2 2 35 12 12 12 12 12 12 mv mv 2g 4gL 5gL 4gL ! mv mv P a u T 02 02 " L L L L ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

DYNAMIQUE - ÉNERGIE - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE I. Énergie cinétique

1.

• Pendant le choc, quasi-instantané, la vitesse est horizontale donc le poids ne travaille pas ; en outre la vitesse est toujours per- pendiculaire à la tension du fil et cette tension ne travaille donc jamais. Au total lʼénergie cinétique du point matériel M reste cons- tante et la norme du vecteur vitesse est conservée.

• Compte tenu de la quasi-instantanéité du choc, on peut considérer que la vitesse reste horizontale (perpendiculaire à la portion extrême du fil), donc le vecteur vitesse est conservé lors du choc.

2.

• Le problème se ramène à celui dʼune fronde de longueur L = ℓ - d dont le mobile est lancé dans la position dʼéquilibre avec une vitesse v₀ qui est celle atteinte par M lors du choc.

◊ remarque : ceci suppose quʼon néglige le “raccourcissement” progressif du fil dû à son enroulement sur une tige de diamètre non nul (on néglige le diamètre de la tige) ; mais le raisonnement ainsi obtenu est correct même si cela change légèrement les coefficients numériques des formules...

• Dʼaprès le théorème de lʼénergie cinétique entre lʼinstant initial et lʼinstant du choc, lʼénergie cinétique atteinte est : E_c =

!

1 2^mv0

2 = mgℓ ; par suite : v₀ =

!

2g!.

• De même, dʼaprès le théorème de lʼénergie cinétique entre lʼinstant du choc et un instant quelconque précédant le passage au sommet :

!

1 2^mv

2 -

!

1 2^mv0

2 = -mgL.[1 - cos(θ)] et en particulier lors du passage au sommet (sʼil est atteint) :

!

1 2^mv

2 -

!

1 2^mv0

2 = -2mgL ; par suite une condition nécessaire pour que le sommet soit atteint est : v² > 0 et donc : v₀ >

!

4gL.

• En appliquant la relation fondamentale de la dynamique après le choc : m

!

a =

!

P +

!

T et en projetant sur le vecteur

!

u_" des coordonnées polaires, on obtient : mLθ^•2 =

!

mv²

L = T - P cos(θ). La condition de tension du fil est alors : T =

!

mv²

L + mg cos(θ) > 0 ; mais compte tenu de la relation de lʼénergie cinétique, ceci correspond à : T =

!

mv₀²

L - mg.[2 - 3cos(θ)] > 0 quel que soit θ entre 0 et π. En particulier pour le cas limite, il faut :

!

mv₀²

L - 5mg > 0 et donc : v₀ >

!

5gL, condition plus restrictive que la précédente.

◊ remarque : entre ces deux limites, le point M peut atteindre la hauteur du sommet, mais le fil se détend et une partie de la trajectoire est parabolique.

• On aboutit donc à la condition : 2gℓ > 5gL dʼoù on déduit : d >

!

3 5^ℓ.

◊ remarque : il faut aussi probablement d >

!

1

2ℓ pour éviter que le point M percute le support compor- tant la fixation en A, mais cette condition est automatiquement vérifiée dans le cas précédent, et même dès que v₀ >

!

4gL.

II. Énergie potentielle

1.

• Les forces exercées par les deux particules lʼune sur lʼautre sont opposées (actions réciproques) et ont forcément la même direction que le segment AB, compte tenu de la symétrie de lʼensemble (si on sup- pose que les particules sont effectivement représentables par des points matériels...).

• Si on note

!

u_r le vecteur unitaire orienté comme

!

AB (c'est-à-dire radial par rapport à A), on peut écrire pour des forces répulsives :

!

F_A"B =

!

"

rⁿ

!

u_r et

!

F_B"A = -

!

"

rⁿ

!

u_r.

2.

• Sʼil existe une énergie potentielle E_p(B) pour la particule B soumise à lʼaction de A, alors on peut écrire :

!

F_A"B = -

!

"E_p où les dérivations sont prises par rapport aux coordonnées de B.

• Si E_p existe, elle doit vérifier : -dE_p = dW =

!

F_A"B •dOB avec A fixe si on étudie lʼinfluence sur B.

