2 directement : étant donné une particule ^{i de} M2, ^{et la suite X(n) de ses}

moments internes, ^on peut ^montrer que la contribu- tion Y(n) de i aux moments de la particule k ^de M3 ^à laquelle ^elle appartient, ^{est donnée par}

dans cette expression, ^le produit ^{tensoriel est noté}

sans signe multiplicatif, ^{et ki}

ⁱ

^k désigne ^l’écart

des positions ^{des deux} particules ; 8. désigne l’opéra-

teur de symétrisation T -> SN, ^T = L uT ^{dans le}

produit ^{tensoriel En de n fois} l’espace ^{habituel E} ( Q

décrit l’ensemble des permutations ^de (1, 2, ..., n) [16]).

On a notamment le critère suivant de compatibilité,

aisément vérifiable : deux modèles M2 ^et M3 ^sont compatibles ^{si et seulement si,} étant choisie une

particule ^dans l’espace, les modèles dérivés constitués par ^cette seule particule ^{sont confondus.}

3. Distributions de moments de modèles compatibles.

- Soient M et M’ deux modèles _pour un même _corps.

Dans le cas particulier où l’un des modèles, ^soit M’,

est dérivé de l’autre, la relation (1) exprime ^la compa- tibilité de M et M’, mais doit être écrite _pour chaque particule ^{de M.}

Plus simplement, ^montrons (et ^{ce sans} supposer que l’un des modèles est plus ^fin que l’autre) que M et M’ sont compatibles ^{si et} seulement si la série de distributions

a même limite _pour les deux modèles.

Ceci revient à montrer que, pour ^un modèle M, la limite de la série (2) ^est la distribution de charge p 1 du modèle élémentaire M ¹ plus ^fin que M. Or _par définition

En développant b(x - a) ^au voisinage ^de i, ^on obtient

soit en reportant ^dans p 1,

qui ^{est bien} égal ^à (2). ^Comme pour le développement (3), ^la convergence de la série de distributions (2) ^doit

être pris ^{au sens} limité de la convergence simple ^sur

les fonctions d’essai analytiques.

Il est bon de noter que ^cette condition de compa- tibilité

entre deux modèles, ^est microscopique, ^tandis que les relations comparables obtenues antérieurement [4,17]

ont toujours ^été recherchées directement sous une

forme moyennée (moyenne spatiale [6], ^ou moyenne

d’ensemble [18]).

Pour terminer ces considérations microscopiques, exprimons ^{dans un modèle donné, le} potentiel ^élec- trostatique ^créé par ^un corps. Etant donné un modèle M d’un _corps, on définit le potentiel électrostatique

créé dans l’espace par M, ^{comme le} potentiel ^électro- statique (en 1/r ^{non retardé} pour simplifier) ^créé par le modèle élémentaire M1 1 plus ^fin que M, c’est-à-dire

On peut ^montrer facilement _{que ç} s’exprime ^en

fonction des distributions de moments multipolaires X(n) de M selon

où ^* représente la convolution (on ^{a en effet}

~

p 1 ^* 1 /r, ^{et on utilise} l’expression (2) ^de p 1 ).

On déduit de (5), ^{ou de} (6) ^en utilisant 03941 = -4 nô,

r

le laplacien ^de 9 :

4. Grandeurs _moyennes macroscopiques.

^Diverses façons ^de prendre les valeurs _moyennes ont été déve-

loppées antérieurement [5, 6, 9, 17, 18] : moyennes

spatiales ^ou temporelles, ^ou spatiales ^et temporelles,

et moyennes d’ensemble. Nous nous limiterons à considérer ici les _moyennes spatiales, ^{dont l’intérêt}

a déjà ^été souligné ^ailleurs [6, 7,17].

i) Partant d’une grandeur physique G, dite micro-

scopique, ^on peut lui associer une grandeur physique G, dite macroscopique, dont la valeur G(Q ) ^{en un} point Q

est obtenue en prenant ^la moyenne spatiale ^{de G}

autour du point Q.

