☞ Mp dpp dVV dpp dxV p 12 12 pV pV E " " s s p p 12 sp mV R " s p 2 " V RT mx mV mV "# $ ! V # s p mV ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

DYNAMIQUE - OSCILLATIONS LIBRES - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE I. Résonateur de Helmholtz

• Si le gaz contenu dans le récipient évolue de façon adiabatique, suivant la loi : pV^γ = p₀V₀^γ, on peut écrire en différentiant pour un petit déplacement dx :

!

dp p + γ

!

dV

V = 0 et donc :

!

dp p + γ s

!

dx V ^{= 0.}

• Lʼeffet des forces pressantes de l'air sur les deux faces du piston est par conséquent (algébrique- ment) : dF = s dp = -γs²

!

p

V dx. Pour des petites oscillations, on peut considérer en première approximation que : γs²

!

p V ^{≈ γs}

2

!

p₀

V₀ est constant ; donc : F = m x^•• = -

!

"s²p₀

mV₀ x c'est-à-dire : x^•• +

!

"s²p₀

mV₀ ^{x ≈ 0.}

• L'équation précédente correspond à un oscillateur harmonique de pulsation : ω =

!

"s²p₀

mV₀ et de période : T =

!

2" mV₀

#s²p₀ .

• Pour les oscillations de l'air contenu dans le goulot, de masse : m = ρsℓ, on obtient une fréquence : N =

!

1 2"

#sp₀

$!V₀ (avec ρ =

!

Mp₀

RT₀ où M = 29 g.mol^-1 est la masse molaire moyenne de l'air).

II. Oscillation au voisinage d'un équilibre

• En lʼabsence de frottement, la réaction

!

R de la surface est perpendiculaire au mouvement et ne travaille pas. Compte tenu des conditions initiales (vitesse nulle), la somme des forces reste dans un plan vertical (celui qui contient le poids, la position initiale, la réaction R initiale ; cʼest donc par symétrie une section méridienne). Le mouvement se fait donc dans ce plan méridien, et on peut décrire la position du point matériel à lʼaide dʼune seule coordonnée, par exemple son abscisse x.

• En décrivant lʼeffet de la pesanteur par lʼénergie potentielle E_p = mgy = mgax², lʼéquation du mou- vement découle de la conservation de E_m = E_c + E_p avec E_c =

!

1 2^m.(x

•2 + y^•2) =

!

1 2^mx

•2.(1 + 4a²x²). On obtient ainsi :

!

E_m^•

mx^• = x^••.(1 + 4a²x²) + 2ax.(g + 2ax^•2) = 0 (en supposant x^• ≠ 0 puisquʼon étudie le mou- vement et non lʼéquilibre).

☞

remarque : ce type de raisonnement suppose que l'énergie ne dépend que d'une seule variable de position ; puisqu'on utilise la variable x, on doit donc substituer y = y(x).

• Dans la mesure où cette équation est compliquée, on peut commencer par raisonner sur les proprié- tés générales du mouvement. Ainsi, il existe une position dʼéquilibre stable au “fond” du bol : minimum de lʼénergie potentielle.

• Par ailleurs, puisque lʼénergie cinétique ne peut pas être négative, le mobile ne peut pas remonter plus haut que sa position initiale, donc son mouvement est limité. Or il se déplace sur une courbe (intersec- tion du bol avec le plan méridien contenant le mouvement) donc le mouvement correspond soit à un mou- vement périodique (repassant par les mêmes positions dans les mêmes conditions, donc forcément pério- dique), soit à un mouvement tendant asymptotiquement vers une position dʼéquilibre.

• En pratique, le poids entraîne le mobile vers le bas, et il “accélère” tant quʼil descend (E_c augmente quand E_p diminue) ; il atteint donc le “fond” du bol avec une vitesse maximum et il passe de lʼautre côté sans pouvoir sʼarrêter. De lʼautre côté, il “ralentit” au fur et à mesure quʼil remonte et retrouve sa hauteur initiale, avec une vitesse nulle, après une durée de remontée égale par symétrie à la durée de descente... et ainsi de suite, donc le mouvement est périodique.

