Démonstration élémentaire de la question arithmétique

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Démonstration élémentaire de la question arithmétique

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 8 (1849), p. 421-423

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(2)

DEMONSTRATION ELEMENTAIRE DE LA QUESTION ARITHMETIQUE

( Voir p 354 ^ PAR E. C.

Soit

S— 7 -t- 2<72 -f- 3q -+-. . .-f- nqn; d'où

S ( I — 71 = 7 -+- 72 -+- 7" - } - . . . - h 7 " — « 7 "+ l

7 (7 M — 1 )

puis

1 — ' / ) '

Lorsque ^ = 1, S = - ; on prend, d'après la méthode connue, la dérivée seconde, et l'on trouve S — — — ? comme cela doi t être «

Note. Soit

(1) S = Aor°H- A.-t -|-A,x2-f-.

(3)

( 4 " )

delà

(i — x) = . ^ ( A , — A._.) - f - . r ( A , — A«,)-+-.r2(A2—- A , , - h . . .

retranchant delà série (2) cette série, multipliée par x , on obtient

O / l _, yt\ i. — - jrA ( A O A I \ \ I n*. ! A n A [ A \

(3) -H ^2(A2 — 2A, -f- A9). • ..r»(An — 2A„„, 4 - A„_.)

et, en continuant de même, on trouve (4) S(i — /)-• =

ùkmAp désigne la différence m1*"1' des coefficients. On sait que Ton a

AA A «A H A i)"'Ap_

et Ton rejette comme nuls les indices au-dessous de zéro et au-dessus de n 5 on ne les conserve que pour faire res- sortir l'uniformité de la loi.

indique la somme de tous les termes que Ton ob-

o

tient en donnant à p successivement toutes les valeurs de o à m -f- n. #

II est évident que si la différence m^iernp des coefficients est constante, alors la série (4) est une progression géométrique*, on tirera donc de l'équation (4) la valeur de S. Donc, lorsque A^p = F(p), F représentant une fonc- tion algébrique entière de /?, on pourra toujours trouver la somme de la série (1).

(4)

Exemple :

A, constant, S (i — .*) ^ -' ' - * -+- A„.r" — A« zⁿ+^l ;

A2 constant, S vi — J L )2 =. — -J-A„.ïü-i- i ( At— 2 À , i

A^ constant, S^i— v = — hAt ixü-K,nAi—3A0) -f- .r*( A, — 3 A, H- 3 A^o) -4- • .

I » n - t - i { '-Z A _ . _ ^ A i A \

I •* ^ «J •» »M ~ 1 *-* *» M — l 1^ " rt — ' /

| _ j n-+-2 .' _ j . _ ^ ^ ^ | J^ ^ n f-

et ainsi de suite.