Diverses définitions de G sont possibles, qui ^corres- pondent à divers choix de la fonction filtre radiale

a(r) qui ^sert à définir la _moyenne spatiale ^{de G autour}

du point Q.

Soit a une distribution sur l’espace, ^de symétrie sphérique, ^et normalisée (( a, 1 >

1). ^{G étant une} grandeur ^{définie sur} l’espace, ^{on définit sa moyennes} G

comme

On peut par exemple ^{définir les} moyennes ^macrosco-

piques ^à partir ^{de la fonction} filtre a suivante (Réf. ^[9], paragraphe 113) : R ^{étant un rayon choisi,} qui

définit l’échelle macroscopique, a ^{est la fonction}

uniforme dans la boule (0, R) ^de rayon R centrée à l’origine, ^{et nulle en dehors de cette boule :}

Comme Russakoff l’a fait _remarquer [6], ^{les fonc-}

tions _moyennes G définies à partir ^{de cette fonction}

filtre a uniforme, ^{admettent souvent des} discontinuités

rapprochées, puisqu’elles sont souvent discontinues

sur les sphères (i, R ), ^{où i} représente ^les particules ^du

modèle : en effet, pour de nombreuses grandeurs G, G(Q ) varie discontinûment lorsqu’une particule pénè-

tre dans la boule (Q, R ) (lorsque Q varie).

Cependant ^{il faut} qu’il soit clair (dans ^{un milieu} dense) qu’en faisant la convolution de G avec a on

obtient, ^{sinon une fonction} macroscopiquement lissée,

du moins une fonction prête ^{à être lissée. En effet}

les discontinuités de G

G * a ont une amplitude petite relativement aux variations absolues de G

sur des distances macroscopiques (cette propriété

n’étant naturellement _pas vraie en général pour la fonction microscopique G). ^Bien qu’il ^{laisse à} G

les discontinuités microscopiques que nous venons

d’évoquer, ^le filtrage par ^une fonction uniforme a

remplit ^{donc bien son rôle de «} moyennation » ^{et de} régularisation macroscopique. Lorsque dans la suite

on considérera une moyenne G ainsi définie à partir

d’une fonction filtre uniforme, ^il s’agira ^non pas rigou-

reusement de la fonction G ^* _a, mais directement de la fonction G ^lissée (pour être continue et dérivable) qui

en est issue.

Signalons par ^avance que pour certaines grandeurs ^G

et

certains modèles de _corps, il apparaîtra

^dans

G(Q) ^{un terme} macroscopique important Gb(Q)

dû aussi à la discontinuité de la fonction filtre uniforme,

ce terme correspondant ^{à des} particules ^situées

au bord de la boule (Q, R ) ; ^{il sera} important ^{de ne}

pas confondre ce terme avec les oscillations microsco-

piques rémanentes de (G ^* a) (Q), ^dont nous venons

de convenir de faire abstraction.

Suivant Russakoff [6], pour obtenir des fonctions

macroscopiques qui ^soient régulières, ^{on a intérêt}

à utiliser une fonction filtre a qui ^soit régulière (conti-

nue, dérivable) ^{en tout} point. ^{Avec une fonction filtre a}

uniforme « arrondie » ou une fonction filtre a « en

cloche _», les discontinuités microscopiques ^{de G * a}

sont effectivement supprimées, ^{mais on} peut ^{alors se} demander dans chaque ^{cas si la} disparition ^{de la}

contribution de bord àb ^{ne modifie} pas notable- ment G.

ii) Etant donné un modèle M d’un _corps, dont les distributions de moments multipolaires ^{sont notées} x(n), ^on peut lui associer les distributions _moyennes de moments 2"-polaires

En convoluant avec a les deux membres de la relation (4), ^{on montre} que si deux modèles M et M’

sont compatibles, ^{la série}

a la même limite _pour les deux modèles.