• Pour les petites oscillations (au voisinage de lʼéquilibre), on peut simplifier en : x^•• + 2ag x = 0 et on en déduit que le mouvement est sinusoïdal, de période : T =

!

2"

2ag^.

◊ remarque : pour simplifier lʼexpression de E_c, on peut envisager de repérer la position par lʼabscisse curviligne s le long de la courbe parcourue, qui correspond à : s^• = v et donc : s =

!

1+4a²x²

( )

"

^{dx ; en}

utilisant lʼintégration par partie, on obtient : s =

!

x

2 1+4a²x² -

!

1

2a argsh(2ax), mais lʼintérêt en est limité car cela complique lʼexpression de E_p ; pour les petites oscillations, on peut toutefois écrire E_c =

!

1 2^ms

•2 et développer E_p(s) : s ≈ x.(1 -

!

2 3^a

2x²) donc x ≈ s.(1 +

!

2 3^a

2s²) et E_p ≈ mgas².(1 +

!

4 3^a

2s²) ; le terme dʼordre le plus bas montre quʼil y a un équilibre stable pour s = 0, correspondant à une “raideur” K = 2mga, et donnant donc des petites oscillations de période T =

!

2" m K ⁼

!

2"

2ag ; le terme dʼordre suivant permet éventuellement une étude des plus grandes oscillations par développement limité.

III. Oscillateur anharmonique et dilatation 1.

• Lʼénergie potentielle E_p(x) =

!

1 2^kx

2 -

!

1 3^ksx

3 donne

!

dE_p

dx = kx - ksx² donc

!

dE_p

dx (0) = 0 (extremum) ce qui correspond à un équilibre ; mais la condition kx.(1 + sx) = 0 indique quʼil existe une autre position dʼéquilibre pour x =

!

1 s^.

• Par ailleurs

!

d²E_p

dx² = k - 2ksx donc

!

d²E_p

dx² (0) = k > 0 (minimum) ce qui correspond à un équilibre stable ; mais la condition k.(1 - 2sx) = -k < 0 pour x =

!

1

s indique que lʼautre position dʼéquilibre est instable (maximum de E_p).

• La courbe représentative est la suivante :

2.

• Compte tenu de la forme de la courbe précédente, on voit que le mouvement reste au voisinage de x = 0 seulement si x ≤ 1

s (la force

!

F = -dE_p

dx exerce un “rappel” vers lʼorigine tant que le mobile ne sort pas du “creux”).

• Lʼéquation du mouvement peut sʼécrire : m x^•• =

!

F = -

!

dE_p

dx = -kx.(1 - sx). Cette équation nʼétant pas simple (terme quadratique), il est alors intéressant dʼutiliser un développement limité pour x ≪

!

1 s^.

3.

• Pour x ≪

!

1

s on obtient à lʼordre le plus bas 1 - sx ≈ 1 ; lʼéquation simplifiée m x^•• + kx = 0 donne alors la solution : x = A cos(ω₀t) avec ω₀ =

!

k

m et avec une origine des temps appropriée. Ceci corres- pond effectivement à la solution du mouvement pour les très petites amplitudes, cʼest-à-dire pour A ≪

!

1 s^.

• À lʼordre suivant, on peut chercher une solution sous la forme : x = A.[cos(ω₀t) + ε f(t)] avec ε ≪ 1 (pour décrire une correction dʼordre supérieur) et f(t) inconnue décrivant la forme du terme correctif.

• En substituant dans lʼéquation et en simplifiant par A (A ≠ 0 si on étudie le mouvement), on obtient : m [-ω₀² cos(ω₀t) + ε f^••] + k [cos(ω₀t) + ε f] {1 - sA.[cos(ω₀t) + ε f]} = 0. En ne conservant que le premier ordre en ε et sA, on en tire : f^•• + ω₀² f = ω₀²

!

sA

" ^cos

2(ω₀t) = ω₀²

!

sA

2" [1 + cos(2ω₀t)].