Mais alors, pour n ≠ 1 : -dE_p =

!

F_A"B •dAB =

!

"

rⁿ

!

u_r•dAB =

!

"

rⁿ dr =

!

d " #

n"1

( )

^rn"1

$

%&

'

() et donc : E_p =

!

"

n#1

( )

^rn#1 + C avec C = Cste.

• De même pour n = 1 : -dE_p =

!

"

r

!

u_r•dAB =

!

"

r dr = d[α ln(r)] et donc : E_p = α ln(r) + C avec C = Cste.

• On vérifie réciproquement que lʼexpression ainsi obtenue est solution du problème :

!

F_B"A = -

!

"E_p.

◊ remarque : puisque E_p ne dépend que de r, la seule dérivée est

!

"E_p

"r et le gradient peut sʼécrire :

!

"E_p =

!

"E_p

"r

!

u_r.

III. Énergie cinétique et équation du mouvement

• Le théorème de lʼénergie cinétique peut sʼécrire : ΔE_c = W(

!

P) dans la mesure où la seule autre force intervenant, la tension du fil, ne travaille pas (elle est en permanence normale à la vitesse). Ceci cor- respond à : ΔE_c =

!

1 2^mv

2 - 0 = mg.(z₀ - z) et donc lʼénergie mécanique E_m =

!

1 2^mv

2 + mgz est constante.

• Avec lʼorigine de z en O, et v = ℓ . !^• , on obtient : E_m =

!

1 2^mℓ

2θ^•2 - mgℓ cos(θ) = -mgℓ cos(θ₀).

• La dérivation de cette relation donne : ml²θ^•θ^•• + mgℓ sin(θ) θ^• = 0. Or la solution θ^• = 0 correspond au cas particulier sans mouvement θ = θ₀ constant ; le mouvement est donc décrit par lʼéquation différen- tielle : θ^•• +

!

g

! sin(θ) = 0.

◊ remarque : inversement, la quantité constante E_m est appelée “intégrale première” du mouvement

car elle correspond à une première intégration de lʼéquation différentielle du mouvement (équation du second ordre qui peut être intégrée deux fois).

IV. Types de mouvements d’un pendule

• Dans ce plan lʼéquation différentielle du mouvement peut être obtenue par la relation fondamentale de la dynamique : m

!

a =

!

P +

!

F .

• La tension

!

F du fil est initialement dans le plan vertical contenant O et la direction de

!

v₀. Par la suite, cette force est toujours dans le plan vertical contenant O et le fil, et elle ne peut donc pas faire changer le plan du mouvement ; il en est de même du poids (vertical). Donc le mouvement se fait en entier dans ce plan.

• Lʼéquation différentielle peut ainsi s'écrire en coordonnées polaires :

!

P +

!

F = m ℓ θ^•

!

u_" - m ℓ θ^•2

!

u_r.

• La composante orthoradiale donne : m ℓ θ^• = -mg sin(θ), donc : θ^•• +

!

g

! sin(θ) = 0.

• Pour θ “petit” (imposé si v₀ est petite), on obtient : θ^•• +

!

g

! ^θ ≈ 0 ; le mouvement est donc de la

forme : θ = Θ_m cos(ωt+φ) avec ω =

!

g

!. Les constantes dʼintégration se calculent alors dʼaprès les condi- tions initiales : θ^• = -ωΘ_m sin(ωt+φ) donc : 0 = Θ_m cos(φ) et

!

v₀

! ^{= -ωΘm sin(φ).}

Ceci correspond à φ = ±

!

"

2 ^{et Θm = ±}

!

v₀ l" ^{= ±}

!

v₀

!g et ces deux expressions mathématiques décrivent le même cas physique ; on choisit alors arbitrairement la description avec Θ_m =

!

v₀

!g > 0 et φ =

!

"

2, donc : θ = Θ_m sin(ωt).

• Il est toutefois évident que, même qualitativement (compte tenu de lʼapproximation du sinus), ce type de mouvement nʼest pas le seul possible : il se produit forcément un mouvement dʼun autre type si Θ_m dé- passe π ; en outre on nʼa pas tenu compte du fait que le fil souple ne reste pas forcément tendu.