Le choix d’un modèle autre que le modèle élémen- taire M 1 (M1 1 ou à défaut le modèle le plus ^fin qui

soit connu), nécessite le choix arbitraire d’une parti-

tion (ou partage) ^du corps M, ^ce qui ^{donne a} priori

un caractère relatif à la définition (10) ^des distributions moyennes de moments, lorsqu’elle ^est appliquée ^dans

un modèle autre que M1 ^{Par ailleurs,} la définition (10)

n’est intéressante dans le modèle M 1 que pour p 1

(xBn)

⁰ pour ⁿ > 0). ^C’est pourquoi ^{il est} justifié

de rechercher (cf. Appendice A) ^une définition des distributions _moyennes de moments qui ^soit indépen-

dante du modèle, pourvu que les modèles considérés restent compatibles.

iii) ^{Dans un modèle} M, ^le potentiel moyen ~ = ~ ^{* a} créé _par un corps, admet une expression analogue ^à l’expression (6) ^du potentiel microscopique, ^{mais en}

fonction des _moyennes x(n) ,

Ceci signifie qu’en pratique, lorsque les distributions

~ ^et x(n) sont des fonctions, ^on peut calculer ~ par

intégration des densités _moyennes p, P, ... (à ^multi- plier par des champs ^en 1/r, rlr3, ...), ^{comme si ces}

densités étaient microscopiques ^{et s’il} s’agissait ^du

calcul de _{lp ;} cependant l’intégration doit être étendue

non pas exactement au volume du corps, mais jus- qu’à ^{une distance R} au-delà des bords (R ^devenant,

pour ^une fonction filtre non uniforme, ^le rayon auquel a(r) ^devient négligeable).

La relation microscopique ^E = - Vrp qui ^{lie le} champ électrostatique ^au potentiel, ^{reste valable en}

moyenne :

et donc

Bien _que la fonction filtre uniforme (9) soit discon- tinue, ^elle conduit, pour le potentiel ^{et le} champ, ^{à des}

distributions moyennes 0 ^et È qui ^sont des fonctions continues partout ; p ^est même dérivable partout, mais É ne l’est _pas sur les sphères (i, R ) ^{centrées sur}

les particules ⁱ [15, 19] :

avec

avec

Nous allons maintenant calculer, ^{dans un diélectri-}

que polarisé, ^les distributions macroscopiques ^de

moments, définies ^comme précédemment ; pour ^com-

mencer nous utiliserons comme fonction filtre a

une fonction uniforme, puis ^nous montrerons qu’avec

une fonction filtre arrondie ^{ou en} cloche on obtient des résultats qualitativement semblables.

5. Divers types ^de représentations, pour ^un di-

électrique polarisé.

^Nous considèrerons le cas le plus simple ^d’un diélectrique ^N polarisé ^{de façon station-}

naire par le champ ^{constant dans le} temps EM ^créé

par ^un système ^{M de} charges fixes. Pour simplifier,

nous supposerons les charges de M extérieures au

volume occupé par N ; ^{dans ce cas où il} n’y ^a pas d’ions noyés ^{dans le} diélectrique, la densité de charge

PM (densité ^{de charge vraie p, de Rosenfeld [17] ou}

pe de Mazur [4]) ^est nulle dans N, ^et p

pM + pN ^se réduit à _pN.