• Ceci donne des oscillations forcées de pulsation 2ω₀ autour dʼune valeur moyenne f₀ =

!

sA

2"^{. Si on} veut écrire la solution sous la forme : f = cos(2ω₀t) + a, on obtient alors : ε = -

!

sA

6 ^{et a =}

!

sA 2" ^{= -3.}

4.

• Les valeurs moyennes des cosinus sont nulles et il reste : < x > = Aε < f > = Aεa =

!

sA² 2 .

• Si on suppose quʼon peut appliquer le principe dʼéquipartition de lʼénergie à lʼoscillateur anharmo- nique, dans la limite des petites oscillations, on obtient : < E_p > ≈

!

1 2^{k < x}

2 > ≈

!

1

2^{kBT (où kB =}

!

R

N

A

est la constante de Boltzmann).

• De < cos²(ω₀t) > =

!

1

2 on tire (à lʼordre le plus bas) : < E_p > ≈

!

kA²

4 et donc : A²≈

!

2k_BT k ^{. En} reportant alors dans le terme dʼordre suivant, on obtient : < x > ≈

!

sk_BT

k , ce qui correspond à un allonge- ment proportionnel à la température (dilatation).

IV. Oscillation au voisinage d'un équilibre

1.a.

• En repérant la position sur le cercle par lʼangle θ, proportionnel au déplacement, les coordonnées de M par rapport au centre du cercle sont x = R sin(θ) et y = R cos(θ). On peut donc exprimer la longueur sous la forme : L(θ)=

!

x²+

(

D+R"y

)

^{2 =}

!

R sin

( )

"

( )

²⁺

(

^{D+R#R cos}

( )

^"

)

^2.

1.b.

• La masse m est soumise à une réaction du cercle, mais cette force ne travaille pas et peut être omise dans les raisonnements sur l'énergie.

• L'énergie potentielle élastique peut s'écrire : E_pe =

!

1

2k.[L(θ) - L₀]² ; lʼénergie potentielle de pesan- teur est : E_pp = mgz = mgR cos(θ).

• On peut écrire lʼénergie mécanique sous la forme : E_m =

!

1 2^mR

2θ^•2 +

!

1

2k.[L(θ) - L₀]² + mgR cos(θ).

• Les positions dʼéquilibre correspondent à :

!

dE_p

d" = k R sin(θ).

!

1" L₀ L

( )

#

$

%& '

()

(

D+R

)

"mg k

$

%&

' () = 0.

• Il y a donc un équilibre pour sin(θ) = 0, ce qui se limite à θ = 0 si on suppose que le cercle est incomplet (comme le suggère le schéma de l'énoncé).

• Il existe deux autres positions dʼéquilibre pour θ_e tel que : L(θ_e) = L_e = L₀

!

D+R D+R"mg

k

à condition que cette longueur soit supérieure à D et inférieure à (au plus) D + 2R (le mobile M reste sur le cercle de rayon R, même s'il est complet, or lʼexpression précédente tend vers lʼinfini quand

!

mg

k → D + R).

• D'après l'expression de L(θ), ceci correspond à : cos(θ_e) =

!

R²+

(

D+R

)

^2"Le 2

2R. D

(

+R

)

^.

1.c.

• Chaque équilibre est stable si et seulement s'il correspond à une dérivée seconde positive :

!

d²E_p

d"² = k R cos(θ).

!

1" L₀ L

( )

#

$

%& '

()

(

D+R

)

^"mg_k

$

%&

'

() + k R sin(θ).

!

L₀

L

( )

"³

(

^D+R

)

^{2R sin}

( )

^"

#

$

%%

&

' (( ^{> 0.}

• Pour lʼéquilibre en θ = 0, on obtient :

!

1"L₀ D

#

$% &

'( (D + R) >

!

mg

k , ce qui correspond à L_e < D (impos- sible), cʼest-à-dire que cet équilibre est stable s'il est le seul.

• Pour les équilibres en θ_e ≠ 0, on obtient (en simplifiant) :

!