• La composante radiale de lʼéquation différentielle du mouvement sʼécrit : m ℓ θ^•2 = F - mg cos(θ) avec v = ℓ θ^• ; le fil ne reste tendu que si : F = m.[

!

v²

! + g cos(θ)] ≥ 0 cʼest-à-dire : v² ≥ -gℓ cos(θ).

• Si on considère alors les mouvements de type oscillants, il faut vérifier la relation précédente même quand la vitesse sʼannule, et ceci impose : cos(θ) ≥ 0 et Θ_m ≤

!

"

2^.

• Lʼénergie mécanique : E_m =

!

1 2^mv0

2 =

!

1 2^mv

2 + mgℓ.[1 - cos(θ)] est constante puisque la tension du fil ne travaille pas ; on en tire : v² = v₀² - 2gℓ.[1 - cos(θ)]. Par suite, le mobile est en principe capable, si le fil ne se plie pas, de monter jusquʼà ce que v = 0, cʼest-à-dire : cos(Θ_m) = 1 -

!

v₀²

2g!. La condition précédente sʼécrit donc : v₀ ≤

!

2g!, limite des mouvements de type oscillatoires.

• Mais dʼautre part, si v₀ est assez grande pour que la vitesse ne sʼannule pas, on peut avoir des mouvements de type rotation périodique à vitesse variable. Ceci correspond aux cas où lʼénergie cinétique permet dʼatteindre le point à la verticale au dessus de O sans que le fil se plie.

La première condition sʼécrit : v² = v₀² - 2gℓ.[1 - cos(θ)] > 0 quel que soit θ, cʼest-à-dire : v₀ >

!

4g!

avec une limite pour θ = π et cos(θ) = -1.

La deuxième condition sʼécrit : v² + gℓ cos(θ) > 0 donc v₀² - 2gℓ + 3gℓ cos(θ) > 0 quel que soit θ, cʼest-à-dire : v₀ >

!

5g!. La combinaison des deux conditions correspond à : v₀ >

!

5g!, limite des mou- vements de type rotation périodique à vitesse variable.

• Entre les limites des types de mouvement précédents :

!

2g! < v₀ ≤

!

5g!, le troisième type de mouvement correspond à un début dʼoscillation suivi dʼune chute parabolique lorsque le fil se plie (ce qui se produit pour v₀² - 2gℓ + 3gℓ cos(θ_lim) = 0, cʼest-à-dire pour cos(θ_lim) =

!

1 3

!

2"v₀² g!

#

$

%%

&

' ((^.

V. Énergie et limite de trajectoire

1.

• La force exercée par la charge fixe q sur la charge -q, mobile selon lʼaxe Ox, peut sʼexprimer sous la forme :

!

F = -α

!

q² x²

!

u_x avec α =

!

1

4"#₀ ^{= 9.10}

9 m.F^-1.

• Sʼil existe une énergie potentielle E_p pour la charge -q soumise à lʼaction de q, alors on peut écrire :

!

F = -

!

"E_p = -

!

dE_p dx

!

u_x.

• Si E_p existe, elle doit vérifier : -dE_p = dW =

!

F^•dOM = -α

!

q² x^{2 dx =}

!

d "q² x

#

$%

&

'(, donc : E_p = -

!

"q² x + C avec C = Cste.

• Pour échapper à lʼattraction de la charge fixe q, la charge mobile doit pouvoir sʼéloigner jusquʼà lʼinfini avec une énergie cinétique E_c ≥ 0 ; puisque lʼénergie potentielle tend vers C pour x infini, la conservation de lʼénergie mécanique peut alors sʼécrire : E_m = E_c + E_p =

!

1 2^mv0

2 -

!

"q²

L + C ≥ C.

• On obtient ainsi : v₀ ≥

!

2"q² mL ^.

2.

• Dʼune façon analogue :

!

F = α

!

q² x²

!

u_x. Par suite : -dE_p = dW =

!

F^•dOM = α

!

q² x^{2 dx =}

!

d "#q² x

$

%&

' () et donc : E_p =

!

"q²

x + C avec C = Cste.

• En sʼapprochant de la charge fixe q, la charge mobile doit avoir une énergie cinétique E_c ≥ 0 ; la conservation de lʼénergie mécanique sʼécrit alors : E_m = E_c + E_p =

!