Pour un diélectrique ^{comme pour tout corps, on} peut envisager plusieurs ^modèles microscopiques compatibles, ^{et même une} infinité. Nous allons comparer les ^moments moyens, définis par passage

aux moyennes macroscopiques, dans trois modèles N 1, N2, N3 qui ^{ne se} distinguent que microscopiquement (au ^{sens où les} particules ^{de l’un ne} regroupent que des particules ^{d’un autre} qui ^soient microscopique-

ment proches) : Ni, élémentaire, ^a pour particules

les protons ^{et les} électrons ; N2 ^a pour particules ^les

atomes, ^et N3 ^{les molécules.}

Ces définitions de Ni, N2, N3 ^seront précisées plus

loin. Mais si ces modèles sont supposés compatibles,

on peut ^écrire déjà que leurs suites de distributions de moments (Pl’ Pl = ^0, Q1 1

0...), (P2, Pz, Q2 ... ) ^et (P3

^0, P3, Q3"’) vérifient la relation microscopique

de compatibilité (4)

Quelle que soit la distribution filtre a choisie _pour définir les _moyennes, on a la relation macroscopique analogue ^à (14)

vraie en toute rigueur ^{au sens des} distributions.

5. 1 - Commençons par considérer le modèle le moins fin N 3 ^{dont les} particules ^{sont les molécules} (plus précisément ^{leur centre de masse} par exemple).

Ce modèle n’est défini canoniquement que lorsque

les molécules sont définies sans ambiguïté, ^ce qui ^n’est

pas toujours ^{le cas. Dans le cas} d’un cristal ionique

par exemple, ^on peut définir les molécules d’une infinité de façons, qui correspondent ^d’une part à différents choix de la limite des ions, ^{et d’autre} _part à différentes

façons possibles d’associer les ions en molécules. Nous reviendrons sur ce point à propos du modèle N2,

pour lequel ^un problème analogue ^se pose.

Plaçons-nous donc dans le cas où les molécules sont bien définies, pour que le modèle N3 ^le soit; ^{on a} microscopiquement P3

0, ^tandis que les distribu- tions de moments suivantes P3, Q3... ^{sont non nulles}

dans le cas général.

Ce modèle où il n’y ^a pas de charges, ^{est celui} qui ^est

tacitement le plus ^souvent considéré. Il ^est légitime d’y écrire, macroscopiquement aussi, P3

^{0 en tout} point, quelle que soit la fonction filtre a adoptée.

Choisissons d’abord la fonction filtre a donnée par (9), uniforme dans la boule (Q, R), ^{R étant un} rayon

grand devant les dimensions des molécules, ^mais petit ^devant les dimensions du diélectrique. ^{En un} point Q, P3(Q ) ^{est la somme des moments} mi des molécules de la boule (Q, R), ^divisée par le volume

(4/3) ^{03C0R 3 de cette} boule. Le vecteur polarisation électrique ^habituel Pel(Q) étant défini [20] ^{comme le}

moment total des molécules qui constituent un volume unité de diélectrique ^au voisinage ^de Q, P3(Q ) ^coïncide

avec Pet(Q). ^{du moins en tout} point Q ^{situé à une}

distance du bord S du diélectrique supérieure ^{à R.}

En un point Q ^{situé à une} faible distance d

d(Q, S)

du bord S (j d R ; comptons ^d algébriquement, positivement ^si Q ^est à l’extérieur du diélectrique N),

la boule (Q, R ) ^n’est plus incluse dans N, ^{et les défi-} nitions de P3(Q ) ^et P el( Q) ^ne coïncident plus ; ^{on a} approximativement

puisque le volume de l’intersection du diélectrique ^avec

la boule (Q,, R ) ^est (03C0/3) (R - d )2 (2 R ⁺ d) ; ^ainsi P3

varie-t-il rapidement ^{avec d, au} contraire de Pe, qui

varie _peu sur la distance R.

Le calcul de p ^et P dans ce modèle ne soulève donc

aucune difficulté. De plus ^{on voit} que si alternative- ment on définit les _moyennes à partir d’une fonction filtre arrondie ou en cloche, ^{on obtient} toujours P3 - P,, dans le volume bien intérieur au diélectrique,

c’est-à-dire à une distance du bord supérieure ^{à R} (R ^restant, pour ^une fonction filtre non uniforme, ^le

rayon auquel a(r) ^devient négligeable). ^Au voisinage

du bord l’expression (16) change ^avec a, mais P3(Q )

garde la même allure.

