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Leçon 125-Extensions de corps. Exemples et applications.

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Academic year: 2022

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Leçon 125-Extensions de corps. Exemples et applications.

I. Généralités sur les extensions.

1. Extension et degré [2]

— Déf : Extension de corps

— Exemple :Cextension deR

— Déf : Degré d’une extension

— Exemple :[C:R] =2 et[R:Q] = +∞

— Thm : Base téléscopique

— Multiplicativité des degrés

— Déf : Extension moogène et application extension degré premier [3]p66 2. Algébricité [3]p66

— Déf : Element algébrique et transcendant

— Déf : Polynôme minimal

— Exemple

— Structure dek[a]

— ⇔pour les éléments algébriques

— Déf : Extension algébrique

— [k[a]:k] =deg(irr(a,k,X))) 3. Exemples [3]p.70

— Dev 1 : Thm de Wantzel(Dans le Josette Calais : Extension de corps)

— Nombres constructibles : pb de duplication du cube et quadrature du cercle

II. Trois extensions particulières [2]p.57 1. Corps de rupture

— Déf : Corps de rupture

— Exemple

— Existence d’un corps de rutpure

— Construction deC

— Critère d’irréductibilité dans une extension 2. Corps de décomposition

— Déf : Corps de décomposition

— Thm : Existence et unicité

— Construction des corps finis 3. Clôture algébrique

— Déf : Clôture algébrique

— Exemple

— Calgébriquement clos

Bibliographie :

— 1- Madère : Leçons d’algèbre

— 2-Gozard : Théorie de Galois

— 3- Perrin : Cours d’algèbre

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