L₀ L

( )

"^{3 sin}

2(θ) > 0, ce qui est toujours vrai, c'est-à-dire que ces équilibres sont toujours stables s'ils existent.

1.d.

• Lʼéquation du mouvement découle de la propriété :

!

dE_m dt ^{= θ}

•

!

dE_m

d" = 0 ; lʼétude du mouvement correspondant à θ^• ≠ 0.

• Compte tenu de v = Rθ^•, l'énergie cinétique est E_c =

!

1 2^mR

2θ^•2 ; lʼéquation du mouvement est (pour les petites oscillations au voisinage de θ = 0) :

!

dE_m d" ^{≈ mR}

2θ^•• + Kʼ θ = 0 avec un “coefficient de raideur” : Kʼ =

!

d²E_p d"^{2 = k R.}

!

1"L₀ D

#

$% &

'(

(

D+R

)

^"mg_k

#

$% &

'( ^{> 0.}

• Dans ce cas (dérivation par rapport à θ) la constante Kʼ ainsi obtenue n'est pas ce qu'on appelle conventionnellement “raideur” de lʼoscillateur. La raideur est en fait K =

!

"

K R² = k.

!

1"L₀ D

#

$% &

'( 1+D R

#

$% &

'( ^-

!

mg R intervenant dans l'équation exprimée en fonction du déplacement Rθ : m.(Rθ)^•• + K.(Rθ) = 0.

• La période des petites oscillations est donc : T ≈

!

2" mR² K # ⁼

!

2" m K ^.

2.a.

• On obtient : L(θ) =

!

D cos

( )

" ^{= -}

!

x sin

( )

" ^.

2.b.

• La masse m est soumise à une réaction de la tige inclinée, mais cette force ne travaille pas et peut être omise dans les raisonnements sur l'énergie.

• L'énergie potentielle élastique peut s'écrire : E_pe =

!

1

2k.[L(θ) - L₀]² ; lʼénergie potentielle de pesan- teur est : E_pp = mgz = mgx sin(α) = -mgD sin(α) tan(θ).

• Lʼénergie mécanique peut s'écrire : E_m =

!

1 2^mx

•2 +

!

1

2k.[L(θ) - L₀]² - mgD sin(α) tan(θ).

• Les positions dʼéquilibre correspondent à :

!

dE_p d" =

!

kDL₀ cos²

( )

" ^.

!

L

( )

"

L₀ #1

$

%& '

()sin

( )

" #mg sin

( )

* kL₀

$

%&

'

() = 0, elles sont donc solution de l'équation : tan(θ) = sin(θ) + λ.

2.c.

• Puisque la pente minimale de tan(θ) est égale à 1 et que la pente maximale de sin(θ) est égale à 1, la différence entre les deux est strictement croissante et ne peut prendre une valeur λ que pour au plus une valeur de θ. Par ailleurs tan(θ) peut prendre toute valeur réelle et sin(θ) est bornée, donc la différence peut prendre toute valeur λ pour au moins une valeur de θ.

• Ceci peut être visualisé à l'aide du graphique suivant, mettant en particulier en évidence la solution θ = 1,08 rad = 62° dans le cas où λ = 1.

2.d.

• Lʼéquilibre est stable si et seulement s'il correspond à une dérivée seconde positive :

!

d²E_p d"^{2 =}

!

kDL₀ cos²

( )

" ^.

!

1

cos²

( )

" ^#cos

( )

^"

$

%

&

&

' (

)) > 0 (en simplifiant tan(θ) - sin(θ) - λ).

• Ceci se ramène à cos³(θ) < 1 ce qui est toujours vrai.

2.e.

• Lʼéquation du mouvement découle de la propriété :

!

dE_m dt ^{= θ}

•

!

dE_m

d" = 0 ; lʼétude du mouvement correspondant à θ^• ≠ 0.

• Compte tenu de v = -

!

D cos²

( )

" ^θ

•, l'énergie cinétique est E_c =

!

1 2^m

!