5 . 2

Considérons maintenant le modèle le plus

fin N 1, ^{dont les} particules ^{sont les} protons ^{et les élec-} trons, ^vus par exemple classiquement pour simplifier.

Dans ce modèle élémentaire, les distributions de moments X(n ) ^autres que la distribution de charge pi sont nulles ; macroscopiquement, pour ^une fonction

filtre a quelconque, ^{on a} p1 0 a priori, ^tandis que

x1n) ^{= 0} pour n # 0; ^notamment P1

⁰ partout.

Certains résultats approchés ^{relatifs au modèle} Ni peuvent être obtenus en considérant abusivement un

modèle plus simple, ^{dont les} particules ^{sont le centre}

des charges positives ^{et le centre des} charges négatives

des molécules (lorsque ^{celles-ci sont} définies) ; cepen- dant toutes les grandeurs ^ne prendraient pas la même valeur dans ce modèle différent de N 1.

Pour la définition des _moyennes, nous utiliserons d’abord une fonction filtre a uniforme.

i) ^Le calcul de la densité _moyenne de charge ^{dans le}

modèle N 1 a ^{été effectué} par Lorentz (Réf. [9], ^note 54), qui ^{a utilisé une} fonction filtre uniforme (Réf. [9], paragraphe 113), ^et qui ^{a abouti aux} résultats sui- vants : premièrement ^{la densité} volumique moyenne de

charge p 1 (densité ^de charge effective p ^{de Lorentz}

ou libre p de ^Rosenfeld (2)) ^vérifie partout

et deuxièmement il existe sur la surface du diélectrique

une distribution surfacique ^de charge réelle de densité

J

P,,.n (où ^{n est le vecteur} unitaire normal à la

surface, orienté vers l’extérieur). Depuis, ^{le raisonne-}

ment de Lorentz a été repris plusieurs ^{fois et amélioré} (par exemple ^Réfs. [4, 10, 11, 12, 17]); cependant ^il

reste quelques points ^{à mettre en évidence, concernant}

la validité de la relation (17), ^et la valeur de p 1 dans le diélectrique, loin du bord et à proximité ^{du bord.}

La relation (15)

vraie dans tout l’espace, s’exprime différemment en

fonction de Pe,, ^selon qu’on ^se place ^{loin ou à} proximité

du bord du diélectrique.

En tout point Q ^{bien intérieur au} diélectrique (d(Q, S) > R), ^{on a} P3

_P,t1 (et ^en définissant semblablement Qe,, etc., ^{on a} Q3

Qe,, etc.) ^{et donc}

ce qui ^{est la forme améliorée} [17] de la relation (17).

Au contraire, ^{en un} point Q proche ^{du bord} (d(Q, S) R), ^{on obtient en utilisant} (16), ^{et en} négligeant ^{les moments} d’ordre n > 2,

la relation (17), ^ou (18), n’est donc plus ^valable.

(2) ^{On trouve} parfois [13] pour la charge ^une utilisation de l’ad-

jectif ^libre qui ^{n’a aucun} rapport ^{avec la} précédente, ^et qui ^corres- pond, pour ^un diélectrique ^N entouré d’une armature M, ^à décompo-

ser PM ^comme la somme de la charge (pM - pN), ^{dite libre, et de la}

charge ^liée p,,.

ii) Considérons d’abord la valeur de p 1 au voisinage

du bord : le second terme, ^soit p", ^{de la somme} (19), représente la contribution à p 1 de la densité surfa-

cique Q

Pel,n ^{de Lorentz,} qui apparaît ^{dans un}

volume laminaire d’épaisseur microscopique suivant,

en le contenant, le bord du diélectrique. ^{On retrouve}

naturellement la densité ^Q en « plaquant » ^{sur la}

surface du diélectrique la densité volumique p" :

Par ailleurs, puisque Pe, ^varie peu ^sur la distance R, il est légitime ^{de faire} l’approximation

de sorte que l’expression (19) ^se simplifie :

L’expression (21) peut d’ailleurs être obtenue direc- tement en cherchant, par intégration ^{sur la} sphère (Q, R), ^la charge totale des morceaux de molécules intérieurs à la boule (Q, R ) [19].