1 2^mv0

2 +

!

"q²

L + C ≥

!

"q²

L + C et la charge mobile sʼarrête quand toute lʼénergie mécanique est sous forme dʼénergie potentielle.

• On obtient ainsi : x ≥ x_m tel que :

!

1 x_m ⁼

!

1 L ⁺

!

mv₀² 2"q^2.

VI. Énergie potentielle et stabilité d’un équilibre 1.

• La force résultante est :

!

F =

!

"K₁r+K₂ r²

#

$% &

'(

!

u_r et lʼéquilibre est obtenu quand cette force sʼannule : -K₁r₀ +

!

K₂

r₀² = 0 dʼoù on tire : r₀ =

!

K₂ K₁

3 .

2.

• La force dérive dʼune énergie potentielle E_p(r) telle que :

!

F = -

!

"E_p cʼest-à-dire : K₁r -

!

K₂ r² =

!

"E_p

"r . On en tire : E_p(r) =

!

1 2^K1r

2 +

!

K₂

r + C avec C = Cste. La valeur particulière E_p(r₀) =

!

3

2³K₁K₂² conduit alors à C = 0 et E_p(r) =

!

1 2^K1r

2 +

!

K₂ r ^.

◊ remarque : la force est radiale, donc l'énergie potentielle ne dépend pas de θ.

• Lʼéquilibre par rapport à r correspond à

!

"E_p

"r = 0 (extremum) et on retrouve r = r₀ ; la stabilité de

cet équilibre est décrite par

!

"²E_p

"r^{2 = 3K1} > 0 (minimum) pour r = r₀, et lʼéquilibre est donc stable.

• Lʼéquilibre par rapport aux rotations peut être étudié par lʼeffet de θ. Pour r = r₀ fixé, le déplacement est simplement proportionnel aux variations de θ ; on peut donc raisonner en dérivant par rapport à θ. L'équi- libre correspond à

!

"E_p

"# = 0 et on peut conclure quʼil y a équilibre de rotation pour tout θ ; la stabilité de cet

équilibre est décrite par

!

"²E_p

"#² = 0 et il sʼagit donc dʼun équilibre indifférent.

B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT VII. Énergie mécanique et équation du mouvement 1.a.

• Lʼénergie cinétique peut sʼécrire :

E_c =

!

1 2^{m v}

2 =

!

1 2^m.(x

•2 + y^•2 + z^•2) =

!

1 2^m.

dx dq

"

#$ %

&

'

2

+ dy

dq

"

#$ %

&

'

2

+ dz

dq

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

'' q^•2.

• Ceci peut sʼécrire : E_c =

!

1

2

m

(q) q^•2 avec

m

(q) = m.

!

dx dq

"

#$ %

&

'

2

+ dy

dq

"

#$ %

&

'

2

+ dz

dq

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

''.

1.b.

• Lʼénergie potentielle peut sʼécrire : E_p(q) = E_p(x(q), y(q), z(q)).

• Lʼénergie mécanique est donc : E_m =

!

1

2

m

(q) q^•2 + E_p(q).

1.c.

• En lʼabsence de frottement, le point M nʼest soumis quʼà des forces conservatives de lʼénergie (la réaction normale du rail ne travaille pas).

• La dérivation donne :

!

dE_m

dq = 0 =

!

1 2

d

m

dq ^q

•2 +

m

(q) q^•

!

dq^• dq ⁺

!

dE_p

dq . Ceci peut se mettre sous la forme :

!

1

2

m

^•(q) q^• +

m

(q) q^•• = -

!

dE_p dq ^.

• On remarque que cela correspond à une “force généralisée” -

!

dE_p

dq (associée au gradient par rap- port à q). Par contre, à part cas particuliers, il nʼest pas possible de définir une “quantité de mouvement”

p

=

m

(q) q^• telle que

p

^• = -

!

dE_p dq ^.

1.d.

• Les positions dʼéquilibre correspondent à q^• = 0 et q^•• = 0, donc à

!

dE_p

dq = 0 (extremums).