D² cos⁴

( )

" ^θ

•2 ; lʼéquation du mouvement est (pour les petites oscillations au voisinage de θ = 0) :

!

dE_m d" ^{≈ m}

!

D² cos⁴

( )

"_e ^θ

•• + Kʼ.(θ - θ_e) = 0

avec un “coefficient de raideur” : Kʼ =

!

d²E_p d"^{2 =}

!

kD² cos²

( )

"_e ^.

!

1

cos²

( )

"_e ^#cos

( )

^"e

$

%

&

&

' ( )) ^{> 0.}

• Dans ce cas (dérivation par rapport à θ) la constante Kʼ ainsi obtenue n'est pas ce qu'on appelle conventionnellement “raideur” de lʼoscillateur. La raideur est en fait K =

!

"

K cos⁴

( )

#_e

D² = k.[1 - cos³(θ_e)] inter- venant dans l'équation exprimée en fonction du déplacement x : m x^•• + K.(x - x_e) = 0.

• La période des petites oscillations est par conséquent : T =

!

2" m K^.

V. Amortissement et viscosité

• En supposant que le mouvement est limité à lʼaxe vertical, et en prenant comme origine la position

“à vide” de lʼextrémité du ressort (lʼordonnée z est alors égale à lʼallongement du ressort), la relation fonda- mentale de la dynamique peut sʼécrire algébriquement : mz^•• = - mg - k z - λ z^• avec λ = 6πηr.

• Ceci peut sʼécrire sous la forme : z^•• + 2α z^• + ω₀² z = - g avec α =

!

"

2m ^{et ω0 =}

!

k

m. La solution particulière z_e = -

!

g

"₀^{2 = -}

!

mg

k montre alors que le mouvement sʼeffectue “autour” de cette position limite (position dʼéquilibre). En changeant dʼorigine pour se ramener à cet équilibre, lʼéquation devient plus sim- plement : z^•• + 2α z^• + ω₀² z = 0.

• Si α < ω₀, le mouvement est pseudo-périodique, de la forme : z = e^-αt [A cos(ωt) + B sin(ωt)] avec ω =

!

"0

2# $². On obtient ainsi : α =

!

2" T²#T₀² T₀T ⁼

!

"

2m ⁼

!

3"#r

m et η =

!

2m 3r

T²"T₀² T₀T ^.

• Le décrément logarithmique est δ = αT (après une pseudo-période, la partie sinusoïdale reprend la même valeur, et la variation du logarithme correspond à ln[e^-αT]). Dʼaprès ce qui précède, on obtient donc : δ =

!

2" T²#T₀² T₀ ⁼

!

3"#rT m ^.

VI. Amortissement et facteur de qualité

1.

• Lʼéquation de lʼoscillateur considéré est de la forme : x^•• + 2α x^• + ω₀² x = 0. Les solutions, pour un amortissement faible (α < ω₀), sont de la forme : x = X_m e^-αt cos(ωt+φ) = e^-αt [A cos(ωt) + B sin(ωt)] avec : ω =

!

"0 2# $².

• Lʼénergie mécanique de lʼoscillateur est : E_m =

!

1 2^mx

•2 +

!

1 2^kx

2 où m est le coefficient dʼinertie de lʼoscillateur, et où k = mω₀² est sa “raideur”. Pour un amortissement faible α ≪ ω₀ et ω ≈ ω₀ (à lʼordre le plus bas). On obtient alors : x^• ≈ -ω₀ X_m e^-αt cos(ωt+φ) et E_m(t) ≈

!

1 2^{m ω0}

2 X_m² e^-2αt.

• Lʼénergie perdue par période est : ΔE_m = E_m(t+T) - E_m(t) ≈ E_m(t) (e^-2αT - 1) ≈ 2αT E_m = 2δ E_m. Le facteur de qualité peut alors sʼécrire sous la forme :

Q

⁼

!

"₀ 2# ⁼

!

2"E_m

#E_m ^≈

!

"

#^.

◊ remarque : on peut aussi exprimer le facteur de qualité comme le rapport

!

