7 7

Chapitre 3 : Puissances et expressions Leçon l5 : Puissances

1.

Activités Activité

¹

a.

Compléter les pointillés ^:

. ' .

_{7 +7 +7}

:...;

3r.l -...

signifie

que 7 +7 +7...3x7

.

6,2+ 6,2 + 6,2

r

^6,2

_=4x.-. -

^...

22 2 2

²

o

-+-+-+-+- 33 3 3

³

^=)X...

^=..-

b.

Selon

l'exemple

ci-dessous, compléter les

pointillés

:

ExemPles

: .4x 4x4=64:

⁴³

.3x3x3x3=...:3"'

' (-5)"(-5)'(-5)

₌ ...

=(...)' '(0,2)x(0,2)=..-=...

.

^a

*!r!r

... ^E ...

5 55

Activité

2

a

désigne un nombre relatif,

m

et n des nombres entiers positifs

différents

^de

zéro.-

a.

Cbmpléter le tableau suivant

: '

^,

m n o^ an a^ xan m+n am+n

2 I o2 ol o2

tol

^a

)

o3

Ja

)

2 2

'

^.

^D'apiès

^{le tableau, on a}

: ^a'xan

=

a""'*""' ^'I

b.

^Compléter le tableau suivant :

m n e^

a'

a^

7

^{m-n a^-n}

5 2 a- o2 d"

7

3

a'

4 I

J 3

. Si m:neta+0

D'autre part, _cn a

Compléter les

pointillés

:

.

_{(oo)' = oo}

,

_{oo =} a"""+""" = ^q4 x"""

'

^(ot)o

:

_at

* _"-

x _-.. x ...

= O"'* "'+"' - ^O3x

' , Onadonc,(o^)':a".

(o\o

a

.l-l :-x...x...x...

vb)

^b

_ctx.-. x...

^xa __o"'

bx...x...xb

b"'

. _on

_{a donc}

_t ^(g\' _\ài =t

bn

(ot'| =abx"'x"'

= ex

axaxbxbxb

₌

a"'b"'

'

^{On a donc}

^:

^{(ab\' = a-..b.-.}

2.

A retenir

l. Définition

:

a

^est un nombre entier relatif rron

nul

et n est un entier positif.

On appelle puissance d'un nombre entier relatif

a

le

produit

de

,ona:

: a :l

q^

t _=o^

₌

_a'-* :

o"-'-

en

a^

donc

oo =...

Numération C2

n

facteurs c.

a'se

lit

^{<< a puissance} n ))

a

est la base, le nombre naturel n est

l'exposant.

43 = 4x4x4 =

64

(se

lit

4 puissances

3

égal

à

64)

(-5)3 ₌

(-s)x(-s)x(-5): _-125

(se

lit

(-5) puissanc e

3

égal

a -125) égauxâasenotean

Exemples : 1.

2.

2. Propriétés

a et b

sont des nombres entiers

relatifs

non nuls, m

et n sort

des

relatifs

o Produit de puissances d'un même nombre

Exemples : 1. ⁵² x 53 = ⁵²⁺³

-)-

-\

=3125

3.

x5

" ¹⁶ r ,7 - ^*5+4+7

=.r18

o

Quotient de puissances d'un même

2.

Z3 x24 x2-5 _=23+a+Ç5)

=22

-4

4.

(ry)e (*y)to(ry)tt

nombre

= ir71e1l9+ll

= (x/)30

Pour ffi)

^ff,

Pour

fr <fl,

Pour

m=n.

Exemples ^:

l. _!=qt-t

4'

:16 o

_Puissance

d'une

puissance

Exemples

i I.

⁽²²⁾² =22x2

=24

=16

3.

(oo)t

-

^o4x5

= ^a2o

97 s5

⁷³

=

_gu"

gt"7

-97-6*tx{

=9tl 7 7-. --9

73 x8s x97

2.

96 ^x85 xTa

=42

2. (4)\3

₌ (-3)2"3

z

=

(-3)"

:729

4. (ro*t)'*(x2)r-o

_- ,(a+l)xZ , *2x(l-a)

= ^7,2o+2 , r2-2a

- ,(2a+2)+(2-2a)

= ^t2o+2+2-2a

=x

4

I

1

Exemples : 1. _14x

5)' :42

x52

:16x25 :400 3. çqD' :

(4)3 b3

:

_-64b3

I

_{Puissance d'un}

_quotient

Avec

ô+0 Exemples

Cas particuliers :

.

a'=a

'

^o-t

=!,

a

.o-n-1.

on'

Numération C2

K-D4,

⁵³ 12 = e2)4'2 " ^53"2

= 1_2)8 ^{x 56}

=256x3125 =800000 (2ab2 c3 )a = ^{24 o4 62x 4}

"3x4

=16o468'"12 2.

4.

('t\2

₎₂

"'[;.,| :?

:!

25

o-n

Exemples _I

'

^{(-5)o = l;}

. 8t =8;

'-t

^I

. )'=-:

5'

-2

_=---;-:

ⁱ

7'

. L'invérse

. L'invers

" ^ae i

. 0'=0, n+0

a-t

désigne

l'inverse de

a désigne I'inverse de an

est

q

_ou

l.g)-' a \b)

(-0,38)0 ₌ 1;

(-0,25Y =-0,25;

/ t:l

TAI

^D

I - | =-

\b)

^a

l. .r-1 I

I

J =-=-

49' 3n ^gl

1

de 5 est

I

ou 5-r

5

270

=l;

^(n)o

=l

xt

=xi

^(-13)t

=-li

l.

Exercices

Ecrire

à I'aide de la puissance les

produits

suivants ^:

a. 2x2x2x2x2

c.. (x +.yXx

t

^{yX x + y)(x + Y)}

2. Effectuer

^{les produits suivants :}

a.

^{22 x33 x4a}

c.

^{zx1z2)2 x3x(32)3}

(z\3 (r\3 (s)'

"' [;J ^{'[zJ "l;J}

3.

^Réduire,

simplifier

les expressions suivantes ^:

b. f-l;"(-3)" axaxbxb

a r-Jr<-iu-iu-.rçtll)

a.

^,o

^t*6

c.

çabytoçabyrt@b)"

trs

,". F

g. (r')o(no)i i.7a'btc'12

Mônne cxercicc

(s"to')'

l6xt0)

l4oPobzr

t-

"'

_,4ots6zo

e.

22^

x4^

^;

b. yt, ^{yt ,yn} d.

^4x(sx3)2

f.

^t2n

h.

J

4.

5.

d.

(o"-t)'(a21r-"

Soit

^,ar =1x22 ^{x33 x} 4a x5s x66 x88 x99

xl0l0.

Trouver

^{les valeurs}

de r,

m at _P ^-

y :

(2x2x2x ... ^x 2) x ⁽³ x 3 x 3 x ... ^{x 3)} x (5 x 5 x 5 x ... t ^5.)

I