• Un équilibre est stable si et seulement si le point matériel, lâché immobile en une position voisine, subit une accélération dans le sens qui tend à le rapprocher de la position dʼéquilibre. Ceci correspond à

m

(q) q^•• = -

!

dE_p

dq ^avec

m

(q) > 0 ; lʼaccélération se fait donc dans le sens des énergies potentielles décrois- santes et lʼéquilibre est stable si et seulement si

!

d²E_p

dq² > 0 (minimum de E_p).

2.a.

• Lʼénergie cinétique peut sʼécrire : E_c =

!

1 2^{m v}

2 avec

!

v =

!

ds

dt d'après la définition de s (distance parcourue). Ainsi E_c =

!

1 2^{m s}

•2 avec donc

m

(s) = m.

◊ remarque : plus généralement, l'expression se simplifie quant le paramètre q est une abscisse curviligne proportionnelle à la distance parcourue, ce qui impose

m

q^•• = -

!

dE_p

dq ^avec

m

= Cste.

2.b.

• Lʼénergie mécanique peut sʼécrire : E_m =

!

1 2^{m s}

•2 + mg z(s). La dérivation donne : s^•• = -g

!

dz ds^.

2.c.

• L'oscillateur envisagé ici correspond à : s^•• = -

!

k m^{s = -g}

!

dz

ds, donc :

!

dz ds ⁼

!

k

mgs ; z(s) =

!

k 2mgs².

2.d.

• D'après ce qui précède : ds² = dx² + dz² = dx² +

!

ks mg

"

#$ %

&

'

2

ds². Ainsi : dx = ds

!

1" ks mg

#

$% &

'(

2

.

☞

rappel : l'opérateur de différenciation (noté d) est prioritaire sur les opérations algébriques ; ainsi : ds² = (ds)² ≠ d(s²).

2.e.

• En posant

!

ks mg = sin

!

"

2

#

$% &

'(, on obtient : dx = ds cos

!

"

2

#

$% &

'( ⁼

!

mg 2k ^cos

2

!

"

2

#

$% &

'( ^{dθ =}

!

mg

4k(1 + cos(θ)) dθ.

◊ remarque : l'accélération est indirectement provoquée par la pesanteur :

!

s^•• < g ; ainsi

!

ks mg ^{< 1.}

◊ remarque : il n'y a pas de problème de signe car

!

"

2 ^<

!

"

2 donc cos

!

"

2

#

$% &

'( ^{> 0.}

• Compte tenu du fait que x = 0 correspond à z = 0, qui correspond à s = 0, donc à θ = 0, ceci donne : x =

!

mg

4k(θ + sin(θ)).

2.f.

• L'expression de x(θ) n'est pas facile à inverser pour en déduire z(x) = z(s(θ(x))). On peut toutefois préciser la description paramétrique en fonction de θ : z =

!

mg 2k ^sin

2

!

"

2

#

$% &

'( ⁼

!

mg

4k(1 - cos(θ)).

• La représentation paramétrique {x =

!

mg

4k(θ + sin(θ)) ; z =

!

mg

4k(1 - cos(θ))} décrit une cycloïde.

VIII. Énergie mécanique et équation du mouvement 1.a.

• Lʼénergie cinétique peut sʼécrire :

E_c =

!

1 2^{m v}

2 =

!

1 2^m.(x

•2 + z^•2) =

!

1 2^m.

!

1+ dz dx

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

'' ^x•2.

• Ceci peut sʼécrire : E_c =

!

1

2

m

(x) x^•2 avec

m

(x) = m.

!

1+ dz dx

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

''^.

1.b.

• Lʼénergie potentielle peut sʼécrire : E_p(x) = mg z(x).

• Lʼénergie mécanique est donc : E_m =

!

1

2

m

(x) x^•2 + mg z(x).

1.c.

• En lʼabsence de frottement, le point M nʼest soumis quʼà des forces conservatives de lʼénergie (la réaction normale du rail ne travaille pas).

• La dérivation donne :

!

dE_m dx ⁼

!

1 2

d

m

dx ^x

•2 +

m

(x) x^•

!

dx^• dx + mg

!

dz dx ⁼

!

dz dx

!

d²z dx^{2 x}

•2 +

!

1+ dz dx

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

'' ^{x•• + g}

!

dz dx ^{= 0.}

2.a.