X_mM

X₀ pour des oscilla- tions forcées à la résonance, selon lʼéquation : x^•• + 2α x^• + ω₀² x = ω₀² X₀ e^jωt (en notations complexes) et la solution : x = X_m e^j(ωt+φ) donnant X_m =

!

"₀²X₀

"₀²# "²

( )

^2+4$2"2

(et un déphasage qui importe peu ici) ;

pour un amortissement faible, lʼamplitude maximum correspond à ω ≈ ω₀ et donc : X_mM ≈ X₀

!

"₀ 2# ; le facteur de qualité est ainsi :

Q

⁼

!

X_mM X₀ ^≈

!

"₀

2# et on retrouve bien

Q

^≈

!

"

# si on utilise la notation des ré- gimes transitoires δ = αT =

!

2"#

$ ^≈

!

2"#

$₀ (pour un amortissement faible).

2.

• Lʼamortissement indiqué correspond à : e^nαT = e^nδ = 10, et donc :

Q

^≈

!

"

# ⁼ n"

ln 10

( )

^.

VII. Diagrammes de phase

a.

• La solution peut sʼécrire : x = X_m cos(ω₀t+φ) et

!

x^•

"₀ ^{= -Xm sin(ω0t+φ).}

• Le diagramme de phase correspond donc à un cercle de rayon X_m.

b.

• Dans le cas dʼun départ à vitesse nulle, la solution pour la première alternance peut sʼécrire : x =

!

f

k ^{+ Xm cos(ω0}t) et

!

x^•

"₀ ^{= -Xm sin(ω0t). La} portion correspondante du diagramme de phase est donc un demi-cercle de rayon X_m et de centre x_C =

!

f k^.

• De même pour la deuxième alternance : x = -

!

f

k ^{+ Xʼm cos(ω0t) et}

!

x^•

"₀ ^{= -Xʼm sin(ω0t). La} portion correspondante du diagramme de phase est donc un demi-cercle de rayon Xʼ_m et de centre xʼ_C = -

!

f

k ; et ainsi de suite en raccordant les demi- cercles (avec arrêt dès que lʼintersection avec lʼaxe des x est entre -

!

f k ^et

!

f k^).

c.

• Lʼéquation est semblable par rapport à la variable θ, mais un peu moins simple : θ^•• + ω₀² sin(θ) = 0 avec ω₀ =

!

g

!. La solution approchée pour les petites oscillation correspond à lʼoscillateur harmonique. La solution exacte nʼest pas facilement explicitable, mais on nʼa besoin ici que de la relation entre θ et θ^•.

• Lʼintégration de lʼéquation précédente (ou le théorème de lʼénergie mécanique) permet dʼécrire :

!

"^•

#₀ ⁼

!

2 cos

( ( )

" ^#cos

( )

^"0

)

^{+ "}

•0

$0

%

&

' (

)*

2

. On en déduit le diagramme de phase suivant :

-3 -2 -1 0 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

!

!•/"0

◊ remarque : pour les petites oscillations au voisinage de lʼorigine, on retrouve le diagramme de phase correspondant à un cercle de rayon Θ_m.

B. EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT VIII. Amortissement par courants de Foucault

• Si le cadre monte d'une hauteur dz le flux magnétique coupé par le fil du haut est dφ = B A dz. Il apparaît une force électromotrice induite : e = -

!

d"

dt ^{= -BAz}

• et un courant induit : i =

!

e R ^{= -}

!

BA R ^z

•.

◊ remarque : il apparaît aussi un champ magnétique induit qui s'ajoute au champ magnétique initial, mais cet effet est du second ordre et peut être négligé.

• Le courant induit cause une force de Laplace sur le fil du haut ; cette force, conformément à la loi de Lenz, tend à s'opposer au mouvement qui la provoque :

!

F =

!

i A

"

^B soit algébriquement : F = -

!

B²A² R z^•.

◊ remarque : il y a aussi des forces de Laplace sur les fils des côtés, mais elles se compensent.

• L'équation différentielle du mouvement sʼécrit donc : mz^•• = -mg -k.(z - z₀) -

!