Considérons maintenant la valeur de p ^{1 en un} point Q ^{bien intérieur au} diélectrique. ^Lorentz (Réf. [9],

note 54) ^{pense établir que}

dans le volume cU bien intérieur au diélectrique.

Cependant ^{dans son} raisonnement, pi(6) ^{est calculé}

en considérant P el ^comme quasiment ^{uniforme au} voisinage ^de Q, ^ce qui implique que 1 V.Pei 1 ^soit négligé ^devant 1/R Il Pel, 11, ^{comme dans} (20); ^cette approximation n’est malheureusement _pas licite _pour évaluer l’expression (18) ^dont V.P,, ^{est le terme} principal.

L’existence au voisinage ^du bord, de la forte densité donnée par’(21), grande devant 1 V.Pei ^{1, ne} justifie

pas ^non plus que l’on néglige p 1 - V.P,, ^{dans cU.}

En effet, ^{la densité} volumique (21) ^n’est répartie que

sur une épaisseur ^{constante faible 2 R autour du bord,}

et a une contribution (à la valeur du potentiel ^{créé par}

N par exemple) proprement surfacique, ^tandis que la contribution de la densité Pl 1 de cU est volumique.

L’approximation ^en question ^serait possible ^seulement

si l’on savait _que

(où ^{L est} l’ordre de grandeur ^des dimensions du

diélectrique), ^ce qui ^{est une relation} plus ^{forte que (20)}

et que l’on ignore.

Rosenfeld (Réf. [17], paragraphe (II, 4)) admet aussi

sans justification que fi, ¹ (dans ^{ses notations}

p = - V.(P - V.Q)) ^n’est différent de zéro _que dans les régions d’inhomogénéité, c’est-à-dire près

des surfaces de séparation.

Tant qu’elle ^n’est pas démontrée, la relation (22) ^ne peut être utilisée qu’après ^{avoir été} posée explicite-

ment comme une hypothèse ^nouvelle (comme ^{on le}

fait, ^{sous la forme} V.P,,

⁰ [4, 17] pour l’étude de la polarisation par ^un rayonnement).

Notamment la propriété ^Ao

^{0 dans CU, utilisée}

pour le calcul pratique ^du potentiel, ^nécessite l’hypo-

thèse (22), ^{faite sous l’une ou} l’autre forme. En effet

on a

il est important ^de remarquer qu’on ^ne peut ^déduire Ao

⁰ de la nullité de p3 ^en limitant le développe-

ment de Ao ^{à son} premier ^{terme -} p3leo’

Enfin, ^{il faut noter} que l’hypothèse classique que

P el ^{et È sont dans un} rapport xs ^uniforme [21, 22]

dans le volume ’U bien intérieur au diélectrique,

contient implicitement la nullité de p 1. ^En effet, ^cette hypothèse ^s’écrit plus ^exactement

qui implique

puisque X, ^est uniforme. En rapprochant ^{la rela-}

tion (7) ^{sous sa forme} macroscopique

(relation qui ^s’écrit V.Del

^{0 dans} ’U, lorsque ^le déplacement électrique ^{est défini} [4, 6, 17] ^comme

90 Ê - (Pel - V. Qel ⁺ "’)), ^et la relation (25), ^on

obtient bien (22).

iii) ^{Dans le cas} précédent de la fonction filtre a

uniforme, ^la contribution, à la valeur ponctuelle P1(Q) ^de pi, des molécules complètement ^contenues

dans la boule (Q, R ) ^est nulle. La valeur de P1(Q) ^se

réduit donc à la charge totale des morceaux i, ^inté- rieurs à la boule (Q, R ), ^{des molécules} coupées par la

sphère (Q, R). La non-nullité de Pl ^{1 (certaine au voi-} sinage ^du bord, ^et éventuelle a priori ^dans V) paraît

donc due exclusivement à la discontinuité de la fonc- tion a sur la sphère (Q, R).