• Lʼéquation différentielle pour lʼoscillateur harmonique donne : x^•• = -

!

k m ^{x ;}

• En substituant

!

1+ dz dx

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

'' ^{x•2 = 2}

!

E_m m "gz

#

$% &

'(, on en déduit une équation différentielle du second ordre sur z(x) : -

!

1+ dz dx

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

''

2

!

k m ^{x +}

!

dz dx^.

!

g. 1+ dz dx

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

'' +2 E_m m (gz

"

#$ %

&

'd²z dx²

"

#

$$

%

&

'' = 0.

2.b.

• Lʼoscillation se fait autour dʼune position dʼéquilibre stable, correspondant à un minimum de E_p donc de z(x). On peut donc choisir ce point comme origine, ce qui impose : z(0) = 0 et

!

dz

dx(0) = 0. On en déduit la valeur C = 0.

2.c.

• Le logiciel Maple ne parvient pas à proposer de solution formelle, mais faute de mieux on peut tenter une résolution sous forme de développement en série : la symétrie impose : z(x) ≈ α x² + β x⁴ + 𝒪^(x6).

• On en déduit : α =

!

mg 8E_m

!

1+8 E_mk m²g² "1

#

$

%%

&

'

(( puis β =

!

2"²k

16E_m"+mg (et ainsi de suite).

• Une autre méthode consiste à isoler :

!

dz dx ⁼

k x²"2mgz

2E_m"k x² puis à utiliser la méthode dʼEuler.

◊ remarque : d'après le développement qui précède, on constate que (au moins dans une certaine limite) : z > α x² avec α <

!

k

2mg ; ainsi le numérateur de l'expression ci-dessus ne s'annule pas.

• Pour que le calcul soit possible, il faut que l'amplitude maximale (z_max = z(x_max) =

!

E_m

mg) soit atteinte avant que la tangente au rail devienne verticale : x_ext =

!

2E_m

k , forcément à l'extrémité du rail. Ceci im- plique de limiter l'énergie mécanique pour un rail donné (dont la forme est imposée par k), mais pour une raideur donnée, la forme du rail dépend aussi de E_m (donc de l'amplitude du mouvement souhaité) !

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16

x [m]

z [m]

2.d.

• Lʼoscillateur harmonique correspond à : x(t) = A sin(ωt + φ) avec ω =

!

k

m ^{et A =}

!

2E_m

k ^{. Ceci} donne x^•(t) = Aω cos(ωt + φ) puis x^•2 =

!

k m^.(A

2 - x²).

• Ceci donne :

!

dz dx

!

d²z dx²

!

k m^.(A

2 - x²) -

!

1+ dz dx

"

#$ %

&

'

" 2

#

$$

%

&

''

!

k m^{x = -g}

!

dz dx^.

2.e.

• Lʼéquation précédente peut se simplifier en posant Z(x) =

!

dz dx ^: Z

!

dZ dx

!

k m^.(A

2 - x²) - (1 + Z²)

!

k

m^{x = -gZ.}

• Le logiciel Maple ne parvient pas à proposer de solution formelle, mais faute de mieux on peut tenter une résolution sous forme de développement en série : la symétrie impose : Z(x) ≈ 2α x + 4β x³ + 𝒪^(x5).

• On en déduit : α =

!

mg 8E_m

!

1+8 E_mk m²g² "1

#

$

%%

&

'

(( puis β =

!

2"²k

16E_m" +mg (et ainsi de suite).

◊ remarque : étrangement, Maple 11 ne donne aucune réponse et Maple 12 répond par un dévelop- pement “absurde” dont le premier terme est négatif et les autres sont infinis (cʼest plus efficace à la main...).

• Une autre méthode consiste à isoler :

!

dZ dx ⁼

!

1+Z²

( )

^{k x"mg Z}

Z. 2E

(

_m"kx²

)

puis à utiliser la méthode dʼEuler.

◊ remarque : cela impose de simplifier astucieusement le début du calcul, pour lequel Z(0) = 0 ; on peut utiliser :

!

dZ dx^{(0) =}

!

k x Z

"

#$ %

&

'0

(mg

2E_m ^avec

!

x Z

"

#$ %

&

'0

=

!

1

2" (ce qui nécessite d'étudier le développement limité).