B²A²

R z^• avec l'équilibre correspondant à : 0 = -mg -k.(-z₀) d'après le choix de l'origine ; donc : z^•• +

!

B²A² mR z^• +

!

k m ^{z = 0.}

• Cette équation est de la forme : z^•• + 2α z^• + ω₀² z = 0 où α =

!

B²A²

2mR et ω₀ =

!

k

m. Les solutions pour un amortissement faible (α < ω₀) sont de la forme : z = Z_m e^-αt cos(ωt+φ) où ω =

!

"0

2# $² .

• Le décrément logarithmique décrit la décroissance de l'amplitude sur une pseudo-période T =

!

2"

# ^: δ =

!

ln z_n z_n+1

"

#$ %

&

' = αT =

!

2"#

$0 2% #²

≈

!

2"#

$₀ ⁼

!

"B²A²

R mk (amortissement très faible).

IX. Oscillateur à trois dimensions

1.

• La condition dʼéquilibre stable en M₀ correspond alors à :

!

"E_p =

!

0 et K_i > 0 (en général, il y a des

“raideurs” différentes selon les trois axes). On simplifie alors en choisissant lʼorigine du repère à la position dʼéquilibre : E_p(M) ≈ E_p(O) +

!

1

2 K_ix_i²

"

i ^.

2.a.

• Dans ces conditions, le point M est soumis à une force “de rappel” :

!

F = -

!

"E_p = -

!

K_ix_iu_i

( )

"

i ^où

!

u_i est le vecteur unitaire selon Ox_i.

• On en déduit les équations : x_i^•• + ω_i² x_i = 0 avec ω_i =

!

K_i

m ; les solutions peuvent sʼécrire sous la forme : x_i = X_im cos(ω_it+φ_i), mais ceci correspond a priori à trois oscillations indépendantes : le mouvement est en général non périodique si les K_i sont indépendants !

◊ remarque : on peut obtenir lʼéquation du mouvement en dérivant lʼénergie mécanique (constante) : E_m =

!

1

2mx_i^•2+1 2K_ix_i²

"

#$ %

&

(

' ; cette méthode met en évidence le fait que chacune des contributions des différentes coordonnées à E_m est constante (les directions des axes ont été choisies ainsi).

2.b.

• Le cas particulier avec K₁ = K₂ = K₃ (noté K) correspond à : E_p(M) ≈ E_p(O) +

!

1 2^K

!

OM² et à une force centrale :

!

F = -

!

"E_p = - K

!

OM.

• En notant

!

r =

!

OM pour simplifier, on en déduit lʼéquation :

!

r^•• + ω²

!

r =

!

0 avec ω =

!

K

m ^{; les} solutions sʼécrivent sous la forme :

!

r =

!

A cos(ωt) +

!

B sin(ωt) et les conditions initiales imposent alors :

!

A =

!

r(0) et

!

B =

!

v 0

( )

" ^.

◊ remarque : la notation avec déphasages est ici moins pratique, car les ω_i sont égaux, mais les φ_i sont différents.

• On obtient donc ici un mouvement plan : dans le plan de

!

A et

!

B.

◊ remarque : conformément à lʼétude générale des mouvements à force centrale, le plan du mouve- ment est perpendiculaire au moment cinétique

!

"O.

• On peut alors montrer quʼil est toujours possible de choisir la direction des axes de coordonnées de telle façon que : x = X_m cos(ωt) ; y = Y_m sin(ωt) ; z = 0 ; ce qui correspond à une trajectoire elliptique ayant son centre à lʼorigine (et non pas un foyer, contrairement aux forces en

!

1 r²).

◊ remarque : ce choix des axes nʼest pas contradictoire avec celui envisagé précédemment pour éliminer les termes croisés

!

"²E_p

"x_i"x_j. x

(

_i#x_i0

)

^{. x}

(

^j#xj0

)

; en effet, par symétrie, ces termes sʼannulent si les K_i

sont égaux (les seules directions privilégiées sont alors celles découlant des conditions initiales).