Pourtant une densité de charge Pl définie dans le même modèle N 1 à partir d’une fonction a quelconque,

a la même allure _que la densité précédente (la compa- raison est limitée à des distributions filtres dont les supports ^{ont le même} rayon effectif R).

En effet, ^au voisinage ^du bord, la relation (16) ^est remplacée par ^une relation voisine, dont la dérivation donne pour p une expression voisine de (19), ^{et dont}

le second terme est aussi prépondérant. Simplement,

la forme en arc de parabole de la densité (21) ^est

remplacée par ^une forme un peu différente qui dépend

de a.

Dans le volume CU, l’hypothèse (22) ^reste inchangée lorsqu’une fonction filtre quelconque a remplace ^la

fonction filtre uniforme a’. En effet, _pi * a’

⁰ implique (p * a’) ^{* a}

0; la convolution étant ici associative et commutative, ^ceci impose (p 1 * a) ^{* a’ =} 0, qui n’est pas possible ^{que si p 1 * a}

^0, puisque

pi ^{* a est} déjà ^{une fonction} macroscopiquement régulière.

L’allure de la densité de charge p 1 dans le modèle N 1

dépend ^{donc assez} peu de la définition précise ^des

moyennes macroscopiques. Intuitivement, ^{en un} point Q, la contribution à p 1 (Q ) ^{des morceaux des}

molécules « coupées » par la fonction filtre uni- forme a, est remplacée, pour ^une fonction filtre régu- lière, par ^une contribution différentielle de chaque molécule, ^{due à la} non-uniformité de a dans le volume instantanément occupé par ^une molécule (une compen- sation du même type ^{sera constatée} lors du calcul de

P; ^cf. Appendice B).

La décomposition ^de p,, que l’on a faite ci-dessus dans le cas d’une fonction uniforme, ^{en la} contribution des molécules complètes ^d’une part, ^{et d’autre} part ^la contribution de bord des molécules incomplètes, ^n’a

d’ailleurs _pas un caractère absolu dans le modèle N 1.

Au contraire, ^cette vision, qui fait concevoir subjec-

tivement les charges ^au bord de la boule (Q, R), ^n’est définissable _que relativement à la partition ^{du diélec-} trique ^{en ses molécules.}

iv) ^La définition des distributions intrinsèques ^de

moments X(p) (Appendice A) s’exprime plus simplement

dans le modèle N (sous ^{la forme (A.} 1)), ^{que dans un}

modèle quelconque (forme (A. 2)). ^Pour que ^ces dis- tributions _moyennes intrinsèques soient bien séparées

des distributions _moyennes X, ^les valeurs, ^{dans un} diélectrique, ^des premières distributions X(p) sont

rejetées ^dans l’Appendice ^B.

5.3.

Après ^avoir envisagé les modèles N3 ^et Ni,

considérons finalement _pour le diélectrique ^{un modèle} N2 ^{dont les} particules ^{sont les atomes.}

Il _y a une infinité de façons différentes possibles ^de

définir les atomes à chaque ^instant (ou ^en moyenne

sur une durée très courte), qui correspondent ^{à diverses} répartitions possibles, ^{entre les} noyaux, des densités de présence électroniques. ^Par exemple, ^{si l’on définit}

les atomes par des limites spatiales rigides (ce qui

n’est _pas la seule possibilité), des formes et des dimen- sions différentes peuvent être choisies [23].

A chaque définition précise ^{des atomes, accom-} pagnée d’un choix de positions pour les particules uniques qui ^les représentent, correspond ^{un modèle} N2

bien défini. Il _y a donc, pour ^un diélectrique, ^une

infinité de modèles différents du type N2 ; ^avant

de comparer les distributions moyennes de moments d’un modèle N2 ^à celles des modèles N, ^{1 ou} N 3, ^la question ^se pose donc de savoir dans quelle ^{mesure la}

suite de moyennes X2n dépend de la définition précise

de N2. ^{Or, il} apparaît que les suites (p2, P2, ...) ^et (P2, P2, ...) varient du tout au tout suivant le modèle

précis N2 ; seule du moins la somme de la série (2), ^ou

de la série (11), ^reste invariante.

En effet : dans un modèle N2 ^{où la} définition des atomes en fait des entités toujours neutres, ^{on a} p2

0 soit p2

0; ^au contraire la distribution P2,

constituée _par les moments dipolaires atomiques mi, conduit à ^une distribution _moyenne P2, ^{non nulle au}

moins en présence ^d’un champ extérieur. Aux moments

d’ordre > ² près, ^on peut ^affirmer d’après (15) que

O . P2 O. P3 ; cependant ^{dans ce cas il est facile}

d’établir de plus l’identité de P2 ^et P3 (lorsque ^le

modèle N3 ^{est défini sans} ambiguïté ; ^et sauf dans le

cas très rare où les molécules n’auraient ni moment

dipolaire permanent ⁿⁱ induit).

Alternativement, ^on peut envisager ^{une définition}

des atomes telle qu’ils ^aient toujours ^{des moments} dipolaires ^internes faibles, et, ^au moins lorsque ^le diélectrique ^est polarisé, ^des charges partielles impor-

tantes. Dans le modèle N2 correspondant, p2 prend

alors des valeurs élevées, ^{au moins au} voisinage ^du bord, ^tandis que P2 ^{reste faible en tout} point; V.P 2

pouvant ^{alors être} négligé ^devant p2, ^on peut ^affirmer l’identité de p2 et fi i, ^{si les moments} d’ordre > ^{2 sont}

négligeables.

Entre les modèles N2 ^et N2 ^se placent ^une infinité de modèles du même type N2, ^{où ni} P2 ni P2 ne ^sont

négligeables, ^et OÙ P2 ^et V.P 2 peuvent être du même ordre dans la somme (11). Naturellement, ^{dans ces}

modèles N2 intermédiaires, P2

^{est en}

général ^nota-

blement différent de p 1, ^et P2 ^de P3 (= Pei ^dans

’li).

Rosenfeld [17] ^{ou Mazur} [4] considèrent pour ^un milieu matériel, qui peut être aussi bien conducteur que diélectrique, ^un modèle du type N2. ^{Dans le}

traitement adopté, formellement on sépare, ^{dans un}

même atome, ^la charge pour constituer - ^{et le}

moment dipolaire (respectivement quadrupolaire, etc.)

pour constituer P2 (respectivement Q2, etc.). ^Pourtant

ce modèle est du type N2, c’est-à-dire _que les atomes constituant proprement ^le diélectrique doivent être définis comme électriquement neutres, puisque P2

doit représenter ^{le vecteur} polarisation électrique habituel; ^{seuls sont} éventuellement non neutres les

particules ^{ou atomes} chargés mobiles dans un conduc- teur, ^ou les ions permanents polarisants noyés ^dans

un diélectrique (contribuant à la densité de charge

vraie de Rosenfeld, évoquée brièvement au début de ce

paragraphe).

6. Conclusion.

i) ^{Nous venons de constater} plusieurs ^{fois dans} l’exemple d’un milieu diélectrique,

que le _passage à la _moyenne macroscopique ^laisse

subsister des différences extrêmes entre les distribu-

tions de moment 2"-polaire issues de modèles qui

cependant ^{ne se} distinguent que microscopiquement

(au ^{sens où les} particules ^{de l’un ne} regroupent que